高中数学 胡不归与阿氏圆
第3讲 胡不归+阿氏圆+费马点
第3讲：胡不归+阿氏圆+费马点模块一：胡不归【举例说明】已知D 为射线AB 上一动点，︒=∠30BAC ，AC =32，当AD =__________时，CD AD +21取最小值；AD +2CD 的最小值是__________课堂讲练【例1】（2019桂林）如图，在△ABC 中，∠A ＝15°，AB ＝2，P 为AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），连接BP ，则22AP+PB 的最小值是（ ）“AP +k•PB ”型作法作图原理点A 、点B 为定点，点P 为BM 上一点，求“PA +k ·PB ”的最小值．作∠MBN ，使得sin ∠MBN = k ，过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ ，求“PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即 A 、P 、Q 三点共线时最小。
点到直线，垂线段最短“PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即 A 、P 、Q 三点共线时最小。
A ．2B ．3C ．62D ．2【例2】（2020•安溪县一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B （0，﹣3），若P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连结PD ，则2PD +PC 的最小值是（ ）A ．4B ．2+22C ．22D ．32+232【例3】（2020•湘西州）已知直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的一个交点为A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM =12S △ACE 时，求m 的值；（3）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b +12，当2AM +2DM 的最小值为2724时，求b 的值．【例4】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△COD 关于CD 的对称图形为△CED（1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）连接AE ，若AB =6cm ，BC =5cm①求EAD sin 的值②若点P 为线段AE 上一动点（不与点A 重合），连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1cm /s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5cm /s 的速度沿线段PA 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动，当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间【例5】如图，在△ACE 中，CA =CE ，︒=∠30CAE ，B e O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上（1）试说明CE 是Be O 的切线（2）若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示Be O 的直径AB（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当OD CD 21的最小值为6时，求Be O 的直径AB 的长变式练习：1．（2018春•鼓楼区期中）已知：A （﹣1，0），C （0，3）在y 轴上选一点P ，使AP +12PC 最短，则P 点坐标为（ ）A ．（0，32）B ．（0，34）C ．（0，35）D ．（0，33）2．（2019•灞桥区校级一模）如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC =3，E 为线段AB 上一动点，连接CE ，则12AE +CE 的最小值为 ．3．（2020•金台区校级模拟）如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，则AM +12BM 的最小值为 ．4．（2020秋•锦江区校级期中）如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P．（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+2E'B的最小值．35．（2020•岳阳二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．CF的最小值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+226．（2020•乐山）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为，如图所示．抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD=43（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；PC+PB的最小值．②连结PB，求357．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B （1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；OQ的最小值．②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14模块二：阿氏圆前面我们说过胡不归的模型，事实上阿氏圆的模型与其是非常相似的，我们知道“PC kPD +”型中当P 点运动轨迹是直线的时候，他就是胡不归模型。
中考最值系列之胡不归问题
最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P A +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“P A +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型． 【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？2驿道【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．2MN【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．NM将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．MN【模型总结】在求形如“P A+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“P A+kPB”型问题转化为“P A+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．【2019长沙中考】如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD 的最小值是_______．ABCDE【分析】本题关键在于处理”，考虑tan A =2，△ABE三边之比为1:2sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H点，则DH ． HEDC BAABCDEH问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H共线时值最小，此时CD DH CH BE +===．【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：EDCB则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．αsin α=55HEDCBAEDCB【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB 的最小值等于________．A B CD P【分析】考虑如何构造”，已知∠A=60°，且sin60°，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得PH=，将问题转化为：求PB+PH最小值．MHPD CBA当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．A BCD PHM【2014成都中考】如图，已知抛物线()()248ky x x =+-（k 为常数，且k >0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ． （1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A （-2,0），B （4,0），D点坐标为(-，故抛物线解析式为)()24y x x =+-，化简为：2y =问题，此处略去了该题的第二小问．点M 运动的时间为12AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即求12AF DF ⎛⎫+⎪⎝⎭的最小值．接下来问题便是如何构造2DF，考虑BD 与x 轴夹角为30°，且DF 方向不变，故过点D 作DM ∥x 轴，过点F 作FH ⊥DM 交DM 于H 点，则任意位置均有FH =2DF． 当A 、F 、H 共线时取到最小值，根据A 、D 两点坐标可得结果．【2018重庆中考】抛物线2y x =x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）【分析】根据抛物线解析式得A ()-、B )、C (，直线AC的解析式为：y =+AC 与x 轴夹角为30°． 根据题意考虑，P 在何处时，PE +2EC 取到最大值．过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H 点，则∠CEH =30°，故CH =2EC，问题转化为PE +CH 何时取到最小值．考虑到PE 于CH并无公共端点，故用代数法计算，设2,P m ⎛- ⎝，则E m ⎛ ⎝，H ⎛ ⎝，2PE =-，CH =，22=PE CH m +=+sin ABE ∠=当P点坐标为(-时，取到最小值，故确定P 、C 、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．。
动态几何之胡不归阿氏圆,旋转相似问题
“胡不归”“阿氏圆”及旋转相似一、胡不归型【背景知识】有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。
人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。
（如下图）A是出发地，B是目的地；A C是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。
为了急切回家，小伙子选择了直线路程A B 。
但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。
如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。
那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在A C上选定一点D ，小伙子从A走到D ，然后从D折往B ，可望最早到达B 。
用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为，在沙地上行走的速度为，即求的最小值.例题1、如图，P 为正方形A B C D对角线B D上一动点，若A B ＝2，则A P ＋B P ＋C P 的最小值为_______解析：∵正方形A B C D为轴对称图形∴A P =P CAB CD P∴A P+B P+C P=2A P+B P=∴即求的最小值接下去就是套路我们要构造一个出来连接A E，作∠D B E=30°，交A C于E，过A作A F⊥B E，垂足为F 在R t△P B F中，∵∠P B F=30°∴由此我们把构造出来了∴的最小值即为A F线段的长∵∠B A E=45°，∠A E B=60°∴解直角△A B E，得A O=B O=，O E=，O B=根据面积法，·=·求出A F=（此外本题费马点亦可）例题2图1图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（＜1）第二步：在P B的一侧，P A的异侧，构造一个角度，使得s i n=第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经______小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)练习2练习4如图，△A B C在直角坐标系中，A B=A C，A（0，2），C（1，0），D为射线A O上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在A D上的运动速度是在C D上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______练习5如图，菱形A B C D的对角线A C上有一动点P，B C=6，∠A B C=150°，则线段A P+B P+P D的最小值为．练习6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+b x+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接P D，则P B+P D的最小值为；练习7如图，在△A C E中，C A=C E，∠C A E=30°，⊙O经过点C，且圆的直径A B在线段A E上．（1）试说明C E是⊙O的切线；（2）若△A C E中A E边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径A B；（3）设点D是线段A C上任意一点（不含端点），连接O D，当C D+O D的最小值为6时，求⊙O的直径A B的长．二、阿氏圆型阿氏圆也是形如的形式（＜1）最终还是化分为整。
胡不归和阿氏圆数学模型
胡不归和阿氏圆数学模型
胡不归和阿氏圆数学模型是由胡不归与阿氏共同提出的一个数学
模型。
该模型用于描述和分析物体在胡不归的假设条件下的运动轨迹。
其中，胡不归的假设条件是指物体在运动过程中受到的外部力可以忽
略不计，即在理想的情况下进行研究。
而阿氏圆则是由阿氏提出的一
个圆形轨迹模型，用于描述物体在惯性系下的运动轨迹。
在该模型中，胡不归和阿氏假设物体在运动过程中不受外力作用，因此物体会沿着一个圆形轨迹进行运动。
这个圆形轨迹被称为阿氏圆。
胡不归和阿氏通过对物体运动的分析和计算，得出了一些关于运动轨
迹的重要结论。
根据该模型，物体在阿氏圆上的运动满足某些特点。
首先，在给
定的时间段内，物体在阿氏圆上的运动速度是恒定的。
其次，在同一
圆上不同位置的物体所处的时间间隔是相等的。
最后，在阿氏圆上的
任意两点之间，物体所经过的弧长与圆心之间的夹角成正比。
胡不归和阿氏圆数学模型在物体运动的研究和应用中具有重要的
意义。
通过这个模型，我们可以更加深入地理解物体在惯性系下的运
动特点。
同时，该模型也能够为我们提供一种计算物体运动轨迹和速
度的方法，从而对各种相关问题进行分析和解决。
总的来说，胡不归和阿氏圆数学模型为我们提供了一种简单而有
效的描述物体运动的工具，为物理学和工程学的发展做出了重要贡献。
胡不归-阿氏圆问题修改版
胡不归-阿氏圆问题已知定点A 、B ，要求找一点P ，使aPA+PB 值最小(a 为大于0且不为1的常数)；点P 在直线上运动型称为“胡不归”问题，点P 在圆周上运动型称为“阿氏圆”问题.1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.垂线段最短；构造出新的线段，使其等于aPA ；构造方法：1.作∠α，使sin α=a ；一般a=21、22和23时，作相应30°、45°和60°角，构造出特殊直角三角形；2.构造三角形与已知三角形相似，借助相似比将aPA 转化；注意：一般系数a 满足0＜a ＜1时直接构造；a ＞1时需要先提取系数，如PA+2PB=2（21PA+PB ），PA+2PB=2（22PA+PB ）.一．胡不归问题1.构造含特殊角的直角三角形，将“aPA ”转化已知：如图，A 为直线l 上一点，B 为直线外一点；要求：在直线l 上找一点P ，使得21PA+PB 最小.【分析】利用sin30°=21构造出PH=21PA ，当B 、P 和H 共线时，PH+PB 取得最小值BH ，又当BH ⊥AH 时，BH 取得最小值【解答】过点A 作射线AM ，使∠A=30°（B 、M 位于l 异侧），过点B 作BH ⊥AM 于H ，交直线l 于点P ， 则点P 即为所求，此时21PA+PB 最小，最小值即为 线段BH 的长.问题概述方法原理解题思路【小结】1.构造方法可总结为：一作角，二作垂线；2.系数a 为22、23时，作45°和60°角.典型例题1-1（1）如图1，直线y=x-3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为x 轴上一动点，连接PB ，当P 点坐标为_________时，21PA+PB 取得最小值，最小值为__________；（2）如图2，直线y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为y 轴上一动点，连接PA ，当P 点坐标为________时，2PA+√2PB 取得最小值，最小值为_________.图1 图2【分析】（1）根据模型构造出21PA 找出P 点，借助含30°角的直角三角形解出OP 长和BH长，从而求出P 点坐标和21PA+PB 的最小值；（2）2PA+√2PB=2（PA+22PB ），与（1）类似的方法求解.【解答】（1）如图，过点A 作射线AC ，与y 轴正半轴交于点C ，使∠OAC=30°，过点B 作BH ⊥AC 于H ，交x 轴于P ，则PH=21PA ，此时12 PA+PB 取得最小值，即为BH 长；已知∠OBP=30°， ∴OP=3OB =3,则P （3，0）又OC=3OA =3，∴BC=3+3，∴BH=23BC=2333+，即12PA+PB 的最小值为2333+；（2）如图，过点B 作射线BC ，与x 轴的正半轴交于点C ，使∠OBC=45°，过点A 作AH ⊥BC 于H ，交 y 轴于点P ，此时2PA+√2PB 取得最小值，∵∠BCO=45°，∴AH=√22AC=2√2，∴2PA+√2PB=2AH=4√2，又OP=OA=1，∴P （0，1）；即当P 点坐标（0，1） 时，2PA+√2PB 取得最小值42.【小结】 1.作角时，以定点、定边向“异侧”作射线；2.（2）中提取系数2之后，答案的最小值不要忘记乘2.典型例题1-2如图，P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，AB ＝2，则AP ＋BP ＋CP 的最小值为（ ）A ．2＋5B ．2＋6C ．4D ．32【分析】由于AP=CP ，AP ＋BP ＋CP=2AP+BP=2（PA+21PB ），从而转化为胡不归模型，结合特殊直角三角形和等面积法可解出该最小值.【解答】∵正方形ABCD 为轴对称图形，∴AP=PC ，∴AP+BP+CP=2AP+BP=2（PA+21PB ），∴即求PA+21PB 的最小值，连接AE ，作∠DBE=30°，交AC 于E ，过A 作AF ⊥BE ， 垂足为F ，在Rt △PBF 中，∵∠PBF=30° ，∴PF=21PB ， ∴PA+21PB 的最小值即为AF 长，易得∠PAO=30°， ∴OP=3AO=36，AP=2OP=362，BP=OB-OP=2-36， ∴PF=21BP=22-66，∴AP+PF=262 ，AP+BP+CP 的最小值为2＋6 ，故选B.【小结】1.求解AF 也可放到△ABE 中，用等面积法计算；2.点P 为△ABC 的“费马点”，感兴趣的读者可查阅相关资料.变式训练1-1如图，一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A ，距离公路5千米的地方有一居民点B ，A 、B 的直线距离是13千米.一天，居民点B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经 小时可到达居民点B.(消防车可从公路的任意位置进入草地行驶)135lBA变式训练1-2如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC ＝6，∠ABC＝150°，则线段 AP ＋BP ＋PD 的最小值为___________2.构造相似三角形，借助相似比将“aPA ”转化 典型例题2-1如图，△ABC 在直角坐标系中，AB=AC ，A （0，22）， C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为线段AD 、DC ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为_______ 【分析】设CD 上速度为v ，AD 上速度为3v ，则全程时间t=v CD vAD+3=)(311CD AD v +，当31AD+CD 最小时，总时间最少；分析条件知CO=31AC ，过点D 作DH ⊥AC 于H ，构造△ADH 和△ACO 相似，则DH=31AD ，又CD=BD ，则需DH+BD 最小，此时B 、D 、H 共线且BH ⊥AC ，借助相似易得点D 坐标.【解答】如图，作DH ⊥AC 于点H ，交AO 于D ，此时整个运动时间最少，易证△BOD ∽△AOC ，则OAOB OC OD ==221，∴OD=221OC =42，∴D （0，42）【小结】1.首先表示出时间和各段路程的关系；2.找出图中含有两边之比等于系数a 的三角形；3.构造相似三角形求解.变式训练2-1如图，抛物线y=﹣x 2+x+3与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求直线BD 的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，当△DQB 面积最大时，在x 轴上找一点E ，使QE+EB 的值最小，求E 的坐标和最小值．二．阿氏圆问题一般构造“子母”型相似三角形，借助相似比将“aPA ”转化典型例题3-1如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D 为直角边AC 上一 点，且CD=2，将CD 绕着点C 顺时针旋转α（0＜α＜90°），D'为 点D 的对应点，连接AD'和BD'，则AD'+21BD'的最小值是________. 【分析】D'在以C 为圆心，半径为2的圆弧上运动，△CD'B 中，CD'=21BC ，据此在CB 上截取CF=21CD'=1，构造△CFD'∽△CD'B ，将21BD'转化为D'F ，即求AD'+D'F 的最小值，A 、D'、F 共线时其值最小，由勾股定理易求该值.【解答】在线段CB 上截取CF=21CD'=1，∴21==''CBD C D C CF ，又∵∠FCD'=∠D'CB ，∴△CFD'∽△CD'B ，∴21=''B D FD ,即D'F=21BD'，要使AD'+21BD'最小，则需AD'+D'F 最小，此时A 、D'、F 三点共线，AD'+D'F 的最小值即为AF 长，在Rt △ACF 中， AF=22CF AC +=2213+=10， 即AD'+21BD'的最小值是10.变式训练3-1如图1，抛物线y=ax 2﹣6ax+6（a ≠0）与x 轴交于点A （8，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜8），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）分别求出直线AB 和抛物线的函数表达式．（2）设△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，若S 1：S 2=36：25，求m 的值．（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ． ①在x 轴上找一点Q ，使△OQE ′∽△OE ′A ，求出Q 点坐标．②求BE ′+AE ′的最小值.变式训练3-2在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），C（0，4），D（3，2），P是△AOC外部的第一象限内一动点，且∠CPA﹦135°，则2PD﹢PB的最小值是．1.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠A=30°，点D是弦AC上的一点，动点P从点C沿CA以2cm/s的速度向点D运动，再沿DO以1cm/s的速度向点O运动，设点P在整个运动过程中的时间为t，则t的最小值是s．2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其对称轴与x轴交于点D。
高中数学 胡不归与阿氏圆
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取k去构造某角的正弦值等于或等于)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。
11。
胡不归+阿氏圆(学生版)
（一）最短路径--------点P 在直线上运动------“胡不归”问题（PA+k·PB 型）如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P 为角∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P 作PQ⊥BN 垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q 三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
“胡不归”一般解题步骤：构造新的线段，使其等于k ·PB.Ps ：一般系数k 满足0＜k ＜1时直接构造，若k ＞1时，需要先提取系数，如”PA+2PB=2(21PA+PB).【例题精讲】1.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD（不含B 点）上任意一点,则AM+21BM 的最小值为___________.2.图1,抛物线与x 轴交于A(−1,0),B(3,0),顶点为D(1,−4)，点P 为y 轴上一动点。
(1)求抛物线的解析式；(2)在BC 下方的抛物线上，是否存在异于点D 的点E ，使S 三角形BCE=S 三角形BCD ？若存在，求出E 的坐标；(3)如图2,点M(−32,m)在抛物线上,求MP+22PC 的最小值。
3.如图,抛物线y=1/2x2+mx+n 与直线y=−1/2x+3交于A,B 两点,交x 轴于D,C 两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下：(1)P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似?若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
备战中考数学二轮专题归纳提升真题线段最值问题—胡不归问题和阿氏圆问题
专题07 线段最值问题（2）——胡不归问题和阿氏圆问题【问题引入】在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．【题型一——胡不归问题】【模型介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）【模型建立】【问题】点A 为直线l 上一定点，点B 为直线外一定点，P 为直线l 上一动点，要使√22AP ＋BP 最小．【作法】过点 A 作∠NAP ＝45°，过点 P 作 PE ⊥AN ，在直角三角形中将√22AP 转化为 PE ，使得√22AP ＋BP ＝PE ＋BP ，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求 BF 的长度．【解题关键】在求形如“PA+kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA+kPB ”型问题转化为“PA+PC ”型．注意：而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【典型例题】【例1】如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，那么：（1）AE=_______．（2）CD +√55BD 的最小值是_______．【答案】（1）2√5（2）4√5【解析】解：（1）∵tanA=2，BE ⊥AC∴BE AE =2∴设AE=x ，BE=2x∴x 2+(2x )2=102∴x =2√5（2）如图，作DF ⊥AB 于点F ，CH ⊥AB 于点H∵AE=2√5，AB=10∴AE AB =2√510=√55 ∴sin ∠ABD =DF BD =√55 ∴DF=√55BD∴CD +√55BD =CD +DF∵当C 、D 、F 三点共线时，CD +DF 最小，即为CH∵AB=AC∴CH=BE由（1）知，BE=2AE=4√5∴CD +√55BD 的最小值时4√5【练1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝20，tanA=3，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD+√1010BD 的最小值是【答案】6√10【解析】解：如图，作DF ⊥AB 于点F ，CH ⊥AB 于点HAB C DE∵tanA=3，BE⊥AC，AB=AC=20∴BEAE =3∴设AE=x，BE=3x ∴x2+(3x)2=202∴x=2√10∴sin∠ABD=DFBD =√1010∴DF=√1010BD∴CD+√1010BD=CD+DF∵当C、D、F三点共线时，CD+DF最小，即为CH∵AB=AC∴CH=BE由（1）知，BE=3AE=6√10∴CD+√55BD的最小值时6√10【练2】如图，菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，边长为 3，P 是对角线 BD 上的一个动点，则12BP＋PC 的最小值是_______．【答案】3√32【解析】解：如图，作PM⊥AB于点M，CH⊥AB于点H∵四边形ABCD是菱形∴∠PBM=12∠ABC=30°∴PM=12PB∴12BP＋PC=PM+PC∵当C、P、H三点共线时，PM+PC最小，即为CH 在Rt△CBH中，CH=BC×sin60°=3√32∴12BP＋PC的最小值时3√32【练3】如图，平行四边形 ABCD 中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P 为边 CD 上的一动点，则PB +√32PD的最小值等于________．【答案】3√3【解析】解：如图，作PH⊥AD于点H∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∵∠DAB=60°∴∠HDP=60°∴sin∠HDP=√32∴PH=√32PD∴PB +√32PD=PB+PH∵当B、P、H三点共线时，PB+PH最小，即为BH在Rt△ABH中，BH=AB×sin60°=3√3∴12BP＋PC的最小值时3√3【题型二——阿氏圆问题】【模型介绍】所谓“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足PA=kPB的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
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“PA+k·PB”型的最值问题
【问题背景】
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;
2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【知识储备】
线段最值问题常用原理：
①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点间线段最短；
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
（216－56.52）÷216
≈0.738≈73.8％
“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取k去构造某角的正弦值等于或等于)
将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；
“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。
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