初二数学经典难题及答案.doc

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初二数学经典题型

1．已知：如图，P 是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15

0．求证：△PBC是正三角形．

证明如下。

首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°- 150°）÷2=15°，∠PAB=90°- 15°=75°。

A

在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ，连接PQ，则

∠PDQ=6°0 +15°=75°，同样∠PAQ=7°5 ，又AQ=DQ，, PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ，

那么∠PQA= PQD=60 2=30 PQA∠°÷°，在△中，P

D

∠APQ=18°0 - 30°- 75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=A，B

显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=3°0 ，

PB=PQ=AB=B，C∠PBC=90°- 30°=60°，所以△ABC是正三角形。

B C

2. 已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线

交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．

F

证明: 连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.

E

又点N为CD的中点, 则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM∠= DEM;(1)

同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN∠= CFN;(2)

N C

又AD=BC则, :GN=GM∠, GNM=∠GMN故. : ∠DEM=∠CFN. D

A

B

M

3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，

点P 是EF的中点．求证：点P 到边AB的距离等于AB的一半．

证明：分别过E、C、F 作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N，

在梯形MEFN中，WE平行NF

因为P 为EF中点，P Q平行于两底

所以PQ为梯形MEFN中位线，

所以PQ＝（ME＋NF）/2

D

G

又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO

C

所以角OCB=角NBF

E

而角C0B＝角Rt＝角BNF

P

CB=BF

F 所以△OCB全等于△NBF

A

Q B

△MEA全等于△OAC（同理）

所以EM＝AO，0B＝NF

所以PQ=AB/2.

4、设P 是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．

过点P 作DA的平行线，过点 A 作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE

因为DP//AE，AD//PE

所以，四边形AEPD为平行四边形

A D

所以，∠PDA=∠AEP

已知，∠PDA=∠PBA

P

所以，∠PBA=∠AEP

所以，A、E、B、P四点共圆

B

C

所以，∠PAB=∠PEB

因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD

而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC

所以，PE//BC，且PE=BC

即，四边形EBCP也是平行四边形

所以，∠PEB=∠PCB

所以，∠PAB=∠PCB

5.P 为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．

解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ

因为△BAP≌△BCQ

所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC

因为四边形DCBA是正方形

A D 所以∠

CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90°

P

即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形

所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45

因为PA=a，PB=2a，PC=3a

所以PQ＝2√2a， C Q＝a，所以CP^2＝9a^2 ，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2

所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°

B C 所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135°

作BM⊥PQ

则△BPM是等腰直角三角形

所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/ √2＝√2a

所以根据勾股定理得：

AB^2＝AM^2＋BM^2

＝( √2a＋a)^2 ＋( √2a)^2

＝[5 ＋2√2]a^2

所以AB＝[ √(5 ＋2√2)]a

6.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。

解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。

v v

由题意得：t

2x8x

解之得：x 5v 8t

经检验得：x 5v

8t

是原方程解。

∴小口径水管速度为5v

8t

，大口径水管速度为

5v

2t

。

7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，-1），且P（-1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，Q B垂直于y轴，垂足分别

是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形

OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

y

y

Q

Q B

B

A O

A O

x

x

M

C M

P

P

图

解：（1）设正比例函数解析式为y kx，将点M（2，1）坐标代入得

图

1

k=，所以正比

2

例函数解析式为

1 y=x

2

同样可得，反比例函数解析式为y=2 x

（2）当点Q在直线D O上运动时，

设点Q的坐标为

1 Q(m，m)，