高考数学知识点：集合四种命题方向解读
高考数学专题知识突破：考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。
高一集合与命题知识点
高一集合与命题知识点在高中数学学科中，集合与命题是非常重要的知识点。
通过深入学习与理解这些知识，可以帮助我们更好地解决数学问题，并提高数学的应用能力。
本文将从集合和命题两个方面展开，介绍高一阶段的相关知识点。
一、集合集合是数学中最基础的概念之一，它是由若干个元素组成的整体。
在集合中，我们最常用的操作有并、交、差、补和集合的关系等。
下面将一一介绍这些操作：1. 并集：设有集合A和集合B，A和B的并集表示为A∪B，它包含了A和B的所有元素。
2. 交集：集合A和集合B的交集表示为A∩B，它包含了同时属于A和B的所有元素。
3. 差集：集合A和集合B的差集表示为A-B，它包含了属于A 但不属于B的所有元素。
4. 补集：集合A的补集表示为A'，它包含了不属于A的所有元素。
5. 子集：若集合A的所有元素都属于集合B，则集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。
在集合的基础上，我们还可以通过集合的运算来构建更复杂的集合，例如幂集和笛卡尔积：1. 幂集：设集合A的元素个数为n，那么A的所有子集构成的集合称为A的幂集，记作P(A)。
幂集的元素个数为2^n。
2. 笛卡尔积：设有集合A和集合B，A和B的所有有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记作A×B。
除了基本的集合操作外，我们还需要了解集合的性质和定理，例如：1. 并、交、差的运算规律：结合律、交换律、分配律等。
2. De Morgan定律：对于任意两个集合A和B，有(A∪B)'=A'∩B'和(A∩B)'=A'∪B'。
通过深入学习集合的相关知识，我们可以更好地理解和应用相关的数学概念和方法。
二、命题命题是指能够判断真假的陈述句。
在数学中，我们经常要处理各种各样的命题，因此了解命题的基本性质是非常重要的。
1. 命题的逻辑联结词：命题可以通过逻辑联结词进行组合，常见的逻辑联结词有与、或、非、蕴含和等值等。
2. 命题的真值表：我们可以通过真值表来判断命题的真假，真值表是由逻辑联结词和命题变元构成的表格。
高考集合论知识点
高考集合论知识点随着高考的临近，对于学生而言，复习是最为关键的一环，而集合论作为数学中的基础知识之一，是高考中必不可少的内容之一。
本文将以高考集合论知识点为主题，对相关知识点进行深入的探讨。
一、集合的概念与表示方法在集合论中，集合是指具有某种共同性质的事物的总体。
集合可以通过列举元素的方式进行表示，也可以使用描述元素的方式表示。
例如，集合A={1,2,3,4,5}可以通过直接列举元素的方式表示；集合B={x|x为自然数且1≤x≤5}可以通过描述元素的方式表示。
二、集合的基本运算1. 并集：集合A和B的并集，表示为A∪B，是包含A和B中所有元素的集合。
即A∪B={x|x∈ A 或者 x∈ B}。
2. 交集：集合A和B的交集，表示为A∩B，是同时属于A和B的元素组成的集合。
即A∩B={x|x∈ A 且 x∈ B}。
3. 差集：集合A和B的差集，表示为A-B或者A\B，是属于A 但不属于B的元素组成的集合。
即A-B={x|x∈ A 且 x∉ B}。
4. 互斥事件：当两个事件的交集为空集时，这两个事件被称为互斥事件。
三、集合的基本性质1. 包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，即A中的任意元素x都满足x∈ B，则称集合A为集合B的子集，表示为A⊆B。
2. 相等关系：若集合A和集合B互为子集，即A⊆B且B⊆A，则称集合A和集合B相等，表示为A=B。
3. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，表示为∅。
4. 幂集：对于任一集合A，由A的所有子集所构成的集合称为A的幂集，表示为P(A)。
四、集合的应用集合论是数学中的一门基础课程，也是其它学科如概率论、统计学、代数学等的基石。
集合论在科学研究和实际应用中起到了重要的作用。
1. 概率论：概率论是研究随机事件的数学理论。
其中，概率可以用集合论的概念来描述，随机事件可以看作样本空间中的某个子集。
2. 数据统计：在数据统计中，集合论的思想常用于对数据进行分类、分组和整理。
【高中数学,四种命题及其关系】 高中数学命题及关系知识点
【高中数学,四种命题及其关系】高中数学
命题及关系知识点
四种命题及其关系高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A．真、假、真B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假
【参考答案】B
【解题必备】四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下：
（1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．即命题表述形式原命题若p，则q 逆命题若q，则p 否命题若，则逆否命题若，则（2）①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；
而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.
即 1．设有下面四个命题：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则. 其中的真命题为 A． B． C． D． 2．设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是 A．若方程有实根，则 B．若方程有实根，则 C．若方程没有实根，则 D．若方程没有实根，则 1．【答案】B
【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.学-科网 2．
【答案】D
【解析】原命题的逆否命题是：若方程没有实根，则，故选D.。
高三数学高考集合知识点梳理
高三数学高考集合知识点梳理集合是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个数学分支。
在高考数学中，集合也是一个重要的考点。
本文将对高三数学高考集合知识点进行梳理，以帮助同学们更好地掌握和应用这些知识。
一、集合的定义与表示方法集合是由一些特定对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
常用的表示方法主要有以下几种：1. 列举法：直接列举出集合的所有元素，用大括号{}表示。
2. 描述法：通过给出元素满足的条件来描述集合，用大括号{}表示，并用逗号分隔元素。
二、集合间的关系与运算1. 子集关系：若集合A的所有元素同时也是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
特别地，一个集合是其本身的子集。
2. 并集运算：将两个集合中的所有元素放在一起组成一个集合，记作A∪B。
3. 交集运算：两个集合中相同的元素组成的集合，记作A∩B。
4. 差集运算：从一个集合中去掉与另一个集合相同的元素后得到的集合，记作A-B或者A\B。
5. 互斥集：两个集合没有相同的元素，记作A∩B=∅，称为互斥集。
6. 补集运算：对于给定的全集U，集合A的补集是指所有不属于集合A的元素组成的集合，记作A'或者Ā。
三、集合的性质与定理1. 幂集性质：集合A的幂集是指以A的所有子集为元素的集合，记作P(A)。
对于一个有n个元素的集合来说，它的幂集将有2^n个元素。
2. 交换律、结合律、分配律等：并集和交集运算满足交换律、结合律、分配律等基本的运算性质。
3. 德摩根律：对于给定的全集U、集合A和集合B，德摩根律表示为以下两个公式：(A∪B)' = A'∩B'(A∩B)' = A'∪B'四、集合的应用集合在数学中有着广泛的应用，它不仅在高考数学中出现，还涉及到概率、统计、逻辑等许多领域。
1. 概率：在概率计算中，集合用于描述事件的样本空间以及事件的发生情况，通过集合的交并运算和概率的定义，可以计算出事件发生的概率。
高考数学集合总知识点
高考数学集合总知识点数学作为高考的一门重要科目，对于考生来说是一项必考的科目。
而在数学中，集合论是我们需要掌握的重要知识点之一。
下面将总结高考数学集合的知识点，帮助考生对集合有更深入的理解和掌握。
一、集合的基本概念集合是指有着共同性质的对象的总体。
由一个或多个元素组成。
元素是指集合中的个体，用小写字母表示。
用大写字母A、B、C等表示集合。
集合的表示方式有罗马字母和描述法两种。
二、集合的运算1. 交集：若元素x同时属于集合A和集合B，则称x是集合A与集合B的交集元素，记作A∩B。
2. 并集：若元素x属于集合A或属于集合B，则称x是集合A与集合B的并集元素，记作A∪B。
3. 差集：若元素x属于集合A，但不属于集合B，则称x是集合A与集合B的差集元素，记作A-B。
4. 对称差：若元素x属于集合A或属于集合B，但不同时属于二者，则称x是集合A与集合B的对称差元素，记作A△B。
三、集合的基本性质1. 互补律：若A和B是集合，则(A∩B)'=A'∪B'，(A∪B)'=A'∩B'。
2. 结合律：若A、B和C是集合，则(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
3. 分配律：若A、B和C是集合，则A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
4. 同一性：对于任意集合A，A∩A=A，A∪A=A。
5. 对偶性：若A和B是集合，则(A∩B)'=A'∪B'，(A∪B)'=A'∩B'。
四、集合的运算定律1. 交换律：若A和B是集合，则A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。
2. 结合律：若A、B和C是集合，则(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
3. 分配律：若A、B和C是集合，则A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
集合和命题知识点
集合和命题是数学中的基础概念之一，它们在逻辑推理和问题求解中起着重要的作用。
本文将介绍集合和命题的基本概念，并以“step by step”的思维方式进行解释。
集合在数学中，集合是由一些确定的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号或其他事物。
我们可以用大写字母来表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
例如，集合A可以表示为 A = {1, 2, 3, 4}，其中1、2、3和4是A的元素。
集合可以通过包含和不包含元素的方式进行描述。
如果一个元素属于某个集合，我们可以说它是该集合的成员。
如果一个元素不属于某个集合，我们可以说它不是该集合的成员。
例如，如果 B = {2, 4, 6, 8}，我们可以说2是B的成员，但5不是B的成员。
集合可以有无限多个元素，也可以只有一个元素或者没有元素。
一个没有任何元素的集合被称为空集，用符号 {} 或者∅ 表示。
集合之间可以进行一些基本的操作，包括并集、交集和补集。
并集表示两个或多个集合中所有元素的总和，交集表示两个或多个集合中共有的元素，补集表示一个集合中不属于另一个集合的元素。
命题命题是陈述语句，可以被判断为真或假。
例如，“1 + 1 = 2” 是一个命题，因为它可以被判断为真。
命题可以用字母或其他符号来表示，例如 p、q 或者 P、Q。
命题之间可以进行一些逻辑操作，包括否定、合取、析取和条件。
否定操作表示一个命题的相反，合取操作表示多个命题同时为真，析取操作表示多个命题中至少有一个为真，条件操作表示一个命题的条件是另一个命题。
命题之间的逻辑操作可以通过真值表来进行表示和计算。
真值表列出了命题和逻辑操作的所有可能组合，以及它们的结果。
通过真值表，我们可以确定逻辑操作的结果是真还是假。
step by step 思维“step by step”思维方式是一种逐步推理和解决问题的方法。
它可以帮助我们将复杂的问题分解为更小的部分，逐步解决。
这种思维方式在数学推理中尤为重要，因为它可以帮助我们清晰地组织思路，避免错误和混淆。
高考集合数学知识点
高考集合数学知识点高考是每个学生都会经历的一场考试，而数学占据了高考的重要部分。
在数学科目中，集合是一个重要的知识点。
集合论是数学中的一门分支，它主要研究集合及其内部关系、方法和性质。
在高考中，集合也是一个常考的知识点。
接下来，我们将通过几个方面来探讨高考中的集合知识。
一、集合的基本概念集合是指由一些确定的事物（元素）组成的整体。
集合的描述可以使用罗列法、描述法、图示法等方式。
在高考中，我们经常会碰到如何描述集合的题目。
例如：“设集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求出集合A和集合B的交集和并集。
”这就要求我们通过集合的交集和并集的定义，运用符号来描述集合的关系。
二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指把两个集合中的所有元素加起来构成的新集合。
交集是指两个集合中共有的元素所组成的新集合。
差集是指属于一个集合而不属于另一个集合的所有元素所组成的新集合。
补集是指处于某个给定集合之外的所有元素所组成的新集合。
在高考中，经常会要求我们进行集合的运算，求出交集、并集、差集或补集。
在解决这类问题时，我们需要掌握集合运算的规律和性质。
例如：“已知集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求出集合A和集合B的交集，并将结果用集合的表示方式写出来。
”通过理解集合运算的概念和性质，我们可以通过计算得出集合的交集，并用集合的表示方式准确地表达出来。
三、集合间的关系集合之间的关系主要有包含关系、相等关系和互斥关系。
包含关系是指一个集合包含于另一个集合中。
相等关系是指两个集合完全相同，即所有元素都一样。
互斥关系是指两个集合没有共同的元素。
在高考中，会涉及到集合之间的关系，要求我们判断集合的包含关系、相等关系或互斥关系。
例如：“已知集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，判断集合A和集合B的关系。
”通过对集合中元素的比较，我们可以判断出集合A和集合B的包含关系、相等关系或互斥关系。
高三集合知识点及题型总结
高三集合知识点及题型总结高三是每位学生都要经历的一段重要时光，它是冲刺高考的最后一年，对于每个学生来说都非常关键。
在高三的备考过程中，集合是一个非常重要的数学知识点，也是各类题型中常考的内容之一。
本文将从集合的基本概念、运算规则和解题技巧等方面，对高三集合知识点及题型进行总结。
一、集合的基本概念集合是数学中一个基础概念，它是由一些确定的对象组成的整体。
常用的表示集合的方法有两种：列举法和描述法。
集合中的元素是指构成集合的个体，它可以是数字、字母、词语、图形等各种对象。
二、常用的集合运算规则1. 交集：表示两个集合中共同的元素构成的集合。
记作A∩B。
2. 并集：表示两个集合中所有的元素构成的集合。
记作A∪B。
3. 差集：表示一个集合中除去另一个集合中共同元素后剩下的元素构成的集合。
记作A-B。
4. 互斥事件：表示两个集合没有共同元素。
当A∩B=∅时，称A与B互斥。
三、集合的题型及解题技巧1. 判断题判断题是常见的集合题型，通常考察对集合定义及运算规则的理解。
例题：设A={1,2,3}，B={3,4,5}，下列命题正确的是（）。
A. A∩B={3}B. A∪B={1,2,3,4,5}C. A-B={4,5}D. A与B互斥解题技巧：利用定义及运算规则进行逐个选项判断，注意理解交集、并集、差集和互斥的含义。
2. 元素的归属关系该类题型考察对元素的归属关系判断及表示的能力。
例题：已知集合A={a,b,c}，B={b,c,d}，判断元素"a"是否属于集合B。
解题技巧：判断元素的归属关系，直接查看B集合中是否包含元素"a"，根据题目要求作答。
3. 集合间的关系这类题目考察对集合间关系的理解，常见的有包含关系、相等关系等。
4. 集合的运算该类题型常考察集合的交集、并集、差集等运算。
例题：已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，C={4,5,6,7}，求(A∪B)-C的结果。
高考数学复习知识点加题目 第一章集合
第一章 集 合 知识点与方法 1. 子集、交集、并集三者之间的关系:A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B． ²．“或”,“且”,“非”（∨,∧, ）的真假性判断:全称命题与特称命题的否定． （1）∨命题:一真则真,全假才假:∧命题:一假则假,全真才真: p与p的真假性相反． （²）全称命题与特称命题互fi否定． 3．四种命题þ其关系中要注意原命题与逆否命题¼真假,充要条fl 判定时首先分清条fl与结论,再进行推理．
查漏补缺 1. 集合中元素“必须具备的性质特征”（特别是互异性）
例1 集合A＝(a,b,G)中的三个元素分别表示某一个三角形的三
边长度,那‡这个三角形一定н是（ ）． A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形 变式1 已知集合A＝(0,1,²),则集合B＝(z|z＝x—y,x∈A,
y∈A)中元素的个数是（ ）． A．1 B．3 C．± D．9 2. 集合中元素的属性
3. 空集：对任意集合A有 ⊆A， ∩A＝ ， ∪A＝A
当一个集合中元素个数н确定时,ƒ想到空集． 例2 集合P＝(x∈Ζ|0≤x<3),W＝(x∈R|x²≤9),则P∩W＝
（ ）． A．(1,²) B．(0,1,²) C．(x|0≤x<3) D．(0,1,²,3) 变 式 1 设 全 集 I ＝ ( （ x , y ） | x , y∈R ) , 集 合 W ＝
,N＝(（x,y）|y≠x+1),那‡（ W）∩（ N）＝（ ）． A． B．(（²,3）) C．（²,3） D．(（x,y）|y＝x+1) 例3 设A＝(x|x²+x—6＝0),B＝(x|mx+1＝0),且A∪B＝A,
则实数m的ਆ值范围是 ． 变式1 已知集合A＝( x| x²—3x—10≤0 ), 集合B＝( x|
p+ 1≤x≤²p—1),若B⊆A,求实数p的ਆ值范围．
4. 在由不等式构成集合或抽象集合的子集、交集、并集、补集问 题中，常采用画数轴或Venn图．运用数形结合的思想解题，
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高考数学知识点：集合四种命题方向解读
高考数学知识点：集合四种命题方向解读
在高考中有关集合内容共有5个考点：①集合;②子集;③补
集;④交集;⑤并集.
考试要求：①理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;②
了解空集和全集的意义;③了解属于、包含、相等关系的意
义;④掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简
单的集合。
重点：①集合的表示及专用符号.用描述法表示集合
{x|x∈P}，要正确理解竖线前代表元素及其具有的性质P;②
集合之间的运算：能够熟练地求两个或几个集合的交集、并
集合，并掌握利用数轴、文氏图解决集合的方法.
一、基本型
题型特点：主要考查集合的基本概念和基本运算，这是高考
考查集合的主要方式，几乎每年必考.
破解技巧：常用解法是定义法、列举法、性质法、韦恩图法
及语言转换法等.
例1若集合M={ y| y=2x}，P={ y| y= }，则M∩P=
(A) { y| y1} (B) { y| y≥1}
(C) { y| y0}(D) { y| y≥0}
分析：本题的错误率极高，主要是缺乏语言互化能力.其实
是求“两个函数值域的交集”.
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解：本题集合M与P中的代表元素是y，则M∩P即是求函数
y=2x 与y= 的值域的公共部分，显然M={ y| y0}，P={ y|
y≥0}，故选(C).
例2设全集是实数集R， ， ，则 M∩N等于
A. B.
C.D.
分析：本题分步计算即得，先算补集，再求交集.
解：先计算补集 M={x|x-2或x2}，再继续求交集，即
M∩N={x|x-2}，故选(A).
例3 设A、B、I均为非空集合，且满足A B I，则下列各式
中错误的是
(A) ( A)∪B=I (B) ( A)∪( B)=I
(C) A∩( B)= (D) ( A)∩( B)= B
点通1 运用韦恩图
画出韦恩图(如右图)，从图中易验证，选项(B)错误.故选
(B).
点通2 运用特殊集合
设A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}，则 A={2，3}， B={3}
易验证(B)错误.故选(B).
例4(2019年北京高考题)设全集U=R，集合M={x| x1}，P={x|
x21}，则下列关系中正确的是
(A)M=P (B) P M (C) M P (D)
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解：P={x|x1或x-1}，M={x|x1}，易知M P，而选(C).
点评：判断集合之间关系问题，应先简化集合，再判断.有
时还可结合图象加以观察.
二 、交汇型
题型特点：主要是将集合与不等式、三角函数、解析几何等
知识进行交汇，形成多知识点的综合问题.
破解技巧：解题的关键在于灵活运用有关知识.
例5⑴(2019年山东高考题) 设集合A、B是全集 的两个子
集，则A B是 的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
⑵(2019年上海高考题)已知集合 ， ，则 等于
A.B.
C. D.
分析：第⑴小题是集合与简易逻辑进行交汇，用推出法即可
解决.第⑵小题是集合与不等式的交汇.
解：⑴由 ，即A=B或A B，设p：A B;q： ，则有p q，但
q p.故选(A).
⑵集合M = { x |-1≤x≤3，x}，P = { x |-1
点评：对于⑵是集合与绝对值不等式及分式不等式的交汇，
对分式不等式到整式不等式的转化.在这里，要注意分母不
为零的条件限制.
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三、计数型
题型特点：是指以集合为背景，求子集的个数、集合中元素
的个数等.
破解技巧：常用解法是子集的个数公式法、图表法、组合数
公式法等 .
例6⑴(2019年安徽春季高考题)集合S={a，b，c，d，e}，
包括{a，b}的S的子集共有
(A) 2个 (B) 3个(C) 5个 (D) 8个
⑵设集合M={(x，y)|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={(x，
y)|x2-y=0，x∈R，y∈R}，，则集合 中元素的个数为
(A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 4
⑶设集合 N}的真子集的个数是
(A) 16 (B) 8; (C) 7 (D) 4
解： ⑴本题等价于求集合{c，d，e}的子集个数，即为23=8，
选(D).
⑵本题只要将集合语言转换成图形语言即可.本题实质就是
单位圆与抛物线y=x2的交点个数，画图知2个，故选(B).
⑶A={0，1，2}，故A的真子集个数是23-1=7，选(C).
四、逆向型
题型特点：已知集合的运算结果，写出集合运算的可能表达
式，这类题往往具有一定的开放性.
例7⑴(2019年上海春季高考题)设U是全集，非空集合P、Q
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满足P Q U，若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果
为空集 ，则这个运算表达式可以是_______(只要写出一个
表达式).
⑵(2019年上海春季高考题)若全集U=R，f(x)、g(x)均为x
的二次函数，P= ，则不等式组 的解集可用P、Q表示为 .
解：⑴此题是开放性试题，如图，
极易得到其多种答案：
① UQ∩P;
②P∩( UP∩Q);
③ UQ∩(P∪Q);等等.
⑵由补集定义，得UQ=x│g(x)0，则不等式组的解集就是P
与UQ的交集，即表示为P∩UQ.
五、阅读理解型
题型特点：以集合内容为背景即时设计一个陌生的问题情
景，要求学生在理解的基础上作答.
例8设f(n)=2n+1(n∈N)，P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，
6，7}，记 ={n∈N|f(n)∈P}， ={n∈N|f(n)∈Q}，则
( ∩ )∪( ∩ )=
(A) {0，3} (B){1，2}(C) (3，4，5} (D){1，2，6，7}
解：设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q= ，则P+Q
中元素的个数是
A.9B.8C.7D.6
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2. 是正实数，设 是奇函数}，若对每个实数 ， 的元素不
超过2个，且有 使 含2个元素，则 的取值范围是 .
[答案：1.(B) 2. ]
三、命题趋向
集合内容将以集合运算为重点进行考查，在2019年高考中
将仍以选择题或填空题的形式出现，其难度在0.7左右，同
时要注意集合思想的应用及集合与其它知识的交汇，展示以
集合语言为背景的应用性、开放性试题，具有构思巧妙、新
颖、解法灵活特点，将会是未来高考“出活题、考能力”的
命题趋向.
四、备考建议
一、注重基础，注意辨析
对于集合的复习，首先要注重基础，熟练掌握集合间的关系
(子集与真子集)的判定方法，集合间的运算;同时，还要对
集合的有关概念和符号进行辨析，只有准确把握它们，才不
会在高考中掉进命题者设计的陷阱之中.
首先，要明确集合元素的意义，弄清集合由哪些元素所组成，
这就需要对集合的文字语言，符号语言，图形语言进行相互
转化.
其次，由于集合知识概念新，符号多，往往顾此失彼，因此
需要注意如下几个方面的问题：一是注意集合元素的三性
(确定性，互异性，无序性);二要注意0，{0}，，{}的关系，
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数字0不是集合，{0}是含有一个元素0的集合，而是不含
任何元素的集合，{}则是以为元素的集合;三要注意空集的
特殊性，空集是任何非空集合的真子集，它在解题过程中极
易被忽视;四要注意符号“∈”与“”(或)的区别，符号
“∈”表示元素与集合之间的从属关系，“” (或)表示集
合与集合之间的包含关系.
二、不可忽视集合的交汇性及创新性问题对集合的重点复习
是集合间的关系判定以及集合间的运算问题.其中关系判定
以及集合间的运算问题，常常是集合内容与不等式等内容进
行交汇，故应熟练掌握一元一次(二次、高次)不等式，分式
不等式，三角不等式，含参不等式，指对数不等式等的解法.
但也有可能考查较为灵活的非常规的开放题，探究题，信息
迁移题等创新题.其实也是近年高考在集合方面的一个新命
题背景，特别是定义新运算.如已知集合A={0，2，3}，定义
集合运算A※A={x|x=a b，a∈A，b∈A}，则A※A=_________.
此类关键是理解新运算，易得a，b可以相同，知填{0，6，
4，9}.