阿 氏 圆
阿氏圆证明过程
阿氏圆证明过程阿氏圆证明，也称为仿射圆证明，是古希腊著名的几何学家欧几里得《几何原本》中的一个著名定理，也是欧几里得五大公设之一。
该定理描述了如何在一个平面上找出一个正三角形的方法，以及如何构造一个正方形。
这个定理的形式化表述大致是：对于一个已知的线段AB，存在一个圆，以A、B为圆心，AB为直径，使得圆上的所有点与A、B的距离相等。
阿氏圆证明过程的起点是构造一个AB直线段中点O，然后以O为圆心，将OA代入半径画出一个圆，该圆与OB 的交点为C，连线AC和BC即可形成正三角形。
证明如下：1.连接OA、OB两条线段，以OA为一直径作圆。
由于OA=OB的关系，这个圆的半径为OA的一半。
2.以O为圆心，OA半径再作一圆。
这个圆与上述圆的交点分别是D和E。
3.作DE和OA的中垂线。
交点为F。
4.此时，可以证明三角形OFE是一个等腰直角三角形。
5.将OF的长度再次代入半径，然后以OF为圆心画出一圆。
这个圆与OA和OB的交点分别为C和G。
6.连线AC和BC，即可形成正三角形ABC。
下面是具体的证明过程：由于OA=OB，所以以O为圆心，OA为半径画出的第一圆与OB的交点E也在以O为圆心，OB为半径画出的第一圆上。
这时我们可以作直线DE连接这两个交点。
以OF为中垂线，可以将三角形OAE和OBE分别分成等腰直角三角形。
从而可以得到OF=OE=OA/2，三角形OFE是一个等腰直角三角形，又因为OF和OE在圆心O处，因此可以得到OFE是以O为直径的圆的弧上圆心角，这个角为直角。
将OF的长度再次代入半径，以OF为圆心画出一个圆，这个圆与OA和OB的交点分别为C和G。
连接AC和BC，即可形成正三角形ABC。
下面进行详细证明：1.图中OA，OB段长相等，以O、A分别为圆心，则以OA为直径的圆的圆心为O，半径为OA/2，A、B点分别在这个圆相交。
2.以O，OA为半径再画一个圆，该圆与以OA为直径画的第一个圆的交点分别为D、E，连接DE（为什么相交于垂线？因为相交点到圆心的距离等于半径，垂足到圆心的距离也等于半径，因此DE垂直于OA）。
圆的最值模型之阿氏圆模型(原卷版)(北师大版)
专题08圆的最值模型之阿氏圆模型一、模型说明背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P 在一个以O 为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP ∽△POA ，，∴对于圆上任意一点P .对于任意一个圆，任意一个k 的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A 、B 点，则需【技巧总结】计算PA k PB + 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB + 的值最小，解决步骤具体如下：①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB ②计算出这两条线段的长度比OP k OB =③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB = ④则=PA k PB PA PC AC ++≥ ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值二、例题精讲例3．如图，在边长为4的正方形旋转90°得到线段PQ．连接4【变式训练2】．如图，已知正方的最大值为．【变式训练3】．问题提出：如图圆上一动点，连接AP（1）尝试解决：为了解决这个问题，三、课后训练3．如图，在O中，点A、点B在的中点，点M是劣弧AB上的动点，则4．如图，在ABC则22PA PC+的最小值是5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是(1)如图1，当点E 与点B 重合时，连接AD ，已知四边形ABDC 的面积为23，求+AB (2)如图2，AB AC =，A 、E 、D 三点共线，连接AE 、BE ，取BE 中点M ，连接AM ，求证：(3)如图3，4AB AC ==，2CE =，将CDE 以C 为旋转中心旋转，取DE 中点F ，当BF 时，求tan ABF ∠的值．。
高中阿氏圆例题
高中阿氏圆例题摘要：一、阿氏圆的概念和性质1.阿氏圆的定义2.阿氏圆的性质二、阿氏圆的相关例题1.例题一2.例题二3.例题三三、解题思路和方法1.解题思路2.解题方法四、总结1.阿氏圆在数学中的重要性2.学习阿氏圆的意义正文：阿氏圆是高中数学中一个重要的概念，它具有许多独特的性质。
首先，我们要了解阿氏圆的定义和性质，这是解决相关问题的基础。
阿氏圆是指到两个定点的距离之和等于定长的所有点的集合。
简单来说，就是在平面上给定两个点，求所有到这两个点的距离之和等于一个常数的点的集合。
阿氏圆具有以下几个性质：1.阿氏圆是两个定点的等距离点构成的，即圆心为两个定点的连线中点。
2.阿氏圆的半径等于两个定点的距离减去定长的一半。
3.阿氏圆与两个定点的连线构成的三角形面积相等。
了解阿氏圆的概念和性质后，我们来看一些具体的例题。
例题一：已知点A(-3,0) 和点B(3,0)，求以A、B 为圆心，以5 为定长的阿氏圆。
解题思路：首先求出AB 的中点O，然后计算AO 和BO 的长度，根据阿氏圆的性质，可知AO+BO=5，所以以A、B 为圆心，以5 为定长的阿氏圆就是以O 为圆心，以5 为半径的圆。
例题二：已知点A(2,3) 和点B(-4,1)，求以A、B 为圆心，以6 为定长的阿氏圆。
解题思路：首先求出AB 的中点O，然后计算AO 和BO 的长度，根据阿氏圆的性质，可知AO+BO=6，所以以A、B 为圆心，以6 为定长的阿氏圆就是以O 为圆心，以6 为半径的圆。
例题三：已知点A(0,4) 和点B(4,0)，求以A、B 为圆心，以5 为定长的阿氏圆。
解题思路：首先求出AB 的中点O，然后计算AO 和BO 的长度，根据阿氏圆的性质，可知AO+BO=5，所以以A、B 为圆心，以5 为定长的阿氏圆就是以O 为圆心，以5 为半径的圆。
通过以上例题，我们可以总结出解题思路和方法。
首先根据题目所给的点A 和B，求出它们的中点O，然后计算AO 和BO 的长度，判断是否满足阿氏圆的性质。
阿氏圆最值四字口诀
阿氏圆最值四字口诀以下是关于阿氏圆最值的四字口诀：**口诀一：阿氏圆规**阿氏圆呀，有个要点。
一比二定，先得看清。
一呢就是一个定点，就像家里的房梁固定在那儿不动。
二呢是两个关键，一个是比例关系，就好像分糖果，按照一定的比例分给小伙伴。
另一个就是圆上动点。
我们要把这个动点当作调皮的小猴子，在圆上跳来跳去。
计算最值的时候，要先找到这个固定的点，就像找宝藏的起点一样。
然后根据给定的比例，比如说1 : 2之类的，就像把一块蛋糕分成1份和2份。
然后盯着那个在圆上乱动的点，利用这个比例关系，构造相似三角形，这就像是搭积木一样，找到对应的边，通过相似比来算出最值。
这样阿氏圆的最值就能轻松搞定啦，就像沿着一条明确的小路走到终点一样。
**口诀二：圆定比寻**阿氏圆题，圆定比寻。
啥是圆定呢？就是先找到那个阿氏圆，它就像一个大圆盘，稳稳地在那里。
这个圆有它自己的半径和圆心，圆心就像圆的心脏，半径就是从心脏到边缘的距离。
比寻呢，就是寻找比例关系。
这比例就像分水果的规则，比如2个苹果给3个人，有个2 :3的关系。
我们要在题目里找出这个特殊的比例，可能是1 : 3或者2 :5之类的。
找到这个比例之后，再找到那个定点，这个定点就像舞台上的主角位置不变。
然后根据这些条件，去构造我们的数学模型，就像搭乐高积木一样，一块一块把相似三角形搭起来，这样就能算出阿氏圆中的最值了，就像从一团乱麻里抽出了一根关键的线。
**口诀三：定圆比定**定圆在前，这圆啊就像一个大操场，有它的边界和中心。
我们要先确定这个圆的各种信息，就像熟悉操场的大小和中间的位置一样。
比定随后，这个比例是非常关键的东西。
就好比把一群小动物按照一定的数量比例分开，比如说3只兔子和5只小鸡的比例是3 : 5。
这个比例在阿氏圆里就像一把神奇的钥匙。
确定了比例，再找到那个固定的点，这个点就像大树扎根在地上不动。
然后我们就可以根据这个点、这个比例和圆的情况，像拼图一样把相似三角形拼出来，通过三角形的边长关系算出阿氏圆中的最值，就像在迷宫里找到了出口。
57、经典几何模型之“阿氏圆”
经典几何模型之“阿氏圆”一.模型名称由来【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
二.模型建立如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3三.“阿氏圆”模型破解策略【破解策略详细步骤解析】第一步：连接动点于圆心O （一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连），即连接OB 、OP ；第二步：计算出线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的k OBOP =第三步：在OB 上取点C ，使得OB OP OP OC =；（核心关键步骤）第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P 【核心步骤另单独解析】回顾图2，在OB 上取点C 构建OBOP OP OC =的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。
阿氏圆的常用结论
阿氏圆是指在平面内，由一个点和它的所有连线构成的圆。
阿氏圆是一个重要的几何图形，常用的结论有：
1 关于圆的定义：圆是由一个点和它的所有连线构成的图形。
这个
点被称为圆心，连线的长度称为圆的半径。
2 圆的性质：圆是一个对称图形，所有连接圆心的线段长度相等。
因此，圆心到圆周的任意一点都是圆的直径。
3 圆的周长：圆的周长是圆周上任意两点间的距离之和。
公式为：
周长=2πr，其中r 是圆的半径。
4 圆的面积：圆的面积是圆内所有点到圆心的距离之和。
公式为：
面积=πr^2，其中r 是圆的半径。
5 两圆的位置关系：两个圆可能相交、相离、内含或相切。
6 圆的切线：切线是圆与圆外某条直线的交点的连线。
切线一般有
两条，称为切点。
7圆的垂线：垂线是圆与圆外某条直线的垂直交点的连线。
垂线只有一条，称为垂足。
8 圆的属性：圆的属性是指圆的一些性质，如圆的半径、圆的周长、
圆的面积等。
9 圆的解析式：圆的解析式是指表示圆的一种数学形式。
通常表示
为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2，其中（a，b）是圆心的坐标，r 是圆的半径。
10 圆的参数方程：圆的参数方程是指用参数来表示圆的一种数
学形式。
通常表示为x=a+r cosθ，y=b+r sinθ，其中（a，b）是圆心的坐标，r 是圆的半径，θ是参数。
11这些结论是阿氏圆的基本知识，了解这些知识可以帮助你更
好地理解和分析圆的性质。
高中阿氏圆例题
高中阿氏圆例题阿氏圆（Arbelos）是一个具有优美性质的数学概念。
在高中数学学习中，阿氏圆问题常常出现在数学竞赛和高考题目中，具有一定的难度和挑战性。
本文将通过一个具体的例题，分析解题思路，详细解析解题步骤，并提供一些解题技巧和注意事项。
首先，我们来回顾一下阿氏圆的定义和性质。
阿氏圆是平面直角坐标系中，以点A，B，C为直径的圆。
其中，点A、B、C不共线，且不在同一条直线上。
阿氏圆具有以下性质：1.阿氏圆的直径是直角三角形ABC的角平分线。
2.阿氏圆的半径等于直角三角形ABC斜边的一半。
3.阿氏圆的圆心到三角形ABC三个顶点的距离之和等于直角三角形ABC 斜边的长度。
接下来，我们来分析高中阿氏圆例题的解题思路。
【例题】已知点A(-3, 0)，B(3, 0)，C(0, 4)，求以AB，AC为直径的的阿氏圆的方程。
解题思路：1.首先，求出直角三角形ABC的斜边长度。
根据两点间距离公式，可得AB = 6，AC = 5。
2.求出直角三角形ABC的角平分线长度。
根据三角函数，可得角BAC的平分线长度为√(6^2 + 4^2) / 2 = √52 / 2。
3.求出以AB，AC为直径的阿氏圆的半径。
半径等于斜边长度的一半，即R = (6 + 5) / 2 = 5。
4.求出阿氏圆的圆心坐标。
由于圆心在AB和AC的垂直平分线上，可得圆心坐标为((-3 + 3) / 2, (0 + 4) / 2) = (0, 2)。
5.根据圆的标准方程，得到阿氏圆的方程为：(x - 0)^2 + (y - 2)^2 =5^2，即x^2 + (y - 2)^2 = 25。
最后，我们来总结一下解题技巧和注意事项：1.熟练掌握两点间距离公式，以便求解线段长度。
2.牢记阿氏圆的性质，如直径是角平分线，半径等于斜边的一半等。
3.注意寻找题目中的隐含条件，如本题中圆心在AB和AC的垂直平分线上。
4.灵活运用圆的标准方程，简化求解过程。
通过以上分析，我们可以发现，掌握阿氏圆的性质和解题技巧，能帮助我们更高效地解决这类问题。
经典几何模型之“阿氏圆”-6.6
经典几何模型之“阿氏圆”————段廉洁一.模型名称由来【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
二.模型建立如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3三.“阿氏圆”模型破解策略【破解策略详细步骤解析】第一步：连接动点于圆心O （一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连），即连接OB 、OP ；第二步：计算出线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的k OBOP =第三步：在OB 上取点C ，使得OB OP OP OC =；（核心关键步骤）第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P 【核心步骤另单独解析】回顾图2，在OB 上取点C 构建OBOP OP OC =的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。
阿氏圆问题的通法
阿氏圆问题的通法初中阿氏圆是个熟知的问题，这里是对先前的理解做个记录。
什么是阿氏圆？一句话概括：如果平面上一动点P到两定点(A、B)的距离之比PA/PB为定值K(不等于1)，则P点的轨迹是圆。
这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆，如图。
阿氏圆阿氏圆问题及解题策略在初中，利用到阿氏圆的几何问题一般是这样的：已知动点P的轨迹为圆，B、C为定点，求PC+kPB的最小值，其中系数k为不等于1的正数，也就是求带系数的线段之和的最小值，例如PC+2PB或PC+0.5PB的最小值。
如下图。
阿氏圆问题这种题的解题策略是使用构造法进行转化，利用相似三角形构造出一条线段对象，例如构造出线段PA,使得PA=kPB，且A点为定点。
则PC+kPB=PC+PA=PA+PC，转化为求PA+PC的最小值。
A、C为定点，显然A、P、C三点共线时PA+PC取得最小值。
PA=kPB，即PA/PB=k,这就和阿氏圆联系起来了，只不过和文章开头介绍的阿氏圆是反过来的。
文章开头介绍阿氏圆时，是已知A、B 两个定点和比值系数k，得出P点轨迹为圆，而这里是已知动点P的轨迹(圆)、定点B、比值k，反过来找定点A。
这和逆定理、逆向思维是一个道理。
可见，解决阿氏圆问题，找定点是关键，只要找到这个定点，就很好解决了。
举例由CD=2可知动点D的轨迹为圆，圆心为C，半径为2。
阿氏圆问题要有圆，显然可识别这道题是阿氏圆问题。
B为定点，需要构造出线段ED，且满足：ED=2/3BD,E为定点。
如果能构造出这样的ED，则AD+2/3DB=AD+ED。
A、E为第定点，D为动点，当A、E、D三点共线时长度和最小。
这也是数学思维中合情合理的设想(猜想、想象、构想)，美好的设想要有，万一实现了呢！要构造ED，满足ED=2/3BD,E为定点。
具体如何构造ED，因为k是比例系数，比例系数要联想到相似比，进而很自然地、合情合理地联想到利用相似三角形来构造。
通法是在圆心(C)、动点(D)、2/3BD(乘以系数k的线段)涉及到的定点B所在的三角形CDB处构造共角共边的母子型相似，相似比为k(2/3)。
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阿氏圆
阿氏圆，又称阿波罗尼斯圆，是指：平面上两点A、B，所有满足PA：PB=K 且K≠1的点P的运动轨迹，都是一个以固定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆，它是由古希腊数学家阿波罗尼斯首先发现，故称阿氏圆。
在初三下学期数学的各类模拟考中，时常会出现考查“阿氏圆”的题目，一般出现在解答压轴题中的最后一小题，以直接写答案的填空题的形式出现。
由于它脱离现行教材，即使有很多文章在介绍这个知识，但我们的同学面对类似题时，仍是一团雾水，其实考试为何以填空题的形式出现，就是让我们的同学不必纠缠于“阿氏圆”背后深含的数学原理，只需掌握它在什么时候运用？又是如何运用的，从这个角度来说，解决它并不难，这里我们将几道简化版的例题，用通俗、浅显的语言，详细介绍考试当中，如何快速解决有关“阿氏圆”的题目。
适用范围：
题目求类似“AB+K×BC的最小值”，其中A、C两点是定点，B是动点，K是数值。
解题思路方法：
首先盯住“K”值，它一定是图形中已知的某个三角形的两边的比值，通过它找到那个已知三角形，再由动点B作垂线，构造一个与已知三角形存在共角的“共角模型”的相似三角形，通过相似比，即可把“K×BC”转化成某一条带有点B的线段，这样就把题目转化成最基础的“将军饮马问题”的“两定一动模型”，让这两条线段成一直线，即可求解。
范例精讲：
例1.如图，抛物线y=-x*2-2x+3与坐标轴的交点分别
是A（1，0）、B（0，3）、C（-3，0），若R为y
轴上一个动点，连接AR，则(√2RB)/2+AR的最小值
为_______
思路分析：
题中的“√2/2”大有讲究，不是随意编制的数据，它一定是图形中某个已知三角形的两边比值。
由题可知：OB=3，OC=3，则BC=3√2，则OC：BC=3：3√2=√2/2，
即呆会儿我们要构造的两个相似三角形中的一个就是△BOC，过点R作RE⊥BC，如图1，即可构造“共角模型”的相似三角形：△BER与△BOC，通过这两个三角形相似的性质可得：ER：BR=OC：BC=√2/2，则ER=(√2RB)/2+AR，这样就把“(√2RB)/2+AR的最小值”转化成了“ER+AR的最小值”，这是将军饮马问题中最简单的模型：两定一动模型，只需让A、R、E在同一直线上即可，则ER+AR的最小值即为AE的长度，如图2，通过三角函数即可求出AE的长度。
解题过程：
例2. 如图，抛物线y=-x*2-x-2与坐标轴的交点分别是A
（2，0）、C（0，-2）、B（-1，0），若M为y轴上一
个动点，连接AM，则(√5MC)/5+AM的最小值为_______
思路分析：
题中的“√5/5”大有讲究，不是随意编制的数据，它一定是
图形中某个已知三角形的两边比值。
由题可知：OB=1，
OC=2，则BC=√5，则OB：BC=1：√5 =√5/5，即呆会
儿我们要构造的两个相似三角形中的一个就是△BOC，过点M作MN⊥BC，如图1，即可构造“共角模型”的相似三角形：△CMN与△BOC，通过这两个三角形相似的性质可得：MN：MC=OB：BC=√5/5，则MN=(√5MC)/5，这样就把“(√5MC)/5+AM的最小值”转化成了“MN+AM的最小值”，这是将军饮马问题中最简单的模型：两定一动模型，只需让A、M、N在同一直线上即可，则MN+AM 的最小值即为AN的长度，如图2，通过三角函数即可求出AE的长度。
解题过程：。