概率论与数理统计 随机变量及其分布函数

1 3

1 4

1 6

3 4
当 x 1.5 时，在 (, x] 内含有X的全部取
值
4 2.5
2 1.5
F ( x) P( X x) P( X 4) P( X 2.5)
综上所述：
P( X 2) P( X 1.5)

1 3

1 4

1 6
(
x0

0)

F
(
x0
)
3、F(-∞)=0, F(+∞)=1
图像左右趋势
4、F(x)是单调不减函数,即对任意实数x1,x2(x1<x2),
有F(x1)≤ F(x2) ;
图像自左至右呈上升
5、P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1)
利用分布函数计算事件概率
【例1】设随机变量X的分布函数为 F(x) A B arctan x( x ),
试求 (1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1]中的概率。
〖解〗（1）由
F () lim F ( x) 1 x
F() lim ( A B arctan x) x
F() lim ( A B arctan x)
x
解得：
A 1,B 1.
不发芽, 发芽.
1, 次品,
X

X
(
)


1,
正品.
由于试验的结果 是随机的，因而 X=X(ω)的取值 也是随机的，所 以将X=X(ω)称 为随机变量！
一、随机变量 Random variable
为随机变量,记为 R.V.X.(random variable X)。
时，
4
在 (, x] 内含X的2个取值
2.5
2 1.5
F ( x) P( X x) P( X 4) P( X 2.5)

1 3

1 4

7 12
当 2 x 1.5
时，
4
在 (, x] 内含X的3个取值
2.5
2 1.5
F ( x) P( X x) P( X 4) P( X 2.5) P( X 2)
解： 当 x 4 时，在 (, x] 内不含X的任何取
值
4 2.5
2 1.5
F(x) P(X x) 0
当 4 x 2.5
时，
在 (, x] 内含X的一个取值
4 2.5
2 1.5

F(x)

P(X

x)

P(X

4)

1 3
当 2.5 x 2
pk PX xk (k 1,2, )
Discrete Distribution
称为离散型随机变量 X 的概率分布(分布律或分布列).
注意：离散型随机变量 X 的概率分布(分布律或分布列)
与分布函数 F ( x) P( X x) 不是一回事！
分布列的表示方法:
数列:
pk PX xk (k 1,2, );
Chapter 2
随机变量及其分布
Random variable and Distribution
目录CONTENTS
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
§2.1 随机变量及其分布函数 Random
variable and distribution 引例:
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以
lim
x0
F(x)

lim (ae x
x0

b)

a

b

0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
故
a 1, b 1
3、F(-∞)=0, F(+∞)=1
ab
若连续有放回的取 n 次，那么这是一个 n 重贝努利试验。
注意：不放回抽样取 n 次，不是 n 重贝努利试验！
问题：n 重贝努利试验服从什么分布？
假设在 n 重贝努利试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数
那么 X 是一个离散型随机变量，其可能取值 0,1,2…，
为求：P(X=k)=? k= 0,1,2,….,n
§2.1 离散型随机变量 Discrete random variable
一、概念
定义1 若随机变量 X 的全部可能取值为有限个或可列无限
个可能值 x1, x2 , , xn ,则称 X 为离散型随机变量.
定义2
设离散型随机变量X所有可能取值为 x1, x2 , , xn,
且X取各个可能值的概率为
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
1 , x 1
1
1-p
0
1
x
设随机试验E的只有两个样本点： A, A ，其中 P( A) p(0 ห้องสมุดไป่ตู้ p 1),
则称这种试验为贝努利试验(Bernoulli experiment)。 显然，贝努利试验服从（0 - 1）分布
2
于是，分布函数为：
F(x) 1 1 arctan x( x ).
2
【例1】设随机变量X的分布函数为 F(x) A B arctan x( x ),
试求 (1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1]中的概率。
解：已知分布函数为： F (x) 1 1 arctan x( x ).
2
（2）由分布函数计算事件概率公式得：
P(a X b) F(b) F(a)
P{1 X 1} F (1) F (1)


1 2

1



4



1 2

1


(

4
)

1. 2
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
解：
Q
4c 3c 2c 3c 1

c

1 12
所以有： X 4 2.5 2 1.5
pk 1 3 1 4 1 6 1 4
X 4 2.5 2 1.5
pk 1 3 1 4 1 6 1 4
求：② 分布函数 F(x)
F(x) P(X x)
③ 概率 P( X 1) P(3 X 2) x
E1：记录一个路口在一段时间内经过的车辆数
Ω1={0，1，2，3，……} E2：扔一个骰子，出现的点数
Ω2={1，2，3，4，5，6}
E3：检验灯泡的寿命
Ω3={t|t≥0}
E4：在土地里种下一粒种子。
随机试验的结果
Ω4={发芽，不发芽}
虽然不是数量，
但是可以将它数
E5：在工厂生产的零件中任取一件。 量化！
二、分布函数 Distribution function
②取值或取值范围的概率？ 例如：将一枚硬币连抛三次，观察正反面向上的情况。
设 X={正面向上的次数}
0, TTT
二、分布函数 Distribution function
对于任意区间（a，b] (, b] (, a]
P(a X b) P((, b] (, a])
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3
P{ X 2} P( A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 )
P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 )P( A3 ) P( A1 )P( A2 )P( A3 ) P( A1 )P( A2 )P( A3 ) C32 p2 (1 p)32
Nonnegativity Normalization
Additivity
随机点 X
x 实数点
x
注 意 Attention
对离散随机变量的分布函数 distribution function 应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
二、分布函数 Distribution function
分布函数 F (x) P{X x}
随机点 X
x 实数点
x
利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性质:
1、0≤F(x)≤1;
图像值域范围
2、F(x) 在其间断点处是右连续. 间断点右连续(离散型)
lim
x x0 0
F
(
x)

F
Ω5={正品，次品}
§2.1 随机变量及 其分布函数
E4：在土地里种下一粒种子。
Ω4={发芽，不发芽}
E5：在工厂生产的零件中任取一件。 Ω5={正品，次品}
随机试验的结果 虽然不是数量， 但是可以将它数 量化！
在样本空间上定义一个集合函数 X X (),
X

X
(
)

0, 1,
n
假设在 n 重贝努利试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数
那么 X 是一个离散型随机变量，其可能取值 0,1,2…，