2018届高考数学艺术生短期集训专题知识突破：考点1 集合的概念与运算

考点一 集合的概念与运算 知识梳理 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋(或N*) Z Q R

(5)集合的分类 若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形． 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图

子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B (或B⊇A)

真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB

(或BA)

集合相等 集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集 A＝B 子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 3.全集与补集 (1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示； (2) 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 4.集合的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 5.集合关系与运算的常用结论 (1)子集个数公式：若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n

－1个，真子集有2n－1个． (2) A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．

(3)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) ． 典例剖析 题型一 集合的基本概念 例1 已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是 答案 5 解析 列表

根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个． 变式训练 已知集合A＝{0，1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有________个元素． 答案 6 解析 因为x－y∈A，∴x≥y． 当x＝0时，y＝0； 当x＝1时，y＝0或y＝1； 当x＝2时，y＝0，1，2. 故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}， 即集合B中有6个元素． 解题要点 研究集合问题，通常从代表元素入手，考查其所代表的是数还是点，如果代表元素是数x，则是数集，如果代表元素是数对(x，y)，则是点集．在列举集合的元素时可借助表格，或根据元素特征分类列举，列举时应做到不重不漏． 例2 设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a＝________. 答案 2

解析 因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，且由a在分母的位置可知a≠0， 所以a＋b＝0，则ba＝－1， 所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2. 变式训练 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． 答案 －32 解析 因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3. 当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3， 此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－32或m＝1(舍去)，

此时当m＝－32时，m＋2＝12≠3符合题意，

所以m＝－32. 解题要点 对于含字母参数的集合，应准确进行分类讨论，列出方程或方程组求出字母参数的值．需要特别注意的是，求出字母参数值后，还要检验是否违反了集合中元素的互异性． 题型二 集合间的基本关系 例3 集合A={－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有 个 答案 4 解析 根据题意，在集合A的子集中， 含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，－1}、{－1，0，1}，共四个. 变式训练 设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有 个

答案 6 解析 集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，其中一个奇数元素也没有的集合有两个：∅

和{2}，故满足要求的集合M共有8－2＝6(个)． 解题要点 解题关键是弄清符合题意的集合其元素应满足的条件．在元素较少时可以采取穷举法列出所有满足条件的集合． 例4 设，若，则a的取值范围是 ． 答案 解析 根据题意作图：

由图可知，，则只要即可，即a的取值范围是． 变式训练 已知集合2{|540},,,AxxxBaAB，则a的取值范围是 ． 答案 (4,)

解析 2{|540}1,4Axxx，∵，根据题意作图：

由图可知，只要即可，即a的取值范围(4,). 解题要点 对于这类用不等式表示的数集之间的包含关系时，常常借助数轴进行求解.在解题时应注意端点是否可以取到.

题型三 集合的基本运算 例5 已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．

答案 5 解析 A∪B＝{1,2,3,4,5}，共有5个元素.

变式训练 已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于________． 答案 {－1,0,1,2} 解析 A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，B为整数集，A∩B＝{－1,0,1,2}. 解题要点 求解集合交、并首先应对各个集合进行化简，准确弄懂集合中的元素，求并集时相同的元素只算一个． 例6 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B) ＝________．

答案 {x|0解析 ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}， ∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，

在数轴上表示如图． ∴∁U(A∪B)＝{x|0变式训练 已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则A∪B＝________． 答案 R 解析 ∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2. ∴集合A与B可用数轴表示为：

由图象可以看出A∪B＝R． 解题要点 集合的基本运算是历年高考的热点，常与不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，解题时先求出各个集合，然后借助数轴求交并是基本方法．

当堂练习 1. 已知集合{1,2,3,4}U,集合={1,2}A,={2,3}B,则()UABð________． 答案 {4} 解析 因为A∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,3,4}，所以ðU(A∪B)＝{4}． 2．若集合M={－1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于________． 答案 {0，1} 解析 由集合M={－1，0，1}，N={0，1，2}，得到M∩N={0，1}． 3．已知{菱形}，{正方形}，{平行四边形}，则之间的关系为_______ 答案 4．已知集合A＝{(x，y)|－1≤x≤1，0≤y<2，x、y∈Z}，用列举法可以表示集合A为________． 答案 {(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}

解析 集合A表示不等式组－1≤x≤1，x∈Z，0≤y<2，y∈Z确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}． 5．设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝ ． 答案 {1，2} 解析 由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0， 解得1≤x≤2，故N＝{x|1≤x≤2}，∴M∩N＝{1,2}．

课后作业 1．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则A∩B等于________． 答案 (2,3) 解析 ∵A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}＝{x|1＜x＜3}， ∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2,3)． 2．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝________．

答案 {－2,0,2} 解析 先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}， 故M∪N＝{－2,0,2}． 3．已知集合M＝{x|－34}，则M∪N等于________． 答案 {x|x<－5或x>－3} 解析 在数轴上表示集合M和N，如图所示，

则数轴上方所有“线”下面的部分就是M∪N＝{x|x<－5或x>－3}． 4．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=________． 答案 4 解析 a＝0时，ax2+ax+1=0无解，此时，A=，不合题意；

a≠0时，由题意得方程ax2＋ax＋1＝0有两个相等实根，则 Δ＝a2－4a＝0a≠0，解得a＝4. 5．已知全集{0,1,2,3,4}U，集合{1,2,3}A，{2,4}B，则UABð()= ________． 答案 {0,2,4} 解析 ∵UAð＝{0,4}，UABð()＝{0, 2,4}.

6．已知集合{1,2,3,4}A,2{|,}BxxnnA,则AB________． 答案 {1,4} 解析 ∵x＝n2，n∈A，∴x＝1,4,9,16. ∴B＝{1,4,9,16}．∴A∩B＝{1,4}．

7．满足条件{0,2}∪M＝{0,1,2}的所有集合M的个数为________． 答案 4 解析 由题可知集合M中必有1，满足条件的M可以为{1}，{0,1}，{2,1}，{0,1,2}共4个． 8．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________． 答案 0或3