2016年吉林省长春市朝阳区中考数学二模试卷(解析版)
2016年长春市中考数学模拟试卷(十)
2016年长春市中考数学模拟试卷（十）一、选择题（共8小题；共40分）1. 的相反数是A. B. C. D.2. 长春市轻轨号线开通以来，极大缓解了城市的交通压力，据统计，每天轻轨的运载人数为人次，这个数用科学记数法表示为A. B. C. D.3. 下列计算正确的是A. B. C. D.4. 不等式的解集在数轴上表示为A. B.C. D.5. 如图是由个同样大小的正方体搭成的立体图形，将正方体①移走后，所得立体图形A. 主视图改变，左视图改变B. 俯视图不变，左视图不变C. 俯视图改变，左视图改变D. 主视图改变，左视图不变6. 如图，把一块含有角的直角三角尺的两个锐角顶点放在直尺的对边上，若，则的大小为A. B. C. D.7. 如图，经过原点的与轴、轴分别交于，两点，点是劣弧上一点，则A. B. C. D. 无法确定8. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 比较大小：（填“”，“”或“”）．10. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是．11. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数（，）图象上的点，过点与轴垂直的直线交轴于点，点，在轴上，且．若四边形的面积为，则值为．12. 如图，在中，为直径，为弦，为切线，连接．若，则的度数为．13. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，点的坐标为．若点在直线上，则长的最小值为．14. 二次函数的图象如图，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为．三、解答题（共10小题；共130分）15. 先化简，再求值：，其中．16. 小丹有张扑克牌，小林有张扑克牌，扑克牌上的数字如图所示．两人用这些扑克牌做游戏，他们分别从自己的扑克牌中随机抽取一张，比较这两张扑克牌上的数字大小，数字大的一方获胜．请用画树状图（或列表）的方法，求小丹获胜的概率．17. 甲、乙两位同学为校艺术节制作彩旗，已知每小时甲比乙多制作面彩旗，甲制作面彩旗与乙制作面彩旗所用时间相同．求甲每小时制作彩旗的数量．18. 如图，是的边上一点，，交于点，若．（1）求证：；（2）若，，，求四边形的面积．19. 某校数学兴趣小组用测量仪器测量某大桥的桥塔高度，在距桥塔底部米的处，测得桥塔顶部的仰角为（如图）．已知测量仪器的高度为米，试求桥塔的高度．（结果精确到米）【参考数据：，，】20. 长春市某校准备组织七年级学生游园，供学生选择的游园地点有：东北虎园、净月潭、长影世纪城，每名学生只能选择其中一个地点．该校学生会从七年级学生中随机抽取了名学生，对他们选择各游园地点的情况进行了调查，并根据调查结果绘制成如下条形统计图．（1）求的值；（2）求这名学生选择去净月潭游园的人数所占百分比．（3）按上述调查结果，估计该校七年级名学生中选择去净月潭游园的人数．21. 甲、乙两车从 A 地驶向 B 地，甲车比乙车早行驶，并且在途中休息了，休息前后速度相同，如图是甲、乙两车行驶的距离（）与时间（）的函数图象．（1）图中．（2）求出甲车行驶路程（）与时间（）之间的函数关系式．（3）当两车恰好相距时，直接写出甲车行驶的时间．22. 在正方形中，对角线与交于点；在中，．（1）如图，若点与点重合且、，分别交、于点、，请直接写出与的数量关系；（2）将图中的绕点顺时针旋转角度．①如图，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图，在旋转过程中，当时，连接，若正方形的边长为，请直接写出线段的长；③如图，旋转后，若的顶点在线段上移动（不与点、重合），当时，猜想此时与的数量关系，并给出证明；当时，请直接写出与的数量关系．23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过，两点，点是直线上方抛物线上的一点．（1）求抛物线所对应的函数表达式．（2）求面积的最大值，并求出此时点的坐标．（3）在（）的前提下，过点作轴的平行线交直线于点，连接．点在抛物线对称轴上，点在抛物线上．当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．24. 如图①，在平行四边形中，于点，且点为中点，，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动．设点的运动时间为秒，点出发后，过点作的垂线，交折线于点，以为边向左作正方形．设正方形与平行四边形重叠部分的面积为．（1）求点与点重合时，的值．（2）用含的代数式表示线段的长．（3）当正方形与平行四边形重叠部分不是正方形时，求与之间的关系式．（4）如图②，设点为的中点，请直接写出点的运动过程中，为等腰三角形时，的值．答案第一部分1. A2. B3. B4. C5. D6. A7. B8. C第二部分9.10.11.12.13.14.【解析】连接交于，如图四边形为菱形，．，，．设，则，，点在上，舍去，，，，，，菱形的面积．第三部分15. 原式当时，原式．16. 画树状图得：共有种等可能的结果，小丹获胜的情况有种，小丹获胜．17. 设乙每小时做面彩旗，则甲每小时做面彩旗，依题意有解得：经检验：是原方程的解，且符合题意．答：甲每小时做面彩旗．18. （1），．在和中，对顶角相等（），．又，四边形是平行四边形，．（2），，，，，．四边形是平行四边形，．四边形19. 过作于，，且，四边形是长方形，，在中，，，，（米），桥塔的高度为米．20. （1）（名）．（2）选择去净月潭游园的人数所占百分比为．（3）该校七年级名学生中选择去净月潭游园的人数为（名）．21. （1）（2）当时，设与之间的函数关系式为，把代入，得，所以，当时，；当时，设与之间的函数关系式为，由题意，得解得所以，所以．（3）当甲车行驶小时或小时或小时或小时，两车恰好相距．22. （1）（2）①成立如图所示，、是正方形的对角线，，，．．，．．．，即．②．③．方法一如图，过点作交于点，则为等腰直角三角形，，．，，．又，，．又，．，即．．方法二如图，过点点作，，垂足为、，则四边形为矩形．，，．，．，．又，，，即．．23. （1）直线，当时，，即点的坐标为，当时，有，解得，即点坐标为．将，点坐标代入抛物线的解析式，得解得故抛物线所对应的函数表达式为．（2）过点作轴于点交直线于点，如图所示．点是直线上方抛物线上的点，设点的坐标为，点的坐标为，，当时，面积最大，且最大值为，此时点的坐标为．（3）或或．24. （1）如图所示：是的中点，，．，，，．又，．为正方形，．．解得：．（2）①当时，如图所示：由（）可知，．．②当时，如图所示：由（）可知，．．③当时，如图所示：，，．综上所述，．（3）①如图所示：当时，，此时重叠部分为正方形；②如图所示：当时．，，．．．正方形③当时，如图所示：，，．④当时，如图所示：，．．⑤当时，．综上所述与的函数为．（4）当或或或时，为等腰三角形．。
吉林省长春市中考数学试卷及答案解析版
2016年长春市初中毕业生学业考试数 学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．5-的相反数是 （A ）15-．（B ）15． （C ）5-． （D ）5．2．吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评选出各级各类“吉林好人”45 000多名.45 000这个数用科学记数法表示为（A ）34510⨯ （B ）44.510⨯． （C ）54.510⨯． （D ）50.4510⨯． 3．右图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是4．不等式组20260x x +⎧⎨-≤⎩＞ 的解集在数轴上表示正确的是5.把多项式269x x -+分解因式，结果正确的是（A ）2(3)x -． （B ）2(9)x -． （C ）(3)(3)x x +-．（D ）(9)(9)x x +-．6．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°.将Rt △ABC 绕点C 按逆时针 方向旋转48°得到Rt △''A B C ，点A 在边'B C 上，则∠'B 的大小为 （A ）42°． （B ）48°． （C ）52°． （D ）58°．7．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ．若OA =2,∠P =60°， 则AB 的长为（A ）23π． （B ）π． （C ）43π． （D ）53π．8.P （1，4）在函数(0)ky x x=>的图象上， 当1m >时，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点A 、B ；过点Q 分别作x 轴、 y 轴的垂线，垂足 为点C 、D. QD 交PA 于点E ，随着m 的增大，四边形ACQE 的面积 （A ）减小． （B ）增大 （C ）先减小后增大 （D ）先增大后减小．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．计算：3()ab = ．10．关于x 的一元二次方程220x x m ++=有两个相等的实数根，则m 的值是 ．11．如图，在△ABC 中，AB >AC .按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；作直线MN 交AB 于点D ；连结CD ．若AB =6,AC =4,则△ACD 的周长为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的对称中心与原点重合，顶点A 的坐标为(－1,1)，顶点B 在第一象限．若点B 在直线3y kx =+上,则k 的值为 ．13．如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是AB 上一点.若∠OAB=25°,∠OCA=40°，则∠BOC 的大小为 度． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形O A B C 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为 （4，3）.D 是抛物线26y x x =-+上一点，且在x 轴上方.则△BCD 的最大值为 ． 三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：(2)(2)(4)a a a a +-+-，其中14a =．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字0，1，2.每个小球除数字不同外其余均相同.小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字.用画树状图（或列表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是3的概率．17.（6分）A 、B 两种型号的机器加工同一种零件，已知A 型机器比B 型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B 型机器加工300个零件所用时间相同.求A 型机器每小时加工零件的个数.18．（6分）某中学为了解该校学生一年的课外阅读量，随机抽取了n 名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下条形统计图．根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）求n 的值.（2）根据统计结果，估计该校1100名学生中一年的课外阅读量超过10本的人数.19．（7分）如图，为了测量长春解放纪念碑的高度AB ，在与纪念碑底部B 相距27米的C 处，用高1.5米的测角仪DC 测得纪念碑顶端A 的仰角为47°，求纪念碑的高度．（结果精确到0.1米.） 【参考数据：sin 470.731︒=，cos470.682︒=，tan 47 1.072︒=】20.（7分）如图．在□ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF =BE .EF 与CD 交于点G . （1）求证：BD ∥EF . （2）若23DG GC =,BE =4,求EC 的长.21．（9分）甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发.甲车匀速前往B 地，到达B 地立即以另一速度按原路匀速返回到A 地；乙车匀速前往A 地.设甲、乙两车距A 地的路程为y （千米），甲车行驶的时间为x (时），y 与x 之间的函数图象如图所示. （1）求甲车从A 地到达B 地的行驶时间.（2）求甲车返回时y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． （3）求乙车到达A 地时甲车距A 地的路程.22．（9分）感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°.易知：DB=DC.探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°.求证：DB=DC.应用：如图③，四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°,DB=DC=a,则AB-AC=____．（用含a的代数式表示）(第22题)23．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°.点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFGH.设点E运动的时间为t秒.（1）求线段EF的长.（用含t的代数式表示）（2）求点H与点D重合时t的值；（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式；（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点'O.当'OO∥AD时，t的值为______；当'OO⊥AD时，t 的值为______.24.（12分）如图，在平面直角坐标系中.有抛物线2(3)4y a x =-+和2()y a x h =-.抛物 线2(3)4y a x =-+经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B .P 是抛物线2(3)4y a x =-+上一点，且在x 轴上方.过点P 作x 轴的垂线交抛物线2()y a x h =-于点Q .过点Q 作PQ 的垂线交抛物线2()y a x h =-于点'Q (不与点Q 重合)，连结'PQ .设点P 的横坐标为m . （1）求a 的值.（2）当抛物线2()y a x h =-经过原点时，设△'PQQ 与△OAB 重叠部分图形的周长为l .①求'PQQQ 的值. ②求l 与m 之间的函数关系式.（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、Q 、'Q 为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h 的值.2016年长春市初中毕业生学业考试数 学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．5-的相反数是 （A ）15-．（B ）15． （C ）5-． （D ）5．【解答】：D【考点】：考查相反数。
2016年吉林长春中考真题数学
2016年吉林省长春市中考真题数学一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分1.-5的相反数是( )A.-1 5B.1 5C.-5D.5解析：只有符号不同的两个数互为相反数.-5的相反数是5.答案：D.2.吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评选出各级各类“吉林好人”45000多名，45000这个数用科学记数法表示为( )A.45×103B.4.5×104C.4.5×105D.0.45×103解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.45000这个数用科学记数法表示为4.5×104.答案：B.3.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是( )A.B.C.D.解析：从上面看到的平面图形即为该组合体的俯视图.从上面看共有2行，上面一行有3个正方形，第二行中间有一个正方形. 答案：C.4.不等式组20260xx+⎧⎨-≤⎩＞，的解集在数轴上表示正确的是( )A. B. C. D.解析：20260xx+⎧⎨-≤⎩＞①，②，由①得，x＞-2，由②得，x≤3，故不等式组的解集为：-2＜x≤3.在数轴上表示如下.答案：C.5.把多项式x2-6x+9分解因式，结果正确的是( )A.(x-3)2B.(x-9)2C.(x+3)(x-3)D.(x+9)(x-9)解析：x2-6x+9=(x-3)2.答案：A6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的大小为( )A.42°B.48°C.52°D.58°解析：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，∴∠B′=90°-∠ACA′=42°.答案：A.7.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则AB的长为( )A.2 3πB.πC.4 3πD.5 3π解析：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OBP=∠OAP=90°，在四边形APBO中，∠P=60°，∴∠AOB=120°，∵OA=2，∴AB的长l=120214380π⨯=π.答案：C8.如图，在平面直角坐标系中，点P(1，4)、Q(m，n)在函数y=kx(x＞0)的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D.QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积( )A.减小B.增大C.先减小后增大D.先增大后减小解析：AC=m-1，CQ=n，则S四边形ACQE=AC·CQ=(m-1)n=mn-n.∵P(1，4)、Q(m，n)在函数y=kx(x＞0)的图象上，∴mn=k=4(常数).∴S四边形ACQE=AC·CQ=4-n，∵当m＞1时，n随m的增大而减小，∴S四边形ACQE=4-n随m的增大而增大.答案：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分9.计算(ab)3= .解析：原式=a3b3.答案：a3b310.关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 . 解析：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22-4m=0，∴m=1. 答案：1.11.如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD.若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为 .解析：由题意直线MN是线段BC的垂直平分线，∵点D在直线MN上，∴DC=DB，∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，∵AB=6，AC=4，∴△ACD的周长为10.答案：10.12.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(-1，1)，顶点B在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为 .解析：∵正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(-1，1)，∴B(1，1).∵点B在直线y=kx+3上，∴1=k+3，解得k=-2.答案：-2.13.如图，在⊙O中，AB是弦，C是AB上一点.若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为度.解析：∵∠BAO=25°，OA=OB，∴∠B=∠BAO=25°，∴∠AOB=180°-∠BAO-∠B=130°，∵∠ACO=40°，OA=OC，∴∠C=∠CAO=40°，∴∠AOC=180°-∠CAO-∠C=100°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°.答案：3014.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)，D是抛物线y=-x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 .解析：∵D是抛物线y=-x2+6x上一点，∴设D(x，-x2+6x)，∵顶点C的坐标为(4，3)，∴，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC∥x轴，∴S△BCD=12×5×(-x2+6x-3)=-52(x-3)2+152，∵-52＜0，∴S△BCD有最大值，最大值为152.答案：152.三、解答题：本大题共10小题，共78分15.先化简，再求值：(a+2)(a-2)+a(4-a)，其中a=14.解析：根据平方差公式和单项式乘以多项式可以对原式化简，然后将a=14代入化简后的式子，即可解答本题.答案：(a+2)(a-2)+a(4-a)=a2-4+4a-a2=4a-4，当a=14时，原式=4×14-4=1-4=-3.16.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字0，1，2，每个小球除数字不同外其余均相同，小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用画树状图(或列表)的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是3的概率.解析：列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式即可求出两次摸出的小球上的数字之和是3的概率.答案：列表得：∴P(和为3)=29.17.A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数.解析：关键描述语为：“A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同”；等量关系为：400÷A型机器每小时加工零件的个数=300÷B型机器每小时加工零件的个数.答案：设A型机器每小时加工零件x个，则B型机器每小时加工零件(x-20)个.根据题意列方程得：40030020x x=-，解得：x=80.经检验，x=80是原方程的解.答：A型机器每小时加工零件80个.18.某中学为了解该校学生一年的课外阅读量，随机抽取了n名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：(1)求n的值；(2)根据统计结果，估计该校1100名学生中一年的课外阅读量超过10本的人数. 解析：(1)可直接由条形统计图，求得n的值；(2)首先求得统计图中课外阅读量超过10本的百分比，继而求得答案.答案：(1)根据题意得：n=6+33+26+20+15=100，答：n的值为100.(2)根据题意得：2015100×1100=385(人)，答：估计该校1100名学生中一年的课外阅读量超过10本的人数为：385人.19.如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B相距27米的C处，用高1.5米的测角仪DC测得纪念碑顶端A的仰角为47°，求纪念碑的高度(结果精确到0.1米)【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】解析：作DE⊥AB于E，根据正切的概念求出AE的长，再结合图形根据线段的和差计算即可求解.答案：作DE⊥AB于E，由题意得DE=BC=27米，∠ADE=47°，在Rt△ADE中，AE=DE·tan∠ADE=27×1.072=28.944米，AB=AE+BE≈30.4米，答：纪念碑的高度约为30.4米.20.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，BE 与CD交于点G.(1)求证：BD ∥EF ； (2)若23DG GC =，BE=4，求EC 的长. 解析：(1)根据平行四边的判定与性质，可得答案； (2)根据相似三角形的判定与性质，可得答案. 答案(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC. ∵DF=BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形，∴BD ∥EF ； (2)∵四边形BEFD 是平行四边形，∴DF=BE=4. ∵DF ∥EC ，∴△DFG ∽CEG ，∴DG DF CG CE =，∴CE=2·43DF CG DG =⨯=6.21.甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，甲车匀速前往B 地，到达B 地立即以另一速度按原路匀速返回到A 地；乙车匀速前往A 地，设甲、乙两车距A 地的路程为y(千米)，甲车行驶的时间为x(时)，y 与x 之间的函数图象如图所示.(1)求甲车从A 地到达B 地的行驶时间；(2)求甲车返回时y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)求乙车到达A 地时甲车距A 地的路程. 解析：(1)根据题意列算式即可得到结论； (2)根据题意列方程组即可得到结论； (3)根据题意列算式即可得到结论.答案：(1)300÷(180÷1.5)=2.5(小时)，答：甲车从A 地到达B 地的行驶时间是2.5小时.(2)设甲车返回时y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ， ∴300 2.50 5.5k b k b =+=+⎧⎨⎩，，解得：100550k b =-⎧⎨=⎩，，∴甲车返回时y 与x 之间的函数关系式是y=-100x+550. (3)300÷[(300-180)÷1.5]=3.75小时， 当x=3.75时，y=175千米，答：乙车到达A 地时甲车距A 地的路程是175千米.22.解决问题.感知：如图1，AD平分∠BAC.∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC.探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC.应用：如图3，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则AB-AC= (用含a的代数式表示)解析：探究：欲证明DB=DC，只要证明△DFC≌△DEB即可.应用：先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合即可解决问题.答案：探究：证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD，在△DFC和△DEB中，F DEBFCD BDF DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△DFC≌△DEB，∴DC=DB.应用：如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD，在△DFC和△DEB中，F DEBFCD BDC DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△DFC≌△DEB，∴DF=DE，CF=BE，在RT△ADF和RT△ADE中，AD ADDE DF=⎧⎨=⎩，，∴△ADF≌△ADE，∴AF=AE ，∴AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=2BE ，在RT △DEB 中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=45°，BD=a ，∴BE=2a ，∴AB-AC=23.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=8，∠BAD=60°，点E 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，当点E 不与点A 重合时，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，作EG ∥AD 交AC 于点G ，过点G 作GH ⊥AD 交AD(或AD 的延长线)于点H ，得到矩形EFHG ，设点E 运动的时间为t 秒.(1)求线段EF 的长(用含t 的代数式表示)； (2)求点H 与点D 重合时t 的值；(3)设矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积与S 平方单位，求S 与t 之间的函数关系式；(4)矩形EFHG 的对角线EH 与FG 相交于点O ′，当OO ′∥AD 时，t 的值为 ；当OO ′⊥AD 时，t 的值为 .解析：(1)由题意知：AE=2t ，由锐角三角函数即可得出；(2)当H 与D 重合时，FH=GH=8-t ，由菱形的性质和EG ∥AD 可知，AE=EG ，解得t=83； (3)矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形需要分以下两种情况讨论：①当H 在线段AD 上，此时重合的部分为矩形EFHG ；②当H 在线段AD 的延长线上时，重合的部分为五边形；(4)当OO ′∥AD 时，此时点E 与B 重合；当OO ′⊥AD 时，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，EF 与OA 相交于点N ，然后分别求出O ′M 、O ′F 、FM ，利用勾股定理列出方程即可求得t 的值. 答案：(1)由题意知：AE=2t ，0≤t ≤4，∵∠BAD=60°，∠AFE=90°，∴sin ∠BAD=EFAE，∴(2)∵AE=2t ，∠AEF=30°，∴AF=t ，当H 与D 重合时，此时FH=8-t ，∴GE=8-t ， ∵EG ∥AD ，∴∠EGA=30°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAC=30°， ∴∠BAC=∠EGA=30°， ∴AE=EG ，∴2t=8-t ，∴t=83； (3)当0≤t ≤83时， 此时矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形为矩形EFHG ， ∴由(2)可知：AE=EG=2t ，∴S=EF ··2，当83＜t ≤4时，如图1，设CD 与HG 交于点I ，此时矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形为五边形FEGID ，∵AE=2t ，∴AF=t ，，∴DF=8-t ， ∵AE=EG=FH=2t ，∴DH=2t-(8-t)=3t-8， ∵∠HDI=∠BAD=60°，∴tan ∠HDI=HIDH，∴HI=3DH ，∴S=)2221··382EF EG DH HI t -=-=+-(4)当OO ′∥AD 时，如图2，此时点E 与B 重合，∴t=4；当OO ′⊥AD 时，如图3，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，EF 与OA 相交于点N ，由(2)可知：AF=t ，AE=EG=2t ，∴FN=3t ，FM=t ，∵O ′O ⊥AD ，O ′是FG 的中点，∴O ′O 是△FNG 的中位线，∴O ′O=12FN =，∵AB=8，∴由勾股定理可求得：O ′M=t ，∵，EG=2t ，∴由勾股定理可求得：FG 2=7t 2，∴由矩形的性质可知：O ′F 2=14FG 2，∵由勾股定理可知：O ′F 2=O ′M 2+FM 2，∴74t 2=()2+t 2，∴t=3或t=-6(舍去).24.如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y=a(x-h)2.抛物线y=a(x-3)2+4经过原点，与x轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ，P 是抛物线y=a(x-3)2+4上一点，且在x 轴上方，过点P 作x 轴的垂线交抛物线y=(x-h)2于点Q ，过点Q 作PQ 的垂线交抛物线y=(x-h)2于点Q ′(不与点Q 重合)，连结PQ ′，设点P 的横坐标为m.(1)求a 的值；(2)当抛物线y=a(x-h)2经过原点时，设△PQQ ′与△OAB 重叠部分图形的周长为l. ①求PQQQ '的值； ②求l 与m 之间的函数关系式；(3)当h 为何值时，存在点P ，使以点O ，A ，Q ，Q ′为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h 的值.解析：(1)把(0，0)代入y=a(x-3)2+4即可解决问题. (2)①用m 的代数式表示PQ 、QQ ′，即可解决问题. ②分0＜m ≤3或3＜m ＜6两种情形，画出图形，利用相似三角形或锐角三角函数求出相应线段即可解决.(3)①当h=3时，两个抛物线对称轴x=3，四边形OAQQ ′是等腰梯形.②当四边形OQ ′1Q 1A 是菱形时，求出抛物线对称轴即可解决问题.答案：(1)∵抛物线y=a(x-3)2+4经过原点，∴x=0时，y=0，∴9a+4=0，∴a=-49.(2)∵抛物线y=a(x-h)2经过原点时，∴h=0，∵a=-49，∴y=-49x2.①∵P(m，-49m2+83m)，Q(m，-49m2)，∴PQ=-49m2+83m-(-49m2)=83m，QQ′=2m，∴84323mPQQQ m=='.②如图1中，当0＜m≤3时，设PQ与OB交于点E，与OA交于点F，∵PQQQ′=BMOM，∠PQQ′=∠BMO=90°，∴△PQQ′∽△BMO，∴∠QPQ′=∠OBM，∵EF∥BM，∴∠OEF=∠OBM，∴∠OEF=∠QPQ′，∴OE∥PQ′，∵EF OFBM OM=，∴EF=43m，OE=53m，∴l=OF+EF+OE=m+43m+53m=4m，当3＜m＜6时，如图2中，设PQ′与AB交于点H，与x轴交于点G，PQ交AB于E，交OA 于F，作HM⊥OA于M.∵AF=6-m，tan∠EAF=43EFAF=，∴EF=43(6-m)，AE=53(6-m)，∵tan∠PGF=43PFFG=，PF=24983m m-+，∴GF=-2716m2+2m，∴AG=-2716m 2+m+6， ∴GM=AM=21732223m m -++， ∵HG=HA=24555cos 326AM m m HAG =-++∠， ∴l=GH+EH+EF+FG=-92m 2+4m+8.综上所述l=2403483))6(9(2m m m m m ≤⎧⎪⎨-++⎪⎩＜，＜＜．(3)如图3中，①当h=3时，两个抛物线对称轴x=3，∴点O 、A 关于对称轴对称，点Q ，Q ′关于对称轴对称，∴OA ∥QQ ′，OQ ′=AQ ，∴四边形OAQQ ′是等腰梯形，属于轴对称图形. ②当四边形OQ ′1Q 1A 是菱形时，OQ ′1=OA=6， ∵Q ′1Q 1=OA=6，∴点Q 1的纵坐标为4，在RT △OHQ ′1，中，OH=4，OQ ′1=6，∴HQ ′1综上所述h=3或O ，A ，Q ，Q ′为顶点的四边形是轴对称图形.。
吉林省长春市二道区2016届九年级5月中考模拟数学试题解析(解析版)
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．﹣34的倒数是（）A．﹣43B．43C．﹣34D．34【答案】A 【解析】试题分析：﹣34的倒数是﹣43．故选A．考点：倒数．2．保护水资源，人人有责，我国是缺水国家，目前可利用淡水资源总量仅约为899000亿立方米，899000亿用科学记数法表示为（）A．8.99×1013B．0.899×1014C．8.99×1012D．89.9×1011【答案】A【解析】试题分析：将899000亿=89900000000000用科学记数法表示为：8.99×1013．故选：A．考点：科学记数法—表示较大的数．3．由6个完全相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：俯视图从左到右分别是1，2，1个正方形．故选：C．考点：简单组合体的三视图．4．下列计算正确的是（）A．a3﹣a2=a B．a2•a3=a6C．（2a）2=4a2D．a6÷a3=a2【答案】C【解析】试题分析：A、a3﹣a2不是同类项不能合并，故错误；B、a2•a3=a5，故错误；C、（2a）2=4a2，故正确；D、a6÷a3=a3，故错误；故选C．考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．5．一元二次方程x2﹣4x+2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】B【解析】试题分析：∵a=1，b=﹣4，c=2代，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×2=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．考点：根的判别式．6．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）A．24 B．16 C．．4【答案】D【解析】试题分析：菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=2，AO=OC=3，∴∴菱形的周长为故选：D．考点:菱形的性质．7．如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA=27°，则∠B的大小是（）A．27°B．34°C．36°D．54°【答案】C考点：切线的性质．8．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0【答案】D【解析】试题分析：A、m＞0，n＞0，A、B两点在同一象限，故A错误；B、m＞0，n＜0，A、B两点不在同一个正比例函数，故B错误；C、m＜0，n＞0，A、B两点不在同一个正比例函数，故C错误；D、m＜0，n＜0，A、B两点在同一个正比例函数的不同象限，故D正确．故选：D．考点：正比例函数的性质．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9（填“＜“，“=“或“＞“）．【答案】＜【解析】试题分析：∵2，故答案为：＜．考点：实数大小比较．10．不等式组2026xx-≥⎧⎨≥⎩的解集为．【答案】x≥3 【解析】试题分析：20 26xx-≥⎧⎨≥⎩①②由①得，x≥2，由②得，x≥3，故不等式组的解集为x≥3．故答案为x≥3．考点：解一元一次不等式组．11．如图，AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点．若∠B=65°，∠MDN=135°，则∠AMB=．【答案】70°【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴∠A+∠MDN=180°，∴∠A=180°﹣∠MDN=45°，在△ABM中，∠AMB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．故答案为：70°．考点：平行线的性质；三角形的外角性质．12．一个扇形的圆心角为60°，半径是10cm，则这个扇形的弧长是cm．【答案】10 3π【解析】试题分析：弧长是：6010180π∙=103πcm．考点：弧长的计算．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（3，0），C（4，3），将抛物线y=ax2+bx+3向上平移，使顶点E落在平移，使顶点E落在x轴上的点F处，则由两条抛物线、线段EF和y轴围成的图形（图中阴影部分）面积S=．【答案】2【解析】试题分析：∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（3，0），C（4，3），∴93+c0 16433 a ba b+=⎧⎨++=⎩解得14 ab=⎧⎨=-⎩，∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；∴y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴EF=1，阴影部分的面积等于平行四边形AEFD的面积，平行四边形AEFD的面积=1×2=2，∴阴影部分的面积=2．故答案是：2．考点：二次函数图象与几何变换．14．如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，23），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，﹣2），则点F的坐标是．【答案】（94，0）【解析】试题分析：∵正方形的顶点A（m，2），∴正方形的边长为2，∴BC=2，而点E（n，23），∴n=2+m，即E点坐标为（2+m，23），∴k=2•m=23（2+m），解得m=1，∴E点坐标为（3，23），设直线GF的解析式为y=ax+b，把E（3，23），G（0，﹣2）代入得2332a bb⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得892 ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线GF的解析式为y=89x﹣2，当y=0时，89x﹣2=0，解得x=94，∴点F的坐标为（94，0）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．三、解答题（共10小题，满分78分）15．先化简，再求值：（224242xx x+---）2x÷，其中2．【答案】原式=22 x+，当2时，原式【解析】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．试题解析：原式=242(2)2(2)(2)x xx x x+-+∙+-=(2)2(2)(2)x xx x x-∙+-=22x+，当2时，原式考点：分式的化简求值．16．把大小完全相同的6个乒乓球分成两组，每组3个，每组乒乓球上面分别标有数字1，2，3，将这两组乒乓球分别放入两个盒子中搅匀，再从每个盒子中各随机取出1个乒乓球，请用画树状图（或列表）的方法，求取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的概率．【答案】取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的概率=5 9．【解析】试题分析：先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．试题解析：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的结果数为5，所以取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的概率=5 9．考点：列表法与树状图法．17．供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修．技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达．已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度？【答案】摩托车的速度是40km/h，抢修车的速度是60km/h．【解析】考点：分式方程的应用．18．如图，在△AEF中，点D，B分别在边AF和AF的延长线上，已知FB=AD，BC∥AE，且BC=AE，连结CD，CF，DE．求证：四边形CDEF是平行四边形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：首先证明△AEF ≌△BCD 可得CD=EF ，∠EFD=∠CDB ，进而可证明ED ∥CF ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论．试题解析：∵BC ∥AE ，∴∠A=∠B ，∵FB=AD ，∴FB +DF=AD +DF ，∴AF=BD ，在△AEF 和△BCD 中，AE BC A B AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BCD （SAS ），∴CD=EF ，∠EFD=∠CDB ，∴CD ∥EF ，∴四边形CDEF 是平行四边形．考点：平行四边形的判定．19．如图，甲、乙两栋大楼相距78米，一测量人员从甲楼AC 的顶部看乙楼BD 的顶部其仰角为27°．如果甲楼的高为34米，求乙楼的高度是多少米？（结果精确到0.1米）【参考数据：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51】【答案】乙楼的高度约为73.8米【解析】试题分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ABE，解其可得BE的长，进而借助BD=ED+BE可解即可求出答案．试题解析：如图，在△ABE中，有BE=tan27°×AE=0.51×78=39.78（米），故BD=ED+BE=34+39.78≈73.8（米）．答：乙楼的高度约为73.8米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．20．今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，某校学生会为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，随机抽取了该校的n名学生做了一次跟踪调查，将调查结果分为四个等级：（A）非常了解．（B）比较了解．（C）基本了解．（D）不了解，并将调查结果绘制成如下两幅不完整统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）求n的值；（2）在调查的n名学生中，对雾霾天气知识不了解的学生有人，并将条形统计图补充完整．（3）估计该校1500名学生中，对雾霾天气知识比较了解的学生人数．【答案】（1）n=20÷5%=400（人）（2）140；（3）该校1500名学生中，对雾霾天气知识比较了解的学生人数有225人．【解析】试题分析：（1）根据条形统计图和扇形统计图得到人数和百分比，计算即可；（2）根据样本容量等于频数之和计算；（3）用样本估计总体即可．试题解析：（1）由条形图可知，非常了解的人数是20人，由扇形统计图可知，非常了解的人数占5%，则n=20÷5%=400（人）；（2）400﹣20﹣60﹣180=140，则对雾霾天气知识不了解的学生有140人．故答案为：140；（3）1500×60400=225（人）．答：该校1500名学生中，对雾霾天气知识比较了解的学生人数有225人．考点;条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．21．某工厂甲、乙两个车间同时开始生产某种产品，产品总任务量为m件，开始甲、乙两个车间工作效率相同．乙车间在生产一段时间后，停止生产，更换新设备，之后工作效率提高．甲车间始终按原工作效率生产．甲、乙两车间生产的产品总件数y与甲的生产时间x（时）的函数图象如图所示．（1）甲车间每小时生产产品件，a=．（2）求乙车间更换新设备之后y与x之间的函数关系式，并求m的值．（3）若乙车间在开始更换新设备时，增加两名工作人员，这样可便更换设备时间减少0.5小时，并且更换后工作效率提高到原来的2倍，那么两个车间完成原任务量需几小时？【答案】（1）60，52小时；（2）乙车间更换新设备之后y与x之间的函数关系式为：y=160x﹣190，∴m=450件；（3）两个车间完成原任务量需要的时间是72小时．【解析】试题分析：（1）由开始甲、乙两个车间工作效率相同，于是得到开始甲、乙两个车间工作效率是每小时生产产品60个，即可得到结论；（2）设乙车间更换新设备之后y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，把（52，210），（3，290）代入y=kx+b列方程组即可得到结论；（3）根据两个车间完成原任务量需要的时间=乙车间更换新设备前的时间+乙车间更换新设备中的时间+乙车间更换新设备后的时间，即可得到结论．试题解析：（1）∵开始甲、乙两个车间工作效率相同，∴开始甲、乙两个车间工作效率是每小时生产产品60个，∴a=21012060-+1=52小时，故答案为：60，52小时；（2）设乙车间更换新设备之后y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，把（52，210），（3，290）代入y=kx+b得：521022903k bk b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，∴160190 kb=⎧⎨=-⎩，∴乙车间更换新设备之后y与x之间的函数关系式为：y=160x﹣190，当x=4时，y=450，∴m=450件；（3）两个车间完成原任务量需要的时间=乙车间更换新设备前的时间+乙车间更换新设备中的时间+乙车间更换新设备后的时间，即1+（52﹣1﹣12）﹣51450120601227120602⎡⎤⎛⎫----⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+答：两个车间完成原任务量需要的时间是72小时．考点：一次函数的应用．22．阅读发现：（1）如图①，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，连结CD ，AE ．易证：△BCD ≌△BAE ．（不需要证明）提出问题：（2）在（1）的条件下，当BD ∥AE 时，延长CD 交AE 于点F ，如图②，求AF 的长． 解决问题：（3）如图③，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，连结CD ，AE ．当∠BAE=45°时，点E 到AB 的距离EF 的长为2，求线段CD 的长为 ．【答案】（2）1；（3）3．【解析】试题分析：（2）由△BCD ≌△BAE ，得到∠OAF=∠OCB ，根据“8字型”证明∠AFO=∠CBO=90°，在RT △BDC 中利用勾股定理求出CD ，再证明BD=EF 即可解决问题．（3）根据两边成比例夹角相等两三角形相似，可以证明△ABE ∽△CBD ，得AE BECD BD==AE 即可解决问题．试题解析：（2）如图②中，AB 与CF 交于点O ． 由（1）可知：△BCD ≌△BAE ，∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，∵∠AOF=∠COB，∴∠AFO=∠CBO=90°，∴CF⊥AE，∵BD∥AE，∴BD⊥CF，在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，∴∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，∴四边形EFDB是矩形，∴EF=BD=1，∴AF=AE﹣1．∴AF=EF=2，∴=CD∴CD=．3考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．23．如图，四边形ABCD为矩形，AC为对角线，AB=6，BC=8，点M是AD的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿射线MA向右运动；点Q沿线段MD先向左运动至点D后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当点R在线段AC上时，求出t的值．（2）求出S与t之间的函数关系式，并直接写出取值范围．（求函数关系式时，只须写出重叠部分为三角形时的详细过程，其余情况直接写出函数关系式．）（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，当t为何值时，△LRE 是等腰三角形．请直接写出t的值或取值范围．【答案】（1）t=12 11；（2）S 与t 之间的函数关系式为：()()2222120,(0)111211212116,()24115223,35212,343318,488t t t t S t t t t t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪-+<≤⎪⎪⎪⎛⎫=-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+<≤⎪⎪-++<≤⎪⎪⎩．（3）t 的取值范围是4≤t ≤8时，△LRE 是等腰三角形；当t=4s ，或t=8s 或136t =s或5t =-时，△LRE 是等腰三角形． 【解析】试题分析：（1）根据三角形相似可得RP CD AP AD =，即2648t t =-，解答即可；（2）根据点P 和点Q 的运动情况分情况讨论解答即可； （3）根据△LRE 是等腰三角形满足的条件． 试题解析：（1）当点R 在线段AC 上时，应该满足：RP DCAP AD=， 设MP 为t ，则PR=2t ，AP=4﹣t ，∴可得：RP DC AP AD =，即2648t t =-，解得：t=1211；（2）当12011t <≤时，正方形PRLQ 与△ABC 没有重叠部分，所以重叠部分的面积为0；当1212115t <≤时，正方形PRLQ 与△ABC 重叠部分的面积为直角三角形KRW 的面积=211141112133116243424t t t t ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 212111624S t t =-+；当1235t <≤时，正方形PRLQ 与△ABC 重叠部分的面积=12×（2t ﹣3）2t=2t 2﹣3t ．当3＜t ≤4时，正方形PRLQ 与△ABC 重叠部分的面积=12×（12﹣2t ）×2t=﹣2t 2+12t ． 当4＜t ≤8时，正方形PRLQ 与△ABC 重叠部分的面积为S=233+188t t -+；综上所述S 与t 之间的函数关系式为：()()2222120,(0)111211212116,()24115223,35212,343318,488t t t t S t t t t t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪-+<≤⎪⎪⎪⎛⎫=-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+<≤⎪⎪-++<≤⎪⎪⎩．（3）在点P 、点Q 运动的同时，有一点E 以每秒1个单位的速度从C 向B 运动，①当点E 是BC 的中点时，点E 在LR 的中垂线线上时，EL=ER ．此时t=4s ，△LRE 是等腰三角形； 当点E 与点B 重合时，点E 在LR 的中垂线线上时，EL=ER ．此时t=8s ，△LRE 是等腰三角形； 综上所述，t 的取值范围是4≤t ≤8； ②当EL=LR 时，如图所示：LR=2t ，CF=NL=4﹣t ，则EF=2t ﹣4．FL=CN=6﹣2t ，则在直角△EFL 中，由勾股定理得到：EL 2=EF 2+FL 2=（2t ﹣4）2+（6﹣2t ）2． 故由EL=LR 得到：EL 2=LR 2，即4t 2=10t 2﹣40t +52， 整理，得 t 2﹣10t +13=0，解得 t 1=5+t 2=5﹣所以当t=5﹣s ）时，△LRE 是等腰三角形； 同理，当ER=LR 时，13t 6=．综上所述，t 的取值范围是4≤t ≤8时，△LRE 是等腰三角形；当t=4s ，或t=8s 或13t 6=s 或t 5=-时，△LRE 是等腰三角形． 考点;四边形综合题．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 、C 的坐标分别为（0，、（0），将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转45°得到矩形OA ′B ′C ′，边A ′B ′与y 轴交于点D ，经过坐标原点的抛物线y=ax 2+bx 同时经过点A ′、C ′． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）写出点B ′的坐标；（3）点P 是边OC ′上一点，过点P 作PQ ⊥OC ′，交抛物线位于y 轴右侧部分于点Q ，连接OQ 、DQ ，设△ODQ 的面积为S ，当直线PQ 将矩形OA ′B ′C ′的面积分为1：3的两部分时，求S 的值；（4）保持矩形OA ′B ′C ′不动，将矩形OABC 沿射线CO 方向以每秒1个单位长度的速度平移，设平移时间为t 秒（t ＞0）．当矩形OABC 与矩形OA ′B ′C ′重叠部分图形为轴对称多边形时，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣23x 2+13x ； （2）B ′（1，﹣3）；（3）S △ODQ ′=12×2（4）0≤t ≤2或1≤t ≤矩形OABC 与矩形OA ′B ′C ′重叠部分图形为轴对称多边形． 【解析】试题分析：（1）求出A 、C 两点坐标，把A 、C 两点坐标代入y=ax 2+bx 解方程组即可． （2）如图1中，连接A ′C ′，OB ′交于点E ．求出点E 坐标，根据中点坐标公式即可解决问题．（3）分两种情形①当OP：PC′=1：3时，P（12，﹣12），求出直线PQ的解析式，利用方程组求出点Q坐标即可．②当OP′：P′C′=3：1时，P′（32，﹣32），方法类似．（4）分别求出①如图3中，当AB经过点C′时，②如图4中，当O′C′=O′③如图5中，当点A在直线B′C′上时的时间t，观察图象即可解决问题．试题解析：（1）如图1中，由题意A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2），把A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2）代入y=ax2+bx得1 422 a ba b-=-⎧⎨+=-⎩，解得2313ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣23x2+13x．（2）如图1中，连接A′C′，OB′交于点E．∵四边形OA′B′C′是矩形，∴A′E=EC′，OE=EB′，∵A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2），∴E（12，﹣32），∴B′（1，﹣3）．（3）如图2中，∵直线PQ将矩形OA′B′C′的面积分为1：3的两部分，∴OP：PC′=1：3或OP′：P′C′=3：1．①当OP ：PC ′=1：3时，P （12，﹣12），直线PQ 的解析式为y=x ﹣1， 由212133y x y x x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得12x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Q 在第四象限， ∴QD （0，﹣2），∴S △ODQ =12×2②当OP ′：P ′C ′=3：1时，P ′（32，﹣32），∴直线P ′Q ′的解析式为y=x ﹣3， 由232133y x y x x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得72x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或72y y ⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩， ∴Q ′（12-+，72-S △ODQ ′=12×2×12-=12-．（4）如图3中，当AB 经过点C ′时，2， 如图4中，当O ′C ′=O ′A=时，AB 与B ′C ′交于点M ，连接O ′M ，则△O ′MA ≌△O ′MC ′，此时t=OO ′如图5中，当点A 在直线B ′C ′时上，t=OO ′1．综上所述，观察图形可知0≤t ≤2或1≤t ≤OABC 与矩形OA ′B ′C ′重叠部分图形为轴对称多边形．考点：二次函数综合题，考查矩形的性质、三角形的面积、中点坐标公式、平移变换。
长春市2016年中考数学模拟试卷
长春市2016年中考数学模拟试卷一、选择题1．计算﹣5+1的结果为（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．62．据统计，长春市主城区2015年上半年机动车数量突破1000000辆大关，1000000这个数用科学记数法表示为（）A．1×107B．0.1×107C．1×106D．10×1013．如图是由5个高和底面直径相等的圆柱体搭成的立体图形，这个立体图形的左视图是（）A．B． C． D．4．不等式x+5≥1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．下列方程没有实数根的是（）A．x2﹣3x+4=0 B．x2=2x C．2x2+3x﹣1=0 D．x2+2x+1=06．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，EF∥AC，DF∥AB，若∠B=45°，∠C=65°，则∠EFD的大小为（）A．45°B．70°C．80°D．100°7．如图，AB是⊙O的直径，点A是弧CD的中点，若∠B=25°，则∠AOC=（）A．25°B．30°C．40°D．50°8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），点C为线段AB 上任意一点（不与点A、B重合），CD⊥OA于点D，点E在DC的延长线上，EF⊥y轴于点F，若点C为DE的中点，则四边形ODEF的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题9．计算：÷=．10．分解因式：a2﹣4=．11．购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为元．12．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A在函数y=的图象上，顶点B、C在y轴正半轴上（点B在点C的上方），若点D的坐标为（3，1），▱ABCD的面积为4，5，则k的值为．13．如图，在△ABC和△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在线段AB上，AD∥CB，若AC=AE=2，BC=3，则DE的长为．14．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，以P为顶点的抛物线经过原点，与x轴正半轴相交于点A，⊙P与y轴相切于点B，交抛物线交于点C、点D．若点A的坐标为（m，0），CD=n，则△PCD的周长为（用含m、n的代数式表示）．三、解答题四、15．先化简，再求值：（3a+2）2﹣9a（a+1），其中a=．16．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒里有3张卡片，分别写有字母A、B、C；乙盒里有2张卡片，分别写有字母C、D，这些卡片除所标字母不同外其余均相同，先从甲盒中随机抽取1张卡片，再从乙盒中随机抽取1张卡片，请用画树状图（或列表）的方法．求抽取的两张卡片中都含有字母C的概率．17．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书的册数比单独购买乙种图书要少10册，求甲、乙两种图书的单价．18．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC延长线上一点，且CF=BC，连结CD、EF．求证：CD=EF．19．如图，一艘货轮位于灯塔P北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，另一艘客轮位于货轮正南方向，且在灯塔P南偏东45°方向的B处，求此时两艘轮船之间的距离AB．（结果精确到1海里）【参考数据：sin53°=0.799，cos53°=0.602，tan53°=1.327】20．近年来，“在初中数学教学候总使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了n名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图，根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（2）统计表中的m=；（3）估计该校1800名学生中认为“影响很大”的学生人数．21．十一期间，小明和小亮相约从长春出发到某市某游乐园游玩，小明乘私家车从长春出发1小时后，小亮乘“和谐号”动车从长春出发，先到某市火车站A，然后乘出租车去游乐园B （换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园，他们离开长春的距离y（千米）与小明乘车时间t（时）的函数图象如图所示．（1）求“和谐号”动车的速度．（2）当小亮到达某市火车站时，求小明距离游乐园的距离．（3）若小明乘私家车从长春到达游乐园的时间比原来要提前18分钟，则私家车速度应比原来增加多少？22．探究：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，求证：EF=BE+DF．应用：如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD，∠B+∠D=90°，∠EAF=∠BAD，若EF=3，BE=2，则DF=．23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，D、E分别是边AB、BC的中点，点P从点C出发，沿线段CD方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点P与点D不重合时，以EP、ED为邻边作▱EDFP，设点P的运动时间为t（秒）．（1）求AB长．（2）当∠DPF=∠PFD时，求t的值．（3）当点P在线段CD上时，设▱EDFP与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位），求y与t之间的函数关系式．（4）连结AF，当△AFD的面积与△PDE的面积相等时，直接写出t的值．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣2与y轴交于点A（0，1），直线AB∥x轴交抛物线于点B，点P是直线AB上一点（不与A、B重合），PQ∥y轴交抛物线于点Q，以PQ为斜边向左作等腰直角三角形PQM，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）当线段PQ被x轴平分时，求m的值．（3）当等腰直角三角形PQM夹在x轴与直线AB之间的图形为轴对称三角形时，求m的取值范围．（4）直接写出当等腰直角三角形PQM的两条直角边与坐标轴有两个公共点时m的取值范围．。
【初中数学】吉林省长春市2016年中考数学模拟试卷(三)(解析版) 人教版
吉林省长春市2016年中考数学模拟试卷（三）（解析版）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．若等式2□（﹣1）=3成立，则“□”内的运算符号是（）A．+ B．﹣C．× D．÷【分析】根据有理数的运算法则计算即可求解．【解答】解：∵2﹣（﹣1）=2+1=3，∴若等式2□（﹣1）=3成立，则“□”内的运算符号是﹣．故选B．【点评】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．2015年10月1日，某市旅游景点接待游客约有61500人次，数据61500用科学记数法表示为（）A．6.15×104B．6.15×105C．61.5×103D．0.615×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：61500=6.15×104，故选A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．正方体B．圆柱C．圆锥D．球【分析】首先根据俯视图将正方体淘汰掉，然后跟主视图和左视图将圆锥和球淘汰；【解答】解：∵俯视图是圆，∴排除A，∵主视图与左视图均是长方形，∴排除C、D故选B．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．4．如图，不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先分别解两个不等式得到x≤3和x＜﹣1，然后利用数轴分别表示出x≤3和x＜﹣1，于是可得到正确的选项．【解答】解：解不等式x﹣1≤2得x≤3，解不等式3+x＜2得x＜﹣1，所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为：．故选C．【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．5．把一副直角三角板ABC（含30°、60°角）和CDE（含45°、45°角）如图放置，使直角顶点C重合，若DE∥BC，则∠1的度数是（）A．75° B．105° C．110° D．120°【分析】根据DE∥BC得出∠E=∠ECB=45°，进而得出∠1=∠ECB+∠B即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠E=∠ECB=45°，∴∠1=∠ECB+∠B=45°+60°=105°，故选B【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据DE∥BC得出∠E=∠ECB和三角形外角性质分析．6．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=4.5，BC=3，EF=2，则DE的长度是（）A．B．3 C．5 D．【分析】根据平行线分线段成比例得到比例式，代入数据即可得到结论．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴，即：，∴DE=3，故选B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．7．如图，OA，OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，AO的延长线与弦BC交于点D，连结AC．若∠B=25°，则∠A的度数是（）A．65° B．45° C．25° D．20°【分析】由OA⊥OB，利用圆周角定理，可求得∠C的度数，由三角形外角的性质，可求得∠ADB的度数，继而求得∠A的度数．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠C=∠AOB=45°，∠ADB=∠AOB﹣∠B=90°﹣25°=65°，∴∠A=∠ADB﹣∠C=20°．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理以及三角形外角的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．如图，在△ABO中，BA=BO，OA=3，OA在y轴的正半轴上，若点B在直线y=﹣x+1上，△ABO的面积是（）A．B．C．2 D．3【分析】根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：因为在△ABO中，BA=BO，OA=3，OA在y轴的正半轴上，若点B在直线y=﹣x+1上，可得y=，把y=代入y=﹣x+1，可得：x=﹣2，所以△ABO的面积=，故选B【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．计算：（2a）3a2=8a5．【分析】首先利用积的乘方运算化简，再利用同底数幂的乘法计算得出即可．【解答】解：（2a）3a2=8a3×a2=8a5．故答案为：8a5．【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握积的乘方的计算法则是解题关键．10．一元二次方程x2﹣3x﹣1=0根的判别式△=13．【分析】根据判别式的定义计算b2﹣4ac的值即可．【解答】解：△=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13．故答案为13．【点评】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．11．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若⊙O的半径是4，则的长度是2π．【分析】根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据角平分线的定义求出∠ACD的度数，根据圆周角定理得到∠AOD=90°，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，∴∠AOD=90°，则的长度是=2π．故答案为：2π．【点评】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=5，点D在AC上，连结BD，将△ABC沿BD翻折后，若点C恰好落在AB边上的点E处，则△ADE的周长为7．【分析】由翻折的性质可知：DC=DE，BC=EB，于是可得到AD+DE=5，AE=2，故此可求得△ADE 的周长为7．【解答】解：∵由翻折的性质可知：DC=DE，BC=EB=6．∴AD+DE=AD+DC=AC=5，AE=AB﹣BE=AB﹣CB=8﹣6=2．∴△ADE的周长=5+2=7．故答案为：7．【点评】本题主要考查的是翻折的性质，根据翻折的性质求得AD+DE=5，AE=2是解题的关键．13．如图，反比例函数y1=的图象与直线y2=k2x+b的一个交点的横坐标为2，当x=3时，y1＜y2（填“＞”、“=”或“＜”）．【分析】观察x=3的图象的位置，即可解决问题．【解答】解：观察图象可知，x=3时，反比例函数图象在一次函数的图象的下面，所以y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的计算问题，正确认识图形是解题的关键，学会利用图象由自变量的取值确定函数值的大小，属于中考常考题型．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+4x与x轴交于点O、A，点P在抛物线上，连结OP、AP，设点P的横坐标为m，△AOP的面积为S，若0＜m＜3，则S的取值范围是0＜S≤8．【分析】表示出P点坐标，进而表示出△PAB的底与高的长度，即可得出S与m的关系式，利用配方法可得△PAB的面积S的取值范围．【解答】解：由题意，P点坐标为：（m，﹣m2+4m），∵抛物线y=﹣x2+4x与x轴交于点O、A，∴当y=0时，﹣x2+4x=0，解得：x=0，或x=4，∴A（4，0），∴OA=4，由题意可得：P到AB的距离为﹣m2+4m，∴S=×4×（﹣m2+4m）=﹣2m2+8m=﹣2（m﹣2）2+8；∵0＜m＜3，∴0＜S≤8．故答案为：0＜S≤8．【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及三角形面积求法和图象上点的坐标性质，根据P点坐标得出P到AB的距离是解题关键．三、解答题（共10小题，满分78分）15．先化简，再求值：，其中a=﹣3．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=﹣==，当a=﹣3时，原式==﹣．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．16．从一副扑克牌中取出的两组牌如图所示，第一组牌是红桃1，2，3，第二组牌是方块1，2，3．将它们分别重新洗匀后，背面朝上放置，再从每组牌中各随机抽取1张．用画树状图（或列表）求抽出的两张牌的牌面数字之和是4的概率．【分析】先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．【解答】解：列表如下：第一组结果第二组1 2 31 2 3 42 3 4 53 4 5 6可得所有的结果有9种，两张牌的牌面数字之和是4的有3种，故P（摸出的两张牌的牌面数字之和是4）==．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．某条道路上安排了A、B两辆清扫车，A车比B车每小时多清扫路面2km，A车清扫路面35km与B车清扫路面25km所用的时间相同，求B车每小时清扫路面的长度．【分析】设设B车每小时清扫路面的长度为xkm，根据“A车清扫路面35km与B车清扫路面25km所用的时间相同”列出方程求解即可．【解答】解：设B车每小时清扫路面的长度为xkm，由题意，得=，解得x=5．经检验，x=5是所列方程的根，且符合题意．答：B车每小时清扫路面的长度为5km．【点评】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题的等量关系是：A车清扫路面35km与B车清扫路面25km所用的时间相同．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点B作BE∥CD，过点C 作CE∥AB，BE，CE相交于点E．求证：四边形BDCE是菱形．【分析】根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据直角三角形上的中线得出CD=BD，根据菱形的判定得出即可．【解答】证明：∵BE∥CD，CE∥AB，∴四边形BDCE是平行四边形．∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，∴CD=BD，∴平行四边形BDCE是菱形．【点评】本题考查了直角三角形上的中线，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．19．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，某市食品企业计划在今年推出：海参干贝棕、板栗鲜肉粽、水晶蜜浅粽、咖喱牛肉粽（以下分别用A、B、C、D表示）四种口味的粽子．该企业为了解市民对这四种不同口味粽子的喜爱情况，在端午节前派调查组到各社区调查，第一组抽取了某社区10%的居民调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）这个社区的居民共有多少人？（2）补全条形统计图．（3）若该市有20万居民，请估计爱吃C种粽子的人数．【分析】（1）先求出调查的人数，再求出这个社区的居民总人数；（2）先求出喜欢吃C种粽子的人数，补全条形统计图即可；（3）利用全市爱吃C种粽子的人数=全市总人数×爱吃C种粽子的百分比．【解答】解：（1）调查这个社区的居民人数为240÷30%=800（人），这个社区的居民总人数为：800÷10%=8000（人）；（2）喜欢吃C种粽子的人数为800﹣240﹣80﹣320=160（人），补全条形统计图，；（3）爱吃C种粽子的人数为20×=4（万人）．【点评】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中获得准确的信息．20．如图，在某次数学活动课中，小明为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼CD上的E处测得旗杆底端B的仰角∠BEF的度数为45°，测得旗杆顶端A的仰角∠AEF的度数为17°，旗杆底部B处与教学楼底部C处的水平距离BC为9m，求旗杆的高度（结果精确到0.1m）．【参考数据：sin17°=0.29，cos17°=0.96，tan17°=0.31】【分析】先根据锐角三角函数的定义求出BF及AF的长，再由AB=AF+BF即可得出结论．【解答】解：如图，由题意得EF=BC=9m，∠AEF=17°，∠BEF=45°，在Rt△BEF中，∵tan∠BEF=tan45°=，∴BF=EF=9m．在Rt△AEF中，∵tan17°=，∴AF=9×0.31=2.79m．∴AB=AF+BF=11.79≈11.8m．答：旗杆AB的高度约为11.8m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．21．一个容器装有一个注水管和两个排水管，每个排水管每分钟排水7.5L，从某一时刻开始2min内只注水不排水，2min后开启一个排水管，容器内的水量y（L）与注水时间x（min）之间的函数关系如图所示．（1）求a的值．（2）当2≤x≤6时，求y与x的函数关系式．（3）若在6min之后，两个出水管均开启，注水管关闭，还需多长时间可排尽容器中的水？【分析】（1）每分钟的进水量根据前2分钟的图象求出，根据后4分钟的水量变化即可求得a的值．（2）设当2≤x≤6时，y与x的函数关系式为y=kx+b．图象过（2，20）、（6，30），用待定系数法求对应的函数关系式；（3）根据每个出水管每分钟出水量，即可求得排完容器的水所有的时间．【解答】解：（1）根据图象，每分钟进水20÷2=10L，在随后的4min内容器内的水量y=4（10﹣7.5）=10（L），∴a=20+10=30；（2）设当2≤x≤6时，y与x的函数关系式为y=kx+b．∵图象过（2，20）、（6，30），∴，解得：，∴当2≤x≤6时，y与x的函数关系式为y=x+15 （2≤x≤6）；（3）30÷（2×7.5）=2．答：还需2小时可排尽容器中的水．【点评】此题考查了一次函数的应用问题，解题时首先正确理解题意，然后根据题意利用待定系数法确定函数的解析式，接着利用函数的性质即可解决问题．22．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在AC、BC边上分别截取CD=CE，连结DE．将△DCE绕着点C顺时针旋转θ角，连结BE、AD．（1）当0°＜θ＜90°时，如图②，直线BE交直线AD于点F．①求证：△ACD≌△BCE．②求证：AF⊥BE．（2）当0°＜θ＜360°，AC=5，CD=3，四边形CDFE是正方形时，直接写出AF的长度．【分析】（1）①根据旋转的性质和已知，运用SAS证明即可；②由问题原型中的结论：△ACE≌△BCE得出∠BFO=∠ACB，结合等量代换进行求解即可；（2）运用CD∥BE结合初步探究中的结论，可证CD⊥AF，结合勾股定理即可求解．【解答】解：（1）①如图②，∵△DCE绕着点C顺时针旋转θ角，由旋转的性质可知，∴∠ACD=∠BCE=θ，又∵AC=BC，CD=CE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE；②如图②，设AF与BC交点于O，∵△ACD≌△BCE，∴∠DAC=∠EBC，∵∠AOC=∠BOF，∴∠BFO=∠ACB=90°，∴AF⊥BE；（2）如图③，∵AC=5，CD=3，四边形CDFE是正方形时，∵AD⊥CD，∴AD=，∴AF=4+3=7，如图4，∴AF=4﹣3=1．【点评】此题主要考查几何变换中的旋转，熟悉旋转的性质，会证明三角形全等，并应用全等三角形的性质解决角的问题，会运用勾股定理求线段长度是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx与x轴交于O、A两点，与直线y=x交于点B，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，2）．点P在抛物线上，过点P作y轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ为边向右作矩形PQMN，且PN=1，设点P的横坐标为m（m＞0，且m≠2）．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）求矩形PQMN的周长C与m之间的函数关系式．（3）当矩形PQMN是正方形时，求m的值．【分析】（1）把A（3，0）、B（2，2）两点坐标代入y=ax2+bx，解方程组即可解决．（2）分两种情形：①0＜m＜2，②m＞2，分别求出矩形PQMN的周长C与m之间的函数关系式即可．（3）分两种情形列出方程即可解决．【解答】解：（1）把A（3，0）、B（2，2）两点坐标代入y=ax2+bx，得，解得．故抛物线所对应的函数表达式为y=﹣x2+3x．（2）∵点P在抛物线y=﹣x2+3x上，∴可以设P（m，﹣m2+3m），∵PQ∥y轴，∴Q（m，m）．①当0＜m＜2时，如图1中，PQ=﹣m2+3m﹣m=﹣m2﹣2m，C=2（﹣m2+2m）+2=﹣2m2+4m+2．②当m＞2时，如图2中，PQ=m﹣（﹣m2+3m）=m2﹣2m，C=2（m2﹣2m）+2=2m2﹣4m+2．（3）∵矩形PQMN是正方形，∴PQ=PN=1，当0＜m＜2时，如图3中，﹣m2+2m=1，解得m=1．当m＞2时，如图4中，m2﹣2m=1，解得m=1+（或1﹣不合题意舍弃）．【点评】本题考查二次函数综合题、矩形、正方形的有关性质，学会用待定系数法求二次函数解析式，学会分段讨论的思想，需要正确画出图形，用方程的思想解决问题，是数形结合的好题目，属于中考压轴题．24．如图，△ABC是等边三角形，AB=2，D是边BC的中点，点P从点A出发，沿AB﹣BD 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．同时点Q从点C出发，沿CA﹣AC以每秒1个单位长度的速度运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（秒），△PQD的面积为S．（1）求线段PB的长（用含t的代数式）．（2）当△PQD是等边三角形时，求t的值．（3）当S＞0时，求S与t的函数关系式．（4）若点D关于直线PQ的对称点为点D′，且S＞0，直接写出点D′落在△ABC的边上时t 的值．【分析】（1）根据当0≤t≤2和2≤t≤3时两种情况进行解答即可；（2）根据等边三角形的性质和AAS证明△BPD与△CDQ全等解答即可；（3）根据当0≤t≤2和2＜t＜3时两种情况，利用三角函数和三角形面积公式解答即可．（4）根据点D′落在△ABC的边上两种情况解答即可．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB=2，∴当0≤t≤2时，BP=2﹣t；当2≤t≤3时，BP=t﹣2；（2）如图1，∵△PQD是等边三角形，∴∠PDQ=60°，∴∠PDB+∠CDQ=120°，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠PDB+∠BPD=120°，∴∠BPD=∠CDQ，∵BD=CD，在△BPD与△CDQ中，，∴△BPD≌△CDQ（AAS），∴BP=CQ，∴2﹣t=t，∴t=1，（3）当0≤t≤2时，如图2，连接AD，∵△ABC是等边三角形，D是边BC的中点，∴∠ADB=90°，∴AD=ABsin60°=，分别过点P，Q作PE⊥BC，QF⊥BC，垂足分别为点E，F，在Rt△BPE中，∠BEP=90°，PE=PBsin60°=，在Rt△QCF中，∠QFC=90°，QF=CQsin60°=，过点Q作QG⊥AB于点G，在Rt△AGQ中，∠AGQ=90°，QG=AQsin60°=，∴S△PQD=S△ABC﹣S△BPD﹣S△QCD﹣S△APQ，∴，∴，当2＜t＜3时，如图3过点Q作QH⊥BC于点H，在Rt△CQH中，∠CHQ=90°，QH=CQsin60°=，∴，∴．（4）点D′落在△ABC的边上，如图4，此时t=1；点D′落在△ABC的边上，如图5，此时t=2.5．【点评】本题是一道综合性较强的题目，考查了等边三角形的判定和性质、三角函数的性质，是中考压轴题，难度较大．。
2016年吉林省长春市中考真题数学
A.42° B.48° C.52° D.58° 解析： ∵在 Rt△ABC 中， ∠BAC=90°， 将 Rt△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 48°得到 Rt△A′ B′C′，∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°， ∴∠B′=90°-∠ACA′=42°. 答案：A.
7.如图，PA、PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A、B，若 OA=2，∠P=60°，则 AB 的长为(
k (x＞0)的图象上，当 m＞1 x
时，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为点 A，B；过点 Q 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂 足为点 C、D.QD 交 PA 于点 E，随着 m 的增大，四边形 ACQE 的面积( )
A.减小 B.增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小 解析：AC=m-1，CQ=n，则 S 四边形 ACQE=AC·CQ=(m-1)n=mn-n. ∵P(1，4)、Q(m，n)在函数 y=
解析：由题意直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线， ∵点 D 在直线 MN 上，∴DC=DB，∴△ADC 的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB， ∵AB=6，AC=4，∴△ACD 的周长为 10. 答案：10. 12.如图， 在平面直角坐标系中， 正方形 ABCD 的对称中心与原点重合， 顶点 A 的坐标为(-1， 1)，顶点 B 在第一象限，若点 B 在直线 y=kx+3 上，则 k 的值为 .
解析：∵正方形 ABCD 的对称中心与原点重合，顶点 A 的坐标为(-1，1)，∴B(1，1). ∵点 B 在直线 y=kx+3 上，∴1=k+3，解得 k=-2. 答案：-2.
13.如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是 AB 上一点.若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC 的大 小为 度.
【初中数学】2016年吉林省长春市中考数学模拟试卷(十一)(解析版) 人教版
2016年吉林省长春市中考数学模拟试卷（十一）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．计算﹣5+1的结果为（ ）A ．﹣6B ．﹣4C ．4D ．62．据统计，长春市主城区2015年上半年机动车数量突破1000000辆大关，1000000这个数用科学记数法表示为（ ）A ．1×107B ．0.1×107C ．1×106D ．10×1013．如图是由5个高和底面直径相等的圆柱体搭成的立体图形，这个立体图形的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．不等式x+5≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．下列方程没有实数根的是（ ）A ．x 2﹣3x+4=0B ．x 2=2xC ．2x 2+3x ﹣1=0D ．x 2+2x+1=06．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AC 、AB 、BC 上，EF ∥AC ，DF ∥AB ，若∠B=45°，∠C=65°，则∠EFD 的大小为（ ）A ．45°B ．70°C ．80°D ．100°7．如图，AB 是⊙O 的直径，点A 是弧CD 的中点，若∠B=25°，则∠AOC=（ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°8．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（4，0）、（0，2），点C 为线段AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），CD ⊥OA 于点D ，点E 在DC 的延长线上，EF ⊥y 轴于点F ，若点C 为DE 的中点，则四边形ODEF 的周长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．计算：÷=．10．分解因式：a2﹣4=．11．购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为元．12．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A在函数y=的图象上，顶点B、C在y轴正半轴上（点B在点C的上方），若点D的坐标为（3，1），▱ABCD的面积为4，5，则k的值为．13．如图，在△ABC和△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在线段AB上，AD∥CB，若AC=AE=2，BC=3，则DE的长为．14．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，以P为顶点的抛物线经过原点，与x轴正半轴相交于点A，⊙P与y轴相切于点B，交抛物线交于点C、点D．若点A的坐标为（m，0），CD=n，则△PCD的周长为（用含m、n的代数式表示）．三、解答题（共10小题，满分78分）15．先化简，再求值：（3a+2）2﹣9a（a+1），其中a=．16．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒里有3张卡片，分别写有字母A、B、C；乙盒里有2张卡片，分别写有字母C、D，这些卡片除所标字母不同外其余均相同，先从甲盒中随机抽取1张卡片，再从乙盒中随机抽取1张卡片，请用画树状图（或列表）的方法．求抽取的两张卡片中都含有字母C的概率．17．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书的册数比单独购买乙种图书要少10册，求甲、乙两种图书的单价．18．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC延长线上一点，且CF=BC，连结CD、EF．求证：CD=EF．19．如图，一艘货轮位于灯塔P北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，另一艘客轮位于货轮正南方向，且在灯塔P南偏东45°方向的B处，求此时两艘轮船之间的距离AB．（结果精确到1海里）【参考数据：sin53°=0.799，cos53°=0.602，tan53°=1.327】20．近年来，“在初中数学教学候总使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了n名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图，根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（2）统计表中的m=；（3）估计该校1800名学生中认为“影响很大”的学生人数．21．十一期间，小明和小亮相约从长春出发到某市某游乐园游玩，小明乘私家车从长春出发1小时后，小亮乘“和谐号”动车从长春出发，先到某市火车站A，然后乘出租车去游乐园B （换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园，他们离开长春的距离y（千米）与小明乘车时间t（时）的函数图象如图所示．（1）求“和谐号”动车的速度．（2）当小亮到达某市火车站时，求小明距离游乐园的距离．（3）若小明乘私家车从长春到达游乐园的时间比原来要提前18分钟，则私家车速度应比原来增加多少？22．探究：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，求证：EF=BE+DF．应用：如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD，∠B+∠D=90°，∠EAF=∠BAD，若EF=3，BE=2，则DF=．23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，D、E分别是边AB、BC的中点，点P从点C出发，沿线段CD方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点P与点D不重合时，以EP、ED为邻边作▱EDFP，设点P的运动时间为t（秒）．（1）求AB长．（2）当∠DPF=∠PFD时，求t的值．（3）当点P在线段CD上时，设▱EDFP与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位），求y 与t之间的函数关系式．（4）连结AF，当△AFD的面积与△PDE的面积相等时，直接写出t的值．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣2与y轴交于点A（0，1），直线AB∥x轴交抛物线于点B，点P是直线AB上一点（不与A、B重合），PQ∥y轴交抛物线于点Q，以PQ为斜边向左作等腰直角三角形PQM，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）当线段PQ被x轴平分时，求m的值．（3）当等腰直角三角形PQM夹在x轴与直线AB之间的图形为轴对称三角形时，求m的取值范围．（4）直接写出当等腰直角三角形PQM的两条直角边与坐标轴有两个公共点时m的取值范围．2016年吉林省长春市中考数学模拟试卷（十一）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．计算﹣5+1的结果为（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6【考点】有理数的加法．【分析】绝对值不相等的异号两数加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．【解答】解：﹣5+1=﹣（5﹣1）=﹣4．故选：B．2．据统计，长春市主城区2015年上半年机动车数量突破1000000辆大关，1000000这个数用科学记数法表示为（）A．1×107B．0.1×107C．1×106D．10×101【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1000000用科学记数法表示为1×106．故选：C．3．如图是由5个高和底面直径相等的圆柱体搭成的立体图形，这个立体图形的左视图是（）A． B． C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是一个小正方形，故选：C．4．不等式x+5≥1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：移项得，x≥1﹣5，合并同类项得，x≥﹣4，在数轴上表示为：．故选B．5．下列方程没有实数根的是（）A．x2﹣3x+4=0 B．x2=2x C．2x2+3x﹣1=0 D．x2+2x+1=0【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程根的判别式△=b2﹣4ac判断即可．【解答】解：A、方程x2﹣3x+4=0中，△=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7＜0，故此方程无实数根；B、由x2=2x得x2﹣2x=0，△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，故此方程有两个不相等实数根；C、方程2x2+3x﹣1=0中，△=32﹣4×2×（﹣1）=17＞0，故此方程有两个不相等实数根；D、方程x2+2x+1=0中，△=22﹣4×1×1=0，故此方程有两个相等实数根；故选：A．6．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，EF∥AC，DF∥AB，若∠B=45°，∠C=65°，则∠EFD的大小为（）A．45°B．70°C．80°D．100°【考点】平行线的性质．【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠DFC和∠EFB，再根据平角等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵EF∥AC，∴∠EFB=∠C=65°，∵DF∥AB，∴∠DFC=∠B=45°，∴∠EFD=180°﹣∠EFB﹣∠DFC=180°﹣65°﹣45°=70°．故选B．7．如图，AB是⊙O的直径，点A是弧CD的中点，若∠B=25°，则∠AOC=（）A．25°B．30°C．40°D．50°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据等弧所对的圆心角相等，得到∠AOD=∠AOC，再根据圆周角定理即可推出∠AOC=2∠B，通过计算即可推出结果．【解答】解：∵点A是弧CD的中点，∴，∴∠AOD=∠AOC=2∠B，∵∠B=25°，∴∠AOC=50°．故选D．8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），点C为线段AB 上任意一点（不与点A、B重合），CD⊥OA于点D，点E在DC的延长线上，EF⊥y轴于点F，若点C为DE的中点，则四边形ODEF的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形性质；矩形的判定与性质．【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，由A、B点的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，由点C在直线AB上设出点C的坐标为（m，﹣m+2），由点C为线段DE的中点可找出点E的坐标，从而找出线段OD、DE的长度，利用ED⊥OA，EF⊥y轴，BO⊥OA可得出∠O=∠F=∠ODE=90°，从而得出四边形ODEF为矩形，再根据矩形的周长公式即可得出结论．【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（4，0）、点B（0，2）代入y=kx+b中，得：，解得：．∴直线AB的解析式为y=﹣x+2．设点C的坐标为（m，﹣m+2）（0＜m＜4），则点E的坐标为（m，﹣m+4），∴OD=EF=m，CD=2﹣m，DE=4﹣m，∵ED⊥OA，EF⊥y轴，BO⊥OA，∴∠O=∠F=∠ODE=90°，∴四边形ODEF为矩形．=2×（OD+DE）=2×（m+4﹣m）=8．∴C矩形ODEF故选C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．计算：÷=．【考点】二次根式的乘除法．【分析】根据二次根式的除法法则计算．【解答】解：计算：÷==．10．分解因式：a2﹣4=（a+2）（a﹣2）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【解答】解：a2﹣4=（a+2）（a﹣2）．11．购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为（a+3b）元．【考点】列代数式．【分析】一个面包的单价加上3瓶饮料总价就是所需钱数．【解答】解：∵一个面包的价格为a元，3瓶饮料的总价为3a元∴购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为（a+3b）元．故答案为（a+3b）元．12．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A在函数y=的图象上，顶点B、C在y轴正半轴上（点B在点C的上方），若点D的坐标为（3，1），▱ABCD的面积为4，5，则k的值为7.5．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．【分析】设A（3，t），利用平行四边形的面积公式得到3（t﹣1）=4.5，可解得t=2.5，于是得到A点坐标，然后把A点坐标代入y=中可计算出k的值．【解答】解：设A（3，t），∵▱ABCD的面积为4.5，∴3（t﹣1）=4.5，解得t=2.5，∴A点坐标为（3，2.5），把A（3，2.5）代入y=得k=3×2.5=7.5．故答案为7.5．13．如图，在△ABC和△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在线段AB上，AD∥CB，若AC=AE=2，BC=3，则DE的长为．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】直接证明△ACB∽△DEA，然后利用相似比可计算出DE的长．【解答】解：∵AD∥CB，∴∠B=∠DAE，而∠C=∠AED=90°，∴△ACB∽△DEA，∴AC：DE=BC：AE，即2：DE=3：2，∴DE=．故答案为．14．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，以P为顶点的抛物线经过原点，与x轴正半轴相交于点A，⊙P与y轴相切于点B，交抛物线交于点C、点D．若点A的坐标为（m，0），CD=n，则△PCD的周长为m+n（用含m、n的代数式表示）．【考点】切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】过P作PE⊥OA于E，根据已知条件得到OE=OA=m，连接PB，根据切线的性质得到PB⊥OB，推出四边形PBOE是矩形，根据矩形的性质得到PB=OE=m，根据圆的性质得到PC=PD=PB=m，于是得到结论．【解答】解：过P作PE⊥OA于E，∵P为抛物线的顶点，∴OE=OA=m，连接PB，∵⊙P与y轴相切于点B，∴PB⊥OB，∴四边形PBOE是矩形，∴PB=OE=m，∴PC=PD=PB=m，∴△PCD的周长为=PC+PD+CD=m+n，故答案为：m+n．三、解答题（共10小题，满分78分）15．先化简，再求值：（3a+2）2﹣9a（a+1），其中a=．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】先利用完全平方式和单项式乘以多项式将原式展开，再合并同类项，将a的值代入计算可得．【解答】解：原式=9a2+12a+4﹣9a2﹣9a=3a+4，当a=时，原式=3×+4=5．16．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒里有3张卡片，分别写有字母A、B、C；乙盒里有2张卡片，分别写有字母C、D，这些卡片除所标字母不同外其余均相同，先从甲盒中随机抽取1张卡片，再从乙盒中随机抽取1张卡片，请用画树状图（或列表）的方法．求抽取的两张卡片中都含有字母C的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】根据题意画出树状图，进而利用概率公式求出答案．【解答】解：如图所示：，一共有6种可能，抽取的两张卡片中都含有字母C的可能有1种，故抽取的两张卡片中都含有字母C的概率为：．17．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书的册数比单独购买乙种图书要少10册，求甲、乙两种图书的单价．【考点】分式方程的应用．【分析】设乙种图书的单价为x元/册，则甲种图书的单价为1.5x元/册，根据册数=总价÷单价，结合用600元单独购买甲种图书的册数比单独购买乙种图书要少10册，可列出关于x的分式方程，解方程即可求出x的值，由此亦可得出甲种图书的单价．【解答】解：设乙种图书的单价为x元/册，则甲种图书的单价为1.5x元/册，依题意，得﹣=10，解得：x=20，或x=0（舍去）．经检验，x=20是原方程的解且符合题意，所以甲种图书的单价为1.5×20=30（元）．答：甲种图书的单价为30元/册，乙种图书的单价为20元/册．18．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC延长线上一点，且CF= BC，连结CD、EF．求证：CD=EF．【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，DE=BC，然后求出四边形DEFC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等证明即可．【解答】证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∵CF=BC，∴DE=CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴CD=EF．19．如图，一艘货轮位于灯塔P北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，另一艘客轮位于货轮正南方向，且在灯塔P南偏东45°方向的B处，求此时两艘轮船之间的距离AB．（结果精确到1海里）【参考数据：sin53°=0.799，cos53°=0.602，tan53°=1.327】【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】通过解直角△ACP得到AC、PC的长度；然后结合等腰直角三角形的性质来求BC 的长度，则易求AB=AC+BC．【解答】解：由题意，得∠A=53°，BC=PC．在直角△APC中，AC=100cos53°=100×0.602=60.2，BC=PC=100sin53°=100×0.799=79.9，所以AB=AC+BC=60.2+79.9=140.1≈140（海里）．答：两艘轮船之间的距离AB约为140海里．20．近年来，“在初中数学教学候总使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了n名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图，根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（2）统计表中的m=100；（3）估计该校1800名学生中认为“影响很大”的学生人数．【考点】扇形统计图；用样本估计总体．【分析】（1）将“没有影响”的人数÷其占总人数百分比=总人数n即可；（2）用总人数减去“没有影响”和“影响不大”的人数可得“影响很低”的人数m；（3）将样本中“影响很大”的人数所占比例乘以该校总人数即可得．【解答】解：（1）n=40÷20%=200（人）．答：n的值为200；（2）m=200﹣40﹣60=100；（3）1800×=900（人）．答：该校1800名学生中认为“影响很大”的学生人数约为900人．故答案为：（2）100．21．十一期间，小明和小亮相约从长春出发到某市某游乐园游玩，小明乘私家车从长春出发1小时后，小亮乘“和谐号”动车从长春出发，先到某市火车站A，然后乘出租车去游乐园B （换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园，他们离开长春的距离y（千米）与小明乘车时间t（时）的函数图象如图所示．（1）求“和谐号”动车的速度．（2）当小亮到达某市火车站时，求小明距离游乐园的距离．（3）若小明乘私家车从长春到达游乐园的时间比原来要提前18分钟，则私家车速度应比原来增加多少？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据速度=路程÷时间，可得出“和谐号”动车的速度；（2）根据距离=速度×时间可得出小亮乘“和谐号”动车的函数表达式，由图象交点横坐标为1.5可得出此时距离游乐园的距离，由该点的坐标可得出小明乘私家车的函数表达式，求出t=2时y的值，用216减去此时的y值即可得出结论；（3）先通过（2）中得出的小明乘私家车的函数表达式计算出小明到达游乐园的时间，在此时间上减去0.3小时（18分钟），再根据速度=路程÷时间得出提速后的速度，用此速度减去提速前的速度即可得出结论．【解答】解：（1）240÷（2﹣1）=240（千米/时）．答：“和谐号”动车的速度为240千米/时．（2）由（1）知，小亮乘“和谐号”动车的函数表达式为y=240（t﹣1）=240t﹣240（1≤t≤2），当t=1.5时，y=240×1.5﹣240=120．设小明乘私家车的函数表达式为y=kt，则有120=1.5k，解得：k=80，∴y=80t．当t=2时，y=80×2=160，216﹣160=56（千米）．∴当小亮到达某市火车站时，小明距离游乐园的距离为56千米．（3）当y=216时，则有80t=216，解得：t=2.7．∵18分钟=0.3小时，∴2.7﹣0.3=2.4（小时），∴216÷2.4=90（千米/时），90﹣80=10（千米/时）．答：私家车速度应比原来增加10千米/时．22．探究：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，求证：EF=BE+DF．应用：如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD，∠B+∠D=90°，∠EAF=∠BAD，若EF=3，BE=2，则DF=．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．【分析】（1）如图①中，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE′，只要证明△AFE≌△AFE′即可解决问题．（2）如图②中，将△ABE绕点A旋转到△ADE′位置连接E′F．，只要证明△FAE≌△FAE′得EF=FE′，在RT△E′DF中利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：如图①中，在正方形ABCD中，∵AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE′，∵∠ADF=∠ADE′=90°，∴点F、D、E′共线，∴∠E′AF=90°﹣45°=45°=∠EAF，在△AFE和△AFE′中，，∴△AFE≌△AFE′，∵EF=FE′=DE′+DF=DE+DF．（2）解：如图②中，因为AB=AD，所以可以将△ABE绕点A旋转到△ADE′位置，连接E′F．∵∠B+∠ADF=90°，∠B=∠E′DA，∴∠E′DF=∠E′DA+′ADF=90°，∵∠BAE+∠DAF=∠EAF，∠E′AD=∠BAE，∴∠E′AF=∠EAF，在△FAE和△FAE′中，，∴△FAE≌△FAE′，∴EF=FE′=3，在RT△E′DF中，∵∠E′DF=90°，E′F=3，DE′=BE=2，∴DF===．故答案为．23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，D、E分别是边AB、BC的中点，点P从点C出发，沿线段CD方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点P与点D不重合时，以EP、ED为邻边作▱EDFP，设点P的运动时间为t（秒）．（1）求AB长．（2）当∠DPF=∠PFD时，求t的值．（3）当点P在线段CD上时，设▱EDFP与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位），求y 与t之间的函数关系式．（4）连结AF，当△AFD的面积与△PDE的面积相等时，直接写出t的值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）在RT△ABC中利用勾股定理即可解决问题．（2）如图1中，当∠DPF=∠PFD时，可以证明PE∥AB，PC=PD，由此即可解决问题．（3）分两种情形①当0≤t≤时，如图2中，作PM⊥DE存在为M，此时重叠部分面积就是平行四边形PEDF的面积，②当＜t＜5时，如图3中，此时y=S△PHD+S△PDE．（4）两种情形①t=O时，△ADF与△PDE面积相等．②如图4中，当A、P、E共线时△ADF与△PDE面积相等，由DE∥AC得=，求出PC即可．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=2，BC=4，∴AB===10．（2）如图1中，∵四边形PEDF是平行四边形，∴PF∥DE，PE∥DF，∴∠DPF=∠PDE，∵∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DB=DA=5，∵CE=EB，∴DE⊥BC，∠CDE=∠EDB∵∠DPF=∠PFD，∴∠PED=∠BDE，∴PE∥DB，∵CE=EB，∴PC=PD=，∴t=．（3）①当0≤t≤时，如图2中，作PM⊥DE存在为M，∵PM∥CE，∴=，∴=，∴PM=（5﹣t），∴Y=DE•PM=•（5﹣t）=﹣2t+10．②当＜t＜5时，如图3中，∵PH∥AC，∴=，∴=，∴PH=（5﹣t），∴y=S△PHD+S△PDE=•PH•PM+（﹣2t+10）=t2﹣5t+15，综上所述：y=．（4）①t=O时，△ADF与△PDE面积相等．②如图4中，当A、P、E共线时，∵AE∥DF，∴S△ADF=S△PDF=S△PED，∵DE∥AC，∴==，∴PC=CD=，∴t=，∴t=0或时，△ADF与△PDE面积相等．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣2与y轴交于点A（0，1），直线AB∥x轴交抛物线于点B，点P是直线AB上一点（不与A、B重合），PQ∥y轴交抛物线于点Q，以PQ为斜边向左作等腰直角三角形PQM，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）当线段PQ被x轴平分时，求m的值．（3）当等腰直角三角形PQM夹在x轴与直线AB之间的图形为轴对称三角形时，求m的取值范围．（4）直接写出当等腰直角三角形PQM的两条直角边与坐标轴有两个公共点时m的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将A点坐标代入解析式直接求出a；（2）由P、Q关于x轴对称，且横坐标相同可设出Q点坐标，代入抛物线解析式中，即可直接求出m的值；（3）找到两个临界点：当Q点刚好在x轴上时；当M点刚好在x轴上时．算出这个两个临界状态时的m值，即可确定符合要求的m的取值范围；（4）等腰直角三角形PQM的两条直角边与坐标轴有两个公共点，也就是y轴同时与两直角边相交，所以只需算出M点恰好在y轴上的临界状态时的m值即可．【解答】解：（1）把A（0，1）代入y=a（x﹣2）2﹣2中，得1=a（0﹣2）2﹣2，∴a=，∴y=（x﹣2）2﹣2，（2）设Q（m，﹣1），则﹣1=（m﹣2）2﹣2，∴m1=2+，m2=2﹣．（3）当点Q落在x轴上时，PQ=1，∴1﹣[（m﹣2）2﹣2]=1，∴m1=2﹣，m2=2+，∴当0＜m≤2﹣或2﹣≤m≤2+或2+≤m＜4，为轴对称三角形，（4）当M点刚好在y轴上时：|1﹣[（m﹣2）2﹣2]|=m，解得：m=或m=，∴0＜m＜或m＞．2016年6月25日。
吉林省长春市中考数学二模试卷
吉林省长春市中考数学二模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）比４的相反数小3的数是（）．A . －７B . ７C . ±７D . 02. （2分）毕节地区水能资源丰富,理论蕴藏量达221.21万千瓦,已开发156万千瓦，把已开发水能资源用四舍五入法保留两个有效数字并且用科学记数法表示应记为（）千瓦A . 16×105B . 1.6×106C . 160×106D . 0.16×1073. （2分）下列计算正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017八下·天津期末) 下列说法不正确的是（）A . 对角线互相垂直的矩形一定是正方形B . 对角线相等的菱形一定是正方形C . 对角线互相垂直且相等的平行四边形一定是正方形D . 顺次连接任意对角线相等的四边形的各边中点所得的四边形一定是正方形5. （2分）甲、乙两名同学在参加今年体育中考前各作了5次立定跳远测试，两人的平均成绩相同，其中甲的成绩的方差是0.005，乙的成绩如下：2.20m，2.23m，2.23m，2.24m，2.23m，则下列结论中正确的是（）A . 甲的成绩更稳定B . 乙的成绩更稳定C . 甲乙的成绩一样稳定D . 不能确定谁的成绩更稳定6. （2分）(2017·黄冈模拟) 由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方形个数是（）A . 3B . 4C . 5D . 67. （2分）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E、F，EG平分∠AEF，若∠2=40°，则∠1的度数是（）A . 70°B . 65°C . 60°D . 50°8. （2分）(2017·江西模拟) 关于x、y的方程组，那么y是（）A . 5B . 2a+5C . a﹣5D . 2a9. （2分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=6cm，则BC的长是（）A . 3cmB . 12cmC . 18cmD . 9cm10. （2分）如图，一次函数y=（m﹣2）x﹣1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（）A . m＞0B . m＜0C . m＞2D . m＜211. （2分）已知关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=3x2有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A . 4B . 3C . 2D . 012. （2分））我校七年级某班的师生到距离8千米的农场学农，出发小时后，小亮同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达农场．已知小亮骑车的速度比队伍步行的速度每小时快6千米．若设队伍步行的速度为每小时x千米，则可列方程（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2019七下·武昌期中) 若第二象限内的点P（x，y），满足＝0.则点P的坐标是________.14. （1分）若式子的值为0，则的值等于________.15. （1分） (2019九上·越城月考) 二次函数y=ax2−3ax+2(a<0)的图象如图所示，若y<2，则x的取值范围为________.16. （1分）(2016·邢台模拟) 如图，在△ABC中，BC=2，∠A=70°，以BC边为直径作⊙O，分别交AB，AC 于点D，E，连接DO，EO，则S扇形OBD+S扇形OEC=________．（结果用π表示）17. （1分）(2016·资阳) 如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是________18. （1分） (2017八下·西安期末) 有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距3米，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了________米.三、解答题 (共6题；共44分)19. （5分）计算：sin30°+tan60°﹣cos45°+tan30°．20. （5分）先化简再求值：，其中a满足+2a-1=0．21. （11分）(2017·洛阳模拟) “校本课程”是学生课外活动的重要内容，某校共有“文学欣赏”、“英语角”、“趣味数学”、“法律普及”这四种校本课程．为了解学生参加“文学欣赏”、“英语角”、“趣味数学”、“法律普及”校本课程（以下分别用A、B、C、D表示）的情况，对学生进行了抽样调查，并将调查情况绘制成两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的学生共有________人．（2）将两幅统计图补充完整；（3）若该校有4000人，请估计参加法律普及的人数．22. （5分）(2017·和平模拟) 如图，大楼AB高16m，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶C的仰角为39°，在楼顶A处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD的高．（结果保留小数后一位）参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，si39°≈0.63，c os39°≈0.78，tan39°≈0.81．23. （6分） (2019七下·镇江月考) 三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°.如何证明这个定理呢？我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理.（定理证明）已知：△ABC（如图①）.求证：∠A+∠B+∠C=180°.（1）（定理推论）如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点，由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=________.从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）（初步运用）如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点.Ⅰ.若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB=________；Ⅱ.若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB=________.（3）（拓展延伸）如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点.Ⅰ.若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP=________；Ⅱ.分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，则∠A和∠P的数量关系为________；Ⅲ.分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：BM∥CN.________24. （12分） (2017九上·深圳期中) 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO 为矩形，AB=16，AC=20,点D与点A关于y轴对称，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB.（1）直接写出BC的长是________，点D的坐标是________；（2）证明：△AEF与△DCE相似；（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．四、解答题． (共2题；共20分)25. （10分） (2017八下·灌云期末) 解方程：（1）；（2）．26. （10分）(2016·温州) 如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共6题；共44分)19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、24-3、四、解答题． (共2题；共20分) 25-1、25-2、26-1、26-2、。
2016届吉林省长春市高考数学二模试卷(文科) 解析版
2016年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．（5分）（2016•长春二模）复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i，则z2=（）A．3﹣2i B．2﹣3i C．﹣3﹣2i D．2+3i2．（5分）（2016•长春二模）若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．C．2a＞2b D．lg（a﹣b）＞03．（5分）（2016•山西校级二模）设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣2＜x＜3}4．（5分）（2016•长春二模）运行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．B．C．D．5．（5分）（2016•长春二模）已知AB为圆x2+y2=1的一条直径，点P为直线x﹣y+2=0上任意一点，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．6．（5分）（2016•长春二模）几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）（2016•长春二模）以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（）A．1 B．C．D．28．（5分）（2016•长春二模）已知P为椭圆上的点，点M为圆上的动点，点N为圆C2：（x﹣3）2+y2=1上的动点，则|PM|+|PN|的最大值为（）A．8 B．12 C．16 D．209．（5分）（2016•长春二模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，当S n取最大值时，n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．1210．（5分）（2016•长春二模）已知函数，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，若在区间（﹣1，1]内，g（x）=f（x）﹣t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）（2016•长春二模）函数的零点所在的区间是（）A． B．（1，2）C．（2，e）D．（e，3）12．（5分）（2016•长春二模）已知直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A、B两点，设α、β分别是以OA，OB为终边的角，则sin（α+β）=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）. 13．（5分）（2016•长春二模）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是______．14．（5分）（2016•长春二模）已知实数x，y满足，则y﹣2x的最小值为______．15．（5分）（2016•长春二模）已知向量=（1，），=（0，1），则当时，|﹣t•|的取值范围是______．16．（5分）（2016•长春二模）已知数列{a n}中，对任意的n∈N*，若满足a n+a n+1+a n+2=s（s为常数），则称该数列为3阶等和数列，其中s为3阶公和；若满足a n•a n+1=t（t为常数），则称该数列为2阶等积数列，其中t为2阶公积．已知数列{p n}为首项为1的3阶等和数列，且满足；数列{q n}为首项为﹣1，公积为2的2阶等积数列，设S n为数列{p n•q n}的前n项和，则S2016=______．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2016•长春二模）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足，且，求△ABC的面积．18．（12分）（2016•长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （，其中n=a+b+c+d）19．（12分）（2016•长春二模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D1为棱PD的中点，过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A1，B1，C1，∠BAD=60°．（1）证明：B1为PB的中点；（2）已知棱锥的高为3，且AB=2，AC、BD的交点为O，连接B1O．求三棱锥B1﹣ABO外接球的体积．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长分别交直线x=4于P，Q两点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．21．（12分）（2016•大庆校级模拟）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）若对任意x1，x2∈[e2，+∞），有||＞，求实数k的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•丰城市校级二模）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•张掖模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•长春二模）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．2016年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．（5分）（2016•长春二模）复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i，则z2=（）A．3﹣2i B．2﹣3i C．﹣3﹣2i D．2+3i【分析】直接利用对称知识求出复数的代数形式即可．【解答】解：复数z1在复平面内关于直线y=x对称的点表示的复数z2=2+3i，故选：D．【点评】本题考查复平面上的点与复数的关系，属于基础题．2．（5分）（2016•长春二模）若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．C．2a＞2b D．lg（a﹣b）＞0【分析】举特值可排除ABD，对于C可由指数函数的单调性得到．【解答】解：选项A，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但不满足a2＞b2，故错误；选项B，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但=，故错误；选项C，由指数函数的单调性可知当a＞b时，2a＞2b，故正确；选项D，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但lg（a﹣b）=lg1=0，故错误．故选：C．【点评】本题考查不等式的运算性质，特值法是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）（2016•山西校级二模）设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣2＜x＜3}【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由题意可知A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B={x|0＜x＜2}．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．（5分）（2016•长春二模）运行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．B．C．D．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的是计算首项为，公比也为的等比数列的前9项和．【解答】解：由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为．故选：A．【点评】本题考查了程序流程图中循环结构的认识与应用问题，是基础题目．5．（5分）（2016•长春二模）已知AB为圆x2+y2=1的一条直径，点P为直线x﹣y+2=0上任意一点，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．【分析】运用向量加减运算和数量积的性质，可得=（+）•（+）=||2﹣r2，即为d2﹣r2，运用点到直线的距离公式，可得d的最小值，进而得到结论．【解答】解：由=（+）•（+）=2+•（+）+•=||2﹣r2，即为d2﹣r2，其中d为圆外点到圆心的距离，r为半径，因此当d取最小值时，的取值最小，可知d的最小值为=，故的最小值为2﹣1=1．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的数量积的运算，注意运用向量的平方即为模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档题．6．（5分）（2016•长春二模）几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为．故选：C．【点评】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）（2016•长春二模）以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（）A．1 B．C．D．2【分析】设正方形的边长为t，对角线的长为t，由椭圆和双曲线的定义，结合离心率公式e=，计算即可得到所求离心率的乘积．【解答】解：设正方形的边长为t，对角线的长为t，以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，故它们的积为1，故选A．【点评】本题考查椭圆和双曲线的离心率的乘积，注意运用正方形的性质和椭圆、双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．8．（5分）（2016•长春二模）已知P为椭圆上的点，点M为圆上的动点，点N为圆C2：（x﹣3）2+y2=1上的动点，则|PM|+|PN|的最大值为（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】由题设知椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=1的圆心，运用椭圆的定义，由此能求出|PM|+|PN|的最大值为2a+2．【解答】解：依题意，椭圆的焦点为（﹣3，0），（3，0），分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=1的圆心，所以（|PM|+|PN|）max=|PC1|+|PC2|+2=2×5+1+1=12，故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意定义法和圆的性质的合理运用，属于中档题．9．（5分）（2016•长春二模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，当S n取最大值时，n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】由题意，不妨设a6=9t，a5=11t，则公差d=﹣2t，其中t＞0，因此a10=t，a11=﹣t，即可得出．【解答】解：由题意，不妨设a6=9t，a5=11t，则公差d=﹣2t，其中t＞0，因此a10=t，a11=﹣t，即当n=10时，S n取得最大值．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的性质、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2016•长春二模）已知函数，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，若在区间（﹣1，1]内，g（x）=f（x）﹣t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由g（x）=f（x）﹣t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），分别求出函数f（x）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题可知函数在x∈（﹣1，1]上的解析式为，由g（x）=f（x）﹣t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），可将函数f（x）在x∈（﹣1，1）上的大致图象呈现如图：根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置，因此直线的斜率t的取值范围是．故选：D．【点评】本题是最近热点的函数图象辨析问题，是一道较为复杂的难题．作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）（2016•长春二模）函数的零点所在的区间是（）A． B．（1，2）C．（2，e）D．（e，3）【分析】先判断函数y是定义域上的增函数，再利用根的存在性定理，即可得出结论．【解答】解：∵函数（x＞0），∴y′=+1+＞0，∴函数y=lnx+x﹣﹣2在定义域（0，+∞）上是单调增函数；又x=2时，y=ln2+2﹣﹣2=ln2﹣＜0，x=e时，y=lne+e﹣﹣2=+e﹣﹣2＞0，因此函数的零点在（2，e）内．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的零点问题，将零点问题转化为交点问题，是解决本题的关键．12．（5分）（2016•长春二模）已知直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A、B两点，设α、β分别是以OA，OB为终边的角，则sin（α+β）=（）A．B．C．D．【分析】作直线AB的中垂线，交圆于C，D两点，再将x轴关于直线CD对称，交圆于点E，则∠BOE=α，推导出sin（α+β）=sin（2π﹣2θ）=﹣sin2θ，由此能求出结果．【解答】解：作直线AB的中垂线，交圆于C，D两点，再将x轴关于直线CD对称，交圆于点E，则∠BOE=α，如图所示，sin（α+β）=sin（2π﹣2θ）=﹣sin2θ，而，故．故选：D．【点评】本题考查两角和正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数知识的合理运用．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）. 13．（5分）（2016•长春二模）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．14．（5分）（2016•长春二模）已知实数x，y满足，则y﹣2x的最小值为1．【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最小值即可．【解答】解：根据方程组获得可行域如下图，令z=y﹣2x，可化为y=2x+z，因此，当直线过点（1，3）时，z取得最小值为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题．从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查．15．（5分）（2016•长春二模）已知向量=（1，），=（0，1），则当时，|﹣t•|的取值范围是[1，]．【分析】计算||2，根据t的范围求出||2的最值，开方得出||的最值．【解答】解：=，，．∴||2==t2﹣2t+4=（t﹣）2+1．∴当t=时，||2取得最小值1，当t=﹣时，||2取得最大值13．∴||的最小值为1，||的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．16．（5分）（2016•长春二模）已知数列{a n}中，对任意的n∈N*，若满足a n+a n+1+a n+2=s（s为常数），则称该数列为3阶等和数列，其中s为3阶公和；若满足a n•a n+1=t（t为常数），则称该数列为2阶等积数列，其中t为2阶公积．已知数列{p n}为首项为1的3阶等和数列，且满足；数列{q n}为首项为﹣1，公积为2的2阶等积数列，设S n为数列{p n•q n}的前n项和，则S2016=﹣7056．【分析】由题意可知，p1=1，p2=2，p3=4，p4=1，p5=2，p6=4，p7=1，…，又p n是3阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去．同理，q1=﹣1，q2=﹣2，q3=﹣1，q4=﹣2，q5=﹣1，q6=﹣2，q7=﹣1，…，又q n是2阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去．利用其周期性即可得出．【解答】解：由题意可知，p1=1，p2=2，p3=4，p4=1，p5=2，p6=4，p7=1，…，又p n是3阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，q1=﹣1，q2=﹣2，q3=﹣1，q4=﹣2，q5=﹣1，q6=﹣2，q7=﹣1，…，又q n是2阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去．由此可知对于数列{p n•q n}，每6项的和循环一次，易求出p1•q1+p2•q2+…+p6•q6=﹣21，因此S2016中有336组循环结构，故S2016=﹣21×336=﹣7056．故答案为：﹣7056．【点评】本题考查了新定义、数列的周期性、“分组求和法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2016•长春二模）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足，且，求△ABC的面积．【分析】（1）运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数的周期公式及单调递减区间，解不等式可得；（2）由条件，可得角A，再运用正弦定理可得b+c=13，由余弦定理，可得bc=40，由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：（1）=，因此f（x）的最小正周期为．由，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为（k∈Z）；（2）由，又A为锐角，则．由正弦定理可得，，则，由余弦定理可知，，可求得bc=40，故．【点评】本题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦和余弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求．18．（12分）（2016•长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （，其中n=a+b+c+d）【分析】（1）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（2）采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，利用枚举法得到从5次交易中，取出2次的所有取法，查出其中只有一次好评的情况数，然后利用古典概型概率计算公式求得只有一次好评的概率．【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评80 40 120对商品不满意70 10 80合计150 50 200得，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关．（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，令好评的交易为A，B，C，不满意的交易为a，b，从5次交易中，取出2次的所有取法为（A，B）、（A，C）、（A，a）、（A，b）、（B，C）、（B，a）、（B，b）、（C，a）、（C，b）、（a，b），共计10种情况，其中只有一次好评的情况是（A，a）、（A，b）、（B，a）、（B，b）、（C，a）、（C，b），共计6种，因此，只有一次好评的概率为．【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求，是中档题．19．（12分）（2016•长春二模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D1为棱PD的中点，过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A1，B1，C1，∠BAD=60°．（1）证明：B1为PB的中点；（2）已知棱锥的高为3，且AB=2，AC、BD的交点为O，连接B1O．求三棱锥B1﹣ABO外接球的体积．【分析】（1）由面面平行的性质可得BD∥B1D1，故，于是B1为PB的中点；（2）由OA，OB，OB1两两垂直可知三棱锥B1﹣ABO外接球是以OA、OB、OB1为长、宽、高的长方体的外接球．于是长方体的对角线长为球的直径．【解答】解：（1）连结B1D1．∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面PBD∩平面ABCD=BD，平面PBD∩平面A1B1C1D1=B1D1，∴BD∥B1D1，∴，∴B1为PB中点．（2）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，OA⊥OB．∴OB==1，OA==，∵B1，O是PB，BD的中点，∴OB1∥PD，OB1==．∵PD⊥平面ABCD，∴OB1⊥平面ABCD，∵OA⊂平面ABCD，OB⊂平面ABCD，∴OA⊥OB1，OB⊥OB1，∴三棱锥B1﹣ABO外接球是以OA、OB、OB1为长、宽、高的长方体外接球，∴三棱锥B1﹣ABO外接球的半径R===．则三棱锥B1﹣ABO外接球的体积为．【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长分别交直线x=4于P，Q两点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）由题意的离心率公式可得e==，设c=t，a=2t，即，其中t＞0，点P为短轴端点，三角形面积取得最大，求得t=1，进而得到椭圆方程；（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理，求得AA1，BA1的方程，令x=4，可得P，Q的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到定值0．【解答】解：（1）已知椭圆的离心率为，不妨设c=t，a=2t，即，其中t＞0，又△F1PF2面积取最大值时，即点P为短轴端点，因此，解得t=1，则椭圆的方程为；（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得（3+4t2）y2+6ty﹣9=0，则，，直线AA1的方程为，直线BA1的方程为，令x=4，可得，，则，，即有，即为定值0．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．21．（12分）（2016•大庆校级模拟）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）若对任意x1，x2∈[e2，+∞），有||＞，求实数k的取值范围．【分析】（1）求函数f（x）的导数，根据导数的几何意义求出a的值，再利用f′（x）=0，求出函数f（x）的极值；（2）由||＞变形得，构造函数，利用导数求出g（x）在定区间上的取值范围即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=，∴，令f'（1）=0，∴=0，解得a=1；令f′（x）=0，则lnx=0，解得x=1，即f（x）有极大值为f（1）=1；（6分）（2）由||＞，可得，令，则g（x）=x﹣xlnx，其中x∈（0，e﹣2]，g'（x）=﹣lnx，又x∈（0，e﹣2]，则g'（x）=﹣lnx≥2，即，因此实数k的取值范围是（﹣∞，2]．（12分）【点评】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值等情况；也考查了逻辑推理与运算求解能力，是难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•丰城市校级二模）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA•NB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP（II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（5分）（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…（10分）【点评】本题考查的知识点是切割线定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•张掖模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；（2）联立曲线C1与曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．【解答】解：（1）对于曲线C2有，即，因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（5分）（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13，因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．（10分）【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•长春二模）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）分类讨论，利用不等式f（x）+a≥0恒成立，即f（x）的最小值|a﹣2|≥﹣a求实数a的取值范围；（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，从而求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a≥0时，f（x）+a≥0恒成立，当a＜0时，要保证f（x）≥﹣a恒成立，即f（x）的最小值|a﹣2|≥﹣a，解得a≥﹣1，∴0＞a≥﹣1综上所述，a≥﹣1．（5分）（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，即a=4，所以a的取值范围是（﹣∞，4]时恒成立．（10分）【点评】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容．本小题重点考查考生的化归与转化思想．。
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2016年吉林省长春市朝阳区中考数学二模试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．（3分）﹣2016的绝对值是（ ） A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣ 2．（3分）长春市地铁1号线预计今年9月份通车，线路总长约为18500m．数据18500用科学记数法表示是（ ） A．1.85×105 B．1.85×104 C．0.185×105 D．18.5×103 3．（3分）将“祝你考试成功”这六个字分别写在一个正方体的六个面上．若这个正方体的展开图如图所示，则在这个正方体中，与“你”字相对的字是（ ）
A．考 B．试 C．成 D．功 4．（3分）若等式2a□a=2a2一定成立，则□内的运算符号为（ ） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 5．（3分）不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D． 6．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，且AD=2BD，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AE=2，则AC的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1 7．（3分）如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交⊙O于点C，连结AC、BC、OB、OC．若∠ABC=65°，则∠BOC的度数是（ ） A．50° B．65° C．100° D．130° 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为（2，0）、（1，2），点B在第一象限，将直线y=﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边BC有交点，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜8 B．0＜m＜4 C．2＜m＜8 D．4≤m≤8 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．（3分）计算：= ． 10．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1=0的根的判别式的值是 ． 11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△A′B′C．若∠A=25°．则∠AB′A′的度数是 度．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y=（k＜0，x＜0）的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点B，点C在y轴上，连结AC、BC．若△ABC的面积是3，则k= ． 13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BD是弦，过点A的切线交BD延长线于点C．若AB=AC=4，则图中阴影部分图形的面积和是 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是 ．
三、解答题（本大题10小题，共78分） 15．（6分）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣a（8a﹣2ab），其中a=﹣，b=2． 16．（6分）在一个不透明的盒子中只装有2个白色围棋子和1个黑色围棋子，围棋子除颜色外其余均相同．从这个盒子中随机地摸出1个围棋子，记下颜色后放回，搅匀后再随机地摸出1个围棋子记下颜色．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的围棋子颜色都是白色的概率． 17．（6分）某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？ 18．（7分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，连结DE、EF．四边形CDFE沿EF折叠后得到四边形C′D′FE，点D的对称点D′与点B重合．求证：四边形BEDF是菱形．
19．（7分）在某市开展的“美丽春城，创卫我同行”活动中，某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制成如下不完整的统计图表： 某校七年级部分同学的劳动时间频数分布表 劳动时间（时） 频数 0.5 12 1 30 1.5 m 2 18 合计 100 （1）求m的值，并补全频数分布直方图． （2）被调查同学劳动时间的中位数是 小时． （3）求被调查同学的平均劳动时间．
20．（7分）如图，在热气球上A处测得一栋大楼顶部B的俯角为23°，测得这栋大楼底部C的俯角为45°．已知热气球A处距地面的高度为180m，求这栋大楼的高度（精确到1m）．参考数据：sin23°=0.39，cos23°=0.92，tan23°=0.42． 21．（8分）甲、乙两车分别从A、B两地沿同一路线同时出发，相向而行，以各自速度匀速行驶，甲车行驶到B地停止，乙车行驶到A地停止，甲车比乙车先到达目的地．设甲、乙两车之间的路程为y（km），乙车行驶的时间为x（h），y与x之间的函数图象如图所示． （1）求甲车行驶的速度． （2）求甲车到达B地后y与x之间的函数关系式． （3）当两车相遇后，两车之间的路程是160km时，求乙车行驶的时间．
22．（9分）猜想：如图①，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F．若▱ABCD的面积是10，则四边形CDEF的面积是 ． 探究：如图②，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F．若AC=4，BD=8，求四边形ABFE的面积． 应用：如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延长BC到点D，使DC=BC，连结AD．若AC=4，，则△ABD的面积是 ．
23．（10分）如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与 △ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）． （1）当点N落在边BC上时，求t的值． （2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值． （3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式． （4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y=﹣+n的顶点P在直线y=﹣x+4上，与y轴交于点C（点P、C不与点B重合），以BC为边作矩形BCDE，且CD=2，点P、D在y轴的同侧． （1）n= （用含m的代数式表示），点C的纵坐标是 （用含m的代数式表示）． （2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数表达式． （3）设矩形BCDE的周长为d（d＞0），求d与m之间的函数表达式． （4）直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值． 2016年吉林省长春市朝阳区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分） 1．（3分）﹣2016的绝对值是（ ） A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣ 【解答】解：∵﹣2016的绝对值等于其相反数， ∴﹣2016的绝对值是2016． 故选A．
2．（3分）长春市地铁1号线预计今年9月份通车，线路总长约为18500m．数据18500用科学记数法表示是（ ） A．1.85×105 B．1.85×104 C．0.185×105 D．18.5×103 【解答】解：18500=1.85×104． 故选：B．
3．（3分）将“祝你考试成功”这六个字分别写在一个正方体的六个面上．若这个正方体的展开图如图所示，则在这个正方体中，与“你”字相对的字是（ ）
A．考 B．试 C．成 D．功 【解答】解：在这个正方体中，与“你”字相对的字是“试”， 故选：B．
4．（3分）若等式2a□a=2a2一定成立，则□内的运算符号为（ ） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【解答】解；∵2a•a=2a2， 故等式2a□a=2a2一定成立，则□内的运算符号为×， 故选C． 5．（3分）不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：移项，得2x≤2， 系数化为1，得x≤1， 不等式的解集在数轴上表示如下：
． 故选D．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，且AD=2BD，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AE=2，则AC的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：∵DE∥BC，AD=2BD， ∴=2，
∴CE=AE=1， ∴AC=AE+CE=3； 故选：B．
7．（3分）如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交⊙O于点C，连结AC、BC、OB、OC．若∠ABC=65°，则∠BOC的度数是（ ） A．50° B．65° C．100° D．130° 【解答】解：由题意可得：AB=AC， ∵∠ABC=65°， ∴∠ACB=65°， ∴∠A=50°， ∴∠BOC=100°， 故选：C．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为（2，0）、（1，2），点B在第一象限，将直线y=﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边BC有交点，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜8 B．0＜m＜4 C．2＜m＜8 D．4≤m≤8 【解答】解：设平移后的直线解析式为y=﹣2x+m． ∵四边形OABC为平行四边形，且点A（2，0），O（0，0），C（1，2）， ∴点B（3，2）． ∵平移后的直线与边BC有交点， ∴， 解得：4≤m≤8． 故选D．
二、填空题（每小题3分，共18分） 9．（3分）计算：= 2 ．