深圳中考专项练习-胡不归和阿氏圆教案
2020年九年级数学中考复习专题：胡不归和阿氏圆问题 教案设计(无答案)
2020年中考复习专题：“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACV2+BCV1的值最小【问题分析】AC V2+BCV1=1V1(BC+V1V2AC)，记k=V1V2，即求BC+kAC的最小值【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CHAC=k，CH＝kAC.将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC最小.【模型总结】在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PH+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BEBD的最小值是上的一个动点，则CD+√55【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB＝6，BC=2，P为边CD上PD的最小值等于的一动点，则PB+√32【2014成都中考】如图，已知抛物线y＝k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝−√33x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?【2018重庆中考】抛物线y=−√66x2−2√33x+√6与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+12EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。
胡不归+阿氏圆(学生版)
（一）最短路径--------点P 在直线上运动------“胡不归”问题（PA+k·PB 型）如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P 为角∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P 作PQ⊥BN 垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q 三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
“胡不归”一般解题步骤：构造新的线段，使其等于k ·PB.Ps ：一般系数k 满足0＜k ＜1时直接构造，若k ＞1时，需要先提取系数，如”PA+2PB=2(21PA+PB).【例题精讲】1.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD（不含B 点）上任意一点,则AM+21BM 的最小值为___________.2.图1,抛物线与x 轴交于A(−1,0),B(3,0),顶点为D(1,−4)，点P 为y 轴上一动点。
(1)求抛物线的解析式；(2)在BC 下方的抛物线上，是否存在异于点D 的点E ，使S 三角形BCE=S 三角形BCD ？若存在，求出E 的坐标；(3)如图2,点M(−32,m)在抛物线上,求MP+22PC 的最小值。
3.如图,抛物线y=1/2x2+mx+n 与直线y=−1/2x+3交于A,B 两点,交x 轴于D,C 两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下：(1)P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似?若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
中考专题 阿氏圆专题(解析版)
阿氏圆专题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型建立】如图 1 所示，⊙O 的半径为R ，点 A 、B 都在⊙O 外 ，P 为⊙O 上一动点，已知R=25OB ，连接 PA 、PB ，则当“PA+25PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC 使 OC=25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有25PB=PC 。
故本题求“PA+25PB ”的最小值可以转化为“PA+PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当 A 、P 、C 三点共线时，“PA+PC ”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM△△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④= EABC DP例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，△C 的半径为10,点B 在△C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5. 变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，△AB＝BD＝4，BD是切线，△△ABD＝90°，△BAD＝△D＝45°，△AB是直径，△△APB＝90°，△△P AB＝△PBA＝45°，△P A＝PB，PO△AB，△AC＝PO＝2，AC△PO，△四边形AOPC是平行四边形，△OA＝OP，△AOP＝90°，△四边形AOPC是正方形，△PM＝PC，△PC+PD＝PM+PD＝DM，△DM△CO，△此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，△B的半径为2，P是△B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：△如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．△PB2＝4，BE•BC＝4，△PB2＝BE•BC，△＝，△△PBE＝△CBE，△△PBE△△CBE，△＝＝，△PD+PC＝PD+PE，△PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，△PD+PC的最小值为5．△连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF △BC 于F ．△PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，△BP 2＝BE •BD ，△＝，△△PBE ＝△PBD ，△△PBE △△DBP ， △＝＝，△PE ＝PD ，△PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），△PE +PC ≥EC ，在Rt△EFC 中，EF ＝，FC ＝，△EC ＝，△PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152．AB CDPABCDP MMPDCBAABCDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，△B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．△＝＝，＝＝，△＝，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△＝＝，△PG＝PC，△PD+PC＝DP+PG，△DP+PG≥DG，△当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．△PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF△BC于F．△＝＝2，＝＝2，△＝，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△＝＝，△PG＝PC，△PD+PC＝DP+PG，△DP+PG≥DG，△当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，△DCF＝60°，CD＝4，△DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝△PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴=，∵=，∴=，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴=，∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=，∴5（p+2）2=，∴p=或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==，即：AM+CM=．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM△AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y ＝0，则ax 2+（a +3）x +3＝0， △（x +1）（ax +3）＝0，△x ＝﹣1或﹣，△抛物线y ＝ax 2+（a +3）x +3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0）， △﹣＝4，△a ＝﹣．△A （4，0），B （0，3）， 设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，则，解得，△直线AB 解析式为y ＝﹣x +3．（2）如图1中，△PM △AB ，PE △OA ，△△PMN ＝△AEN ，△△PNM ＝△ANE ，△△PNM △△ANE ，△＝，△NE △OB ，△＝，△AN ＝（4﹣m ），△抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +3，△PN ＝﹣m 2+m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，△＝，解得m ＝2．（3）如图2中，在y 轴上 取一点M ′使得OM ′＝，连接AM ′，在AM ′上取一点E ′使得OE ′＝OE ． △OE ′＝2，OM ′•OB ＝×3＝4， △OE ′2＝OM ′•OB ， △＝，△△BOE ′＝△M ′OE ′，△△M ′OE ′△△E ′OB ， △＝＝，△M ′E ′＝BE ′，△AE ′+BE ′＝AE ′+E ′M ′＝AM ′，此时AE ′+BE ′最小 （两点间线段最短，A 、M ′、E ′共线时）， 最小值＝AM ′＝＝．1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22的最小值.[答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA+PB的最小值为________.[答案]：3. 如图，等边⊙ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.[答案]：2.4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C的半径为2，点P是C上的一动点，则12 AP PB的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A，()0,2B，()4,0C，()3,2D，P是△AOB外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC+的最小值是多少？[答案]6. 如图，Rt△ABC，△ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC△△AFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，△四边形CDEF是正方形，△CF＝CD，△DCF＝△ACB＝90°，△△ACF＝△DCB，△AC＝CB，△△FCA△△DCB（SAS）．（2）解：△如图2中，当点D，E在AB边上时，△AC＝BC＝2，△ACB＝90°，△AB＝2，△CD△AB，△AD＝BD＝，△BD+AD＝+1．△如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，△BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．△CD＝，CM＝1，CA＝2，△CD2＝CM•CA，△＝，△△DCM＝△ACD，△△DCM△△ACD，△＝＝，△DM＝AD，△BD+AD＝BD+DM，△当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；△AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，△AE＝AD，△AB＝AC，△A＝△A，AD＝AE，△△BAD△△CAE（SAS），△BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．△P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，△P A2＝AE•AD，△＝，△△P AE＝△DAP，△△P AE△△DAP，△＝＝，△PE＝PD，△PC+PD＝PC+PE，△PC+PE≥EC，△PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝6，DE＝，△EC＝＝，△PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．△MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，△MA2＝AE•AE，△＝，△△MAE＝△DAM，△△MAE△△DAM，△＝＝＝，△ME＝MD，△MC+MD＝MC+ME，△MC+ME≥EC，△MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，△EC＝＝2，△MC+MD的最小值为2．。
深圳中考专项练习-胡不归和阿氏圆学案
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1图1-1-2图1-1-3思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
2023年九年级数学中考专题复习——最值问题(将军饮马,胡不归,阿氏圆)
牛吃草最值问题：1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为．2.如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 周长的最小值为.3.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上一动点,点N(6,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 中点,∠AOB=30∘，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为.4.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠CAB=30º， BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为 ．5.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．N M O P B A Ay6.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =．7.矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为8.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且＝，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为三角形条件及隐圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是.N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)O y x F D C B A x y O E F D C B A x y O E2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．4.如图，AB为直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF＝6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF 绕O点旋转时，CD的最小值为________8.如图，点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____10.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________11.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、12.如图，已知直线y=34PB．则△PAB面积的最小值是_____．13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是15.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕着点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE ＝17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为18.在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是19.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝20..如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC 的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为．5.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为6.已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接DE，以DE 为边在DE 右侧作等边三角形DEF．设△DEF 的中心为O，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图3则 k·PB = PB·sin∠MBN = PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小．1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+1BM的最小值为．22.在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上AM的最小值．一动点，求CM+122.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+1BP的最小值为．2旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为___________．2.如图，线段AB为⊙O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在⊙O上运动，连接CP，以CP为一边向上作等边△CPD，连接OD，则OD的最大值为___________．3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RT△CPD，连接BD，则BD的最小值为____________．5..如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，连接OC，则OC的最小值为__________6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．8.如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作．则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE=252的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=-x 于点N．若点P 是线段ON 上9.如图，点A 是第一象限内横坐标为3的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在△ABC 中，AB=AC=32，∠BAC=120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE ，则DE 的长为_____．2.在四边形ABCD 中，AD=4，CD ＝3，∠ABC=∠ACB ＝∠ADC=45°，则BD 的长为；3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF=2，EF=22，则BC 边的长为____________．A D CB E FDE CB A4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为5.如图，在△ABC中,∠ABC＝30°，AB＝4 ,BC＝5 , P是△ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为．。
2020年深圳中考数学压轴题专题总结----胡不归问题总结(word版)
2020年深圳中考数学压轴题专题总结----胡不归问题为了方便同学们掌握，以下为简化版胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
例题精讲例1、如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan ∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【解答】解：过点E作y轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，∴tan∠HED=tan∠EBA==，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间==4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s 速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH的最小值为AQ的长，当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO==，∴OC=4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为y=﹣x+4，解方程组得或，则E 点坐标为（﹣，），∴AQ=，∴蚂蚁从A 爬到G 点的时间==（s ），即蚂蚁从A 到E 的最短时间为s ．故答案为．例2、如图，已知抛物线)4)(2(8-+=x x k y （k 为常数，且0>k ）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-=33与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止。
中考数学胡不归与阿氏圆模型讲解及例题
a=45时， BC 2 AC BC CD BD ；a=30时， BC 1AC BC CD BD22两定一动求最值，最终用垂线段最短来求解阿氏圆-两点之间线段最短构造S ΓMC Sd BpC »51^..∙.CΛΓ=J x炉枝・孔"・与WlU 交点HP 刃点" “亠 fP CJ ΛfPMff9 ・■■• • CRCPRP做中字宁中做• ：/>” -J 4~Z ><"点P 刃99匕—必点•詩BP. ・，p*t^⅛Ci ∣lli⅜ BJ«2B>« 2R3Λ0≡K第S 步.【焜示】9522tχ »3«>.斗歩： 笫3F二做中学穿中做•・.PM BP构UrM Szf 次" 9il»Znr rc在BC 上职点3. 快得∙^∙—L rnr J.∙. HM Ii⅛tt<5f ・ ⅛M M 3⅛Z∙J ΨΛA∕∙・PM 」2.:ΛM+ £ PO-Af^PM^JS必诗u.尸.M 三点火SeN 玄小.颠Λff ・ HyNr 中./刀■ W • an■ r∙zr匕在 Q»f Z m■小佢Q C梅系澈不为（的绒段的站个蠟点分别 T例心匕Hlil；接・连接C". CB,il ≡HiMΛtfc[ftc∕>. C"长皮8 辻卸这两务找段长度的比：：C .r>~ . Cr 1座CIr上収点Λ*∙ KfW VP 一2桥耒数不为f的电耳曲跆个* 口分别∖UIQ"4H述牍・嗖按〃化HC I il ΛM I WΛ(⅛WΛ∕F・"ciC∕θ½EP/〒it Mix∣*∣*ten κj(r r∣比十T .年CtRJ AΛYK-換第MJBO如四，在RuMC中，NA5 ・9(f^ ,AC-BC- 2 9以於2为顶点的正方用9DEF(C. D、E. F四个頂点按逆时针方向拮列》可以绕点C 自由恰动，且CD■返•连接—IiD.在证方形CDEF施籽过和中∙Bl)D2∕JK]:^j∩ΛCDM ^ΛCΛD Bl*.Λ2*≡^r r∙7∙r74rΓ'fe<*Λ¾Λ4^;的UBlr) H⅜ 个Ml 点分JMWiR∙DCWIFM： .JrlrCiW C2>. 汁Je川两条GW<∕>ιscfv sCD 2itJtlXRMβBWβ:/V的血K■厶T ；CM J2&d卜圾攻H.位够7齐■：..ev h»>r∕Mr.^MI<∙ ΛWΛΛ∕>.,CD CM DM√5・— ------- ----- ■ ——■・■eι CJ>yj.t∕>.W- — ^z>S∙ f “― 职W、z>. Λ/ Xtyy僅"・【盘WJlW?、5】・.，做中T r G做R厠劝XoyΛ" SM <Λ 1 /»第■步•g步■ 弟*步=宋••海5C兰珈=Z>桁系＜&不％MM J侦Bt旳网TaX点分別耳剧心LfH ⅛fR ,崔渍6"r?Z>；卄XHlFr 条tfcWl<Λ<. O∕>UΛ*it ∙F⅛∙*⅛Λe⅛wLκ^αft9 比ON J"≡"≡ββCP 2在QMfl9莊匸:级上lRΛCΛr・使御.-.OV釜J^*⅛U.VJ ,⅛Mc ⅛f/Λttp 为点"・CA-IOPOF 1「—■ ■”■ IIt 一■—OM R^f 2..Λ-<y*∙√∙z/ mru 135当■、几M三舄其曲MB小.金上AM「存.<≡><∙丹尸Λτ>fr2 ・AnFGX•上旳动点・x⅛ A ∕≠MC上∙CH-I .经Att .3、"&■ Λff-.m 2D匕的娠小俏[ _________________________________ S SfiB示】:B. O. M三τ≡HαtHgfi⅛<M .【窓兀认1上乐7】<fc∕A7∙ □JU∕V G" 圧为C的IF力用"5 内/W A^Λ⅛• /忖-・？• ∙W∕y IZ、的最小伯・I ISzRlD O n：1 ⅛{⅛*"T∙rςr ,⅛^滋貫口乎手匚门伪CQ 2 CΛf Z>M C∙l ~ √ " O 一 "QCQ 2€：H 47> >Γ- [ 17> CZ S Z?Z S€./> Hn> Hn 2ΠE。
婆罗摩笈多、胡不归、阿氏圆——中考几何穿云箭4大专题
婆罗摩笈多、胡不归、阿氏圆——中考几何穿云箭4大专题
婆罗摩笈多、胡不归、阿氏圆，这些名词对于一般的学生确实比较陌生，但是你要问一下学霸，保证给你说得一套一套的。
今天介绍几个比较综合难度较大的几何模型专题：
①平分面积：通过面积之间的等量代换，解决直线平分图形面积的问题。
②胡不归：通过作辅助线构造直角三角形，根据直角三角形中的边角关系转化线段，运用垂线的性质解决线段和的最小值问题。
③阿氏圆：构造共边共角型（母子型）相似模型，运用相似三角形的判定与性质将线段进行转化，根据“两点之间，线段最短”及勾股定理解决两线段和或差的最值问题。
④婆罗摩及多：（以印度数学家命名的）通常运用全等（相似）三角形的判定与性质，已知中点证垂直或已知垂直证中点。
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“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1图1-1-2图1-1-3思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
【模型初探】（二）点P 在圆上运动“阿氏圆”问题如图所示2-1-1，⊙O 的半径为r,点A 、B都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点，已知r=k ·OB.连接PA 、PB ，则当“PA+k ·PB ”的值最小时，P点的位置如何确图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图2-1-2）在线段OB 上截取OC 使OC=k ·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k ·PB=PC 。
∴本题求“PA+k ·PB ”的最小值转化为求“PA+PC ”的最小值，即A 、P 、C 三点共线时最小（如图2-1-3），本题得解。
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA=k ·PB （k ≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；第三步：计算这两条线段长度的比OP k=；OB第四步：在OB上取点C，使得OC OP=；OP OB第五步：连接AC，与圆O交点即为点P．①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角（k=sin ∠CAE ）--------过终点作所构角边的垂线----------利用垂线段最短解决问题②“阿氏圆”构造共边共角型相似即：半径的平方=原有线段 构造线段构造△OPC∽△OBP，OP 2=OB·OC1．(胡不归问题)如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则AM+12BM 的最小值为.分析：如何将12BM 转化为其他线段呢？即本题k 值为12即转化为30°角的正弦值。
思考到这里，不难发现，只要作MN 垂直于BC ， 则MN=12BM ，即AM+12BM 最小转化为AM+MN 最小，本题得解。
详解：如图，作AN ⊥于BC 垂足为N, ∵四边形ABCD 是菱形且∠ABC=60°， ∴∠DBC=30°， 即sin ∠DBC=12=MNBM， ∴12BM=MN ，∴AM+12BM=AM+MN ，即AM+12BM 的最小值为AN. 在RT △ABN 中，AN=AB ·sin ∠ABC=6=∴AM+12BM 的最小值为变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM ”的最小值你会求吗？(2) 本题如要求“AM+BM+CM ”的最小值你会求吗？ 答案：（1）2）BD=2（AM+1/2BM)2AM+BM2．(阿氏圆问题) 如图，点A 、B 在☉O 上，且OA=OB=6，且OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，且OD=4，动点P 在☉O 上，则2PC PD +的最小值为__________． 分析：如何将2PC 转化为其他线段呢？ 不难发现本题出现了中点，即2倍关系 就出现了。
套用“阿氏圆”模型：构造共边共角相似半径的平方=原有线段⨯构造线段 详解：∴连接OP,在射线OA 上截取AE=6. 即：2OP OC OE =⨯ ∴△OPC ∽△OEP∴2PE PC =∴2PC PD PE PD +=+,即P 、D 、E 三点共线最小. 在即2PC PD +的最小值为变式思考：(1)本题如要求“1PC PD 2+”的最小值你会求吗？(2) 本题如要求“3PC PD 2+”的最小值你会求吗？答案：（1）2）=1/2（2PC+PD)（构造子母相似三角形）【变式训练】(胡不归问题)1.如图，等腰△ABC 中，AB=AC=3，BC=2，BC 边上的高为AO ，点D 为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD-DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=时，运动时间最短为 秒. 2.如图，在菱形ABCD 中，AB=6，且∠ABC=150°，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PA+PB+PD 的最小值为 .答案：本题也可用“费马点”模型解决哦！！！（=1/3AD+CD)=PA+2PB=2(1/2PA+PB)【中考真题】(胡不归问题)1.（2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。
若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PDPB+21的最小值为。
=sin30PB+PD 2.（2014.成都）如图，已知抛物线2)(4)y x x=+-与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线y x=D（-5，。
设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为时，点M在整个运动过程中用时最少？，(-课外提升：2015日照、2015内江、2016随州多个城市均在压轴题考察了“胡不归”问题。
要好好专研哦！！！(=1/2FD+AF=sin30FD+AF)(胡不归问题变式)【变式训练】(阿氏圆问题)2（3）.【拓展延伸】：已知扇形COD中，∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是CD上一点，则2PA＋PB的最小值为___________．13.2.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交X轴正半轴于点A，点M坐标为（6,3），点N坐标为（8,0），点P在圆上运动，求1的最小值PM PN2为____GO构造______．3.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值为__________．答案：5(2题提示：构造三角形OPN相似于OQP)(3题提示：构造三角形OPC相似于OQP)【中考真题】(阿氏圆问题)（2017·甘肃兰州）如图，抛物线2y x bx c与直线AB交于4,4A，0,4B两点，直线1:62AC y x交y轴与点C，点E是直线AB上的动点，过点E作EF x轴交AC于点F，交抛物线于点G.(1)求抛物线2y x bx c的表达式；(2)连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3)①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以,,,A E F H为顶点的四边形是矩形？求出此时点,E H 的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为E⊙上一动点，求12AM CM的最小值.答案：(1) y=﹣x2﹣2x+4；(2) G（﹣2，4）；(3)①E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②2．提示：利用距离相等0-x=x-(-4)C写在最后：“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取 k去构造某角的正弦值等于1k 或等于21kk)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。