2019绍兴一中高二数学期中考试卷(理科)(答案)
浙江省绍兴一中高二数学上学期期中试题（国际班）（答案不全）
期中测试试题高二（国际班）数学第I 卷（共30分）一、选择题: 本大题共10小题, 每题3分,共30分．在每题给出的四个选项中, 只 有一项为哪一项符合题目要求的．1．与向量a ＝(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为( )A ．(-1,3，-2) B. (-1，-3,2) C ．(1,3,2) D ．(1，-3，-2)2.空间有四个点,若是其中任意三个点都不在同一直线上,那么过其中三个点的平面（ ） A ．可能有三个，也可能有两个； B.可能有四个，也可能有一个； C.可能有三个，也可能有一个；D ．可能有四个，也可能有三个；3.空间直线a 、b 、c ，平面α，那么以下命题中真命题的是（ ）：A. 假设a ⊥b,c ⊥b,则a//c;B. 假设a//c,c ⊥b,则b ⊥a;C. 假设a 与b 是异面直线, a 与c 是异面直线, 则b 与c 也是异面直线.D. 假设a//α ，b//α，那么a// b; 4.某几何体的三视图如下图，依照图中标出的 数据，可得那个几何体的体积为（ ）A ．443+B ．445+C ．83D ．12 5．已知a ，b ，c 是空间的一个基底，设p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，那么以下向量中能够与p ，q 一路组成空间的另一个基底的是( ) A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对6．如图，在三棱锥S -ABC 中，SA =SC =AB =BC ，那么直线SB 与AC 所成角的大小是( )A. 30ºB 45ºC. 60º7．如图，在三棱锥O-ABC 中，G 是△ABC 的重心， 若OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，试用基底{ a ，b ，c }表示向量OG →等于( )ABCSA.13a ＋13b ＋13cB.12a ＋12b ＋12c C ．a ＋b ＋c D ．3a ＋3b ＋3c8. 三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两相互垂直，侧面面积别离是6，4，3，那么三棱锥的体积是( ) A.4 B ．6 C ．8 D ． 109.已知四棱锥底面是边长为2的正方形，侧棱长均为2，那么侧面与底面所成二面角的余弦值为 （ ） A ．32 B ．36 C ．33 D ．6310．已知A ∈α，P ∉α，PA →＝(－32，12，2)，平面α的一个法向量n ＝(0，－12，－2)，那么直线PA 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．150° 第Ⅱ卷 非选择题部份 （共70分） 二. 填空题（每题4分，共28分）11.过平面外一点作该平面的平行线有 条；平行平面有 个.12.已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，假设PC ⊥BD ，那么平行四边形ABCD 必然 是 形.13．点A (－1,2,1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标别离为 。
浙江省绍兴一中2018-2019学年高二上学期回头数学试卷Word版含解析
浙江省绍兴一中2018-2019学年高二上学期回头数学试卷一、选择题（每题4分，共32分）1．若sin=，则cos α=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．2．设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则（ ）A ．ac ＞bcB ．a 2＞b 2C ．a 3＞b 3D ．＜3．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5=3，a 6a 7a 8=24，则a 9a 10a 11=（ ） A ．48 B ．72 C ．144 D ．1924．设f （n ）=cos （+），则f （1）+f （2）+…+fA ．B ．C ．0D ．5．在菱形ABCD 中，若AC=2，则•等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．||cosAD ．与菱形的边长有关6．设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有++2=，则△AOC 的面积为（ ）A ．2B ．1C ．D ．7．已知数列{a n }中，a 3=3，a 7=1，又数列{}是等差数列，则a 11等于（ ）A ．1B ．C ．D ．8．在平面上⊥，||=||=1， =+，||＜，则||的取值范围（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每格4分，共24分）9．已知向量=（1，m ），=（m ，2），若⊥，则m= ；若∥，则m= ．10．已知tan （α﹣β）=，tan β=﹣，且α，β∈（0，π），则2α﹣β的大小为 ．11．已知x ＞0，y ＞0，且x+2y=xy ，若x+2y ＞m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为 ，实数m 的取值范围为 ．12．已知f （x ）=．各项均为正数的数列{a n }满足a 1=1，a n+2=f （a n ）．若a 2016=a 2018，则a 9+a 10的值是 ．三、解答题（共44分）13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若b 2+c 2=a 2+bc ，求角A 的大小；（2）若sin2A=2cosAsinB ，判断三角形的形状；（3）若cosC+（cosA ﹣sinA ）cosB=0，a+c=1，求b 的取值范围．14．设x ，y 满足约束条件．（1）求x+2y 最大值；（2）若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为4，求+的最小值；（3）若目标函数z=kx+y 最小值的最优解有无数个，求值k ．15．已知数列{a n }满足：a 1=﹣，3S n =﹣1﹣a n+1， （1）求a 2，a 3；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）记b n =a n 2+a n ，求证：+++…+＜．浙江省绍兴一中2018-2019学年高二上学期回头数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共32分）1．若sin=，则cos α=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】二倍角的余弦．【分析】由二倍角的余弦公式可得cos α=1﹣2sin 2，代入已知化简即可．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin 2=1﹣2×=1﹣=故选C2．设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则（ ）A ．ac ＞bcB ．a 2＞b 2C ．a 3＞b 3D ．＜【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质，可得结论． 【解答】解：对于A ，满足c ≤0时成立； 对于B ，a=1，b=﹣1，结论不成立； 对于C ，正确；对于D ，a=1，b=﹣1，结论不成立． 故选：C ．3．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5=3，a 6a 7a 8=24，则a 9a 10a 11=（ ） A ．48 B ．72 C ．144 D ．192 【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的性质，利用等比中项建立方程即可得到结论． 【解答】解：在等比数列中a 3a 9=（a 6）2，a 4a 10=（a 7）2，a 5a 11=（a 8）2， ∴（a 3a 4a 5）（a 9a 10a 11）=（a 6a 7a 8）2， ∵a 3a 4a 5=3，a 6a 7a 8=24， ∴3（a 9a 10a 11）=242， ∴a 9a 10a 11=192． 故选：D ．4．设f （n ）=cos （+），则f （1）+f （2）+…+fA ．B ．C ．0D ．【考点】数列的求和．【分析】f （n ）=cos （+），可得f （n+4）==f （n ），即可得出．【解答】解：∵f （n ）=cos （+），∴f （1）=﹣，f （2）=﹣，f （3）=，f （4）=，f （n+4）==f （n ），∴f （1）+f （2）+…+f+f （2）+f （3）+f （4）]×503+f （1）+f （2）+f （3）=0﹣=﹣．故选：B ．5．在菱形ABCD 中，若AC=2，则•等于（ ） A ．2 B ．﹣2C ．||cosAD ．与菱形的边长有关 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设对角线AC 与BD 交与点O ，易得AC 、BD 互相垂直且平分，再根据•=﹣||•||•cos∠BAC=﹣||×||，从而得出结论．【解答】解：如图：菱形ABCD 中，若AC=2，对角线AC 与BD 交与点O ，易得AC 、BD 互相垂直且平分，则•=﹣•=﹣||•||•cos∠BAC=﹣2×||=﹣2×1=﹣2， 故选：B ．6．设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有++2=，则△AOC 的面积为（ ）A ．2B ．1C ．D ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的运算法则：平行四边形法则得到O 是AB 边的中线的中点，得到三角形面积的关系． 【解答】解：设AB 的中点为D ，∵++2=， ∴O 为中线CD 的中点，∴△AOC ，△AOD ，△BOD 的面积相等， ∴△AOC 与△AOB 的面积之比为1：2， 同理△BOC 与△A0B 的面积之比为1：2，∴△A0C 是△ABC 面积的， ∴∴△A0C 的面积为1． 故选B ．7．已知数列{a n }中，a 3=3，a 7=1，又数列{}是等差数列，则a 11等于（ ）A ．1B ．C ．D ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】数列{}是等差数列，可得=+，解出即可得出．【解答】解：∵数列{}是等差数列，∴=+，∴=，解得a 11=． 故选：C ．8．在平面上⊥，||=||=1， =+，||＜，则||的取值范围（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意知，A 、B 1、P 、B 2 构成一个矩形，以AB 1、AB 2 所在直线为坐标轴建立直角坐标系；利用不等式综合知识点来求出|OA|的范围．【解答】解：根据题意知，A 、B 1、P 、B 2 构成一个矩形，以AB 1、AB 2 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示：设|AB 1|=a ，|AB 2|=b ，点O 的坐标为（x ，y ），则点P 的坐标为（a ，b ）；由||=||=1，得，则∵||＜，∴，∴1﹣y2+1﹣x2＜；∴；①又∵（x﹣a）2+y2=1；∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1；∴y2≤1；同理x2≤1；∴x2+y2≤2 ②，由①②知；∵||=；∴．故选：D二、填空题（每格4分，共24分）9．已知向量=（1，m），=（m，2），若⊥，则m= 0 ；若∥，则m= ．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的垂直与平行分别列出方程求解即可．【解答】解：向量=（1，m），=（m，2），⊥，则m+2m=0，即m=0．∥，则m2=2，m=．故答案为：0；．10．已知tan（α﹣β）=，tanβ=﹣，且α，β∈（0，π），则2α﹣β的大小为或﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知条件和正切公式可得所求角的正切值，缩小角的范围可得．【解答】解：∵tan（α﹣β）=，∴tan（2α﹣2β）==，又∵tanβ=﹣，∴tan（2α﹣β）=tan[（2α﹣2β）+β]==1，∵α，β∈（0，π），tanβ=﹣∈（﹣，0），∴β∈（，π），再由tan（α﹣β）=∈（0，）可得（α﹣β）∈（0，）或（﹣π，﹣）∴2（α﹣β）∈（0，）或（﹣2π，﹣），∴2α﹣β=2（α﹣β）+β∈（，）或（﹣，﹣），结合tan（2α﹣β）=1可知2α﹣β=或﹣故答案为：或﹣11．已知x＞0，y＞0，且x+2y=xy，若x+2y＞m2+2m恒成立，则xy的最小值为8 ，实数m的取值范围为（﹣4，2）．【考点】基本不等式．【分析】x+2y=xy等价于+=1，根据基本不等式得出xy≥8，再次利用基本不等式求出x+2y的最小值，进而得出m的范围．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y=xy，∴+=1，∴1=+≥，∴xy≤8，当且仅当x=4，y=2时取等号，∴x+2y≥2≥8（当x=2y时，等号成立），∴m2+2m＜8，解得﹣4＜m＜2故答案为：8；（﹣4，2）12．已知f（x）=．各项均为正数的数列{an }满足a1=1，an+2=f（an）．若a2016=a2018，则a9+a10的值是．【考点】数列的函数特性．【分析】由a n+2=f （a n ）=，a 1=1，可得a 3==，同理可得：a 5，a 7，a 9．由a 2016=a 2018=a ＞0，可得，解得a ．可得a 2016=a 2018=…=a 10，即可得出．【解答】解：∵a n+2=f （a n ）=，∵a 1=1，∴a 3==，同理可得：a 5=，a 7=，a 9=．∵a 2016=a 2018=a ＞0，∴，化为a 2+a ﹣3=0，解得a=．∴a 2016=a 2018=…=a 10=．∴a 9+a 10=+=．故答案为：．三、解答题（共44分）13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若b 2+c 2=a 2+bc ，求角A 的大小；（2）若sin2A=2cosAsinB ，判断三角形的形状；（3）若cosC+（cosA ﹣sinA ）cosB=0，a+c=1，求b 的取值范围． 【考点】余弦定理． 【分析】（1）由已知可得b 2+c 2﹣a 2=bc ，利用余弦定理可求cosA ，结合范围A ∈（0°，180°），可求A 的值．（2）利用二倍角的正弦函数公式可求2cosAsinB=2sinAcosA ，可得：cosA=0，或sinB=sinA ，结合范围A ，B ∈（0°，180°），即可得解A=90°，或A=B ，从而判断三角形的形状．（3）由已知利用三角函数恒等变换的应用可得：sinA （sinB ﹣cosB ）=0，根据sinA ≠0，可求tanB ，进而可得B=60°，由a+c=1，利用余弦定理，二次函数的性质即可得解b 的范围． 【解答】解：（1）∵b 2+c 2=a 2+bc ，可得：b 2+c 2﹣a 2=bc ，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A ∈（0°，180°）， ∴A=60°．（2）∵sin2A=2cosAsinB=2sinAcosA ， ∴可得：cosA=0，或sinB=sinA ， ∵A ，B ∈（0°，180°）， ∴A=90°，或A=B ，故三角形的形状为等腰或直角三角形．（3）∵由已知cosC+（cosA ﹣sinA ）cosB=0，∴﹣cos （A+B ）+cosAcosB ﹣sinAcosB=0，可得：sinA （sinB ﹣cosB ）=0，∵sinA ≠0，∴得tanB=，∴B=60°，∴由a+c=1，余弦定理得：b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，a∈（0，1），∴可得：．14．设x，y满足约束条件．（1）求x+2y最大值；（2）若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，求+的最小值；（3）若目标函数z=kx+y最小值的最优解有无数个，求值k．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，（1）利用x+2y的几何意义，求出最大值即可；（2）利用目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，得到ab的关系式，利用基本不等式求解最值即可．（3）利用目标函数z=kx+y最小值的最优解有无数个，通过几何意义，利用数形结合求解即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域为：（1）令z=x+2y，当直线经过，可行域的C点时，x+2y取得最大值，由，解得C（4，6），可得x+2y取最大值16；（2）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，可知，z=ax+by经过C时，取得最大值，可得+=；当且仅当2a=3b=1时取得最小值4．（3）由z=kx+y得y=﹣kx+z，若k=0，则y=z，此时目标函数取得最小值的解只有无数个，满足条件．若k＞0，若目标函数z=kx+y的取得最小值的最优解有无数个，不满足题意，若k＜0，若目标函数z=kx+y的取得最小值的最优解有无数个，则目标函数对应的直线与AC：3x+y﹣6=0平行，此时k=﹣3，综上k=0或﹣3．故答案为：k=0或﹣315．已知数列{a n }满足：a 1=﹣，3S n =﹣1﹣a n+1， （1）求a 2，a 3；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）记b n =a n 2+a n ，求证：+++…+＜．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式． 【分析】（1）由已知数列首项及数列递推式可得a 2，a 3； （2）由数列递推式可得3S n ﹣1=﹣1﹣a n （n ≥2），与原递推式作差可得数列{a n }自第二项起构成以﹣2为公比的等比数列，则数列通项公式可求；（3）把数列{a n }的通项公式代入b n =a n 2+a n ，求得b n ，代入+++…+，放缩后利用等比数列的前n 项和证得结论．【解答】（1）解：∵a 1=﹣，3S n =﹣1﹣a n+1， ∴3a 1=﹣1﹣a 2，解得a 2=4，3（a 1+a 2）=﹣1﹣a 3，解得a 3=﹣8； （2）解：由3S n =﹣1﹣a n+1， 得3S n ﹣1=﹣1﹣a n （n ≥2），两式作差得： 3a n =a n ﹣a n+1，即a n+1=﹣2a n （n ≥2）．∴数列{a n }自第二项起构成以﹣2为公比的等比数列，∴；（3）证明：∵b n =a n 2+a n =（﹣2）2n +（﹣2）n =4n +（﹣2）n （n ≥2）．∴=．。
绍兴市诸暨中学高二数学下学期期中试题实验班含解析
令x＝﹣1，求出f（1）＝0,得出函数f(x)的周期为2，画出f（x)和y＝loga(｜x｜+1)的图象，利用数形结合的方法进行求解;
【详解】解：∵f（x+2）＝f（x）﹣f(1），∴f(﹣1+2）＝f(﹣1）﹣f（1)，即f(1）＝f（﹣1)﹣f(1）,∴2f（1）＝f（﹣1)．
∵f(x)是定义域为R的偶函数，∴f(﹣1)＝f(1），∴2f(1)＝f（1)，f(1）＝0．∴f（x+2）＝f（x)，∴f（x)是周期为2的偶函数．
（2)将y＝f（x)图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，得到y＝g（x）＝2sin（2x ）的图象．
若g（x）在（0，m）内是单调函数,则g（x）在（0，m）内是单调增函数，
∴2m ，求得m ，故m的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝Asin（ωx+ ）的图象变换规律，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．
【答案】 (1)。 9 （2）。 [3,+∞)
【解析】
【分析】
结合分段函数解析式先求 ,再求f(f（2)），
分别结合指数函数与一次函数的性质分别求出每段函数的值域,然后结合函数值域的性质得出结论．
【详解】解：若a＝1，则f(f(2)）＝f(3）＝23+1＝9，
当x＞2时，f（x）＝2x+a＞4+a，
【点睛】本题考查了平面向量的基本运算和平面向量数量积的意义,确定基底并把相关的向量用基底表示出来是解题的关键.
16。已知实数a，b，c，满足a2+b2+2c2＝1，则2ab+c的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先分离出a2+b2，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值．
浙江省绍兴市阳明中学2019-2020学年高二下学期期中数学试卷及解析
浙江省绍兴市阳明中学2019-2020学年高二下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题） A.30B.60︒C.120︒D.150︒2.若4sin()5πα-=，(,)2παπ∈，则cos α=( )A.35B.35C.45-D.153.函数()2xf x =+的定义域为（ ） A.[]22-,B.[)(]2,00,2-C.(][),22,-∞-+∞D.()()2,00,2-4.设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B.若//l α，m α⊂，则//l m C.若//αβ，m β⊄，//m α，则//m βD.若//l α，//m α，则//l m5.实数x ，y 满足2002x y x y x -+>⎧⎪+>⎨⎪<⎩，则整点(),x y 的个数为（ ）A.2B.3C.4D.56.在ABC 中，“0AB AC ⋅=”是“ABC 为直角三角形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知2x >，0y >且满足2216x y ⋅=，则222x y+-的最小值为（ ） A.4 B.2C.16D.88.定点()3,0P，动点Q 在圆2216xy +=上，线段PQ 的垂直平分线交OQ 于点M （O 为坐标原点），则动点M 的轨迹是（ ） A.圆B.直线C.双曲线D.椭圆9.已知第一象限内的点M 既在双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>上，又在抛物线()22:20C y px p =>上，设1C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，若2C 的焦点为2F ，且12MF F △是以1MF 为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）A.1D.210.已知函数()221f x ax x =-+，()245g x x x =++，若()()0f g x =有且只有两个不等的实数根，则a 的取值范围为（ ） A.[]1,0-B.()0,1C.()1,1-D.(]0,1第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）________，表面积是________．12.数列{a n }且a n={1n 2+2n,n 为奇数sin nπ4,n 为偶数，若S n 为数列{a n}的前n 项和，则S 2018=______．13.已知点(),P x y 是直线()300kx y k +-=≠上一动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是1，则k 的值为__________.14.不等式322312x a x a ++--+>对任意的x ∈R 是恒成立的，则实数a 取值范围为__________.三、解答题（题型注释）15.已知直线1:210l x ay ++=，直线()2:3170l a x ay ---=. （1）若12l l ⊥，求实数a 的值； （2）若12//l l ，求实数a 的值.16.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD CD CB ===，60ABC ∠=︒，矩形ACFE 中，2AE =，BF =（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）求直线BD 与平面BEF 所成角的正弦值.17.若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，1S ，2S ，4S 成等比数列. （1）求等比数列1S ，2S ，4S 的公比； （2）若24S =，求数列{}n a 的通项公式； （3）在（2）的条件下，设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .18.抛物线()2:20C y px p =>，抛物线上一点()2,P t 到抛物线焦点F 的距离为3.（1）求抛物线C 的方程；（2）若点Q 为抛物线C 上的动点，求点Q 到直线2y x =+距离的最小值以及取得最小值时点Q 的坐标；（3）若直线l 过点()4,0M 且与抛物线C 交于A ，B 两点，当ABF 与AOF 的面积之和取得最小值时，求直线l 的方程.19.已知函数()f x 对任意1x 、2x R ∈且12x x <有()()12210f x f x x x ->-恒成立，函数()2017f x -的图象关于点()2017,0成中心对称图形.（1）判断函数()f x 在R 上的单调性、奇偶性，并说明理由；（2）解不等式2102x f x ⎛⎫+< ⎪-⎝⎭；（3）已知函数()f x 是ln y x =，1y x x=+，4y x =-中的某一个，令()22xx a g x =+，求函数()()()F x g f x =在(],2-∞上的最小值.四、新添加的题型20.双曲线1169-=的焦点坐标是________；渐近线方程是___________.21.设向量()12a =，，()31b =，，则a b +的坐标为________，a b ⋅=____________22.如图，在底面边长均为2，高为1的长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、11C D 的中点，则异面直线1A E 、CF 所成角的大小为_______；平面1A EF 与平面1111D C B A 所成锐二面角的余弦值为__________.参考答案1.B【解析】1.将直线方程变为斜截式,根据斜率与倾斜角关系可直接求解.10y --=变形为1y =-所以k =设倾斜角为α则tan k α==因为0180α<< 所以60α=︒ 故选:B 2.B【解析】2.利用诱导公式得到sin α的值，再由同角三角函数的平方关系，结合角的范围，即可得答案.∵4sin()sin 5παα-==，又(,)2παπ∈，∴5c os 3α==-=. 故选：B. 3.A【解析】3.列出自变量应满足的不等式，它的解集即为函数的定义域.自变量x 满足240x -≥，故22x -≤≤， 故函数的定义域为[2,2]-. 故选：A. 4.C【解析】4.由线面垂直的判定定理可判断A ，由线面平行的性质定理可判断B ，由面面平行的性质定理可判断C ，由线面平行的性质定理可判断D.解：对于A ，由线面垂直的判定定理可知当直线l 垂直平面α内的两条相交直线时，l α⊥才成立，所以A 不正确；对于B ，若//l α，m α⊂，则//l m 或l ，m 异面，所以B 不正确； 对于C ，由面面平行的性质定理可知是正确的，对于D ，若//l α，//m α，则l ，m 有可能相交、平行或异面，所以D 不正确， 故选：C 5.C【解析】5.利用数形结合，画出可行域，然后根据,x y 的取值范围，进行验证，可得结果. 如图根据图形可知：12,24-<<-<<x y 则满足区域的整点有：()()()()0,1,1,0,1,1,1,2 故选：C 6.A【解析】6.根据充分条件，必要条件的定义即可求出．当0AB AC ⋅=时，即cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅=，∴cos 0A =，即90A =，所以ABC 为直角三角形；当ABC 为直角三角形时，直角不一定是角A ，当直角不是角A 时， 0AB AC ⋅>； 所以“0AB AC ⋅=”是“ABC 为直角三角形”的充分不必要条件． 故选：A ．7.A【解析】7.根据题意，由指数幂的运算性质可得216x y +=，即4x y +=，变形可得22x y -+=，进而可得221222[(2)]()22222y x x y x y x y x y-+=-++=++---，由基本不等式的性质分析可得答案．解：根据题意，已知2x >，0y >且满足22x 16y =，则有216x y +=，则4x y +=， 变形可得：22x y -+=， 则221222[(2)]()242222y x x y x y x y x y-+=-++=++---， 当且仅当3x =，1y =时等号成立， 故选：A ． 8.D【解析】8.根据中垂线的定义可知，MQ MP =，再根据4OM MP OQ +==，即可根据椭圆的定义可知动点M 的轨迹是椭圆．如图所示：因为MQ MP =，所以43OM MP OQ +==>，因此点P 的轨迹是以,O P 为焦点，长轴长为4，焦距为3的椭圆． 故选：D ． 9.A【解析】9.根据1C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，2C 的焦点为2F ，得到抛物线的准线方程，为：x c =-，过M 作MA 垂直准线x c =-，利用抛物线的定义得到212MA MF F F ==，则四边形21AMF F 是正方形，从而12MF F △是等腰直角三角形，然后再利用双曲线的定义结合离心率公式求解.因为1C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，2C 的焦点为2F ， 所以抛物线的准线方程为：x c =-，又因为12MF F △是以1MF 为底边的等腰三角形， 过M 作MA 垂直准线x c =-，如图所示：则212MA MF F F ==， 所以四边形21AMF F 是正方形， 则12MF F △是等腰直角三角形， 所以2122MA MF F F c ===，所以12MF ==， 又122MF MF a ，所以22c a -=，即)1c a =，解得1e ==. 故选：A 10.B【解析】10.根据选项特点使用排除法，分0,1a a ==进行讨论，然后简单计算以及判断可得结果. 当0a =时，()21f x x =-+，则()()()222451289=-+++=---f g x x x x x()()()284290∆=--⨯-⨯-<所以()()0f g x =无解，故0a ≠，排除,A C当1a =时，()221f x x x =-+，令()245==++t g x x x则()01=⇒=f t t则24512++=⇒=-x x x ，不符合题意，故1a ≠，排除D 故选：B11. 5 ．【解析】11.由三视图还原可知，原图形是一个长方体左右两边各切去了一个角，所以体积为116235,126331532V S ⎛⎫=-⨯⨯⨯==+++++= ⎪⎝⎭12.30282019【解析】12.根据通项公式为分段函数的特点，将前2018项的和分组，分别计算奇数项的和与偶数项的和，其中奇数项可采用裂项相消法求和，偶数项利用周期求和即可.数列{a n }且a n={12,n 为奇数sin nπ4,n 为偶数， ①当n 为奇数时，a n =1n 2+2n =12(1n −1n+2)， ②当n 为偶数时，a n =sin nπ4，所以：S 2018=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 2017)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 2018)，=12(1−13+13−15+⋯+12017−12019)+(1+0−1+⋯+0)，=10092019+1=30282019．故答案为：30282019． 13.±1【解析】13.先求圆的半径，四边形PACB 的最小面积是1，转化为三角形PBC 的面积是12，求出切线长，再求PC 的距离也就是圆心到直线的距离，可解k 的值． 解：圆22:20C x y y +-=的圆心(0,1)，半径是1r =，由圆的性质知：2PBC PACB S S ∆=四边形，四边形PACB 的最小面积是1， ()min 1122PBC rd S ∆==∴(d 是切线长） min 1d ∴=圆心到直线的距离就是PC==1k =±故答案为：±114.()(),31,-∞-⋃+∞【解析】14.利用绝对值不等式可化2221a a +>++，整理即可得出结果. 不等式可化为：322321x a x a ++->++对任意的x ∈R 恒成立，3223322322x a x x a x a ++-≥++-=+， 2221a a ∴+>++，故12a +>， 解得：1a >或3a <-. 故答案为：()(),31,-∞-⋃+∞. 15.（1）1a =或12a =；（2）0a =或16a =.【解析】15.（1）根据两直线垂直的等价条件12120A A B B +=列式求解即可；（2）根据两直线平行，分类讨论斜率不存在和斜率存在且相等的情况，检验即可求出．（1）∵12l l ⊥，∴()23120a a --=，∴22310a a -+=，∴1a =或12a =． （2）当0a =时，1 : 1l x =-，2:7l x =-，∴12l l //； 当0a ≠时，由1312a a a --=解得：16a =，此时， 11:103l x y ++=， 211:7026l x y ---=，即11403x x ++=，两直线不重合．综上得：0a =或16a =．16.（1）证明见解析；（2）4【解析】16.（1）在梯形ABCD 中，通过计算得出AC BC ⊥，由勾股定理逆定理得CB CF ⊥，从而 证线面平行；（2）以C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，以CB 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．证明：（1）在梯形ABCD 中//AB CD ，2AD CD CB ===，60ABC ∠=︒，∴四边形ABCD 是等腰梯形，120ADC =∠︒ ∴30DCA DAC ∠=∠=︒，120DCB ∠=︒，∴90ACB DCB DCA ∠=∠-∠=︒， ∴AC BC ⊥又∵矩形ACFE 中，2CF AE ==，又有BF =2CB =， ∴CB CF ⊥，又∵AC CF C ⋂=∴BC ⊥平面ACFE ，（2）以C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，以CB 所在直线为y 轴，以CF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系：()0,0,0C ，()0,2,0B ，()0,0,2F ，)1,0D-，()E .所以()EF =-，()0,2,2BF =-， 设平面BEF 的法向量为(),,n x y z =，所以00n EF n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩∴20220n EF n BF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1y =，则0x =，1z =，∴()0,1,1n =，()3,3,0BD =-，6cos ,||BD n BD n BD n⋅<>==⋅∴直线BD 与平面BEF 17.（1）4；（2）21n a n =-；（3）30.【解析】17.（1）利用数列{}n a 为等差数列，1S ，2S ，4S 成等比数列．可求出首项与公差的关系，即可求得公比；（2）由24S =，结合（1）的结论，即可求{}n a 的通项公式； （3）利用裂项法求数列{}n b 的前n 项和，确定32n T <，从而可得不等式，即可求得使得20n mT <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m ． 解：（1）数列{}n a 为等差数列，11S a ∴=，212S a d =+，4146S a d =+，1S ，2S ，4S 成等比数列，2142S S S ∴=，∴2111(46)(2)a a d a d +=+，∴212a d d =公差d 不等于0，12d a ∴=∴211144S a q S a ===； （2）24S =，124a d ∴+=，又12d a =，11a ∴=，2d =，21n a n ∴=-．（3）3311()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+∴311111313[(1)()()](1)233521212212n T n n n =-+-+⋯+-=-<-++ 要使20n mT <对所有*n N ∈恒成立， ∴3202m ，30m ∴， *m N ∈， m ∴的最小值为30．18.（1）24y x =；（2）2，()1,2Q ；（3）)4y x =±-.【解析】18.（1）利用抛物线的定义可得p ，即可得出结果；（2）先求出与直线2y x =+且与抛物线相切的直线方程，利用平行线间的距离公式求出d ，即可得出结果；（3）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况判断，联立直线与抛物线的方程消x 得到关于y 的式子，利用韦达定理，写出面积，比较取最小值，即可得出结论. （1）由题意可得，抛物线的准线1:2p l x =-， 由于3PF =，则12p=，即2p =， 即抛物线C 的方程为：24y x =.（2）设平行于直线2y x =+且与抛物线相切的直线为y x b =+， 则()()222242404y x b x b x x b x b y x=+⎧⇒+=⇒+-+=⎨=⎩， 又()2224401b b b ∆=--=⇒=， 则直线 2y x =+与直线 1y x =+的距离2d ==， 此时点Q 的坐标为()1,2.（3）当直线l 的斜率不存在时，方程为：4x =，易得14ABF AOF S S +=△△； 当直线l 的斜率存在时，设方程为()4y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ， 由()244y k x y x⎧=-⎨=⎩消去x 并整理得：24160ky y k --=，1212416y y k y y ⎧+=⎪∴⎨⎪=-⎩ ，则121143222ABFAOFAOMBFMSSSSy y +=+=⨯⨯+⨯⨯≥= 当且仅当1243y y =时取等号，又1216y y =，所以12y y ==或12y y ==-所以1243y y k +==±，解得：k =± 8314≤，所以当ABF 与AOF 的面积之和取得最小值时，直线l 的方程为)4y x =±-.19.（1）函数()f x 在R 上单调递减，奇函数，（2）()()2,12,-+∞，（3）当162a ->时，函数()F x 在(,2]-∞上最小值为162a -≤时，函数()F x 在(,2]-∞上的最小值为8822a -+.【解析】19.（1）可得任意1x 、2x R ∈且12x x <时，有()()120f x f x ->，即函数()f x 在R 上单调递减，可得函数()f x 的图像关于点(0,0)成中心对称图形，即函数()f x 是奇函数； （2）由（1）得函数()f x 在R 上的单调递减，且()00f =，所以不等式2102x f x ⎛⎫+< ⎪-⎝⎭，等价于2102x x +>-，即可求解；（3）由（1）得()4f x x =-，函数()()()4422xxa F x g f x --==+，令42x t -=，在(,2]-∞上82t -≥，函数()a G x t t=+，分16160,2,02a a a --≤><≤讨论. 解：（1）因为函数()f x 对任意1x 、2x R ∈且12x x <有()()12210f x f x x x ->-恒成立，所以对任意1x 、2x R ∈且12x x <时，有()()120f x f x ->， 所以函数()f x 在R 上单调递减，因为函数()2017f x -的图像关于点()2017,0成中心对称图形， 所以函数()f x 的图像关于点(0,0)成中心对称图形，所以函数()f x 是奇函数；（2）由（1）得函数()f x 在R 上的单调递减，且()00f =，所以不等式2102x f x ⎛⎫+< ⎪-⎝⎭，等价于2102x x +>-，即2202x x x +->-，得2(2)(2)0x x x -+->，解得21x -<<或2x > 所以不等式的解集为()()2,12,-+∞；（3）由（1）得()4f x x =-，函数()()()4422xxa F x g f x --==+，令42x t -=，在(,2]-∞上82t -≥，则函数()a G x t t=+， ①当0a ≤时，()a G x t t=+在8[2,)-+∞上递增， 所以函数()()()F x g f x =在(,2]-∞上的最小值为8822a -+，②当162a ->时，()aG x t t=+≥所以函数()()()F x g f x =在(,2]-∞上最小值为 ③当1602a -<≤时，()aG x t t=+在8[2,)-+∞上递增， 所以函数()()()F x g f x =在(,2]-∞上的最小值为8822a -+，综上，当162a ->时，函数()F x 在(,2]-∞上最小值为当162a -≤时，函数()F x 在(,2]-∞上的最小值为8822a -+. 20.()5,0± 34y x【解析】20.根据双曲线的方程可知，4,3a b ==，再结合双曲线的简单几何性质即可求出．根据双曲线的方程可知，4,3a b ==，因为22225c a b =+=，所以焦点坐标为()5,0±， 渐近线方程是34=±=±b y x x a ．故答案为：()5,0±；34yx ． 21.()43，5【解析】21.根据向量坐标的加法运算可得a b +，由向量数量积的坐标运算可得a b ⋅.向量()12a =，，()31b =，，则由向量加法的坐标运算可得()43a b +=，， 由数量积的坐标运算可得13215a b ⋅=⨯+⨯=，故答案为：()43，；522.6π 14【解析】22.（1）以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法计算向量1,A E CF →→所成的角，即得异面直线1A E 、CF 所成角的大小；（2）采用待定系数法求设平面1A EF 的一个法向量m →，又平面1111D C B A 一个法向量为(0,0,1)n →=，计算,m n →→所成的角即可得平面1A EF 与平面1111D C B A 所成锐二面角的余弦值.（1）以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系：则1(2,0,1),(1,2,0),(0,2,0),(0,1,1)A E C F ，所以1(1,2,1),(0,1,1)A E CF →→=--=-，设异面直线1A E 、CF 所成角的大小为θ，所以11cos ||||A E CF A E CF θ→→→→⋅===⋅，因为0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以6πθ=；（2）1(2,1,0)A F →=-，设平面1A EF 的一个法向量为：(,,)m x y z →=，则1100m A F m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y x y z -+=⎧⎨-+-=⎩，令1x =，则(1,2,3)m →=，平面1111D C B A 一个法向量为：(0,0,1)n →=，设平面1A EF 与平面1111D C B A 所成锐二面角为α，所以cos 14||||m nm n α→→→→⋅===⋅.故答案为：①6π；。
2019-2020学年绍兴市诸暨中学实验班高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年绍兴市诸暨中学实验班高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|(x−1)(x−3)>0}，B={x|0<x<2}，则(∁R A)∩B=()A. (0,1)B. (0,3]C. [1,2)D. (−∞,1)∪[2，+∞)2.已知复数z满足z(1+i)=|1−√3i|，则其共轭复数z−=()A. −1+iB. −1−iC. 1−iD. 1+i3.已知数列{a n}为等比数列，若a2⋅a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则a1⋅a2⋅a3⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n的最大值为()A. 5B. 512C. 1024D. 20484.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是A. B. C. D.5.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗−b⃗ |=√6，a⃗⋅b⃗ =1，则|a⃗+b⃗ |=()A. √6B. 2√2C. √10D. 106.设函数f(x)=x2+ax为偶函数，则a=()A. 1B. 2C. 3D. 07.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是()(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)A. 2B. 3C. 4D. 58.若点O和点F分别为椭圆x29+y25=1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为()A. 114B. 3C. 8D. 159.若x0是函数f(x)=()x−的零点，则x0属于区间()A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)10. 数列{a n }满足a 1=2016，a 2=1，a n+1=a n +a n+2，则前2017项和S 2017=( )A. 2016B. 1C. 0D. −2015二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 若非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足：a ⃗ 2=(5a ⃗ −4b ⃗ )⋅b ⃗ ，则cos <a⃗ ，b ⃗ >的最小值为______． 12. 函数f(x)=3x +1+12x 2(x >0)的最小值为______ ．13. 已知A ，B 是圆C ：x 2+y 2−8x −2y +16=0上两点，点P 在抛物线x 2=2y 上，当∠APB 取得最大值时，|AB|=______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 已知tanα=2，则sinα−3cosαsinα+cosα= (1) ，sin 2α+2sinαcosα= (2) ． 15. 当时，函数的最小值是 ，最大值是 ．16. 设[x]表示不超过x 的最大整数，(如[2]=2，[54]=1)对于给定的n ∈N ∗，定义T nx=n(n−1)−(n−[x]+1)x(x−1)−(x−[x]+1)，则T 332= (1) .当x ∈[32,3)时，函数T 8x的值域为 (2) ． 17. 如图所示，在△ABC 中，D 是边BC 中点，且cos∠ADC =cosC =13，则ACCD 的值等于 (1) .若AD =3，则AB = (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 18. 已知函数y =12sin(2x +π6)+54，x ∈R ．(1)当函数值y 取最大值时，求自变量x 的集合；(2)该函数图象可由y =sinx ，x ∈R 的图象经过怎样变换得到？19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −1；数列{b n }满足b n−1−b n =b n b n−1(n ≥2,n ∈N ∗)，b 1=1．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列的前n 项和T n ．20. 已知sinα=35，α∈(π2,π)，tan(π−β)=12，求：(1)tanα和tanβ的值； (2)tan(α−2β)的值．21. 已知数列{a n }是公比为12的等比数列，数列{b n }满足a 1=√2b 1=1，且a n+12=(a n +b n )2a n 2+b n2，b n+1=1+b n a n，n ∈N +，若c n =b n 2a n2； (1)求证：数列{c n }是等差数列，并求出{c n }的通项公式；(2)记数列{c n }的前n 项和为S n ，若对于∀n ∈N +，不等式∑a i n i=1√S i ≤k −√2n2n 恒成立，求实数k的取值范围．22.是否存在这样的实数a，使函数f(x)=x2+(3a−2)x+a−1在区间[−1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点．若存在，求出a的范围，若不存在，说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x <1，或x >3}； ∴∁R A ={x|1≤x ≤3}； ∴(∁R A)∩B =[1,2)． 故选：C ．可解出集合A ，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的概念，以及补集、交集的概念及运算．2.答案：D解析：解：因为z(1+i)=|1−√3i|=2， 所以z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，则z −=1+i ， 故选：D ．根据复数的基本运算法则进行化简求出z ，进而求出其共轭复数z −即可． 本题考查了复数模的求法及除法法则，考查了复数共轭复数的定义，是基础题．3.答案：C解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2⋅a 3=2a 1，所以a 2a 3=a 1q ⋅a 1q 2=2a 1，所以a 4=2， 因为a 4与2a 7的等差中项为54，则有a 4+2a 7=2×54，即a 4+2a 4⋅q 3=2×54，解得q =12，所以a 1=a4q 3=16，故a n =16×(12)n−1=25−n ，则a 1=16，a 2=8，a 3=4，a 4=2，a 5=1，a 6=12<1，所以数列的前4项或前5项的积最大，且最大值为16×8×4×2=1024． 故选：C ．用a 1和q 表示出a 2⋅a 3=2a 1，从而求出a 4，再根据a 4与2a 7的等差中项为54，求出q 的值，进而求出数列的通项公式，得到数列各项的数值，分析求解即可．本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，主要考查了等比数列通项公式的应用、等差中项定义的应用，考查了学生的化简计算能力，属于中档题．4.答案：A解析：试题分析：通过举出反例，a=−5、b=−4.5，可得BC都不是充分条件，说明它们不正确．根据充分条件、必要条件的定义，可知A正确；而D给出的是一个充要条件，也不符合题意．考点：本题考查点评：本题以充分必要条件的判断为载体，考查了两个实数比较大小、不等式的性质和充要条件等知识点，属于基础题．5.答案：C解析：解：由已知得|a⃗−b⃗ |2=(a⃗−b⃗ )2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗=a⃗2+b⃗ 2−2=6，即a⃗2+b⃗ 2=8，即有|a⃗+b⃗ |2=(a⃗+b⃗ )2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =8+2=10，即|a+b|=√10．故选C．运用向量的平方即为模的平方和完全平方公式，计算即可得到．本题考查向量的数量积，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．6.答案：D=0，∴a=0．解析：解：二次函数为偶函数，则其对称轴：x=−a2×1故选：D．由题意结合二次函数的性质和偶函数的对称性得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果．本题考查偶函数的对称性，二次函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．7.答案：C解析：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 由题意可利用等比数列的求和公式可得：蒲草和院草的前n 天的高度，由题意列出等式，进而求出n 的值．设蒲草每天长的高度为数列{a n }，莞草每天长的高度为数列{b n }，由题意得：{a n }为等比数列，求首项为3，公比为12，所以通项公式a n =3⋅(12)n−1， 前n 项和S n =3·[1−(12)n ]1−12=6[1−(12)n ]，{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n =2n−1，前n 项和T n =1−2n 1−2=2n −1；由题意得设n 天莞草是蒲草的二倍，即2n −1=2⋅6[1−(12)n ]⇒(2n )2−13⋅2n +12=0⇒2n =12或1(舍)两边取以10为底的对数， n =lg12lg2=2lg2+lg3lg2=2+lg3lg2由相关数据可得，n =4，故选：C ．8.答案：A解析：解：椭圆x 29+y 25=1的中心和左焦点为O(0,0)，F(−2,0)∵x 29+y 25=1，∴y 2=5−59x 2(−3≤x ≤3)设P(x,y)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)⋅(x +2,y)=x 2+2x +y 2=x 2+2x +5−59x 2=49(x +94)2+114∵−3≤x ≤3∴x =−94时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为114 故选：A ． 求得椭圆x 29+y 25=1的中心和左焦点，利用坐标表示向量，借助于椭圆方程，利用配方法，即可求得最小值．本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查向量知识的运用，考查配方法，解题的关键是用坐标表示向量，建立函数关系式．9.答案：B解析：∵f(−1)=2+1=3>0，f(0)=1>0，f(1)=−1=−<0，∴x0∈(0,1)．10.答案：A解析：解：由题可得a n+2=a n+1−a n，所以a n+3=a n+2−a n+1=−a n，所以a n+3+a n=0,a n+6=−a n+3=a n，故数列{a n}是以6为周期的周期数列，又a1+a2+a3+a4+a5+a6=2a2+2a5=0，则前2017项和S2017=(a1+a2+⋯+a6)×336+a1=0+a1=2016．故选：A．利用递推关系、数列的周期性即可得出．本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：45解析：解：非零向量a⃗，b⃗ 满足：a⃗2=(5a⃗−4b⃗ )⋅b⃗ ，可得a⃗⋅b⃗ =15(a⃗2+4b⃗ 2)=15(|a⃗|2+4|b⃗ |2)≥15⋅2√|a⃗|2⋅4|b⃗ |2=45|a⃗|⋅|b⃗ |，即有cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|≥45⋅|a⃗ |⋅|b⃗||a⃗ |⋅|b⃗|=45，当且仅当|a⃗|=2|b⃗ |，取得最小值45．故答案为：45．由题意可得a⃗⋅b⃗ =15(a⃗2+4b⃗ 2)，由向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，运用基本不等式和向量的夹角公式，即可得到所求最小值．本题考查向量的数量积的定义和夹角公式，以及性质：向量的平方即为模的平方，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．12.答案：10解析：解：f(x)=3x+1+12x2=(3x2+3x2+12x2)+1(x>0)≥3√3x2·3x2·12x23+1=9+1=10，当且仅当3x2=3x2=12x2，即x=2时，取得等号．则f(x)的最小值为10．故答案为：10．将3x拆成3x2+3x2，再由三元均值不等式，即可求得最小值，求出等号成立的条件．本题考查函数式的最小值，主要考查三元均值不等式的运用，注意拆项，属于中档题．13.答案：4√55解析：解：圆C：x2+y2−8x−2y+16=0的圆心(4,1)，半径为1，设抛物线上的点P(m,n)，则m2=2n，|PC|=√(m−4)2+(n−1)2=√m2−8m+m44−m2+17=√m44−8m+17，令g(m)=m44−8m+17，可得g′(m)=m3−8，令g′(m)=m3−8=0，解得m=2，m<2，g′(m)=m3−8<0，m>2，g′(m)=m3−8>0，所以g(m)的最小值为：4−16+17=5．|PC|≥√5，所以切线长为：|PA|=2，如图：|PC|⋅12|AB|=|PA|⋅|AC|，γ√52|AB|=2×1|AB|=4√55．故答案为：4√55．求出圆C：x2+y2−8x−2y+16=0的圆心与半径，设出抛物线x2=2y上当点P，当∠APB取得最大值时，就是PC最小时，利用距离公式以及函数的导数求解最值，然后转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的综合应用，考查数形结合以及转化思想的应用．14.答案：−1385解析：解：∵tanα=2，∴sinα−3cosαsinα+cosα=tanα−3tanα+1=2−32+1=−13；sin2α+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α+2tanαtan2α+1=4+44+1=85．故答案为：−13,8 5．把要求值的式子化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15.答案：782解析：本题主要考查三角函数的性质和值域问题．解：由正弦函数的性质可知，，．故答案为．16.答案：−4(−∞,−48]∪(494，49]解析：解：根据定义可知，T 332=3(3−1)−(3−[32]+1)32(32−1)−(32−[32]+1)=−4；T 8x=8×7−(9−[x])x(x−1)−x+[x]−1=47+[x]x 2−2x−1+[x]，当32≤x <2时，[x]=1，x 2−2x −1+1=(x −1)2−1∈[−1,0)，故T 8x≤−48， 当2≤x <3时，[x]=2，x 2−2x −1+2=(x −1)2∈[1,4)，故494<T 8x≤49， 故答案为(−∞,−48]∪(494,49]．根据定义计算出T 332的值，建立函数T 8x的函数关系式，再讨论求出其值域．本题考查新定义下函数的值域，属于中档题目．17.答案：32√17解析：本题考查的知识要点：三角函数的变换，余弦定理和三角形面积公式的应用． 直接利用三角函数的定义和余弦定理求出结果．解：①在△ABC 中，D 是边BC 中点，且cos∠ADC =cosC =13， 则：作△ACD 的高线AE ，设AD =AC =3x ， 所以：CE =x ，ED =x 所以：CD =2x 解得：ACCD =32．②设AC =3x ，CD =2x ， 在△ACD 中，利用余弦定理得：9=9x 2+4x 2−2⋅3x ⋅2x ⋅13， 解得：x =1，所以：AC =3，BC =4，则：AB 2=AC 2+BC 2−2⋅AC ⋅BC ⋅cosC ， =17，所以：AB =√17． 故答案为32，√17．18.答案：解：(1)由于函数y =12sin(2x +π6)+54，x ∈R ，故当2x +π6=2kπ+π2，k ∈z ，即x =kπ+π6时，函数y 取得最大值为12+54=74，故要求的自变量x 的集合为{x|x =kπ+π6,k ∈z}．(2)把y =sinx 的图象向左平移π6个单位，可得y =sin(x +π6)的图象； 再把所得图象的各点的横坐标变为原来的12倍，可得y =sin(2x +π6)的图象； 再把所得图象的各点的纵坐标变为原来的12倍，可得y =12sin(2x +π6)的图象； 再把所得图象向上平移54个单位，可得y =12sin(2x +π6)+54的图象．解析：(1)由条件根据正弦函数的最值条件求得函数值y 取最大值时，自变量x 的集合． (2)由条件根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查正弦函数的最值，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．19.答案：(1)a n =2n−1，b n =(2)(n −1)·2n +1．解析：(1)由S n =2a n −1，得S 1=2a 1−1，∴a 1=1． 又S n =2a n −1，S n−1=2a n−1−1(n ≥2)，两式相减，得S n −S n−1=2a n −2a n−1，a n =2a n −2a n−1． ∴a n =2a n−1，n ≥2.∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． ∴a n =1·2n−1=2n−1．由b n−1−b n =b n b n−1(n ≥2,n ∈N ∗)，得−=1．又b 1=1，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．∴=1+(n −1)·1=n.∴b n =．(2)由(1)可知=n ·2n−1，∵T n =1·20+2·21+⋯+n ·2n−1，∴2T n =1·21+2·22+⋯+n ·2n ． 两式相减，得−T n =1+21+⋯+2n−1−n ·2n =−n ·2n =−1+2n −n ·2n ．∴T n =(n −1)·2n +120.答案：解：(1)∵sinα=35，α∈(π2,π)，∴cosα=−√1−sin 2α=−45，∴tanα=sinαcosα=−34， ∵tan(π−β)=12， ∴−tanβ=12， ∴tanβ=−12．(2)∵tan2β=2tanβ1−tan β=2×(−12)1−(−12)2=−43，∴tan(α−2β)=tanα−tan2β1+tanαtan2β=(−34)−(−43)1+(−34)(−43)=724．解析：(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用诱导公式可求tanβ的值． (2)利用两角和的正切函数公式可求tan2β的值，进而根据两角差的正切函数公式即可计算得解． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的正切函数公式，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21.答案：(1)证明：递推关系可变形为：1a n+12=a n 2+b n 2(a n +b n )2，b n+12=(a n +b n )2a n2(n ∈N ∗)，两式相乘得：b n+12a n+12=a n 2+b n 2a n2=b n2a n2+1(n ∈N ∗)，即c n+1=c n +1(n ∈N ∗)，又a 1=2b 12，∴c 1=b 12a 12．∴数列{c n }是首项为12，公差为1的等差数列，故{c n }的通项公式：c n =c 1+(n −1)d =12+(n −1)×1=n −12；(2)解：由(1)知道，S n =(12+n−12)n2=n 22，a n =a 1×(12)n−1=12n−1，∴∑a i n i=1√S i =∑12ni=1⋅√2=√2∑i2n i=1． 记T n =∑i2i n i=1=12+222+323+⋯+n2n ①12T n=122+223+324+⋯+n2n+1 ② 由①−②得：12T n =12+122+123+⋯+12n −n2n+1 =12(1−(12)n )1−12−n 2n+1=1−2+n 2n+1．∴T n =2−2+n 2n．∴√2(2−2+n 2n)≤k −√2n2n， 即对于任意的正整数n ，不等式k ≥2√2−2√22n恒成立，∴k ≥(2√2−2√22n )max， 当n =1时，(2√2−2√22n )max=√2．∴k 的范围是[√2,+∞).解析：(1)把b n+1=1+b na n 右边通分后两边平方，与a n+12=(a n +b n )2a n 2+b n2两边作积即可证得数列{c n }是等差数列，由等差数列的通项公式求其通项公式；(2)求出数列{c n }的前n 项和为S n ，代入∑a i n i=1√S i 整理，利用错位相减法求其和，由不等式∑a i n i=1√S i ≤k −√2n2n分离k 后求得函数的最大值得答案．本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，属中高档题．22.答案：解：若实数a 满足条件，则只需f(−1)⋅f(3)≤0即可．f(−1)⋅f(3)=(1−3a +2+a −1)⋅(9+9a −6+a −1)=4(1−a)(5a +1)≤0.所以a ≤−15或a ≥1．检验：(1)当f(−1)=0时，a =1.所以f(x)=x 2+x.令f(x)=0，即x 2+x =0.得x =0或x =−1． 方程在[−1,3]上有两根，不合题意， 故a ≠1．(2)当f(3)=0时，a =−15，此时f(x)=x 2−135x −65.令f(x)=0，即x 2−135x −65=0，解之得x =−25或x=3.方程在[−1,3]上有两根，不合题意，故a≠−1．5或a>1．综上所述：a的取值范围为a<−15解析：此题考查的是函数与方程的综合应用类问题．在解答时，先结合存在性问题的特点先假设存在a符合题意，然后将问题转化为函数零点存在性的问题结合二次函数的特点即可获得问题的解答，注意验证．此题考查的是函数与方程的综合应用类问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、零点存在性知识以及结果验证的技巧．值得同学们体会反思．。
2019-2020学年绍兴市诸暨中学平行班高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年绍兴市诸暨中学平行班高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 等价条件3. 数列{}的通项公式是=()，那么与的大小关系是( )A. >B. <C. =D. 不能确定4. 已知直角△ABC ，AB =AC =3，P ，Q 分别为边AB ，BC 上的点，M ，N 是平面上两点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，(PB⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且直线MN 经过△ABC 的外心，则|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 12B. 23C. 1D. 25. 已知函数y =f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(2+x)=f(2−x)，若函数y =f(x)在(0,4)上至少有1个零点，且f(0)=0，则函数y =f(x)在(−8,10]上至少有( )个零点．A. 7B. 9C. 11D. 136. 设函数f(x)是偶函数，且当x >0时，f(x)=2x+1，则在区间[−4,−2]内，函数f(x)( )A. 单调递增，最大值25 B. 单调递减，最大值23 C. 单调递增，最小值23D. 单调递增，最大值237. 已知函数f(x)=Acos 2(ωx +φ)+1(A >0,ω>0,0<φ<π2)的最大值为3，f(x)的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)++f(2020)的值为( )A. 2458B. 3501C. 4040D. 57398. 不等式√2sin x 2cos x 2+√6cos 2x 2−√62−m ≥0对于x ∈[−π6,π3]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,√62]B. (−∞,√22]C. (−∞,√2]D. [√22,+∞)9.设f(x)在R上可导，其导数为f′(x)，给出下列四组条件：①p：f(x)是奇函数，q：f′(x)是偶函数；②p：f(x)是以T为周期的函数，q：f′(x)是以T为周期的函数；③p：f(x)在区间(−∞,+∞)上为增函数，q：f′(x)>0在(−∞,+∞)恒成立；④p：f(x)在x0处取得极值，q：f′(x0)=0．由以上条件中，能使p⇒q成立的序号为()．A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④10.若偶函数f(x)在区间[−5,0]上是增函数且最小值为−4，则f(x)在区间[0,5]上是()A. 减函数且最小值为−4B. 增函数且最小值为−4C. 减函数且最大值为4D. 增函数且最大值为4二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.已知函数f(x)=若直线y=m与函数f(x)的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．12.已知函数f(x)=x(x5−16x2+x−4)，且f(x)≥f(x0)对x∈R恒成立，则曲线y=f(x)在点x )处的切线的斜率为______．(x0,f(x0)x013.如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是________．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.z=1+3i，则z的共轭复数z−=(1)，z⋅z−=(2)．2+i15.计算：lg4+lg25=(1)) −12=(2)．4+20−(11616.函数y=的定义域是(1)；最小值是(2)．√x17.如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB=AC=3，D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且DE⊥EF，BE=2EC.则①EFDE=(1)；②△DEF面积的最大值为(2)．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinA(sinB+√3cosB)=√3sinC．(1)求角A的大小；(2)若a=3，求△ABC周长的取值范围．19.设函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34，x∈R．(1)设α,β∈[0,π2]，f(α2+π12)=526,f(β2−5π12)=−310，求sin(α−β)的值．(2)△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列；且a+c=6，f(B2)=√34，求△ABC的面积．20. 直线x +y =a 与圆x 2+y 2=3交于A 、B 两点，O 为原点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，求实数a 的值．21. (本小题10分) 已知正实数a 、b 、c 满足条件a +b +c =3，(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若c =ab ，求c 的最大值．22. 设函数f(x)=x 2−mlnx ，ℎ(x)=x 2−x +a(Ⅰ)当a =0时，f(x)≥ℎ(x)在(1,+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)当m =2时，若函数g(x)=f(x)−ℎ(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：先求解一元二次不等式化简集合A，B，然后分析集合B的左端点的大致位置，结合A∩B中恰含有一个整数得集合B的右端点的范围，列出无理不等式组后进行求解解：由x2+2x−3>0，得：x<−3或x>1.由x2−2ax−1≤0，得：a−≤x≤a+.所以，A={x|x2+ 2x−3>0}={x|x<−3或x>1}，B={x|x2−2ax−1≤0,a>0}={x|a−≤x≤a+ }.因为a>0，所以a+1>，则a−>−1且小于0.由A∩B中恰含有一个整数，所以2≤a+<3.解得所以，满足A∩B中恰含有一个整数的实数a的取值范围是，选B．考点：交集及其运算点评：本题考查了交集及其运算，考查了数学转化思想，训练了无理不等式的解法，求解无理不等式是该题的一个难点．此题属中档题．2.答案：A解析：试题分析：分析法是从要证明的结论出发，逐步的去寻找使结论成立的条件，即由哪些条件能推得结论成立，所以要找的条件是结论的充分条件考点：分析法点评：分析法是从结论入手去寻找使其成立的条件，综合法是从已知，定理入手逐步推证所求结论，这两种方法在求解证明题时经常结合应用3.答案：B解析：试题分析：因为=，所以，所以<．考点：本小题主要考查数列的单调性的判断．点评：判断与的大小关系，即判断数列的单调性，基本的方法是作差法比较两个数的大小．4.答案：D解析：解：建立坐标系将，将直角三角形放入坐标系中， 若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即A 是PM 的中点，∵直线MN 经过△ABC 的外心， ∴直线MN 经过BC 的中点E ， ∵(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即PQ ⊥BC ，AE ⊥BC ， 则PN//AE ，PN =2AE =2×3√2=6√2， ∵PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PN =3PQ =6√2， 即PQ =2√2，直线BC 的方程为x +y −3=0， 设P(0,m)，0<m <3， 则PQ =|m−3|√2=2√2，即|m −3|=2，则m =1或m =5(舍)， 即P(0,1)，则|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BP|=2， 故选：D ．建立坐标系，利用坐标法将直角三角形放入坐标系中，根据AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到A 是PM 的中点，以及PQ ⊥BC ，结合三角形的长度关系转化为点到直线的距离进行求解即可．本题主要考查向量数量积的应用，利用坐标法结合数形结合，条件中点坐标公式以及直线垂直的条件进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．5.答案：B解析：解：∵函数y =f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(2+x)=f(2−x)， ∴f(2+x)=f(2−x)=f(x −2)，即f(x +4)=f(x)，则函数f(x)是周期4的周期函数，∵f(0)=0，∴f(0)=f(4)=f(8)=f(−4)=0，此时有4个零点，设函数y =f(x)在(0,4)上的零点为a ，则f(0−a)=f(4−a)=f(−a)=f(a)=0， 则得4−a =a ，解得a =2，即f(2)=0，则f(−2)=f(2)=0， 则f(2)=f(6)=f(10)=f(−2)=f(−6)=0，此时有5个零点， 则函数y =f(x)在(−8,10]上至少有9个零点， 故选：B根据条件判断函数的周期性，根据函数函数的奇偶性和周期性寻找零点即可得到结论． 本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数周期性和奇偶性的性质是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：当x >0时，f(x)=2x+1为减函数，则在[2,4]上，f(x)的最大值为f(2)=23，最小值为f(4)=25， ∵函数f(x)是偶函数，∴在区间[−4,−2]内为增函数，且最大值为f(−2)=23，最小值为f(−4)=25， 故选：D根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可．本题主要考查函数单调性和最值的判断，根据函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．7.答案：C解析：解：∵已知函数f(x)=Acos 2(ωx +φ)+1(A >0,ω>0,0<φ<π2)的最大值为A +1=3，故A =2．f(x)的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，∵f(0)=2cos 2φ+1=2，∴cosφ=√22，φ=π4，即f(x)=2cos 2(ωx +π4)+1=cos(2ωx +π2)+2=−sin2ωx +2．再根据其相邻两条对称轴间的距离为12T =12⋅2π2ω=2，可得ω=π4，f(x)=−sin π2x +2， 故函数的周期为2ππ2=4．∵f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+2+3+2=8，∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2020) =505⋅[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=4040，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性，求得要求式子的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，函数的周期性的应用，属于基础题．8.答案：B解析：解：不等式等价为√22sinx+√6⋅cosx2−m≥0，⇒√2sin(x+π3)≥m，∵∀x∈[−π6,π3]恒成立，∴x+π3∈[π6,2π3]，则√2sin(x+π3)∈[√22,√2]，∴m≤√22，故选：B．利用辅助角公式进行转化，结合不等式恒成立求出三角函数的最值即可．本题主要考查三角函数恒成立问题，利用辅助角公式进行化简，转化为求最值是解决本题的关键．是中档题．9.答案：B解析：由f(−x)=−f(x)，得−f′(−x)=−f′(x).∴f′(−x)=f′(x).即f′(x)是偶函数①正确．易知②正确．③不正确．根据f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0取得极值的必要不充分条件，∴④正确．10.答案：A解析：解：∵f(x)在区间[−5,0]上是增函数，最小值是−4，∴f(−5)=−4，又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,5]上单调递减，f(x)≥f(5)=f(−5)=−4．即f(x)在区间[0,5]上的最小值为−4，综上，f(x)在[0,5]上单调递减，且最小值为−4．根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，可知f(x)在区间[0,5]上的单调性，再由所给最小值为−4，可求f(x)在[0,5]上的最值．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，属基础题．11.答案：(0,1)解析：分别画出函数y =2x (x <0)和y =log 2x(x >0)的图像，不难看到当0<m <1时，直线y =m 与函数f(x)的图像有两个不同的交点．12.答案：17解析：解：因为f(x)=x(x 5−16x 2+x −4)=x 6−16x 3+x 2−4x =(x 3−8)2−(x −2)2−68， ∴当x =2时，函数取得最小值即x 0=2， ∵(f(x)x)′=5x 4−32x +1，∴则曲线y =f(x)x在点(x 0,f(x 0)x 0)处的切线的斜率k =5×24−32×2+1=17．故答案为：17由已知结合导数可求x 0，然后结合导数的几何意义即可求解．本题主要考查了导数的几何意义及最值的求解，考查了推理与论证的能力．13.答案：6解析：由数量积的定义得·=||·||cos∠NAM ，当N 点与C 点重合时，||cos∠NAM 最大，解三角形得最大值为，所以·的最大值是6．14.答案：1−i2解析：解：∵z =1+3i 2+i=(1+3i)(2−i)(2+i)(2−i)=5+5i 5=1+i ，∴z −=1−i ，z⋅z−=|z|2=(√2)2=2．故答案为：1−i；2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求z−，然后利用z⋅z−=|z|2求z⋅z−．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．15.答案：21解析：解：lg4+lg25=lg100=2．4+20−(116) −12=4+1−2−4×(−12)=5−4=1．故答案为：2，1．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.答案：(0,+∞)4解析：本题考查了函数的定义域和利用基本不等式求最值，利用基本不等式y=√x =√x√x≥2√√x·4√x=4，即可得出结果．解：函数y=√x的定义域是(0,+∞)，y=√x =√x+√x≥2√√x·√x=4，当且仅当√x=√x，即x=4，等号成立，故答案为(0,+∞)；4 ．17.答案：124−2√2解析：解：如图，作EN⊥AC于N，作EM⊥BC于M，可得F在线段MN上运动．∵AB=AC=3，BE=2EC.则CE=√2，BE=2√2，设CF=x，DB=y，(x、y∈[1,√2])，在△CEF中，由余弦定理可得EF2=CF2+CE2−2CF⋅CEcos45°=x2−2x+2，同理可得DE2=y2−4y+8，由勾股定理可得DF2=(3−x)2+(3−y)2，由EF2+ED2=FD2，即可得x2−2x+2+y2−4y+8=(3−x)2+(3−y)2，整理得：2x+y=4①，∴EF2DE2=x2−2x+2y2−4y+8=x2−2x+24x2−8x+8=14，EFDE=12②，△DEF面积为S=12EF⋅DE=EF2=x2−2x+2=(x−1)2+1∈[1,4−2√2]；∴△DEF面积的最大值为4−2√2．作EN⊥AC于N，作EM⊥BC于M，可得F在线段MN上运动，设CF=x，DB=y，(x、y∈[1,√2])，由EF2+ED2=FD2，整理得：2x+y=4①，EF2DE2=x2−2x+2y2−4y+8=x2−2x+24x2−8x+8=14，EFDE=12②，△DEF面积为S=12EF⋅DE=EF2=x2−2x+2=(x−1)2+1∈[1,4−2√2]，本题考查了解三角形，考查了转化思想、计算能力，属于中档题．18.答案：(本题满分为12分)解：(1)由A+B+C=π，得sinC=sin(A+B)，代入已知条件得：sinAsinB+√3sinAcosB=√3sinAcosB+√3cosAsinB，…(1分)即：sinAsinB=√3cosAsinB，…(3分)∵sinB≠0，由此得tanA=√3，…(4分)∵0<A<π，∴A =π3.…(6分)(2)由上可知：B +C =2π3，∴C =2π3−B ．由正弦定理得：2R =asinA =3sin π3=2√3，…(7分)∴b +c =2R(sinB +sinC)=2√3[sinB +sin(2π3−B)]=2√3(32sinB +√32cosB)=6sin(B +π6)，…(9分) ∵由0<B <2π3得：12<sin(B +π6)≤1， ∴3<b +c ≤6，且a =3，∴△ABC 周长的取值范围为(6,9].…(12分)解析：(1)由三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得sinAsinB =√3cosAsinB ，又sinB ≠0，由此得tanA =√3，结合范围0<A <π，即可求A ． (2)由上可知C =2π3−B.由正弦定理得：2R =a sinA =3sin π3=2√3，可得b +c =6sin(B +π6)，结合B的范围即可求得b +c 的范围，结合a =3，即可得解．本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理，正弦函数的图象和性质的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．19.答案：解：(1)f(x)=sinx(12cosx −√32sinx)+√34=14sin2x −√32⋅1−cos2x 2+√34=12sin(2x +π3)，∴f(α2+π12)=12sin(α+π2)=12sinα=526，即sinα=513；f(β2−5π12)=12sin(β−π2)=−12cosβ=−310，即sinβ=35， ∵α，β∈[0,π2]， ∴cosα=1213，cosβ=45， 则sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=1665； (2)∵f(B2)=12sin(B +π3)=√34，即sin(B +π3)=√32， ∴B +π3=2π3，即B =π3， 又a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac ，由余弦定理知12=a 2+c 2−b 22ac =(a+c)2−3ac2ac =36−3ac 2ac，即ac =9，则△ABC 的面积S =12acsinB =9√34．解析：(1)f(x)解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，确定出sinα与sinβ的值，进而求出cosα与cosβ的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；(2)由f(B2)=√34求出B 的度数，由a ，b ，c 成等比数列，利用等比数列的性质得到b 2=ac ，利用余弦定理列出关系式，将cos B 以及b 2=ac 代入求出ac 的值，再由sin B 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积．此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，等比数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20.答案：解：联立直线x +y =a 与圆x 2+y 2=3，消掉y 并整理得：2x 2−2ax +a 2−3=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则由韦达定理得： x 1+x 2=a ，x 1x 2=a 2−32，∴y 1y 2=(a −x 1)(a −x 2)=a 2−a(x 1+x 2)+x 1x 2 =a 2−a 2+x 1x 2=a 2−32又OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴x 1x 2+y 1y 2=2，代入解得a =±√5．解析：联立方程得到方程组，消元得到2x 2−2ax +a 2−3=0，由韦达定理得x 1x 2，y 1y 2再由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，代入可求解． 本题考查直线与圆的位置关系，注意韦达定理及整体思想的运用，属基础题．21.答案：解：(Ⅰ)由柯西不等式得 (√a +√b +√c)2≤(a +b +c)(1+1+1)代入已知a +b +c =3， ∴ (√a +√b +√c)2≤9， ∴ √a +√b +√c ≤3当且仅当=b =c =1，取等号． (Ⅱ)由 a +b ≥2√ab ， 得 2√ab +c ≤3，若c=ab，则2√c+c≤3，(√c+3)(√c−1)≤0，所以√c≤1，即c≤1，当且仅当a=b=1时，∴c有最大值1．解析：本题考查柯西不等式的应用．(I)利用柯西不等式得(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)≥(am+bn+cp)2得(√a+√b+√c)2≤(a+ b+c)(1+1+1)，代入已知a+b+c=3即得；(Ⅱ)由a+b≥2√ab，得2√ab+c≤3，若c=ab，由(I)得2√c+c≤3，(√c+3)(√c−1)≤0，从而得出c≤1即得．22.答案：解：(I)由a=0，f(x)≥ℎ(x)可得−mlnx≥−x，即m≤xlnx记φ=x，则f(x)≥ℎ(x)在(1,+∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min．lnx求得φ′(x)=lnx−1ln2x当x∈(1,e)时；φ′(x)<0；当x∈(e,+∞)时，φ′(x)>0故φ(x)在x=e处取得极小值，也是最小值，即φ(x)min=φ(e)=e，故m≤e．(II)函数k(x)=f(x)−ℎ(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x−2lnx=a，在[1,3]上恰有两个相异实根．令g(x)=x−2lnx，则g′(x)=1−2x当x∈[1,2)时，g′(x)<0，当x∈(2,3]时，g′(x)>0g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．故g(x)min=g(2)=2−2ln2又g(1)=1，g(3)=3−2ln3∵g(1)>g(3)，∴只需g(2)<a≤g(3)，故a的取值范围是(2−2ln2,3−2ln3]解析：(I)由a=0，我们可以由f(x)≥ℎ(x)在(1,+∞)上恒成立，得到−mlnx≥−x，即m≤x在lnx (1,+∞)上恒成立，构造函数φ=x，求出函数的最小值，即可得到实数m的取值范围；lnx(Ⅱ)当m=2时，我们易求出函数g(x)=f(x)−ℎ(x)的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为x−2lnx=a，在[1,3]上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案．本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，其中(I)的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，(II)的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于a的不等式组．。
浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
绍兴2023学年第一学期期中考试高二（数学）试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.已知向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，若a b ⊥ ，则y =（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为0计算即可.【详解】因为向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，a b ⊥，所以()122610a b y ⋅=⨯++⨯-=，解得2y =，故选：D.2.已知过()3,1A 、()1,3B -的直线与过()3,C m -、(),2D n 的直线互相垂直，则点(),m n 有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】D 【解析】【分析】根据直线的两个已知点，求得斜率，结合垂直直线的斜率关系，建立方程，可得答案.【详解】由()3,1A 与()1,3B -，则直线AB 的斜率13231AB k +==-，由AB CD ⊥，则直线CD 的斜率存在，即3n ≠-，且112CD AB k k -==-，由()3,C m -与(),2D n ，则2132m n -=-+，整理化简可得27n m =-，显然该方程有无数个解.故选：D.3.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（）A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m【答案】B 【解析】【分析】设半径为R ，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R ，()22212.52R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得251544R +=,化简得 1.3R =.故选：B.4.已知抛物线()220y px p =>的焦点在圆224x y +=上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】根据焦点坐标即可求解4p =，由p 的几何意义即可求解.【详解】由于抛物线()220y px p =>的焦点为x 正半轴上，224x y +=与x 正半轴的交点为()2,0，故抛物线的焦点为()2,0，所以242pp =⇒=，因此抛物线的焦点到准线的距离为4p =，故选：C5.已知()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，则222PA PB PC ++的最大值（）A.72B.80C.88D.100【答案】C 【解析】【分析】分析两直线特征，恒过定点，联立两直线方程，消去k ，得到交点P 的轨迹方程，然后借助于P 的坐标范围，求出222PA PB PC ++的最大值.【详解】直线l 1：20kx y k --=变形为()20k x y --=直线恒过定点()2,0，直线l 2：20x ky ++=直线恒过定点()2,0-，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，联立2020kx y k x ky --=⎧⎨++=⎩，消去k ，得224x y +=所以P 是以()0,0为圆心，半径为2的圆上一点，设(),P x y 且22y -≤≤，()()()()()()22222222222264+2P x y C x y x B P y A P =++++++-++-++[]22334681246880472,88x y y y y =+-+=-+=-∈，所以222PA PB PC ++的最大值为88，故选：C .6.已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左焦点为F 1，M 为C 的渐近线上一点，M 关于原点的对称点为N ，若190MF N ∠=︒，且11F N M ，则C 的渐近线方程为（）A.3y x =± B.y = C.6y x =±D.y =【答案】B 【解析】【分析】根据直角三角形的性质即可求解160,MOF ∠=︒即可求解.【详解】如图所示，根据对称性，不妨设M 在左支,由于190MF N ∠=︒，且11F N M ，所以1160,2M F N MN MF ∠=︒=，由于,M N 关于原点对称，所以=OM ON ,结合190MF N ∠=︒可得1||||F OM ON O ==，所以160,MOF ∠=︒故渐近线MN 的倾斜角为60 ，∴双曲线C 的渐近线方程为y =．故选：B7.如图，由点P (3,0)-射出的部分光线被椭圆22:14x C y +=挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆C 的“外背面”．若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则实数t 的取值范围为（）A.3085853055t +-≤≤ B.3085853055t ≤≤C.30585555t +-≤≤ D.30585555t -≤≤【答案】B 【解析】【分析】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，进而可得切线方程，利用新定义可求t 的最值，进而可求实数t 的取值范围．【详解】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，联立方程组22(3)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214243640k x k x k +++-=，则()()()2222244143640k k k ∆=-+-=，即251k =，解得55k =±，所以切线PM 的方程为：(3)5y x =+50y -+=，切线PN 的方程为：(3)5y x =-+50y ++=，若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则与PN 相切时t 1=，解得5t =-或5t =，结合图形可得t 的最小值为30855-，则与PM 相切时t 1=，解得85305t =或85305t =，结合图形可得t 的最大值为5-，55t -≤≤．故选：B.8.教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量()(),,0u a b c abc =≠，点()0000,,P x y z ，点(),,P x y z ．（1）若直线l 经过点0P ，且以u为方向向量，P 是直线l 上的任意一点，求证：000x x y y z z a b c---==；（2）若平面α经过点0P ，且以u 为法向量，P 是平面α内的任意一点，求证：()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为70x y z -+-=，直线l 是平面230x y +-=与10x z ++=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.9B.5C.15D.55【答案】A 【解析】【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式即可.【详解】 平面α的方程为70x y z -+-=，∴平面α的一个法向量()1,1,1m =-，同理，可得平面230x y +-=的一个法向量()1,2,0n =，平面10x z ++=的一个法向量()1,0,1p = ，设平面230x y +-=与平面10x z ++=的交线的方向向量为(),,q x y z =，则200q n x y q p x z ⋅=+=⎧⎨⋅=+=⎩，取1y =，则()2,1,2q =- 设直线l 与平面α所成角为θ，则sin cos ,9m q m q m qθ⋅===故选：A【点睛】本题属于创新题目，是数学探索创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成的角，利用的法向量和方向向量的关系.二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.10y ++=的倾斜角为120︒B.经过点()2,1P ，且在,x y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C.直线:20l mx y m ++-=恒过定点()1,2-D.直线1:210l x ay ++=，()2:140l a x y ---=，若12l l ⊥，则1a =-【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据直线方程，求得其斜率，利用斜率的定义，结合正切函数的定义，可得答案；对于B ，由题意，设出直线的点斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；对于C ，整理函数的一般方程，建立方程组，可得答案；对于D ，利用分类讨论思想，结合垂直直线的关系，建立方程，可得答案.【详解】对于A10y ++=，可得其斜率1k =，设其倾斜角为θ，则tan θ=，由[)0,πθ∈，则解得120θ= ，故A 正确；对于B ，由题意，直线斜率一定存在，可设为()220k k ≠，由过()2,1P ，则()212y k x -=-，令0y =，则212x k =-，令0x =，则212y k =-，由题意可得()221212k k -=--，整理可得2222310k k -+=，解得212k =或1，所以直线方程为20x y -=或10x y --=，故B 错误；对于C ，由直线方程20mx y m ++-=，整理可得()120x m y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2-，故C 正确；对于D ，当1a =时，直线1:210l x y ++=，则111,2A B ==，直线2:40l y +=，则220,1A B ==，由1212102120A A B B +=⨯+⨯=≠，则此时不符合题意；当1a ≠时，直线1:210l x ay ++=，则111,2A B a ==，直线()2:140l a x y ---=，则221,1A a B =-=-，由12l l ⊥，则()()121211210A A B B a a +=⨯-+⨯-=，解得1a =-，则此时符合题意，故D 正确.故选：ACD.10.已知点P 在⊙O ：x 2+y 2＝4上，点A （3，0），B （0，4），则（）A.线段AP 长度的最大值是5B.满足15PBO ∠= 的点P 有且仅有2个C.过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点（12，1）D.2|PA |+|PB |的最小值为【答案】AD 【解析】【分析】圆上点到圆外点距离最大值为圆心与圆外点的距离加上半径，判断A ；利用15PBO ∠= 找到PB 直线，求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系判断B ；作图通过图象分析判断C ；设设(),P x y ，设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，进而求出点P 的轨迹方程，结合点P 在⊙O 上个求得答案，判断D.【详解】对于A ，x 2+y 2＝4圆心()0,0O ，半径2r =，3OA ==，所以max 5AP OA r =+=，故A 正确；对于B ，由题意知，当15PBO ∠= 时，()0,0O 到PB 直线距离等于4sin152=< ，此时符合要求PB 一共两条，且直线与⊙O 相交，故满足15PBO ∠= 的点P 有4个，故B 错误；对于C ，如图，显然过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 不过定点（12，1），故C 错误；对于D ，2PA PB +的最小值，即为122PA PB ⎛⎫+⎪⎝⎭的最小值，假设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，设(),P x y ，=，化简得()2223381164x y t y t ++-=-，因为224x y +=，则有()2211t y t -=-，即()()1210t y t ---=，所以1t =，()0,1C ，所以()222PA PB PA PC AC +=+=≥，所以D 正确，故选：AD.11.如图，已知抛物线24y x =，过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线与圆()2211x y -+=于,,,A C D B 四点，则（）A.3OA OB ⋅=-B.1AC BD ⋅=C.当直线l643AB AF ⋅= D.418AF BF +≥【答案】ABC 【解析】【分析】根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A ，根据焦半径即可求解BC ，结合基本不等式即可求解D.【详解】由题意可得()1,0F 设直线l 方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y 241y xx ty ⎧=⎨=+⎩,则2440y ty --=，所以12124,4y y t y y +==-，对于A ，()21212121231416y y x x y y OA y y OB +=+=-=⋅=- ，故A 正确，对于B ，()()()()()1212212111111116AC BD AF BD x x x y x y ⋅=-⋅-=+-⋅+===-，B 正确，对于C ，当直线l 直线l 方程为)1y x =-，联立直线与抛物线方程可得231030x x -+=，解得1213,3x x ==，所以()12123102,33x x y y +=++=所以()()121166421433AB AF x x x ⋅=+++=⨯=，故C 正确，对于D ，()()()()()1212121212421111111122t y y x x AF BF x x x x ty ty +++++=+==++++++，将12124,4y y t y y +==-代入可得()()()()21221212124114412224t y y t AF BF ty ty t y y t y y ++++===+++++，所以()445549411F AF BF AF BF BF AF AF BF AF B ⎛⎫+=+=+≥+= ⎪+⎪⎝⎭+ ，故D 错误，故选：ABC12.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体内及表面上一点，且1AP mAB nAD =+ ，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，则下列说法正确的是（）A.当12n =时，1B P 与平面ABCD 所成角的最大值为π3B.当1m n +=时，11A C BP ⊥恒成立C.存在[]0,1n ∈，对任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立D.当1m n +=时，22PA PC +的最小值为74【答案】BC 【解析】【分析】根据题意画出正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行逐项求解判断.【详解】由题意得：以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x ，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如下图：则：()1,0,0A ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，()10,1,1C ，()10,0,1D ，()0,1,0AB = ，()11,0,1AD =- ，(),,AP n m n =-，得：()1,,P n m n -对于A 项：当12n =时，11,,22P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,1,22B P m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，平面ABCD 的一个法向量为：()0,0,1m =，设1B P 与平面ABCD 所成的角为θ，所以：1111·2sin cos ,B P mB P m B P mθ===因为：[]0,1m ∈，所以：()21131222m ≤+-≤，所以：当1m =时，sin θ有最大值2，此时：π4θ=，故A 项错误；对于B 项：()111,1,0A C =- ，(),1,BP n m n =--则：11·10AC BP n m =+-= ，所以：11AC BP ⊥，所以：11A C BP ⊥，故B 项正确；对于C 项：由题意知平面11ABB A 的一个法向量为：()1,0,0n =，()1,1,CP n m n =-- ·1CP n n =- ，所以：当1n =时，·10CP n n =-= ，即：CP n ⊥，且CP 不在平面11ABB A 内，此时：对于任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立，故C 项正确；对于D 项：当1m n +=时，得：(),,1P m m m -，()()()()22222222224111168433PA PC m m m m m m m m +=-++-++-+-=-+=-+⎭，当23m =时，有最小值43，故D 项错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.两条平行直线3210x y --=与3210x y -+=间的距离______________．【答案】21313【解析】【分析】根据两平行线间距离公式计算．【详解】由题意13d==．故答案为：13．14.已知()2,4,a x=，()2,1,2b=r，()2,2,1c=-r，且,,a b c共面，则x的值为_____．【答案】5【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，建立方程组，可得答案.【详解】设,Rλμ∈，则a b cλμ=+，可得222422xλμλμλμ=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得215xλμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为：5.15.已知点()()0020A B，,，，圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则r的取值范围是__________．【答案】37r<<【解析】【分析】根据数量积的坐标运算可得点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，即可根据两圆有两个交点求解.【详解】设(),P x y，则()()22,2,23PA PB x y x y x x y⋅=--⋅--=-+=，由2223x x y-+=得()2214x y-+=，故点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，要使圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则()2214x y-+=与()()222440M x y r r-+->=：（）两圆有两个交点，故22r r-<+，解得37r<<，故答案为：37r<<16.已知椭圆2221(1)x y mm+=>和双曲线2221(0)x y nn-=>有共同的焦点12,F F，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221211e e +的值为____________．【答案】2【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义得到,m n 关于c 的表达式，结合离心率的定义求解即可.【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为c ，则22211m n c -=+=，则22221222,c c e e m n==，22221,1m c n c =+=-，所以22222222122211211m n e e c cc c c c ++-=+=+=.故答案为：2．四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.三棱柱111ABC A B C -中，12BM MA =uuu r uuu r ，11C N NB =uuu r uuu r ．设AB a =，AC b =，1AA c =．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若1160BAC BAA CAA ∠=∠=∠=︒，11AB AC AA ===，求MN 的长．【答案】（1）111623MN a b c=++（2）56【解析】【分析】（1）根据向量的数乘与加法运算，结合题意，可得答案；（2）根据向量的数量积运算，可得答案.【小问1详解】由12BM MA =uuu r uuu r ，则1113MA BA =uuu r uuu r ，由11C N NB =uuu r uuu r，则11112B N BC =uuu r uuu u r ，由图形知()()111111*********MN MA A B B N BA AB B C c a a b a =++=++=-++-111623a b c =++ ．【小问2详解】由题设条件：1cos cos602a b a b BAC ⋅=∠==or r r r ，同理可得12a b b c ⋅=⋅= ，则()222221111||94612462336MN a b c a b c a b b c a c⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭()1251943623636=+++++=，∴11156236MN a b c =++= .18.如图，在平行四边形OABC 中，点O 是原点，点A 和点C 的坐标分别是()()3013D ，,，,为线段AB 上的动点．（1）当D 运动到AB 中点时，求直线CD 的一般式方程；（2）求线段CD 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）35180x y +-=（2）5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据斜率公式计算35CD k =-，即可由点斜式求解方程，（2）根据中点坐标公式，代入AB 方程中即可求解.【小问1详解】∵()()1,3,4,3C B ∴,故7322D ⎛⎫⎪⎝⎭，，35CD k =-．所以直线CD 方程为()3315y x -=--，即35180x y +-=∴CD 所在直线方程一般式是35180x y +-=．【小问2详解】设点M 的坐标是(),M x y ，点D 的坐标是()00,D x y ，由平行四边形的性质得()43B ，,∵M 是线段CD 的中点，∴0031,22y x y x ++==，于是有0021,23x x y y -==-，直线AB 的方程为()33y x =-，∵点D 在线段AB 上运动，∴()00039034x y x =≤--≤，，∴()()3212390x y -=---，即5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭．19.已知圆C 过点()8,1A ，且圆C 与两坐标轴均相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）若半径小于6的圆C 与直线:0l x y m -+=交于A 、B 两点，____，求m 的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB ∠= ；条件②：AB =．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】（1）()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=（2）条件选择见解析，2m =±【解析】【分析】（1）设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，根据已知条件得出()()22281a b r -+-=，r a b ==，分a b =、=-b a 两种情况讨论，求出a 的值，即可得出圆C 的方程；（2）求出圆C 的方程，选①或选②，过点C 作CD AB ⊥于点D ，求出CD ，即为圆心C 到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出m 的值.【小问1详解】解：设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，因为圆C 过点()8,1A ，所以()()22281a b r -+-=，又因为圆C 两坐标轴均相切，所以r a b ==，若a b =，则()()22281a a a -+-=，整理可得218650a a -+=，解得5a =或13，此时，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=；若=-b a ，则()()22281a a a -++=，整理可得214650a a -+=，2144650∆=-⨯<，方程214650a a -+=无解.综上所述，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=.【小问2详解】解：因为圆C 的半径小于6，所以，圆C 的方程为()()225525x y -+-=，如果选择条件①：由120ACB ∠= ，5AC BC ==，得30ACB ABC ∠=∠= ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则D 为AB 的中点，则1522CD AC ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±；如果选择条件②：AB =，在ABC 中，5AC BC ==，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则52CD ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±.20.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞，点(A 在双曲线上．（1）求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 上是否存在点B ，使得对双曲线C 上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22144x y -=（2）存在，定值为1【解析】【分析】（1）由离心率，双曲线所过点的坐标，及222+=a b c 列方程组求解可得；（2）设(,)P P P x y是双曲线上任一点，取点(3,B -，计算PA PB k k ⋅得定值．【小问1详解】由题意得22222951 ca abc a b⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2 2 a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故双曲线C 的方程为22144x y-=；【小问2详解】法一：存在点B (3,-，使得对双曲线上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值1，证明如下：设(,)P P P x y 是双曲线22144x y -=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4∴22225513395p p p p PB PAp p p p y y y y k k x x x y ---⋅====+---．法二：设定点为00(,)B x y ，设(,)P P P x y 是双曲线22144x y-=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4，22001x y -=，22000002200000))3(3)3(3)34P P P P P P PA PBP P P P P P y y y y y y y y y k k x x x x x x x y x x x ---++-++=⋅==---++-+++，由于224P P x y =+，而P y 是任意的实数，要使得它为常数，这个常数只有为1，由00030y x +=+=⎪⎩得003x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩0034x =+，所以存在定点(3,B -，使得PA PB k k 为定值且定值为1.21.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <<．（1）问a 为何值时，MN 的长最小？（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．【答案】（1）2a =（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，,BC AB BE AB ⊥⊥，根据面面垂直的性质定理易知，CB ⊥平面ABEF ，于是BC BE ⊥，从而,,BC AB BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设()1,0,0A ，()0,0,1C ，()1,1,0F ，()0,1,0E ，CM BN a ==，M ∴，N ⎫⎪⎭．MN=MN==当2a=时，MN 最小，最小值为22；【小问2详解】由（1）可知，当M，N为中点时，MN最短，则1111,0,,,,02222M N⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取MN的中点G，连接AG，BG，则111,,244G⎛⎫⎪⎝⎭，2AM AN==，2BM BN==，AG MN∴⊥，BG MN⊥，AGB∴∠是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．111,,244GA⎛⎫=--⎪⎝⎭，111(,)244GB=---，1·18cos,3·GA GBGA GBGA GB-∴==-．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是13．22.已知椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12e=，且过点31,2P⎛⎫- ⎪⎝⎭.点P到抛物线22:2(0)C y px p=->的准线的距离为32.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）如图过抛物线2C 的焦点F 作斜率为(0)k k >的直线交抛物线2C 于A ，B 两点（点A 在x 轴下方），直线PF 交椭圆1C 于另一点Q .记FBQ ，APQ △的面积分别记为12S S 、，当PF 恰好平分APB ∠时，求12S S 的值.【答案】（1）221:143x y C +=，22:2=-C y x（2）15(35)56【解析】【分析】（1）由椭圆离心率和经过点P 可得答案；（2）设1:2⎛⎫=+⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，从而()222121212+=++t t t t ，12k k +，12k k ，可求出直线PF 的斜率为0k .当PF 平分APB ∠时，利用0120010211--=++k k k k k k k k ，求出12t t +，从而AB k k =的值，由此直线3:32=--PQ y x ，由于11212211||,,24||+=-=-=-AF tt t t t BF t ，联立直线PQ 和椭圆方程可得||||=-P Q y PF QF y ，再利用||||= APF AFQ S PF S FQ ，||||=AFQ QFBS AF S BF 可得答案.【小问1详解】由于椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12e =，则2222214c a b a a -==，所以2234a b =，故设221:(0)43λλ+=>x y C ，由于椭圆1C 经过点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而13144λ=+=，故椭圆1C 的方程为221:143x y C +=.由于点P 到抛物线22:2(0)C y px p =->的准线2p x =的距离为32，则3122p +=，故1p =，从而抛物线22:2=-C y x .【小问2详解】由于1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1112211324322142--==-+-+t t k t t ，22224342-=-+t k t ，由于()1222121222122-==-+-+AB t t k t t t t ，1212122=-+AF t k t ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，故1212112122=---+t t t t ，从而1214t t =-，()()222212*********+=+-=++t t t t t t t t ，从而()()()()22121212121212222222121212432343434242421-+++++---+=+==-+-+-++t t t t t t t t t t k k t t t t t t ()()()212122121212681+++-=-++t t t t t t ，()()()()12121212122222222121212121612912543434242168481-++-++--=⋅==-+-+-++-++t t t t t t t t k k t t t t t t t t ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线PF 的斜率为0323112==--+k ，当PF 平分APB ∠时，则0120010211--=++k k k k k k k k ，即()()()212012012220++--+=k k k k k k k k ，即()()()()()21212122212121212612593228181⎡⎤+++--++⨯-⨯-⨯-⎢⎥-++-++⎢⎥⎣⎦t t t t t t t t t t ()()()2121221212126081+++-=-++t t t t t t 即()()21212610+++-=t t t t ，从而1212t t +=-或1213+=t t ，从而()1212===-+AB k k t t 或3-，由于0k >，故2k =，由此直线3:21,:32=+=--AB y x PQ y x .由于11212211||,,24||+=-=-=-AF t t t t t BF t ，考虑到()2121212************++-+===--t t t t t t t t t t ，从而12352+=-t t ，从而||35||2=AF BF ，联立2213:32:143PQ y x x y C ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2131210+-=x x ，从而113=Q x ，则3453226=--=-Q Q y x ，从而3||13245||1526===-P Q PF y QF y ，由此||1326||1530=== APF AFQ S PF S FQ，||3||2+==== AFQ QFB S AF S BF。
2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨中学高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知点（-3，-1）和（4，-6）在直线3x-2y-a=0的两侧，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.2.已知椭圆的标准方程为=1，则椭圆的焦点坐标为（）A. ，B. ，C. ，D. ，3.已知x＞0，y＞0，且x+y=10，则xy有（）A. 最大值25B. 最大值50C. 最小值25D. 最小值504.如图，△A'B'C'是△ABC的直观图，其中A′B′=A′C′，A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，那么△ABC是（）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形5.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A. 12B. 10C. 8D. 26.过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC的中点E、F作一个截面，使截面与底面ABCD所成二面角为45°，则此截面的形状为（）A. 三角形或五边形B. 三角形或四边形C. 正六边形D. 三角形或六边形7.已知a、b为不同直线，α、β为不同平面，则下列说法正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，、不平行，则a、b为异面直线D. 若，，，则8.异面直线l与m成60°，异面直线l与n成45°，则异面直线m与n成角范围是（）A. B. C. D.9.已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设，，则λ1+λ2等于（）A. B. C. D.10.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，E，F分别是棱AD，BP上的动点，且满足AE=2BF，则线段EF中点的轨迹是（）A. 一条线段B. 一段圆弧C. 抛物线的一部分D. 一个平行四边形二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的表面积为________，体积为________.12.双曲线的实轴长为______，渐近线方程是______．13.与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，且与圆C2：（x-3）2+y2=81内切的动圆圆心的轨迹方程为______．14.双曲线=1的两个焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的周长为______，面积为______．15.若x，y∈R+，且2x+8y-xy=0，当且仅当______时，x+y取得最小值______．16.已知S,A,B,C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的体积等于________.17.已知函数f（x）=x|x-a|-a，a∈R，若对任意x∈[3，5]，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围______．三、解答题（本大题共5小题，共54.0分）18.（1）若双曲线的一条渐近线方程为2x+3y=0，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．（2）一组平行直线y=2x+b与椭圆相交，求弦的中点的轨迹方程．19.如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，PA=AB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°．（I）求证：直线AE平面PAB；（II）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．20.已知函数f（x）=|x+1|+2|x-a|，a∈R，（1）当a=1时，解不等式f（x）＞5；（2）当a＞0时，若不等式f（x）＞3恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a＜0时，若关于x的方程2x[f（x）-1]=a在（1，+∞）上的解集为空集，求实数a的取值范围．21.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P、Q分别是AA1、A1C1的中点．（1）设棱BB1的中点为D，证明：C1D∥平面PQB1；（2）若AB=2，AC=AA1=AC1=4，∠AA1B1=60°，且平面AA1C1C平面AA1B1B，求二面角Q-PB1-A1的余弦值．22.已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（-a，0），B（a，0），点P为椭圆上异于A，B的点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，k1k2=-．（1）求椭圆C的离心率；（2）若b=1，设直线l与x轴交于点D（-1，0），与椭圆交于M，N两点，求△OMN 的面积的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵点（-3，-1）和（4，-6）在直线3x-2y-a=0的两侧，∴（-9+2-a）（12+12-a）＜0，化为（a+7）（a-24）＜0，解得-7＜a＜24．故选：C．根据点（-3，-1）和（4，-6）在直线3x-2y-a=0的两侧，可得（-9+2-a）（12+12-a）＜0，解出即可．本题考查了线性规划的有关问题、一元二次不等式的解法，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，椭圆的标准方程为=1，则其焦点在y轴上，且c==1，则椭圆的焦点坐标为（0，1）和（0，-1），故选：B．根据题意，由椭圆标准方程分析可得该椭圆的焦点在y轴上，进而可得c的值，由椭圆的焦点坐标公式可得答案．本题考查椭圆的简单几何性质，解题时注意该椭圆的焦点在y轴上．3.【答案】A【解析】解：∵x＞0，y＞0，x+y=10；∴；∴，当x=y=5时取“=“；∴xy有最大值25．故选：A．根据x＞0，y＞0即可得出，从而得出，带入x+y=10即可得出xy≤25，即xy有最大值25．考查基本不等式及基本不等式的变形应用．4.【答案】D【解析】解：根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，∴直观图△A'B'C'的原来图形△ABC是直角三角形，且AC=2AB，不是等腰直角三角形．故选：D．根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，即可判断出结果．本题考查了斜二测画法与应用问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解6.【答案】D【解析】解：过棱AB、BC的中点E、F作正方体AC1的截面，∵二面角D1-EF-D，二面角B1-EF-B都大于450，∴当截面为EFHJIG时，如下图所示时，为六边形，当截面为EFM时，如下图所示时，为三边形，故选：D．画出过棱AB、BC的中点E、F作正方体AC1的截面的所有情况，分析截面的形状，最后综合讨论结果，可得答案．本题考查了正方体的几何特征，二面角问题，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：对于A，若aα，bβ，αβ，则a b不一定成立，a、b可能平行，也可能相交，也可能异面，A错误；对于B，若a b，bα，则a∥α或aα，∴B错误；对于C，若aα，bβ，α、β不平行，则a、b可能为异面直线，也可能为相交或平行，∴C错误；对于D，当bβ，α∥β时，bα，又a∥α，∴b a，即a b，D正确．故选：D．根据空间中直线与直线、直线与平面，以及平面与平面的位置关系，对选项中的命题真假性判断即可．本题考查了空间中直线与直线、直线与平面，以及平面与平面的位置关系应用问题，是基础题．8.【答案】A【解析】解：如图，在直线l任取一点O，过O作m′∥m，作n′∥n，当m′、n′、l三线共面时，m′与n′所成角最小为15°，即异面直线m与n成角最小为15°；当n′不在l与m′所确定的平面α内时，过O作平面β，使m′β，则l为平面β的一条斜线，在β内存在与l成45°角的直线n′，∴m′与n′所成角最大为90°，即异面直线m与n成角最小为15°．故选：A．由题意画出图形，通过直线的平移，可得过直线l上的任意一点作m，n的平行线，若m，n的平行线与l共面，可得异面直线m与n成角最小为15°；否则，可得到m，n能够构成两条异面直线所成的最大角90°．本题考查异面直线所成的角，考查学生的空间想象能力和思维能力，属中档题．9.【答案】B【解析】解：由题意a=5，b=3，c=4，所以F点坐标为（4，0）设直线l方程为：y=k（x-4），A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），得P点坐标（0，-4k），因为，所以（x1，y1+4k）=λ1（4-x1，-y1）因为，所以（x2，y2+4k）=λ2（4-x2，-y2）．得λ1=，λ2=．直线l方程，代入椭圆，消去y可得（9+25k2）x2-200k2x+400k2-225=0．所以x1+x2=，x1x2=．所以λ1+λ2====故选：B．设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可得到结论．本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：设EF的中点为O，取AB中点M，作EG平行于AB交BC于G，连结FG，取GF中点N，则OMBN为平行四边形，从而MO∥BN．作CH∥GF于H，取CH中点K．因为AE=2BF，所以BG=2BF，而∠CBP是确定的角，故△BGF与△BCH 相似，从而N在BK上．所以O在平行于直线BK的一条直线上，E，F分别是棱AD，BP上的动点，则线段EF中点的轨迹是一条线段；故选：A．根据题意，设EF的中点是O，取AB中点M，作EG平行于AB交BC于G，连结FG，取GF中点N，根据AE=2BF，判断中点O满足的关系式，即可得到结论．本题主要考查空间直线的位置关系的判断，根据AE=2BF，利用辅助线，建立中点满足的关系是解决本题的关键．11.【答案】4+6π 8【解析】解：根据三视图得知：该几何体是由一个三棱锥和一个半圆锥构成，正视图是边长为4的正三角形，该几何体的高为：2，圆锥的底面半径为：2，三棱锥的底面边长为4的正三角形，AB=AD=BD=BC=CD=4，AC=2，几何体的表面积为：×+2×××=4+6π．几何体的体积为：=8，故答案为：4+6π；8．直接利用三视图的复原图求出几何体的体积以及表面积即可．本题考查的知识要点：三视图的应用．几何体的表面积以及体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12.【答案】4 y=【解析】解：双曲线，可得a=2，b=，双曲线的实轴长为：2a=4；渐近线方程是：y=±x．故答案为：4；y=±x．利用双曲线方程求解实轴长以及渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．13.【答案】【解析】解：由题意，设动圆的半径为r，圆心为（x，y），与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，可得圆心距=r+1；即（x+3）2+y2=（r+1）2，……①动圆与圆C2：（x-3）2+y2=81内切，可得圆心距=9-r，（x-3）2+y2=（9-r）2，……②由①②消去r，可得：即动圆圆心的轨迹方程；；故答案为：．由题意，设动圆的半径为r，圆心为（x，y），与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，可得圆心距=r+1；与圆C2：（x-3）2+y2=81内切，可得圆心距=9-r，消去r，可得动圆圆心的轨迹方程；本题考查了轨迹方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．14.【答案】2+4 1【解析】解：双曲线=1的a=，b=1，c=2，|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的周长为：2+2c=+4；可设P在右支上，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2，又|PF1|+|PF2|=2，两式平方相加可得，|PF1|2+|PF2|2=16，而|F1F2|2=4c2=16，则有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即有△PF1F2为直角三角形，即有△PF1F2的面积为|PF1|•|PF2|=×（+）×（-）=1．故答案为：2+4；1．求出双曲线的a，b，c，可设P在右支上，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2，由条件可得|PF1|，|PF2|，结合勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，计算即可得到．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是双曲线的定义，同时考查勾股定理的逆定理和三角形的面积公式，属于基本知识的考查．15.【答案】x=12，y=6 18【解析】解：∵x，y∈R+，且2x+8y-xy=0，∴2x+8y=xy即，∴x+y=（x+y）（）=10+=18，当且仅当且时取等号，此时x=12，y=6时x+y取得最小值18．故答案为：x=12，y=6；18由已知可得，，从而x+y=（x+y）（），展开后利用基本不等式可求本题主要考查了利用1的代换，配凑积为定值，利用基本不等式求解最值，属于基础试题16.【答案】【解析】【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．由题意画出图形，判断SC为球O的直径，由已知求得SC=2，球O的半径R=1，代入球的体积公式得答案．【解答】解：∵SA平面ABC，∴SA BC，又AB BC，∴BC面SAB，∵BS面SAB，∴SB BC，取AC的中点O，∴OS=OA=OB=OC，∴SC为球O的直径，由SA=AB=1，BC=，可得SC=2，∴球O的半径R=1，则体积V=．故答案为：．17.【答案】（- ，][，）【解析】解：f（x）=x|x-a|-a；∴①若a＜3，则x=3时，f（x）在[3，5]上取得最小值f（3）=3（3-a）-a=9-4a；∴9-4a≥0，a≤；∴a≤；②若3≤a≤5，则x=a时，f（x）取得最小值f（a）=-a；-a＜0，不满足f（x）≥0；即这种情况不存在；③若a＞5，则x=5时，f（x）取得最小值f（5）=5（a-5）-a=4a-25；∴4a-25≥0，a≥；∴a≥；综上得a的取值范围为：（-∞，][，+∞），故答案为：（-∞，][，+∞），讨论a的取值：a＜3，3≤a≤5，a＞5，三种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围本题考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．18.【答案】解：（1）若焦点在x轴上，易得双曲线的标准方程为 (2)若焦点在y轴上，双曲线的标准方程为 (4)（2）设y=2x+b与椭圆的两交点P（x1，y1），Q（x2，y2）的中点为M（x，y），则，两式相减得：即-=即3x+8y=0 (8)又，消去y得x=± (9)所以弦的中点M的轨迹方程为3x+8y=0（-＜x＜+） (10)【解析】（1）讨论焦点位置，再由顶点间的距离，即可得到双曲线方程（2）设y=2x+b与椭圆的两交点P（x1，y1），Q（x2，y2）的中点为M（x，y），利用点差法，可得M的轨迹方程．本题考查双曲线方程和性质，直线与椭圆的综合应用，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于基础题和易错题19.【答案】证明：（I）∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，∴AE CD，又∵AB∥CD，∴AE AB又∵PA平面ABCD，∴PA AE，PA∩AB=A，∴直线AE平面PAB．解：（II）（方法一）连接PE，过A点作AH PE于H点．∵CD EA，CD PA，EA∩PA=A，∴CD平面PAE，∴CD AH．又∵AH PE，∴AH平面PCD．∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成的角．在Rt△PAE中，，，∴，∴直线AE与平面PCD所成角的正弦值为．（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系A-xyz，，，，，，，，，，，，．设平面PCD的法向量，，，，，，＜，＞．直线AE与平面PCD所成角的正弦值为．【解析】（I）推导出AE CD，AE AB，从而PA AE，由此能证明直线AE平面PAB．（II）（方法一）连接PE，过A点作AH PE于H点，推导出∠AEP为直线AE与平面PCD所成的角，推导出直线AE与平面PCD所成角的正弦值．（方法二）建立所示的空间直角坐标系A-xyz，由此利用向量法能求出直线AE 与平面PCD所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）f（x）=|x+1|+2|x-1|=，，＜＜，，由解得，x＜-；由解得，x∈∅；由解得，x＞2．则不等式的解集为（2，+∞）（-∞，-）；（2）当a＞0时，f（x）=，，＜＜，，当x≤-1时，f（x）≥2a+2，当-1＜x＜a时，1+a＜f（x）＜2+2a；当x≥a时，f（x）≥1+a．即有f（x）的值域为[1+a，+∞）．当a＞0时，若不等式f（x）＞3恒成立，即有3＜1+a，解得，a＞2；（3）当a＜0且x＞1时，关于x的方程2x[f（x）-1]=a，即为2x（x+1+2x-2a-1）=a，即为2x（3x-2a）=a，上式左边大于0，右边小于0，显然方程无解．则a＜0．【解析】（1）通过绝对值的含义，去绝对值符号，得到f（x），再解f（x）＞5，最后求并集即可；（2）通过去绝对值，求得f（x）的值域，得到最小值，由最小值大于3，即可；（3）通过a＜0，x＞1去掉绝对值，化简方程，分析方程左右两边，即可得到a 的范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．21.【答案】证明：（1）连接AD，∵D是BB1的中点，P是AA1的中点，可由棱柱的性质知AP∥DB1，且AP=DB1，∴四边形ADB1P是平行四边形，∴AD∥PB1，∵P、Q分别是AA1、A1C1的中点，∴AC1∥PQ，∴平面AC1D∥平面PQB1，∴C1D∥平面PQB1．解：（2）以P为原点，在平面ABB1A1内过P作AA1的垂线为x轴，以PA1为y轴，PC1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系面A1B1P的一个法向量为=（0，0，1），P（0，0，0），Q（0，1，），B1（，，0），=（0，1，），=（，，），设平面PQB1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-，1），设二面角Q-PB1-A1的平面角为θ，则cosθ==．故二面角Q-PB1-A1的余弦值为．【解析】（1）连接AD ，推导出四边形ADB 1P 是平行四边形，从而AD ∥PB 1，再求出AC 1∥PQ ，从而平面AC 1D ∥平面PQB 1，由此能证明C 1D ∥平面PQB 1． （2）以P 为原点，在平面ABB 1A 1内过P 作AA 1的垂线为x 轴，以PA 1为y 轴，PC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角Q-PB 1-A 1的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22.【答案】解：（1）设P （x 0，y 0）代入椭圆方程，则， 整理得：y 02=（x 02-a 2），又k 1=，k 2=，所以k 1k 2==-， 联立两个方程则k 1k 2=-=- ，解得：e ===．（2）由（Ⅰ）知a 2=2b 2，又b =1，∴椭圆C 的方程为．设直线l 的方程为：x =my -1，代入椭圆的方程有：（m 2+2）y 2-2my -1=0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2= ，y 1y 2=-， 则△OMN 的面积S = 丨OD 丨丨y 1-y 2丨= =丨 丨=丨 丨，令 =t ，（t ≥1），则有m 2=t 2-1，代入上式有S =丨 丨=丨 丨=≤，当且仅当t =1，即m =0时等号成立， 所以△OMN 的面积的最大值为．【解析】（1）设P 点坐标，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式，即可求得=，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率．（2）由（1）求得椭圆方程，设直线l 的方程，代入椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求得△OMN的面积，利用基本不等式的性质即可求得△OMN的面积的最大值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．。
高二数学-2019学年高二上学期期中考试数学试题课件.doc
2018 —2019 学年度第一学期期中考试高二数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题 5 分，共70 分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上。
）1、已知命题p ：x R, s in x 1，则p :___________.2、“若a＞b，则 a 2b2 ”的逆否命题为.2 k y2 k3、若方程x ( 1) 1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是.4、已知平面上定点F1、F2 及动点M．命题甲：“|MF1 | | MF | 2a 0（a为常数）”；命2题乙：“M 点轨迹是以F1、F2 为焦点的双曲线”．则甲是乙的_____条件．( 填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)5、若点a,b 在直线x 3y 1上，则 a 8b2 的最小值为.6、双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为6，虚轴长为8，则双曲线的标准方程是。
2 2x y7、双曲线1的离心率为5，则m __________.4 m8、已知正数x、y 满足2x y 1，则1x1y的最小值为__________.9、不等式x2 2x m2 0恒成立，则m 的范围是2 2x y10 、若点P 是以F1, F2 为焦点的双曲线 1a b2 2上一点，满足PF1 PF2 ，且PF1 2 PF ，则此双曲线的离心率为.2x y 2 011、已知实数x, y 满足x y 0 则z 2x y 的最小值为__________.x 12 y2x12、已知点P 是椭圆 1上一点，P到椭圆右焦点的距离为2，则点P 到椭圆16 7yP的左准线的距离为_____.Q2 2F 1O F2xx y13、如图，已知F1,F2 是椭圆C : 1 (a b 0) 的2 2a b2 2 2左、右焦点，点P 在椭圆 C 上，线段PF 与圆x y b2相切于点Q ，且点Q为线段P F 的中点，则椭圆 C 的离21心率为.14、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A,B 为两个定点，k 为非零常数，| PA | | PB | k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦AB ，则弦AB 中点P的轨迹为椭圆；③方程2x2 5x 2 0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；2 y 22x x2④双曲线1与椭圆1y25 9 35有相同的焦点.其中真命题的序号为__________. （写出所有真命题的序号）二、解答题（本大题共 6 小题，14 14 15 15 16 16 ，共90 分。
浙江省绍兴市诸暨中学2019-2020高二(实验班)下学期期中数学试题(wd无答案)
浙江省绍兴市诸暨中学2019-2020高二(实验班)下学期期中数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 如果全集，，，则A．B．C．D．(★★) 2. 设复数的共轭复数为，且，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知等比数列的各项均为正，且，，成等差数列，则数列的公比是（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知是正实数，则“ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 5. 若平面向量，的夹角为，且，则（）A．B．C．）D．(★★★) 6. 如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知log 43＝ p，log 325＝ q，则 lg5＝（）A．B．C．D．(★★★)8. 已知夹角为60°，且，若，则的最小值（）A．B．4C．D．(★★★) 9. 定义域为 R的偶函数 f( x)满足对∀ x∈ R，有 f( x+2)＝ f( x)﹣ f(1)，且当x∈[2，3]时， f( x)＝﹣2 x 2+12 x﹣18，若函数 y＝ f( x)﹣log a(| x|+1)至少有6个零点，则 a的取值范围是()A．(0，)B．(0，)C．(0，)D．(0，)(★★★) 10. 已知数列{ a n}满足： a n（n∈ N*）．若正整数 k（k≥5）使得 a 12+ a 22+…+ a k2＝ a 1 a 2… a k成立，则 k＝（）A．16B．17C．18D．19二、双空题(★★) 11. 计算：cos870°＝_____；若cosα ，则α∈_____．(★★★) 12. 已知函数的最小正周期是，则 ______ ，若，则 ______ .(★★★) 13. 设函数 f（ x），若 a＝1，则 f（ f（2））＝_____；若 f（ x）的值域为 R，则实数 a的取值范围是_____．(★★★) 14. 在四边形中，且，则___________，___________三、填空题(★★★) 15. 在△ ABC中， AB＝3， AC＝4， BC边的中垂线分别交 BC、 AC于 D、 E，点 P 是 DE的中点，则_____．(★★★) 16. 已知实数 a， b， c，满足 a 2+ b 2+2 c 2＝1，则2 ab+ c的最小值是_____．(★★★★) 17. 已知函数，对于任意的，，都存在使得成立，则实数的取值范围为 ______ ．四、解答题(★★★) 18. 已知函数．（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）将图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到的图象．若在内是单调函数，求实数的最大值．(★★) 19. 已知 S n是正项数列{ a n}的前 n项和，满足 a 1＝2， a n a n+1＝6 S n﹣2，n∈ N *．（1）求证：{ a n}是等差数列；（2）记 b n＝2 n，求数列{| a n﹣ b n|}的前 n项和 T n．(★★★) 20. 在△ ABC中，内角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，已知 c＝1， C ．（1）若，，求；（2）若，求△ ABC的面积．(★★★) 21. 已知等差数列的公差不为零，且，、、成等比数列，数列满足（1）求数列、的通项公式；（2）求证：.(★★★) 22. 已知函数.（Ⅰ）若，函数在区间上有意义且不单调，求 a的取值范围；（Ⅱ）若，且，求 a的取值范围．。
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2019绍兴一中高二数学期中考试卷（理科）一.选择题（每小题4分，共40分）1.空间直线a 、b 、c ，平面α，则下列命题中真命题的是 （ ） A. 若a ⊥b,c ⊥b,则a//c;B. 若a//c,c ⊥b,则b ⊥a;C. 若a 与b 是异面直线, a 与c 是异面直线, 则b 与c 也是异面直线.D. 若a//α ，b//α，则a// b;答案：B2. 下列几何体各自．．的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④答案：D3. 已知O 为空间直角坐标系的原点，以下能使向量,,OA OB OC 共面的三点,,A B C 的坐标是（ ）A. A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)B. A (1，2，3)，B (3，0，2)，C (4，2，5)C. A (1，1，0)，B (1，0，1)，C (0，1，1)D. A (1，1，1)，B (1，1，0)，C (1，0，1)答案：B4. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G=λ（0≤λ≤1）则点G 到平面D 1EF 的距离为（ ） AB．2 C．3D答案：D5. 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积等于（ ）A.2123πcm 3 B. 70πcm 3 C. 3263πcm 3 D. 100πcm 3正视图俯视图侧视图6. 设a ,b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是 ( ). A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥ C ．,,//a b αβαβ⊂⊥ D ．,//,a b αβαβ⊂⊥ 答案：C7. 在三棱锥P —ABC 中，所有棱长均相等，若M 为棱AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为（ ）ACD答案：C8. 已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为 （ ）A．12C答案：D9．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 ( ). （A ）A C BD '⊥ （B ）90BA C '∠=（C ）CA '与平面A BD '所成的角为30 （D ）四面体A BCD '-的体积为13答案：B10. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断：①1AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关. 其中正确判断的个数有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个CBPMABCD BDA '俯视图二. 填空题（每小题3分，共21分）11．表面积为27π的半球体的体积是 ． 答案：36π12. 对于平面 , αβ和直线 m ，试用 “ ⊥ ” 和 “ // ”构造条件 使之能推出 m ⊥β 答案：, //m ααβ⊥13. 一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.则用 个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体.答案：3 13．某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为2cm （制作过程合板损耗和合板厚度忽略不计）.答案：4160014. 如图，两矩形ABCD 、ABEF 所在平面互相垂直，DE 与平面ABCD 及平面ABEF 所成角分别为300、450, M 、N 分别为DE 与DB 的中点，且MN=1.线段AB 的长为 . 解： 24822=-=-=EB AE AB ．16. 如图在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4,3,5,A B A D A A B A D'===∠=，60BAA DAA ''∠=∠=，则AC '的长是解： ||85AC '=17．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为 ． 解：18 三.解答题18. （本小题满分9分）如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，45=∠ABC ，1DC =，2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．（Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ；解：（Ⅰ）证明： //AB CD ，又AB ⊄平面PCDCD ⊂平面PCD ∴AB ∥平面PCD ……… 4分(Ⅱ)在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ，…… 5分∴BC ⊥平面PAC…………9分19. （本小题满分10分）已知四棱锥P —ABCD 及其三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点。
（1）求四棱锥P —ABCD 的体积；（2）不论点E 在何位置，是否都有B D ⊥AE ？试证明你的结论； （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D —AE —B 的大小。
DB………3分………6分 （3）解：………10分20.（本小题满分10分）已知梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =2，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF∥BC，AE =2，G 是BC 的中点．如图，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF.FE DCBA GFDECBA（Ⅰ）求证：BD⊥EG ； (Ⅱ)求二面角D-BF-C 的余弦值．解：（Ⅰ）方法一：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，,2,//π=∠AEF AD EF∴AE ⊥EF ，∴AE ⊥平面EBCF ，AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，故可如图建立空间坐标系E-xyz ．2,2=∴=EB EA ，又G 为BC 的中点，BC=4， 2=∴BG ．则A （0，0，2），B （2，0，0），G （2，2，0），D （0，2，2），E （0，0，0），BD =（－2，2，2），EG =（2，2，0），BD EG ⋅=（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴BD EG ⊥．……………4分方法二：作DH ⊥EF 于H ，连BH ，GH ，由平面AEFD ⊥平面EBCF 知：DH ⊥平面EBCF ， 而EG ⊂平面EBCF ，故EG ⊥DH ．AEHDEF AD DH AE EF AE EBC AEH BC EF ∴∴⊥∴=∠=∠∴,//.//,,2,// π为平行四边形，,,//,2BC EH BC EH AD EH =∴==∴且2,2===∠BC BE EBC π，∴四边形BGHE 为正方形，∴EG ⊥BH ，BH ⋂DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH ， 而BD ⊂平面DBH ，∴ EG ⊥BD ．………5分（或者直接利用三垂线定理得出结果）GFDECBAHy(Ⅱ)设平面DBF 的法向量为1(,,)n x y z =，∵AE=2， B （2，0，0），D （0，2，2）， F （0，3，0），∴(2,3,0),BF =-………6分BD =（－2，2，2）， 则110n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 即(,,)(2,2,2)0(,,)(2,3,0)0x y z x y z -=⎧⎨-=⎩，2220230x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩取3,2,1x y z ===，∴1(3,2,1)n =BCF AE 面⊥ ，∴面BCF 一个法向量为2(0,0,1)n =，………8分则cos<12,n n >=12121414||||n n nn =， 由于所求二面角D-BF-C 10分 21. （本小题满分10分）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝31AD. （Ⅰ）求异面直线BF 与DE 所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段CE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面CDE 所成角的正弦值为36？若存在，试确定点M 的位置；若不存在，请说明理由. 解法一：建立如图所示的直角坐标系， 不妨设AB ＝１则(1,0,0),(1,1,0),(0,3,0),(0,0,1),(0,1,1)B C D F E …………2分 （Ⅰ）)1,2,0(),1,0,1(-=-=1010521||||,cos =⋅=>=<DE BF ∴异面直线BF 与DE 所成角的余弦值为1010. ……………4分 （Ⅱ）设平面CDE 的一个法向量为),,(z y x =AF EBCDM（第19题图）……………10分 解法二：（Ⅰ）不妨设AB ＝１，EF BC 且EF BC BCEF =∴四边形是平行四边形，∴∠CED 异面直线BF 与DE 所成角cos 1025CED CED ∆∠==在中，所以，异面直线BF 与DE。