概率统计教学资料随机变量及其分布9节
《概率论与数理统计》随机变量与其分布
x
x
(3) F(x)右连续，即 lim F ( x) F ( x0 )
x x0
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量X
的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数
例2
p
i 1
i
pi 0, i 1, 2,
1
0
1
X ~
0.16 a
10
非负性
归一性
1
a
2
2
2a
10
3
0.3
a 0.9, a 0.6
32
第2章
02 离散型随机变量的概率分布
随机变量及其分布
利用分布律求概率
P a X b
PX x p
本章内容
01
随机变量
02 分布函数
01 随机变量
第2章
随机变量及其分布
在实际问题中， 随机试验的结果可以用数量来表示， 由此
就产生了随机变量的概念.
为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规
律，有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果。
11
01 随机变量
第2章
随机变量及其分布
随机变量 ( random variable )
X ( )
0, 正品
这种对应关系
66
第2章
随机变量及其分布
结论
通过随机变量这个桥梁，可以把随机试验的结果与实
数对应起来，建立一种映射关系，这样就能够使用高
等数学的方法来研究随机试验，从而更充分的认识随
随机变量及其分布-所有知识点集合教学内容59页PPT
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
第9章 第3讲计数原理、概率、随机变量及其分布
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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知识点三 二项式系数的性质 (1)0≤k≤n 时，Cnk与 Cnn－k的关系是__C_nk_＝__C_nn_－_k___． (2)二项式系数先增后减，中间项最大． 当 n 为偶数时，第n2＋1 项的二项式系数最大；当 n 为奇数时，第n＋2 1项和n＋2 3项 的二项式系数最大． (3)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝__2_n__，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋ C5n＋…＝_2_n_－_1_．
(3)(x＋y)5 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr5·x5－r·yr，令 5－r＝1，得 r＝4，令 5－r ＝2，得 r＝3，
∴(x－y)(x＋y)5 的展开式中 x2y4 的系数为 C54×1＋(－1)×C35＝－5.故选 B．
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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题组三 考题再现 4．(2019·天津)(2x－81x3)8 的展开式中的常数项为___2_8__．
[解析] 二项展开式的通项公式为 Tk＋1＝Ck8(2x)8－k·(－81x3)k＝(－1)kCk828－k2－3kx8－4k ＝(－1)kCk828－4kx8－4k，令 8－4k＝0，得 k＝2，即 T3＝(－1)2×C28×20＝C28＝28，故常数 项为 28．
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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1．二项式定理中，通项公式 Tk＋1＝Cknan－kbk 是展开式的第 k＋1 项，不是第 k 项． 2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在 Tk＋1＝Cknan－kbk 中， Ckn是该项的二项式系数，该项的系数还与 a，b 有关． (2)二项式系数的最值和增减性与指数 n 的奇偶性有关．当 n 为偶数时，中间一 项的二项式系数最大；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大 值．
概率论与数理统计教案-随机变量及其分布
概率论与数理统计教案-随机变量及其分布一、教学目标1. 了解随机变量的概念及其重要性。
2. 掌握随机变量的分布函数及其性质。
3. 学习离散型随机变量的概率分布及其数学期望。
4. 理解连续型随机变量的概率密度及其数学期望。
5. 能够运用随机变量及其分布解决实际问题。
二、教学内容1. 随机变量的概念及分类。
2. 随机变量的分布函数及其性质。
3. 离散型随机变量的概率分布：二项分布、泊松分布、超几何分布等。
4. 连续型随机变量的概率密度：正态分布、均匀分布、指数分布等。
5. 随机变量的数学期望及其性质。
三、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍随机变量及其分布的概念、性质和计算方法。
2. 利用案例分析，让学生了解随机变量在实际问题中的应用。
3. 借助数学软件或图形计算器，直观地展示随机变量的分布情况。
4. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
四、教学准备1. 教学PPT课件。
2. 教学案例及实际问题。
3. 数学软件或图形计算器。
4. 教材、辅导资料。
五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入随机变量的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解随机变量的定义、分类及其重要性。
3. 讲解随机变量的分布函数及其性质，引导学生理解分布函数的概念。
4. 讲解离散型随机变量的概率分布，结合实例介绍二项分布、泊松分布、超几何分布等。
5. 讲解连续型随机变量的概率密度，介绍正态分布、均匀分布、指数分布等。
6. 讲解随机变量的数学期望及其性质，引导学生掌握数学期望的计算方法。
7. 案例分析：运用随机变量及其分布解决实际问题，提高学生的应用能力。
8. 课堂练习：布置适量练习题，巩固所学知识。
10. 作业布置：布置课后作业，巩固课堂所学。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对随机变量及其分布的理解程度。
2. 课堂练习：检查学生解答练习题的情况，评估学生对知识的掌握程度。
3. 课后作业：布置相关作业，收集学生作业情况，评估学生对知识的运用能力。
概率统计 第二章 随机变量及其分布
引入适当的随机变量描述下列事件： 例1：引入适当的随机变量描述下列事件： 个球随机地放入三个格子中， ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有 个空格} B={有 个空格} A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球 全有球} C={全有球}。 进行5次试验， D={试验成功一次 试验成功一次} ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次 试验至少成功一次} G={至多成功 至多成功3 F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
例2
xi ∈( a ,b )
∑
P( X = xi )
设随机变量X的分布律为 设随机变量X
0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求: 试求:
P( X ≤ 4), P (2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
F ( x) = P{ X ≤ x} =
k : xk ≤ x
∑p
k
离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数 分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的 可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应 可能取值点 跳跃高度对应随机变量取对应 值的概率;反之 反之,如果某随机变量的分布函数 值的概率 反之 如果某随机变量的分布函数 是阶梯函数,则该随机变量必为离散型 则该随机变量必为离散型. 是阶梯函数 则该随机变量必为离散型
X
x
易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a) ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝ －
P( X > a) = 1 − F (a)
概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件
表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32
《概率论与数理统计》第二章 随机变量及其分布教案
第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及其分布教学目的要求：使学生掌握随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的概念及其分布,会应用这些概念、分布求分布列.教材分析：1.概括分析：概率论所要考察的是与各种随机现象有关的问题,并通过随机试验从数量的侧面来研究随机现象的统规律性.为此,就有必要把随机试验的每一个可能的结果与一个实数联系起来.随机变量正是为适应这种需要而引进的。
随机变量实质上是定义在样本空间Ω={e}上的一个实值单值函数X(e).从此,对随机事件的研究转变为对随机变量的研究,通过随机变量将各个事件联系起来,进而去研究随机试验的全部结果.而且,随机变量的引入,使我们有可能借助于微积分等数学工具,把研究引向深入.2.教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的概念及其分布函数.3.教学难点：求随机变量分布函数.教学过程：在第一章里,我们研究了随机事件及其概率,可以会注意到,在某些例子中,随机事件和实数之间存在着某种客观的联系.例如,在伯努利概型这一节中,曾经讨论过“在n 重伯努利试验中,事件A 出现k 次”这一事件的概率,如果令ξ＝n 重伯努利试验中事件A 出现的次数则上述“n 重伯努利试验中事件A 出现k 次”这个事件就可以简单地记作(ξ=k),从而有P(ξ=k)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n p k q n-k.并且ξ所有可能取到的数值也就是试验中事件A 可能出现的次数:0,1,…,n.在另一些例子中,随机事件与实数之间虽然没有上述那种“自然的”联系,但是我们常常可以人为地给它们建立起一个对应关系.例如抛掷一枚均匀的硬币,可能出现正面,也可能出现反面,现在约定若试验结果出现正面,令η=1,若试验结果出现反面,令η=0,这时就有:{试验结果出现正面}＝(η=1),{试验结果出现反面}＝(η=0).在上述例子中,对每一个试验结果ω,自然地或人为地对应着一个实数X(ω),这与高等数学中熟知的“函数”概念本质上是一致的.只不过在函数概念中,函数f(x)的自变量是实数x,而在X(ω)的自变量是样本点ω.因为对每一个试验结果ω,都有实数X(ω)与之对应,所以,X(ω)的定义域是样本空间,显然值域是实数域.显然，一般来讲此处的实数X 值将随ω的不同而变换，它的值因ω的随机性而具有随机性，我们称这种取值具有随机性的变量为随机变量。
高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布课件
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/12
最新中小学教学课件
4
谢谢欣赏！
2019/7/12
最新中小学教学课件
5
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
12,4 分(理)
19(1)，7 分(理) 12,4 分(文)
19(1)，7 分(理) 12,4 分(文)
高中数学《概率、随机变量及其分布列》课件
23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
1
1
A.12
B.14
1
1
C.15
D.18
18
(2)(2019·雅礼中学模拟)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点， 在正方形ABCD内随机取一个点Q，则点Q取自阴影部分的概率等于( )
A.25
B.34
2
真题感悟
1.(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从
下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和“阴爻“— —”，如图恰有3个阳爻的概率是( )
5
11
A.16
B.32
C.2312
D.1116
3
解析 在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数 n＝26＝64，恰有 3 个阳爻的基本事 件数为 C36＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有 3 个阳爻的概率 p＝2604＝156. 故选 A. 答案 A
－
P(A)＝1－P(A).
14
2.独立重复试验与二项分布 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次 的概率为 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.用 X 表示事件 A 在 n 次独立重复试 验中发生的次数，则 X 服从二项分布，即 X～B(n，p)且 P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k. 3.超几何分布
7
4.(2019·全国Ⅰ卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有 效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后， 再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停 止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施 以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈 或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲 药的得分记为X.