2020年春胡不归与阿氏圆专题学习

“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。

【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。

图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3动态展示：见GIF格式！思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。

由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。

邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。

这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

【模型初探】（二）点P 在圆上运动 “阿氏圆”问题如图所示2-1-1，⊙O 的半径为r,点A 、B 都在⊙O外，P 为⊙O 上的动点，已知r=k ·OB.连接PA 、PB ，则当“PA+k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图2-1-2）在线段OB 上截取OC 使OC=k ·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k ·PB=PC 。

∴本题求“PA+k ·PB ”的最小值转化为求“PA+PC ”的最小值，即A 、P 、C 三点共线时最小（如图2-1-3），本题得解。

动态展示：见GIF 格式！【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA=kPB （k ≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；第三步：计算这两条线段长度的比OP k=；OB第四步：在OB上取点C，使得OC OP=；OP OB第五步：连接AC，与圆O交点即为点P．①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角（k=sin∠CAE）--------过终点作所构角边的垂线----------利用垂线段最短解决问题②“阿氏圆”构造共边共角型相似构造△PAB∽△CAP推出2=PA AB AC即：半径的平方=原有线段⨯构造线段1．(胡不归问题)如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则AM+12BM 的最小值为 .分析：如何将12BM 转化为其他线段呢？即本题k 值为12即转化为30°角的正弦值。

思考到这里，不难发现，只要作MN 垂直于BC ， 则MN=12BM ，即AM+12BM最小转化为AM+MN 最小，本题得解。

详解：如图，作AN ⊥于BC 垂足为N, ∵四边形ABCD 是菱形且∠ABC=60°， ∴∠DBC=30°， 即sin ∠DBC=12=MNBM， ∴12BM=MN ，∴AM+12BM=AM+MN ，即AM+12BM 的最小值为AN. 在RT △ABN 中，AN=AB ·sin ∠ABC=6=∴AM+12BM 的最小值为变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM ”的最小值你会求吗？(2) 本题如要求“AM+BM+CM ”的最小值你会求吗？答案：（1）2）本题也可用“费马点”模型解决哦！！！！----详见：本公众号前文！BD2．(阿氏圆问题) 如图，点A 、B 在☉O 上，且OA=OB=6，且OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，且OD=4，动点P 在☉O 上，则2PC PD +的最小值为__________． 分析：如何将2PC 转化为其他线段呢？ 不难发现本题出现了中点，即2倍关系 就出现了。

套用“阿氏圆”模型：构造共边共角相似半径的平方=原有线段⨯构造线段 详解：∴连接OP,在射线OA 上截取AE=6. 即：2OP OC OE =⨯ ∴△OPC ∽△OEP∴2PE PC =∴2PC PD PE PD +=+,即P 、D 、E 三点共线最小. 在即2PC PD +的最小值为变式思考：(1)本题如要求“1PC PD 2+”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“3PC PD 2+”的最小值你会求吗？答案：（1）2）【变式训练】(胡不归问题)1.如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC 运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD= 时，运动时间最短为秒.2.如图，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150°，点P是对角线AC上的一个动点，则PA+PB+PD的最小值为 .答案：本题也可用“费马点”模型解决哦！！！【中考真题】 (胡不归问题)1.（2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （-1，0），B （0，-3）、C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点D 。

若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为 。

2.（2014.成都）如图，已知抛物线2)(4)y x x =+-与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y x =D （-5，。

设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标为 时，点M 在整个运动过程中用时最少？，(- 课外提升：2015日照、2015内江、2016随州多个城市均在压轴题考察了“胡不归”问题。

要好好专研哦！！！(胡不归问题变式)【变式训练】(阿氏圆问题)2（3）.【拓展延伸】：已知扇形COD中，∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是CD上一点，则2PA＋PB的最小值为___________．13.2.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交X轴正半轴于点A，点M坐标为（6,3），点N坐标为（8,0），点P在圆上运动，求1的最小值PM PN2为__________．3.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值为__________．答案：5【中考真题】 (阿氏圆问题) （2017·甘肃兰州）如图，抛物线2y x bx c 与直线AB 交于4,4A ，0,4B两点，直线1:62AC yx 交y 轴与点C ，点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF x 轴交AC于点F ，交抛物线于点G . (1)求抛物线2yx bx c 的表达式；(2)连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；(3)①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以,,,A E F H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点,E H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E ⊙上一动点，求12AM CM 的最小值.答案：(1) y=﹣x 2﹣2x+4；(2) G （﹣2，4）；(3)①E （﹣2，0）．H （0，﹣1）；②2．写在最后：“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。

两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。

不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取 k去构造某角的正弦值等于1k 或等于21kk)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。