第10章 离散傅里叶变换信号分析
[理学]离散傅里叶变换及其快速算法
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非周期序列的离散时间傅里叶变换 (DTFT) /序列的傅里叶变换
• 定义序列x(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT)为：
X (e ) DTFT{x(n)}
j n jn x ( n )e
• 序列x(n)的离散时间傅里叶逆变换(IDTFT)为：
x(n) IDTFT{X (e j )} 1 2
按时间抽取的FFT算法
• 设N=2M，M为正整数，如取N=23=8，即离散时间信号为
x(n) {x(0), x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), x(6), x(7)}
• 按照规则①将序列x(n)分为奇偶两组，一组序号为偶数， 另一组序号为奇数，即
{x(0), x(2), x(4), x(6) | x(1), x(3), x(5), x(7)}
X (e j )e jn d
傅里叶变换对小结
• 傅里叶级数(FS)（时域：连续周期；频域：非周期离散）
1 Xk T
T 2
T 2
x(t )e jk1t dt
x(t )
k
X k e jk1t
k 0, 1, 2,
• 傅里叶变换(FT)（时域：连续非周期；频域：非周期连续）
二维离散傅里叶变换计算过程
二维离散傅里叶变换计算过程傅里叶变换是信号处理中非常重要的数学工具，可以将一个时域信号转换为频域表示。
而二维离散傅里叶变换（2D DFT）则是将二维离散信号转换为二维频域表示。
本文将介绍二维离散傅里叶变换的计算过程。
1. 二维离散傅里叶变换的定义二维离散傅里叶变换是将一个二维离散信号（图像）转换为二维频域表示的数学变换。
假设有一个大小为M×N的二维离散信号f(x, y)，其中x和y分别表示信号的行和列，那么二维离散傅里叶变换的定义可以表示为：F(u, v) = ΣΣf(x, y) * exp(-j2π(ux/M + vy/N))其中F(u, v)表示变换后的频域信号，u和v分别表示频域的行和列，j表示虚数单位，M和N分别表示信号的行数和列数。
2. 二维离散傅里叶变换的计算过程二维离散傅里叶变换的计算过程可以分为两个步骤：首先进行行变换，然后进行列变换。
2.1 行变换对于给定的二维离散信号f(x, y)，我们首先对每一行进行变换。
对于第i行，我们可以将其看作一个一维离散信号，然后对其进行一维离散傅里叶变换。
假设第i行的变换结果为F(i, v)，其中v 表示频域的列，那么F(i, v)的计算公式为：F(i, v) = Σf(i, y) * exp(-j2πvy/N)其中y表示该行的列索引。
2.2 列变换在完成行变换后，我们继续对每一列进行变换。
对于每一列，我们可以将其看作一个一维离散信号，然后对其进行一维离散傅里叶变换。
假设第j列的变换结果为F(u, j)，其中u表示频域的行，那么F(u, j)的计算公式为：F(u, j) = ΣF(i, j) * exp(-j2πiu/M)其中i表示该列的行索引。
3. 二维离散傅里叶变换的计算复杂度二维离散傅里叶变换的计算复杂度较高，为O(MN(M+N))。
其中M和N分别表示信号的行数和列数。
由于计算复杂度较高，通常会采用快速傅里叶变换（FFT）算法来加速计算过程。
离散傅里叶变换频率范围
离散傅里叶变换频率范围离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是信号处理中经常使用的一种数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
离散傅里叶变换的频率范围是一个重要的概念，它决定了变换后信号的频率分辨率和有效频率范围。
在离散傅里叶变换中，频率范围是指变换后信号的频率分布范围。
通常情况下，信号在时域中是离散的，通过离散傅里叶变换可以将其转换为在频域中也是离散的信号。
对于一个长度为N的离散信号，其离散傅里叶变换结果也有N个频率点。
离散傅里叶变换的频率范围从0到N-1，对应了N个离散的频率点。
其中，频率为0对应直流分量，频率为N-1对应采样频率的一半。
这是因为在离散信号中，频率为0表示信号中没有周期性的变化，而频率为N-1表示信号中的变化达到了最大频率。
其他频率点则表示信号中的不同频率成分。
离散傅里叶变换的频率分辨率取决于信号的长度N。
频率分辨率可以通过采样频率和信号长度的比值来计算。
采样频率越高，信号长度越大，频率分辨率越高，可以分辨出更小的频率差异。
相反，采样频率越低，信号长度越小，频率分辨率越低，只能分辨出较大的频率差异。
在实际应用中，离散傅里叶变换的频率范围可以用于分析信号的频谱特征。
通过计算得到的频率谱可以帮助我们了解信号中的不同频率成分的强弱和分布情况。
例如，在音频处理中，我们可以通过离散傅里叶变换将音频信号转换为频谱图，从而观察音频中的不同频率分量，分析音频的音调、节奏等特征。
在数字滤波器设计中，离散傅里叶变换的频率范围也起到重要的作用。
通过观察信号在频域中的频率分布情况，可以选择合适的滤波器类型和参数，实现对信号的滤波处理。
频率范围的选择要考虑到信号中重要频率的分布情况，避免频率分辨率过低或过高导致的信息丢失或冗余。
离散傅里叶变换的频率范围是指变换后信号的频率分布范围，决定了变换后信号的频率分辨率和有效频率范围。
通过观察频率范围，我们可以分析信号的频谱特征，选择合适的滤波器类型和参数，实现对信号的处理和分析。
离散周期信号的傅里叶级数_讲义
4
《信号与系统》，清华大学电机系陆超 n n0
内积的定义：两个离散函数φdi (n)和φdj (n) ，在 长度为N的离散时间区间n0≤n≤ n0 +N-1上的 n N 1 内积为：
di ( n), dj ( n)
0
n n0
di ( n) dj ( n)
离散信号的投影或分量：
N 1 1
n 0
xd ( n) e j1kn
以xa(t)的冲激脉冲抽样信号及其变换为“中介”
《信号与系统》，清华大学电机系陆超 19
• 冲激序列及其傅里叶变换：
ap ( t )
n
a
( t nTs )
Δap ( ) s
m
a
( m s )
F p ( ) F f p ( t ) 2
k 《信号与系统》，清华大学电机系陆超
F
gp
( k1 ) ( k1 )
17
• 连续周期信号xa(t)的傅里叶变换：
X a ( ) 2
k
X
ag
( k1 ) ( k1 )
• 离散周期信号xd(n)的离散傅里叶级数： 周期T1内N1个抽样点，满足完整周期抽样
• 冲激脉冲抽样信号：
xas ( t ) xa ( t ) ap ( t )
n
x (nT )
a s
a
( t nTs )
n
x (n)
d
a
( t nTs )
《信号与系统》，清华大学电机系陆超 20
• 冲激脉冲抽样信号的傅里叶级数：
滑块离散傅里叶变换
滑块离散傅里叶变换一、引言在数字信号处理领域，傅里叶变换是一种极其重要的工具，它能够将信号从时域转换到频域，从而揭示出信号在各个频率下的强度。
然而，标准的傅里叶变换是对整个信号进行分析，无法提供信号局部频率信息。
为了解决这个问题，人们引入了滑块离散傅里叶变换（Sliding Discrete Fourier Transform，简称SDFT），这种方法能够在信号的滑动窗口上应用离散傅里叶变换，从而得到信号在不同时间和频率下的信息。
二、滑块离散傅里叶变换的定义滑块离散傅里叶变换是一种计算信号局部频谱的方法。
给定一个长度为N的离散时间信号x[n]，滑块离散傅里叶变换在信号的每个长度为M的滑动窗口上计算离散傅里叶变换。
设X[k, m]表示在第m个滑动窗口上的离散傅里叶变换结果，其中k表示频率索引，m表示滑动窗口的索引，那么滑块离散傅里叶变换可以定义为：(X[k, m] = \sum_{n=0}^{M-1} x[n+mM] e^{-j \frac{2\pi}{M} kn})其中，(j)表示虚数单位，(M)表示滑动窗口的长度，(mM)表示第(m)个滑动窗口的起始位置。
需要注意的是，为了保证滑动窗口之间有重叠，通常步长会设置为小于窗口长度的值。
三、滑块离散傅里叶变换的性质局部性：滑块离散傅里叶变换能够提供信号在不同时间和频率下的信息，从而揭示出信号的局部特性。
这对于非平稳信号的分析尤为重要。
时频分辨率权衡：在滑块离散傅里叶变换中，滑动窗口的长度决定了时频分辨率的权衡。
较短的滑动窗口具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，而较长的滑动窗口则具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率。
因此，在实际应用中，需要根据信号的特点和需求选择合适的滑动窗口长度。
计算复杂度：相对于标准的离散傅里叶变换，滑块离散傅里叶变换的计算复杂度较高。
因为需要在每个滑动窗口上计算离散傅里叶变换，所以计算量会随着滑动窗口数量的增加而增加。
然而，通过采用快速傅里叶变换（FFT）算法和优化技术，可以显著降低计算复杂度，使得滑块离散傅里叶变换在实际应用中更加可行。
4点离散傅里叶变换
4点离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将离散时间域信号转换为频域表示的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域中广泛应用。
本文将介绍离散傅里叶变换的原理、算法和应用，并重点讨论其与连续傅里叶变换之间的关系。
一、离散傅里叶变换的原理离散傅里叶变换是将一个长度为N的离散时间域信号x(n)变换为其频域表示X(k)的过程。
其中，n表示时间的离散样本点，k表示频率的离散样本点。
离散傅里叶变换的数学表达式如下：X(k) = Σ[n=0 to N-1] x(n) * exp(-j*2πnk/N)其中，j表示虚数单位，exp(-j*2πnk/N)为旋转因子。
离散傅里叶变换可以将信号从时间域转换到频域，得到信号在不同频率上的成分。
二、离散傅里叶变换的算法离散傅里叶变换的计算可以通过不同的算法实现，其中最常用的算法是快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。
FFT算法利用了信号的周期性和对称性，将离散傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算效率。
FFT算法的基本思想是将信号分解成两个长度为N/2的子信号，再通过递归的方式计算子信号的离散傅里叶变换。
具体步骤如下：1. 如果信号长度N为1，则直接输出该信号作为结果。
2. 将信号分成偶数和奇数索引的两个子信号，分别进行离散傅里叶变换。
3. 将两个子信号的离散傅里叶变换结果合并成一个长度为N的结果信号。
FFT算法的关键在于旋转因子的利用和子信号的合并。
通过适当的重排子信号和旋转因子，可以有效地提高计算效率。
三、离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用示例：1. 信号频谱分析：离散傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱信息。
通过分析信号的频谱，可以了解信号的频率成分和能量分布，从而实现信号的频谱分析和滤波处理。
dft变换,z变换,离散傅里叶三者变换关系
dft变换,z变换，离散傅里叶三者变换关系离散傅里叶变换(DFT)、Z变换和离散傅里叶变换(DTFT)是数字信号处理领域中常用的数学工具。
尽管它们的数学形式和实际应用略有不同，但它们之间存在紧密的联系。
首先我们来看离散傅里叶变换(DFT)。
离散傅里叶变换是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。
对于一个离散时间序列x(n)，DFT 将其表示为一组离散频谱X(k)，其中k表示频域中的离散频率。
DFT通过计算输入序列x(n)和一组复数旋转因子的点乘来实现。
在数学上，DFT的表达式如下：N-1X(k) = Σx(n)*e^(-j2πkn/N)n=0其中，N表示离散时间序列的长度，k表示离散频率的编号。
接下来我们来看Z变换。
Z变换是一种将序列转换为复数域表示的数学工具。
Z变换通过对序列x(n)中的每个样本进行加权求和，并使用复数变量Z来表示其变换结果。
Z变换的数学表达式如下：∞X(Z) = Σx(n)Z^(-n)n=0其中，X(Z)表示Z域中的复数函数，x(n)表示离散时间序列的样本值，Z表示复杂变量。
离散傅里叶变换(DFT)和Z变换之间存在紧密的联系。
如果我们将离散时间序列x(n)看作是一个去掉复杂变量Z的Z变换结果，那么离散傅里叶变换(DFT)可以被视为离散傅里叶变换的特殊情况。
实际上，当变换的因子Z被设置为单位圆上的离散点时，离散傅里叶变换(DFT)和Z变换是等价的。
这时，离散傅里叶变换(DFT)可以用Z变换的形式表示：X(Z)|z=exp(-j2πk/N) = X(k)这个等式表示，当复数变量Z被设置为复数旋转因子z=exp(-j2πk/N)时，离散时间序列的Z变换结果X(Z)等于离散傅里叶变换(DFT)的离散频谱表示X(k)。
离散傅里叶变换(DFT)和离散傅里叶变换(DTFT)之间也存在联系。
离散傅里叶变换(DFT)可以被视为离散傅里叶变换(DTFT)的一种抽样。
离散傅里叶变换(DTFT)是将离散时间序列转换为连续频域表示的数学工具。
矩形序列的离散时间傅里叶变换
矩形序列的离散时间傅里叶变换矩形序列是一种离散时间信号，它在每个离散时间点上的取值都是确定的。
离散时间傅里叶变换是一种将离散时间域信号转换为频域信号的方法，可以用来分析矩形序列的频谱特性。
我们来了解一下矩形序列。
矩形序列是一种周期性的信号，它在每个周期内的取值都相同，而在周期之间的取值为零。
矩形序列通常用数学符号表示为x(n)，其中n表示离散时间点。
矩形序列在离散时间上的表达式为：x(n) = A，当n为周期的整数倍时；x(n) = 0，其他情况下。
接下来，我们将矩形序列进行离散时间傅里叶变换，以分析其频谱特性。
离散时间傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱信息。
离散时间傅里叶变换的表达式为：X(k) = Σ[x(n) * exp(-j * 2π * n * k / N)]，其中k为频域的离散频率，N为矩形序列的长度。
根据矩形序列的定义，我们可以得到矩形序列的离散时间傅里叶变换的表达式：X(k) = Σ[A * exp(-j * 2π * n * k / N)]，当n为周期的整数倍时；X(k) = Σ[0 * exp(-j * 2π * n * k / N)]，其他情况下。
矩形序列的离散时间傅里叶变换的频谱特性可以通过频谱图来表示。
频谱图可以将频率和幅度以直观的方式展示出来，从而帮助我们分析信号的频谱特性。
矩形序列的频谱图通常呈现出周期性的特点。
在频谱图中，我们可以观察到主要的频率分量集中在离散频率点上，而其他频率分量则为零。
这是由于矩形序列在离散时间点上的取值为常数，而在离散时间点之间的取值为零所导致的。
根据离散时间傅里叶变换的性质，我们可以得到矩形序列的频谱特性的一些重要性质。
首先，矩形序列的频谱是周期性的，即在频域上也呈现出周期性的特点。
其次，矩形序列的频谱是对称的，即频谱图在零频率点处有对称轴。
最后，矩形序列的频谱幅度衰减较慢，即频谱图的主瓣较宽。
除了频谱特性，矩形序列还具有其他一些重要的性质。
测试信号分析与处理第4章 离散傅里叶变换
m0
2）频域圆卷积
若 y(n) x(n)h(n)
1 N 1
Y (k) DFT[ y(n)] N l0 X (l)H p (k l)RN (k)
❖ 实数序列奇偶性（对称性）
❖ 帕斯瓦尔定理：变换过程中能量是守恒的。
N1 x(n) 2
1 N 1
2
X (k)
n0
N k0
第二节 离散傅里叶级数（DFS）
二、离散傅里叶级数 ❖ 离散周期信号的频谱，即离散傅里叶级数(DFS)。 ❖ 离散傅里叶级数的变换对表达式
N 1
X p (k) DFS[xp (n)] xp (n)WNnk n0
xp (n)
IDFS[ X p (k)]
《测试信号分析与处理》课程
第五节 快速傅里叶变换 第六节 IDFT的快速算法（IFFT） 第七节 实序列的FFT高效算法 第八节 频率域采样理论
第一节 序列的傅里叶变换
❖ 如X(Z)在单位圆上是收敛的，则将在单位圆上的Z 变换定义为序列的傅里叶变换，即
)]
1
Y(k) 2
X(k)
k 0,1, , N 1 2
Z(k)
1 2
WN
K
-1
X(k+N/2)
第六节 IDFT的快速算法（IFFT）
x(0) 1/2
1/2
1/2
X(0)
x(1) 1/2 W80 -1 1/2
1/2
X(1)
x(2) 1/2
1/2 W80
-1
1/2
X(k)= Wnkx(n)
或
x(n)= 1 W-nkX(k)
数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件
2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2