34_2012三维图形学_三维几何变换与平行投影的矩阵描述
三维点 求解变换矩阵
三维点求解变换矩阵以三维点求解变换矩阵变换矩阵是计算机图形学和计算机视觉中常用的工具，它能够描述一个物体在三维空间中的平移、旋转和缩放等变换操作。
在三维图形学和计算机视觉领域中，我们经常需要对三维点进行变换操作，以便实现各种图形效果或者进行目标识别和跟踪等任务。
要求通过三维点求解变换矩阵，我们首先需要了解什么是三维点。
三维点通常由三个坐标值组成，分别表示该点在三维空间中的x、y 和z坐标。
在计算机图形学和计算机视觉中，我们经常使用齐次坐标来表示三维点，即一个四维的向量，其中第四个分量通常为1。
这样可以方便地进行矩阵运算和变换操作。
在求解变换矩阵时，我们通常需要知道两个坐标系之间的对应关系。
假设我们有一个三维点P，它在坐标系A中的坐标为(Px, Py, Pz, 1)，而在坐标系B中的坐标为(Qx, Qy, Qz, 1)。
我们的目标是找到一个变换矩阵M，使得M乘以P等于Q，即MP=Q。
根据齐次坐标的定义，我们可以将变换矩阵M表示为一个4x4的矩阵，其中最后一行为(0, 0, 0, 1)。
变换矩阵M的前三行可以分别表示平移、旋转和缩放等变换操作。
对于平移变换，我们可以使用一个3x3的单位矩阵I，再加上一个平移向量T来表示。
平移向量T的前三个分量分别表示在x、y和z 轴上的平移量。
因此，平移变换矩阵M可以表示为：M = [ I T ][ 0 1 ]对于旋转变换，我们可以使用旋转矩阵R来表示。
旋转矩阵R是一个3x3的正交矩阵，它的逆矩阵等于它的转置矩阵，即R^T = R^(-1)。
因此，旋转变换矩阵M可以表示为：M = [ R 0 ][ 0 1 ]对于缩放变换，我们可以使用一个3x3的对角矩阵S来表示。
对角矩阵S的对角线上的元素分别表示在x、y和z轴上的缩放比例。
因此，缩放变换矩阵M可以表示为：M = [ S 0 ][ 0 1 ]综合考虑平移、旋转和缩放等变换操作，我们可以将变换矩阵M表示为：M = [ R S T ][ 0 0 0 1 ]根据上述变换矩阵的定义，我们可以通过求解线性方程组来求解变换矩阵M。
计算机图形学-三维图形变换与投影
5.关于yoz面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 变换矩阵为： T 0 0
6.关于zox面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
J
z
x y
34
三维复合变换
步骤：
1。J轴绕Z轴转φ 角至yoz平面，成为J1。 2。J1轴绕X轴转γ 角后与z轴平行，成为J2。 3。立体绕J2轴转θ 角 4。从J2返回J1。 5。从J1返回J。
J2 J
J2
z
J1
z
J1
z
J1
x
y
x
y
x
y
35
投影变换
36
投影变换
显示器只能用二维图形表示三维物体，因此三维 物体就要靠投影来降低维数得到二维平面图形 把三维物体转变为二维图形的过程称为投影变换
1 b d 1 T g h 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
错切变换
1 b d 1 T g h 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
三维错切变换中，一个坐标的变化受另外两个坐
标变化的影响。
如果变换矩阵第一列中元素d和g不为0，产生沿x
同理可得，绕y轴旋转变换：
x ' z sin x cos y' y z ' z cos x sin
z 绕y轴旋转 x
cos 0 T sin 0
0 sin 1 0 0 cos 0 0
三维图形变换
第8章 三维图形变换
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 三维几何变换 投影变换 三维观察 三维裁剪 OpenGL中的三维图形变换
8.1 三维几何变换
8.1.1 三维齐次坐标矩阵 8.1.2 三维基本几何变换 8.1.3 三维复合变换
8.1.1 三维齐次坐标矩阵
ห้องสมุดไป่ตู้
8.3.4 规范化投影空间
对于斜平行投影，其观察空间为一斜四棱柱，或 当透视投影的观察空间为斜四棱台时，这就给观 察空间边界平面的表示带来了不便，对于下一步 的裁剪及求交运算效率也不高。因此，我们要对 其先进行规范化变换，将斜四棱柱规范化为正四 棱柱，将透视投影的斜四棱台规范化为正四棱台。 1. 平行投影观察空间的规范化 2. 透视投影观察空间的规范化
8.5.2 几何变换
在计算机图形学中，模型变换和视点变换 统称为几何变换。这两类变换都是通过调 整物体与视点间的相对位置、大小与角度 关系，以达到满意的视觉效果。只是它们 考虑问题的出发点不一样，一个是对物体 本身进行变换，一个是对视点进行变换。 1. 模型变换 2. 视点变换
8.5.3 投影变换
8.2.2 正轴侧投影
正轴侧投影是对任意平面作的投影。设投 影平面的方向矢量为ON，进行正轴侧投影 的过程是首先投影平面的方向矢量旋转变 换到y轴，再对xOz坐标平面作投影变换即 可。由于投影变换的结果可直接放在xOz 平面上，因此无需再将投影旋转回面原来 的位置。
8.2.3 斜平行投影
投影方向不垂直于投影面的平行投影称为 斜平行投影，也称为斜轴侧投影。在斜平 行投影中，投影平面一般取为坐标平面。 设投影方向矢量为N=（l,m,n），投影平面 为平面xOy。若形体上一点为P（x,y,z）， 将其进行斜投影后，要求在xOy平面上的 坐标P′（xp,yp）。
第六章三维图形的变换
平行投影__三视图
三视图是正投影视图，包括主视图、俯视图和侧视 图，投影面分别与y轴、 z轴和x轴垂直。即将三维物体 分别对正面、水平面和侧平面做正投影得到三个基本视 图。图6-2为正三棱柱的立体图，图6-3为正三棱柱的三 视图。 主视图 侧视图
图 6-2 正三棱柱的立体图
图6-3正三棱柱的三视图
0 0 1 0
0 0 0 1
因此
R ' y cos ' 0 sin ' 0 0 sin ' 1 0 0 cos ' 0 0 0 0 0 1
绕任意轴的旋转变换-方法1
3）P点绕ON 轴（即z轴）逆时针旋转θ角 R z R ' y 4）ON 轴绕y 轴旋转γ' 5）ON 轴绕z轴旋转α' R 'z 因此
三维变换矩阵
矩阵表示为：
x '
y' z' 1 x
cos sin - sin cos y z 1 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
绕任意轴的旋转变换-方法
a) 绕过原点的任意轴的旋转变换 空间点 P(x,y,z) 绕过原点的任意轴 ON逆时针旋转 θ 角的旋转变换。 基本思想：因ON 轴不是坐标轴，应设法旋转该轴， 使之与某一坐标轴重合，然后进行旋转θ角的变换， 最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。
1.5 1 0 0 T 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 T 1.5 0 1 1 1 1.5 2.5 1 1 0 1 2.5
几何变换与变换矩阵
几何变换与变换矩阵几何变换是计算机图形学中常用的一种技术，用于对二维或三维图形进行平移、旋转、缩放和剪切等操作。
这些操作可以通过变换矩阵来描述和计算。
本文将介绍几何变换的基本概念及其与变换矩阵的关系。
一、几何变换的基本概念1. 平移变换平移变换是将图形沿着指定的方向移动一定的距离。
在二维空间中，平移变换可以通过在原始坐标上加上一个向量来实现。
例如，将原始坐标(x, y)进行平移变换得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = x + dxy' = y + dy其中，dx和dy分别为在x和y方向上的平移距离。
2. 旋转变换旋转变换是将图形绕指定的点或轴旋转一定的角度。
在二维空间中，旋转变换可以通过将原始坐标(x, y)绕着指定点(xc, yc)逆时针旋转θ角度得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = (x - xc) * cosθ - (y - yc) * sinθ + xcy' = (x - xc) * sinθ + (y - yc) * cosθ + yc其中，(xc, yc)为旋转中心点，θ为旋转角度。
3. 缩放变换缩放变换是将图形沿着指定的方向进行放大或缩小。
在二维空间中，缩放变换可以通过将原始坐标(x, y)分别乘以指定的缩放因子sx和sy得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = x * sxy' = y * sy其中，sx和sy分别为在x和y方向上的缩放因子。
4. 剪切变换剪切变换是将图形沿着指定的方向进行截取或拉伸。
在二维空间中，剪切变换可以通过将原始坐标(x, y)进行线性变换得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = x + kx * yy' = y + ky * x其中，kx和ky分别为在x和y方向上的剪切因子。
二、变换矩阵的基本概念与计算方法变换矩阵是一种矩阵表示方法，用于描述几何变换的转换规则。
几何变换与变换矩阵
几何变换与变换矩阵几何变换是指对平面或空间中的点、线、面进行位置、形状、大小等方面的变化。
在计算机图形学中，几何变换是非常重要的一个概念。
几何变换可以用来完成图像、动画等的变化，从而达到让计算机生成更加逼真的图像和动画的目的。
几何变换可以分为以下几类：平移、旋转、缩放、翻转、错切、透视等。
每种几何变换都有相应的数学计算方法，可以通过数学算法实现。
对于平面上的点，几何变换通常可以表示为一个二维矢量的变化。
例如，平移变换可以表示为：(x, y) → (x + tx, y + ty)其中，(x, y) 是原始点的坐标，tx 和 ty 分别表示平移的水平和垂直距离。
旋转变换可以表示为：(x, y) → (x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ)其中，θ 是旋转角度。
缩放变换可以表示为：(x, y) → (kx, ky)其中，k 是缩放因子。
翻转变换可以表示为：(x, y) → (-x, y) 或 (x, -y)其中，翻转方向和方式可以根据实际需要自行选择。
错切变换可以表示为：(x, y) → (x + ky, y)其中，k 是错切因子。
透视变换可以表示为：(x, y, z) → (x', y', z')其中，x', y', z' 是透视变换后的新坐标，根据具体的透视效果，可以通过数学计算得到。
在计算机图形学中，几何变换通常使用变换矩阵来表示和计算。
变换矩阵通常是一个 N × N 的矩阵，其中 N 表示变换的维数（如二维坐标系中的点为二维变换）。
变换矩阵可以通过乘法进行组合，形成复杂的变换效果。
例如，对于二维平面上的点，可以使用以下矩阵表示平移变换：[1 0 tx][0 1 ty][0 0 1]对于旋转变换，可以使用以下矩阵表示：[cosθ -sinθ 0][sinθ cosθ 0][0 0 1]对于缩放变换，可以使用以下矩阵表示：[kx 0 0][0 ky 0][0 0 1]通过对以上变换矩阵进行组合，可以实现各种复杂的几何变换效果。
三维空间平移矩阵
三维空间平移矩阵三维空间平移矩阵是一种表示物体在三维空间中移动的数学工具。
平移矩阵可以用于描述平移运动的向量和矩阵运算。
在计算机图形学和机器人学等领域中，平移矩阵被广泛应用。
在三维空间中，我们可以使用三个坐标轴来描述物体的位置。
通常情况下，我们使用笛卡尔坐标系，其中x轴表示从左到右的方向，y轴表示从下到上的方向，z轴表示从近到远的方向。
当物体在三维空间中发生平移运动时，我们可以将其表示为一个三维向量T，其中T = (tx, ty, tz)，tx表示物体在x轴方向上的平移距离，ty表示物体在y轴方向上的平移距离，tz表示物体在z轴方向上的平移距离。
平移矩阵可以表示为一个4x4的矩阵，其形式如下：```| 1 0 0 tx || 0 1 0 ty || 0 0 1 tz || 0 0 0 1 |```其中，矩阵的左上角是一个3x3的单位矩阵，表示物体的旋转和缩放等其他变换不受平移的影响。
矩阵的右列是一个列向量，表示物体在各个轴方向上的平移距离。
当一个点P(x, y, z)被平移时，可以使用矩阵与向量相乘的方式进行计算：```| x' | | 1 0 0 tx | | x || y' | = | 0 1 0 ty | ∙ | y || z' | | 0 0 1 tz | | z || 1 | | 0 0 0 1 | | 1 |```矩阵乘法的规则是，对于其中一个矩阵M(m x n)和另一个矩阵N(n x p)，结果的尺寸为m x p。
在本例中，矩阵M为一个4x4的矩阵，向量N为一个4x1的列向量。
对于三维空间中的多个点进行平移时，可以将这些点的坐标表示为一个矩阵P(n x 4)，其中每一行表示一个点的坐标。
平移后的点的坐标可以表示为矩阵P与平移矩阵的乘积：```| x'1 | | 1 0 0 tx | | x1 || y'1 | | 0 1 0 ty | ∙ | y1 || z'1 | | 0 0 1 tz | | z1 || 1 | | 0 0 0 1 | | 1 || x'2 | | 1 0 0 tx | | x2 || y'2 | = | 0 1 0 ty | ∙ | y2 || z'2 | | 0 0 1 tz | | z2 || 1 | | 0 0 0 1 | | 1 |: :| x'n | | 1 0 0 tx | | xn || y'n | | 0 1 0 ty | ∙ | yn || z'n | | 0 0 1 tz | | zn || 1 | | 0 0 0 1 | | 1 |```上述的矩阵乘法运算可以使用矩阵库或编程语言中的矩阵运算接口实现。
几何变换矩阵
几何变换矩阵几何变换矩阵是描述二维或三维空间中对图形进行旋转、平移、缩放等操作的数学工具。
在计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中广泛应用。
下面是几种常见的几何变换矩阵及其作用：1. 平移矩阵平移矩阵描述图形在x、y、z方向上的平移，记作T=[1 0 0 tx; 0 1 0 ty;0 0 1 tz; 0 0 0 1]，其中tx、ty、tz为平移的距离，可以是正数、负数或零。
该矩阵作用于二维图形时只需取前两行两列即可。
2. 旋转矩阵旋转矩阵描述图形绕x、y、z轴旋转的角度，记作Rx(θ)=[1 0 0 0; 0 cosθ -sinθ 0; 0 sinθ cosθ 0; 0 0 0 1]、Ry(θ)=[cosθ 0 sinθ 0; 0 1 0 0; -sinθ 0 cosθ 0; 0 0 0 1]、Rz(θ)=[cosθ -sinθ 0 0; sinθ cosθ 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]，其中θ为旋转的角度，可以是正数或负数。
3. 缩放矩阵缩放矩阵描述图形在x、y、z方向上的缩放比例，记作S=[sx 0 0 0; 0 sy 0 0; 0 0 sz 0; 0 0 0 1]，其中sx、sy、sz为在x、y、z方向上的缩放比例，可以是大于1的正数、小于1的正数或等于1。
4. 复合矩阵复合矩阵是多个几何变换矩阵的乘积，可以将多个变换操作合并为一个操作。
例如，将平移、旋转和缩放操作合并为一个复合矩阵，记作M=T*R*S，其中T为平移矩阵，R为旋转矩阵，S为缩放矩阵。
几何变换矩阵在计算机图形学中具有广泛的应用，在3D建模、角色动画、特效制作等方面均有涉及。
同时，它也为机器人学、计算机视觉等领域的研究提供了重要的数学基础。
在实际应用中，我们可以根据具体的需求选择不同的变换矩阵进行操作，以达到预期的效果。
三维矩阵几何意义
三维矩阵几何意义三维矩阵是一个具有三个维度的矩阵，每个维度可以理解为空间中的一个方向或轴。
三维矩阵在数学和计算机图形学中广泛应用，为了更好地理解三维矩阵的几何意义，我们需要对几何向量以及线性变换有一定的了解。
首先，我们来了解一下几何向量。
在三维空间中，几何向量可以表示为一个有序的数组或者一个列矩阵，如V=[x,y,z]或者V=[x;y;z]。
每个元素代表向量在x、y和z轴上的分量。
几何向量具有长度和方向，并且可以表示为从原点到其中一点的有向线段。
向量的长度可以通过欧几里得范数来计算，即：，V，=√(x^2+y^2+z^2)。
三维空间中的一个点可以表示为一个位置向量，也就是从原点（0,0,0）到该点的向量。
两个点之间的距离可以通过计算这两个点的位置向量的差值来得到。
在矩阵和线性代数中，我们可以使用三维矩阵来表示各种线性变换。
线性变换可以将一个向量转换为另一个向量，同时保持线性关系和向量运算的性质。
三维空间中的线性变换可以通过矩阵向量乘法来实现。
例如，一个三维矩阵A可以将一个向量V转换为另一个向量W，即W=AV。
这里A是一个3×3的矩阵。
矩阵A的每一列代表了新的坐标轴的方向，向量V的分量在这些新的坐标轴上进行了组合，得到了向量W。
三维矩阵的几何意义可以通过以下几个方面来理解：1.缩放：一个三维矩阵可以用来实现空间中的缩放变换。
在矩阵A中，对角线上的元素决定了在每个坐标轴上的缩放比例。
当一个向量与该矩阵相乘时，这个向量的每个分量都会按照相应的缩放比例进行拉伸或压缩。
这可以用来实现三维模型的放缩效果。
2.旋转：三维矩阵还可以用来实现空间中的旋转变换。
在矩阵A中，每一列代表了新的坐标轴的方向。
当一个向量与矩阵A相乘时，这个向量的分量按照新的坐标轴进行重新组合，从而实现旋转效果。
通过调整矩阵A中的元素，可以实现不同的旋转角度和方向。
3.平移：三维矩阵还可以用来实现空间中的平移变换。
在矩阵A中，除了对角线上的元素外，还有最后一列（或者行）表示将原来的位置向量移动到的目标位置向量。
三维图形几何变换
三维图形几何变换2007-06-22 22:50:04| 分类：兴趣|举报|字号订阅3.1.2三维图形几何变换三维几何变换包括平移、旋转和变比。
三维几何变换可以表示为公式，或三维齐次坐标和4×4变换矩阵的乘积。
下面分别以公式，矩阵乘积和简记符号来描述三维几何变换。
并记变换前物体的坐标为x,y,z；变换后物体的坐标为x′，y′，z′。
一、平移设Tx,Ty,Tz是物体在三个坐标方向上的移动量，则有公式：x′＝x＋T xy′＝y＋T yz′＝z＋T z矩阵运算表达为：［x′y′z′1］＝［x y z1］简记为：T(Tx,Ty,Tz)二、旋转旋转分为三种基本旋转：绕z轴旋转，绕x轴旋转，绕y轴旋转。
在下述旋转变换公式中，设旋转的参考点在所绕的轴上，绕轴转θ角，方向是从轴所指处往原点看的逆时针方向(图3.5(a),(b))。
1绕z轴旋转的公式为：x′＝xcosθ－ysinθy′＝xsinθ＋ycosθz′＝z矩阵运算的表达为：［x′y′z1］＝［x y z1］简记为R z(θ)。
2绕x轴旋转的公式为：x′＝xy′＝ycosθ－zsinθz′＝ysinθ＋zcosθ矩阵运算的表达为：［x′y′z′1］＝［x y z1］简记为R x(θ)2绕y轴旋转的公式为：x′＝zsinθ＋xcosθy′＝yz′＝zcosθ－xsinθ矩阵的运算表达式为：［x′y′z′1］＝［x y z1］简记为Ry(θ)。
如果旋转所绕的轴不是坐标轴，而是一根任意轴，则变换过程变显得较复杂。
首先，对物体作平移和绕轴旋转变换，使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合。
然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。
最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。
这个过程须由7个基本变换的级联才能完成。
设旋转所绕的任意轴为p1, p2两点所定义的矢量。
旋转角度为q(图3.6)。
这7个基本变换是：1T(－x1,－y1,－z1)使p1点与原点重合(图3.6(b))；2R x(α)，使得轴p1p2落入平面xoz内(图3.6(c))；3R y(β)，使p1p2与z轴重合(图3.6(d));4R z(θ)，执行绕p1p2轴的θ角度旋转(图3.6(e))；5R y(－β)，作3的逆变换；6R x(－α)，作2的逆变换；7T(x1,y1,z1)作1的逆变换。
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第五步，实行第一步的逆变换，
即把OI’轴还原至其原位置OI处，见 图 。故其变换矩阵Ｔ５为：
T5 T11
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几何变换、平行投影描述
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因此，点Ｐ绕过原点任意轴的变换矩阵T为：
A B C 0
T
T1T2T3T4T5
D G
E H
F I
0 0
A a2 (1 a2 ) cos
0
0
0
1
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几何变换、平行投影描述
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2. 绕空间任意轴的旋转
该任意轴由坐标系原点O与端点Q（q1，q2，q3） 确定，求P点绕该轴线OQ旋转的变换矩阵
OQ轴的方向数：
cos
q 1
q2 q2 q2
1
2
3
cos
q 2
q2 q2 q2
1
2
3
c osγ
q 3
q2
q2
q2
1
2
3
则应把它们归一化成标准形式。
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几何变换、平行投影描述
1
3.齐次坐标系中的矩阵、矩阵变换表达式：
A B C 0
T D E F 0 G H I 0
L
M
N
1
变换后的点P’ 变换前的点P 变换矩阵T ［x’y’ z’ １］＝［x y z １］· Ｔ
写成标量形式： x’=Ax+Dy+Gz+L y’=Bx+Ey+Hz+M z’=Cx+Fy+Iz+N
①如果让Ｐ点与OI轴一起旋转，结果使OI轴与坐 标系的Ｚ轴重合， ②此时Ｐ点变成了Ｐ’点，OI轴变成了OI’轴 ③再让Ｐ’点绕OI’轴旋转θ角， ④最后让Ｐ’点与OI’轴一起旋转，使OI’轴还 原至OI轴的原来位置， ⑤则这时Ｐ点的多次旋转效 果与直接让Ｐ点绕OI轴旋转 θ角的效果一样。
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对称
几何变换、平行投影描述
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点相对于x=0、y=0平面对称变换的矩阵分别为：
1 0 0 0
0
1 0 0
0 0 1 0
0
0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
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几何变换、平行投影描述
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六. 旋转变换
1. 绕坐标轴旋转 P点绕Z轴旋转的矩阵表达式：
几何变换、平行投影描述
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第二步，使OI’轴绕Ｙ轴旋转，使其与Ｚ轴重合，
设对应旋转角为 ，见2下图。
2 cos1 b2 c2 OI ' cos1 b2 c2
cos2 b2 c2 sin 2 a
cos(2 ) 0 sin(2 ) 0
T2
0
s
in(
0
2
)
1 0 0
0
cos(2 )
A 0 0 0
x,
y,
z, 1 x
y
z
1
0
0
E 0
0 0 I 0
0
0
0 1
3 0 0 0
Z
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 1
Y X
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几何变换、平行投影描述
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四. 错切变换矩阵表达式
1 B C 0
x,
y,
z, 1 x
y
z 1D
G
1 H
F 1
0 0
0
0
0 1
该错切矩阵中包含有6种基本错切变换矩阵形式，只 讨论二种最常用的错切变换矩阵形式。
第七章 照相机模型的建立与三维图形的显示
观察空间的规格化几何变换, 裁剪, 投影, 显示图形。
§7.1 三维图形的几何变换
一. 有关齐次坐标系的基本概念
1.引入齐次坐标系的目的 使图形几何变换形式规范，便于用硬件方式实现， 现均在齐次坐标系中对图形进行几何变换。 2.齐次坐标系的概念 对于三维直角坐标系中的一个点（x,y,z），它对应 的齐次坐标为（x,y,z,1）；若它的齐次常量w ≠ 1，
错切变换矩阵目的在于描述图形的斜投影造成的变形 效果。
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几何变换、平行投影描述
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1.沿x方向含z分量的一个错切变换
1 0 0 0
0
1
0
0
G 0 1 0
0
0
0
1
x’=x+Gz y’=y z’=z
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2.沿y方向含z分量的一个错切变换
1 0 0 0 0 1 0 0 0 H 1 0 0 0 0 1
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几何变换、平行投影描述
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定义一个单位向量OI，它与OQ有相同的方向数
a cos b cos c cosγ
结论：P点绕OQ轴旋转与绕OI轴旋转，两者等效 注意：旋转角θ与OI轴符合右手螺旋法则为正θ
下面主要讨论P点绕OI轴旋转。
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几何变换、平行投影描述
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结论：
0
0
0 1
B ab(1 cos ) c sin F bc(1 cos ) a sin
C ac(1 cos ) b sin G ac(1 cos ) b sin
x’=x y’=y+Hz z’=z
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几何变换、平行投影描述
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五.对称变换
点P相对z=0平面进行对称变换的矩阵描述方法为：
1 0 0 0
x,
y,
z, 1 x
y
z 10 1
0
0
0 0 1 0
0 0 0 1
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在三维空间中，P点 相对坐标平面进行对 称变换，可看成是P点 不动，而让坐标系的 坐标轴作反射变换。
cos sin 0 0
x,
y,
z, 1 x
y
z 1 sin
0
c os
0
0 0 1 0
0
0 0 1
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几何变换、平行投影描述
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点绕X、Y轴旋转的变换矩阵分别为：
1
0
0 0
0 cos sin 0
0 sin cos 0
0
0
0 1
cos 0 sin 0
0
1
0
0
sin 0 cos 0
矩阵右乘表达式
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几何变换、平行投影描述
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二. 平移变换矩阵表达式
x,
y, z, 1 x
1 0
y
z
1
0
1
0 0
L M
0 0 0 0 1 0 N 1
1 0 0 0
Z
0 1 0 0
P’ 0 0 1 0 1 3 4 1
P
Y X
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几何变换、平行投影描述
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三. 比例变换矩阵表达式
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第一步，使OI轴绕X轴旋转，使得OI’轴位于
ｙ＝０平面中，见下图，此时旋转角度 1 为：
1 cos1 c b2 c2
cos1 c b2 c2 sin1 b b2 c2
1 0
0 0
T1
0 0
0
c os1 sin 1
0
sin 1 c os1
0
0 0 1
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0
0 0 1
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几何变换、平行投影描述
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第三步，让Ｐ’点绕Ｚ轴旋转θ角，其变换矩阵Ｔ３为：
cos sin 0 0
T3
s in
0
c os
0
0 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 0
0
0 0 1
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几何变换、平行投影描述
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第四步，实行第二步的逆变换，
即把与Ｚ轴重合的单位矢量还原至 OI’处，见图。故其变换矩阵Ｔ４为：