“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)
2020年春胡不归与阿氏圆专题学习
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3动态展示：见GIF格式！思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
高中数学 胡不归与阿氏圆
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取k去构造某角的正弦值等于或等于)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。
11。
最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DB AC DC =．证明：ABD ACD S BD S CD = ，ABD ACD S AB DE AB S AC DF AC⨯==⨯ ，即AB DB AC DC =（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DB AC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB AC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA k MB PB ==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PA k NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
初中数学最值系列之胡不归问题
初中数学最值系列之胡不归问题最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中，往往都是求某个线段的最值，或者形如PA+PB的最值。
除此之外，我们还可能会遇上形如“PA+kPB”的式子的最值问题，这类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆。
本文将简单介绍“胡不归”模型。
故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。
根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途。
当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭。
邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACBC的值最小。
问题分析】将BC+kAC的最小值问题转化为求BC+CH的最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC最小。
模型总结】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型。
而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段。
2019长沙中考】如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+5BD的最小值是_______。
分析】本题关键在于处理“sin∠ABE/BD”，考虑tanA=2，△ABE 三边之比为1:2:5，即BBC问题可以转化为求CD+DH的最小值，当C、D、H三点共线时，CD+DH的值最小，此时CD+DH=CH=BE=45.解决这个问题的关键在于构造垂线DH，根据角度的三角函数值可以得到sinα=3/5，因此可以自行构造角α，如图所示。
如果稍作改变，将图形改造为EDBC，则需要自己构造角α，这一步是解决“胡不归”问题的关键。
最新九年级数学中考复习 初中几何多结论问题及PA kPB型最值探究
几何多结论问题与最值问题题型分析【学习主题】一、几何多结论探讨；二、“PA+kPB”型最值之胡不归与阿氏圆【题型分析】一、初中几何图形多结论综合/*瓜豆原理求动态路径长*/【示例1】如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝32，动点P从点A出发向终点D运动，连接BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H，有以下结论：①、△ABP∽△HCB；②、AH的最小值为37 ；③、在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积；④、在运2，其中正确的有（）动过程中，点H的运动路径的长为π33A、①②③B、①②④C、②③④D、①③④/*正方形半角模型*/【示例2】如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），∠DAM=45°，点F 在射线AM 上，且AF=2BE ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC ，EF ，EG ，则下列结论：①、∠ECF=45°；②、△AEG 的周长为a )221(+； ③、222EG DG BE =+；④、△EAF 的面积的最大值281a ．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）【解析过程】/*旋转变换下求线段最值*/【示例3】如图，四边形ABCD 是菱形，且∠ABC=60°，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，则下列五个结论中正确的是（ ）①、若菱形ABCD 的边长为1，则AM+CM 的最小值1；②、△AMB ≌△ENB ；③、ADCM AMBE S S 四边形四边形 ；④、连接AN ，则AN ⊥BE ；⑤、当AM+BM+CM 的最小值为32时，菱形ABCD 的边长为2．【解析过程】二、“PA+kPB”型最值之胡不归与阿氏圆【示例1】如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则BMAM2的最小值为________【示例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，2tan =A ，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则BD CD 55+的最小值是_________【示例3】二次函数c-=2y+axx2的图象与x轴交于A、C两点，点C的坐标为)0 ,3(，与y 轴交于点B )3 ,0(-。
备战中考数学二轮专题归纳提升真题线段最值问题—胡不归问题和阿氏圆问题
专题07 线段最值问题（2）——胡不归问题和阿氏圆问题【问题引入】在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．【题型一——胡不归问题】【模型介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）【模型建立】【问题】点A 为直线l 上一定点，点B 为直线外一定点，P 为直线l 上一动点，要使√22AP ＋BP 最小．【作法】过点 A 作∠NAP ＝45°，过点 P 作 PE ⊥AN ，在直角三角形中将√22AP 转化为 PE ，使得√22AP ＋BP ＝PE ＋BP ，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求 BF 的长度．【解题关键】在求形如“PA+kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA+kPB ”型问题转化为“PA+PC ”型．注意：而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【典型例题】【例1】如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，那么：（1）AE=_______．（2）CD +√55BD 的最小值是_______．【答案】（1）2√5（2）4√5【解析】解：（1）∵tanA=2，BE ⊥AC∴BE AE =2∴设AE=x ，BE=2x∴x 2+(2x )2=102∴x =2√5（2）如图，作DF ⊥AB 于点F ，CH ⊥AB 于点H∵AE=2√5，AB=10∴AE AB =2√510=√55 ∴sin ∠ABD =DF BD =√55 ∴DF=√55BD∴CD +√55BD =CD +DF∵当C 、D 、F 三点共线时，CD +DF 最小，即为CH∵AB=AC∴CH=BE由（1）知，BE=2AE=4√5∴CD +√55BD 的最小值时4√5【练1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝20，tanA=3，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD+√1010BD 的最小值是【答案】6√10【解析】解：如图，作DF ⊥AB 于点F ，CH ⊥AB 于点HAB C DE∵tanA=3，BE⊥AC，AB=AC=20∴BEAE =3∴设AE=x，BE=3x ∴x2+(3x)2=202∴x=2√10∴sin∠ABD=DFBD =√1010∴DF=√1010BD∴CD+√1010BD=CD+DF∵当C、D、F三点共线时，CD+DF最小，即为CH∵AB=AC∴CH=BE由（1）知，BE=3AE=6√10∴CD+√55BD的最小值时6√10【练2】如图，菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，边长为 3，P 是对角线 BD 上的一个动点，则12BP＋PC 的最小值是_______．【答案】3√32【解析】解：如图，作PM⊥AB于点M，CH⊥AB于点H∵四边形ABCD是菱形∴∠PBM=12∠ABC=30°∴PM=12PB∴12BP＋PC=PM+PC∵当C、P、H三点共线时，PM+PC最小，即为CH 在Rt△CBH中，CH=BC×sin60°=3√32∴12BP＋PC的最小值时3√32【练3】如图，平行四边形 ABCD 中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P 为边 CD 上的一动点，则PB +√32PD的最小值等于________．【答案】3√3【解析】解：如图，作PH⊥AD于点H∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∵∠DAB=60°∴∠HDP=60°∴sin∠HDP=√32∴PH=√32PD∴PB +√32PD=PB+PH∵当B、P、H三点共线时，PB+PH最小，即为BH在Rt△ABH中，BH=AB×sin60°=3√3∴12BP＋PC的最小值时3√3【题型二——阿氏圆问题】【模型介绍】所谓“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足PA=kPB的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
4最值系列之胡不归问题(1)
最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P A +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“P A +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型． 【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？2驿道【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V的值最小．2M练习：1.如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE上的一个动点，则CD +的最小值是_______．1题图 2题图2.如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD上的一动点，则PB +的最小值等于________．3.如图，已知抛物线()()248ky x x =+-（k 为常数，且k >0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B的直线y x b =+与抛物线的另一交点为D ． （1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？ABCDEABCDP4.抛物线2y=与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当12PE EC+的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）。
胡不归和阿氏圆问题(14页)
胡不归+阿氏圆(PA k PB +∙) 当你遇到“PA+kPB ”型最值时，当k=1时，可以转化为“将军饮马”模型，我们可以利用对称变换来处理。
而如果k ≠1的话，此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动。
其中点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题：点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
利用“胡不归，阿氏圆”解决初中"PA k PB +∙"型的最值问题(加权线段和最值)
胡不归图
阿氏圆图
胡不归
①
'C
'
H ②
1
(2019长沙中考)如图，△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则的最小值是_____ (2019南通中考)如图，平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6，BC=2,P为边CD上的一动点,则PB+的最小值等于．
阿氏圆
你会发现：原来我暗藏着“母子型”相似三角形！(形状完全一样，多像母子啊！)
, OPA OBP
，则∽所以
转化为简单的将军饮马型问题。
的距离与半径之比等于半径与圆心到定点r OB
这类题目虽然所求两条线段系数不为1，但并不是胡不归和阿氏圆问题，这和动点的运动轨迹有关系，需要大家细致辨别。
这是一道“隐藏的”隐形圆问题。
它的解法也非常巧妙，但仍然属于常规思路，只要对隐形圆基本模型掌握的熟练，应该是比较容易想到的。
这个题如果放在高中，也可以用正余弦定理去解决。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3动态展示：见GIF格式！思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
【模型初探】（二）点P 在圆上运动 “阿氏圆”问题如图所示2-1-1，⊙O 的半径为r,点A 、B 都在⊙O外，P 为⊙O 上的动点，已知r=k ·OB.连接PA 、PB ，则当“PA+k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图2-1-2）在线段OB 上截取OC 使OC=k ·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k ·PB=PC 。
∴本题求“PA+k ·PB ”的最小值转化为求“PA+PC ”的最小值，即A 、P 、C 三点共线时最小（如图2-1-3），本题得解。
动态展示：见GIF 格式！【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA=kPB （k ≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；第三步：计算这两条线段长度的比OP k=；OB第四步：在OB上取点C，使得OC OP=；OP OB第五步：连接AC，与圆O交点即为点P．①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角（k=sin∠CAE）--------过终点作所构角边的垂线----------利用垂线段最短解决问题②“阿氏圆”构造共边共角型相似构造△PAB∽△CAP推出2=PA AB AC即：半径的平方=原有线段⨯构造线段1．(胡不归问题)如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则AM+12BM 的最小值为 .分析：如何将12BM 转化为其他线段呢？即本题k 值为12即转化为30°角的正弦值。
思考到这里，不难发现，只要作MN 垂直于BC ， 则MN=12BM ，即AM+12BM最小转化为AM+MN 最小，本题得解。
详解：如图，作AN ⊥于BC 垂足为N, ∵四边形ABCD 是菱形且∠ABC=60°， ∴∠DBC=30°， 即sin ∠DBC=12=MNBM， ∴12BM=MN ，∴AM+12BM=AM+MN ，即AM+12BM 的最小值为AN. 在RT △ABN 中，AN=AB ·sin ∠ABC=6=∴AM+12BM 的最小值为变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM ”的最小值你会求吗？(2) 本题如要求“AM+BM+CM ”的最小值你会求吗？答案：（1）2）本题也可用“费马点”模型解决哦！！！！----详见：本公众号前文！BD2．(阿氏圆问题) 如图，点A 、B 在☉O 上，且OA=OB=6，且OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，且OD=4，动点P 在☉O 上，则2PC PD +的最小值为__________． 分析：如何将2PC 转化为其他线段呢？ 不难发现本题出现了中点，即2倍关系 就出现了。
套用“阿氏圆”模型：构造共边共角相似半径的平方=原有线段⨯构造线段 详解：∴连接OP,在射线OA 上截取AE=6. 即：2OP OC OE =⨯ ∴△OPC ∽△OEP∴2PE PC =∴2PC PD PE PD +=+,即P 、D 、E 三点共线最小. 在即2PC PD +的最小值为变式思考：(1)本题如要求“1PC PD 2+”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“3PC PD 2+”的最小值你会求吗？答案：（1）2）【变式训练】(胡不归问题)1.如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC 运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD= 时，运动时间最短为秒.2.如图，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150°，点P是对角线AC上的一个动点，则PA+PB+PD的最小值为 .答案：本题也可用“费马点”模型解决哦！！！【中考真题】 (胡不归问题)1.（2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （-1，0），B （0，-3）、C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点D 。
若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为 。
2.（2014.成都）如图，已知抛物线2)(4)y x x =+-与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y x =D （-5，。
设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标为 时，点M 在整个运动过程中用时最少？，(- 课外提升：2015日照、2015内江、2016随州多个城市均在压轴题考察了“胡不归”问题。
要好好专研哦！！！(胡不归问题变式)【变式训练】(阿氏圆问题)2（3）.【拓展延伸】：已知扇形COD中，∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是CD上一点，则2PA＋PB的最小值为___________．13.2.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交X轴正半轴于点A，点M坐标为（6,3），点N坐标为（8,0），点P在圆上运动，求1的最小值PM PN2为__________．3.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值为__________．答案：5【中考真题】 (阿氏圆问题) （2017·甘肃兰州）如图，抛物线2y x bx c 与直线AB 交于4,4A ，0,4B两点，直线1:62AC yx 交y 轴与点C ，点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF x 轴交AC于点F ，交抛物线于点G . (1)求抛物线2yx bx c 的表达式；(2)连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；(3)①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以,,,A E F H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点,E H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E ⊙上一动点，求12AM CM 的最小值.答案：(1) y=﹣x 2﹣2x+4；(2) G （﹣2，4）；(3)①E （﹣2，0）．H （0，﹣1）；②2．写在最后：“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取 k去构造某角的正弦值等于1k 或等于21kk)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。