圆锥曲线知识点考点总结

圆锥曲线知识点考点总结

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高中数学知识点大全—圆锥曲线

一、考点（限考）概要：

1、椭圆：

（1）轨迹定义：

①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为：

；

②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。

用集合表示为：

；

（2）标准方程和性质：

注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

（3）参数方程：（θ为参数）；

3、双曲线：

（1）轨迹定义：

①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点

的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为：

②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数

e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。

用集合表示为：

（2）标准方程和性质：

注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

4、抛物线：

（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为

：

（2）标准方程和性质：

①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；

②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一

致；

③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；

二、复习点睛：

1、平面解析几何的知识结构：

2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。

3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。

4、利用焦半径公式计算焦点弦长：若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点的坐标分别为，则弦长

这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。

5、若过椭圆左（或右）焦点的焦点弦为AB，则

；

6、结合下图熟记双曲线的：“四点八线，一个三角形”，即：四点：顶点和焦点；八线：实轴、虚轴、准线、渐进线、焦点弦、垂线PQ。三角形：焦点三角形。

7、双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。

8、双曲线的焦点到渐近线的距离为b。

9、共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三常数a、b、c中a、b不同（互换）c相同,它们共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。

10、过双曲线外一点P（x,y）的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

（1）P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；

（2）P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；

（3）P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；

（4）P为原点时不存在这样的直线；

11、结合图形熟记抛物线：“两点两线，一个直角梯形”，即：两点：顶点和焦点；两线：准线、焦点弦；梯形：直角梯形ABCD。

12、对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化计算；

13、抛物线的焦点弦（过焦点的弦）为AB，且

，则有如下结论：

14、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线；

15、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法：即设

为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两点间关系：

16、当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，即把直线方程代入曲线方程，消元后，用韦达定理求相关参数（即设而不求）；二是点差法，即设出交点坐标，然后把交点坐标代入曲线方程，两式相减后，再求相关参数。在利用点差法时，必须检验条

件△＞0是否成立。

5、圆锥曲线：

（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：，其中F为定点，d为点P到定直线的l距离，， e为常数，如图。

（2）当0＜e＜1时，点P的轨迹是椭圆；当e＞1时，点P的轨迹是双曲线；当e=1时，点P的轨迹是抛物线。

（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质，不因为位置的改变而改变。

①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上

ⅰ椭圆及双曲线：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；

ⅱ椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴为轴对称，关于中心为中心对称；

ⅲ抛物线的对称轴是坐标轴，对称中心是原点。

②定量：

（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）

以焦点在x轴上的方程为例：

6、曲线与方程：

（1）轨迹法求曲线方程的程序：

①建立适当的坐标系；

②设曲线上任一点（动点）M的坐标为(x,y)；

③列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0；

④化简方程f(x,y)=0为最简形式；

⑤证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上；

（2）曲线的交点：

由方程组确定，方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点。

1、圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的

两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表

示双曲线的一支。

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

Attention：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；

②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称

中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；

④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越

小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

（2）（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，

一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为

2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设

为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双

曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。

（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条

对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线

；⑤离心率：，抛物线。

5、点和椭圆（）的关系：（1）点在

椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；（3）点

在椭圆内

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与

双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双

曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但

不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定

有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一

个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

Attention：

（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；

（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点

的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；

（2）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的

第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对

应的准线的距离。

8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点

的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中，①

＝，且当即为短轴端点时，最大为＝

；②，当即为短轴端点时，的最

大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：①；②

。

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝

∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为A B

的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

10、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、

B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝

，若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；

在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛

物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。Attention：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

12．重要结论：

（1）双曲线的渐近线方程为；

（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为

为参数，≠0）。

如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______（答：

）

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为

；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相

应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线

的焦点弦为AB ，

，则

①；②

（7）若OA 、OB 是过抛物线

顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB

恒经过定点

圆锥曲线的方程与性质

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。

椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或1

22

22=+b

x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。

注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222

b a

c =-；

②在22221x y a b +=和22

221y x a b

+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，

只要看2

x 和2y 的分母的大小。例如椭圆

221x y m n

+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

①范围：由标准方程22

221x y a b

+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，

y b =±所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中

心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和

b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中，2||OB b =，

2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a b =-；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c

e a

=叫椭圆的离心率。∵0a c >>，∴01e <<，

且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦

点重合，图形变为圆，方程为222

x y a +=。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。

注意：①式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支；21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）；②当122||a F F =时，

12||||||2PF PF a -=表示两条射线；③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。

①范围：从标准方程122

22=-b

y a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线

a x ±=的外侧。即22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。

②对称性：双曲线122

22=-b

y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双

曲线的对称轴，原点是双曲线122

22=-b

y a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中

心。

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线122

22=-b

y a x 的方程里，

对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线122

22=-b

y a x 的顶点。

令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为

双曲线的渐近线。从图上看，双曲线122

22=-b

y a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接

近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b =； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(2

2

≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。

⑥注意191622=-y x 与22

1916

y x -=的区别：三个量,,a b c 中,a b 不同（互换）c 相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

方程()022

>=p px

y 叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2

p

,0），它的准线方程是2

p

x -

= ；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22

-=，py x 22

=，py x 22

-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。