七年级数学整式的乘法(教师讲义带答案)
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第2章:整式的乘除与因式分解
一、基础知识
1.同底数幂的乘法:m n m n
=,(m,n都是正整数),即同底数幂相乘,底数
a a a+
不变,指数相加。
2.幂的乘方:()m n mn
=,(m,n都是正整数),即幂的乘方,底数不变,指数相
a a
乘。
3.积的乘方:()n n n
=,(n为正整数),即积的乘方,等于把积的每一个因式ab a b
分别乘方,再把所得的幂相乘。
4.整式的乘法:
(1)单项式的乘法法则:一般地,单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
(2)单项式乘多项式法则:单项式与多项式相乘,就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
可用下式表示:m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)
(3)多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
5.乘法公式:
(1)平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”,即用字母表示为:(a+b)(a-b)=a2-b2;其结构特征是:公式的左边是两个一次二项式的乘积,并且这两个二项式中有一项是完全相同的,另一项则是互为相反数,右边是乘式中两项的平方差.
(2)完全平方公式:完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和(或差)的平方,等于第一数的平方加上(或减去)第一数与第二数乘积的2倍,加上第二数的平方”,即用字母表示为:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2;其结构特征是:左边是“两个数的和或差”的平方,右边是三项,首末两项是平方项,且符号相同,中间项是2ab,且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中,字母a、b都具有广泛意义,它们既可以分别取具体的数,也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y-2)2=(3x+y)2-2×(3x+y)×2+22=9x2+6xy-12x+y2-4y+4,或者(3x+y-2)2=(3x)2+2×3x (y-2)+ (y-2)2=9x2+6xy-12x+y2-4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a,2看成是b;后者是把3x看成是完全平方公式中的a,y-2看成是b.
(3)添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都变号。
乘法公式的几种常见的恒等变形有:
(1).a 2+b 2=(a +b )2-2ab =(a -b )2+2ab .
(2).ab =
21[(a +b )2-(a 2+b 2)]=41[(a +b )2-(a -b )2]=2222⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a . (3).(a +b )2+(a -b )2=2a 2+2b 2.
(4).(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca .
利用上述的恒等变形,我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题,并且还会收到事半功倍的效果.
6.整式的除法:m n m n a a a -÷=,(0a ≠,m ,n 都是正整数,并且m n >),即同底数幂相除,底数不变,指数相减。
(1)01(0)a a =≠,任何不等于0的数的0次幂都等于1.
(2)单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
(3)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
7.因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这就叫做把这个多项式因式分解,也可称为将这个多项式分解因式,它与整式乘法互为逆运算。
8.常用的因式分解方法:
(1)提公因式法:把m a m b m c ++,分解成两个因式乘积的形式,其中一个因
式是各项的公因式m ,另一个因式()a b c ++是m a m b m c ++
除以m 所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法。
i 多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。
ii 公因式的构成:①系数:各项系数的最大公约数;
②字母:各项都含有的相同字母;
③指数:相同字母的最低次幂。
(2)公式法:
(1)常用公式 平 方 差: )b a )(b a (b a 22-+=-
完全平方: 222)b a (b 2a b
a ±=+± (2)常见的两个二项式幂的变号规律: ①22()()n n a
b b a -=-;②2121()()n n a b b a ---=--.(n 为正整数)
(3)十字相乘法
ⅰ 二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中,如果能把常数项q 分解成
两个因式b a ,的积,并且b a +等于一次项系数中p ,那么它就可以分解成
()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ⅱ 二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中,如果能把二次项系数a
分解成两个因数21,a a 的积,把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积,并且1221c a c a +等于一次项系数b ,那么它就可以分解成:()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
(4)分组分解法
ⅰ 定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如22a b a b -+-没有
公因式,又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。再提公因式,即可达到分解因式的目的。例如:
22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++,
这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
ⅱ 原则:分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分解。
ⅲ 有些多项式在用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可。
二、经典例题
第一部分 整式的乘除
【例1】例题下列运算正确的是( )
A. a 5+a 5=a 10
B. a 5 ·a 5 = a 10 C .a 4·a 5=a 20 D .(a 4)5=a 9
【思路点拨】选支A 是整式的加法运算,合并得2a 5;选支B 正确;选支C 为同底数幂运算应指数相加,而不是相乘,故为a 4·a 5=a 9 ;选支D 为幂的乘方运算,应底数不变,指数相乘,为(a 4)5=a 20.
【解析】本题应选B.
【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础,一定要学好,学习它时注意体会从特殊到一般、从具体到抽象,有层次的进行概括抽象,归纳原理.
【例2】下列运算正确的是( )