韦达定理的运用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中重要的定理之一，通过证明和相关推导可以帮助学生理解其原理。
在解决高中数学题目中，韦达定理的应用不仅能够简化计算，还能够提高解题效率。
特别是在几何问题中，利用韦达定理可以更快速地找到解答。
韦达定理与其他数学定理之间也存在联系，通过举例说明可以更好地理解其实际应用。
总结来看，韦达定理在高中数学学习中扮演着重要的角色，展望未来，它仍有着广阔的应用前景，将继续为学生提供帮助和启发。
【关键词】韦达定理、高中数学、引言、正文、结论、证明、推导、应用、几何问题、联系、实际应用、作用、应用前景1. 引言1.1 介绍韦达定理的基本概念韦达定理是代数学中一个非常重要的定理，它可以用来解决关于多项式方程的根的问题。
韦达定理由法国数学家韦达于16世纪提出，至今仍然被广泛应用于数学领域。
韦达定理的核心思想是：对于一个n 次多项式方程，它的n个根之和等于多项式方程的一次项系数的相反数，而且这n个根两两之间的乘积等于多项式方程的二次项系数的相反数。
具体来说，对于一个n次多项式方程\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\]其n个根分别为\(x_1, x_2, ..., x_n\)，则有\[x_1 + x_2 + ... + x_n = - \frac{a_{n-1}}{a_n}\]\[x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}\]韦达定理在高中数学学习中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解多项式方程的根与系数之间的关系，从而更加深入地理解代数学的相关知识。
通过学习韦达定理，学生可以更加灵活地解决各种数学问题，为以后的学习打下坚实的基础。
1.2 韦达定理在高中数学学习中的重要性在高中教学中，韦达定理的学习不仅有助于拓展学生的数学思维，更可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
利用韦达定理求值上洋葱数学
利用韦达定理求值上洋葱数学（实用版）目录1.韦达定理简介2.韦达定理的应用3.利用韦达定理求值上洋葱数学的例子4.总结正文一、韦达定理简介韦达定理是数学中的一个重要定理，它描述了一元二次方程中根与系数之间的关系。
这个定理最早由法国数学家弗朗索瓦·韦达在 1615 年提出，因此被称为韦达定理。
根据韦达定理，一元二次方程 ax^2+bx+c=0（其中 a≠0）的两个实数根 x1 和 x2 满足以下关系：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a二、韦达定理的应用韦达定理在数学中有广泛的应用，例如求解分式方程、求解参数方程、求解多项式方程等。
下面我们通过一个例子来说明如何利用韦达定理求解分式方程。
例：求解分式方程 x/(x+1) + 2/(x-1) = 3解：将分式方程两边通分并化简，得到：x(x-1) + 2(x+1) = 3(x+1)(x-1)展开并整理得到：x^2 - x + 2 = 3x^2 - 3移项并合并同类项，得到：2x^2 - x - 2 = 0这是一个一元二次方程，我们可以利用韦达定理求解。
根据韦达定理，我们有：x1 + x2 = 1/2x1 * x2 = -1解这个方程组，得到：x1 = 1, x2 = -1/2因此，原分式方程的解为：x = 1 或 x = -1/2三、利用韦达定理求值上洋葱数学的例子上洋葱数学是一个在线数学问题求解平台，它提供了大量的数学题目供用户学习和练习。
下面我们通过一个例子来说明如何利用韦达定理在上洋葱数学求解问题。
例：已知一元二次方程 x^2 - 3x + 2 = 0 的两个实数根为 x1 和 x2，求 x1^2 + x2^2 的值。
解：根据韦达定理，我们有：x1 + x2 = 3x1 * x2 = 2我们需要求解 x1^2 + x2^2，根据平方差公式，我们有：x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1 * x2代入已知的 x1 + x2 和 x1 * x2 的值，得到：x1^2 + x2^2 = (3)^2 - 2 * 2 = 9 - 4 = 5因此，x1^2 + x2^2 的值为 5。
魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题
魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题湖北省竹溪县第一高级中学442300韦达定理是法国数学家韦达最早发现的关于代数方程的根与系数之间的一种关系。
中学阶段，我们学一元二次方程中根和系数关系的重要定理。
它第一次出现在人教版九年级数学上册二十一章——《2.4一元二次方程的根与系数的关系》一节中，为选学内容。
在实数范围内应用韦达定理，必须注意判别式0，a0这两个隐含条件是否成立。
但纵观高中阶段的考试考卷，不难发现，关于韦达定理的题目屡屡出现，包括代数和平面解析几何两个方面，而且我们认识到巧用韦达定理解题的强大作用，也体会到韦达定理的巧妙之处。
下面从两个方面介绍巧用韦达定理解决高中数学的实际问题。
一、在代数方面的应用韦达定理用得最多的就是已知一元二次方程，求根之间的关系；或者由根之间的关系，构建一元二次方程，据此解题。
在高中阶段，用的地方很多，下面从数列、三角函数、解三角形和有关证明几个方面进行说明。
1.已知一元二次方程，求根（或根之间的关系）。
例1：等比数列a n中，a1和a12是方程2x25x10的两个根，求a4.a9的值。
剖析：由于等差数列的性质和等差数列的性质在与形式上正好与韦达定理有相似之处，故有的题会与之结合，这也体现了该定理在解答数列相关题时的巧妙之处。
2.已知一元二次方程的两根，构建一元二次方程。
剖剖析：次题展示了韦达定理在解三角函数中的应用。
此处sin cos与sin.cos也与韦达定理在形式上一致，故可以把它们看做整体构建为一个一元二次方程，便于求解。
在两角和差的正切公式处，tan tan和tan tan也满足韦达定理的形式，所以此处也可以将两者巧妙地结合在一起考查。
剖析：因余弦定理含有两边平方和的关系，将余弦定理转换后与韦达定理有联系之处，这就启发我们构建关于未知数的一元二次方程，从而求得a、b、c的值。
此题展示了韦达定理在解三角形时，与余弦定理的巧妙结合。
剖析：该题证明过程中，也巧妙的运用了构建一元二次方程的方法，结合判别式来进行求解证明。
韦达定理的运用
韦达定理的运用咱今儿个就来唠唠韦达定理这玩意儿，别看它名字听着高大上，其实用起来简单得不得了，就跟你平时算账似的。
先说说韦达定理是个啥吧。
简单来说，它就是告诉你，如果你有两个数相加等于一个定值，那你这俩数的乘积也有一个定数。
听着是不是有点绕？别急，咱慢慢来。
打个比方，你去菜市场买菜，买了西红柿和黄瓜，花了十块钱。
这时候你要是问我，这俩菜的价钱分别是多少？只要知道它们加起来是十块，咱就能用韦达定理来算。
比如说，你买的西红柿和黄瓜加起来是十块钱，而它们的乘积是24块钱。
这时候你可能会说：“哎呀，这俩怎么可能乘起来是24呢？”别急着否定，咱先用韦达定理来算算看。
假设西红柿是x块钱，黄瓜是y块钱，那x+y=10，xy=24。
这时候韦达定理就派上用场了。
韦达定理告诉我们，x和y分别是方程的根，也就是说，x和y是方程x^2-10x+24=0的解。
听着是不是有点像数学老师在讲课？别怕，咱再来个更接地气的比喻。
你去买菜的时候，卖菜的大妈说：“小伙子，你买的西红柿和黄瓜加起来是十块钱，乘起来是24块钱。
”你一听，立马就明白了，这不就是韦达定理嘛？那你赶紧在心里算算，x和y分别是多少呢？用韦达定理来算，x和y的和是10，乘积是24，那x和y就是方程的根。
解这个方程，x 和y分别是6和4，或者是4和6。
也就是说，你买的西红柿可能是6块钱，黄瓜是4块钱，或者反过来，黄瓜6块钱，西红柿4块钱。
你看，韦达定理是不是简单得像在菜市场算账一样？这时候你可能在心里想，这玩意儿有什么用？别急，咱接着说。
你要是去考试，碰到这种题型，韦达定理就是你的救命稻草了。
考场上时间紧迫，你要是能迅速用韦达定理把题目给解了，那可不就是如虎添翼嘛？再举个例子，你在学校里学方程，碰到一个二次方程，x^2+bx+c=0，你知道b和c 的值，但是不知道x的值。
这时候，韦达定理就告诉你，x的两个根的和是-b，乘积是c。
是不是一下子就把问题给解决了？你可能会说：“这不就是把方程给解了嘛，有什么稀奇的？”可别小看这个定理，它能帮你省下不少时间和脑细胞。
一元二次方程韦达定理的应用条件
一元二次方程韦达定理的应用条件一元二次方程是高中数学中非常重要的一个知识点，而韦达定理则是解一元二次方程的一种常用方法。
了解一元二次方程韦达定理的应用条件对于提高数学解题的效率和准确性非常有帮助。
在本文中，我将详细介绍一元二次方程韦达定理的应用条件，并结合具体的数学例子进行讲解，以便你更全面地理解这一知识点。
一元二次方程通常具有如下形式：\[ax^2 + bx + c = 0\]其中，\(a\)、\(b\)、\(c\)为已知常数，\(x\)为未知数。
而韦达定理是指，对于一元二次方程：\[ax^2 + bx + c = 0\]其根可以表示为：\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]下面我们来具体看一下一元二次方程韦达定理的应用条件。
对于一元二次方程来说，应当满足以下条件：1. 方程的二次项系数\(a\)不为0，即\(a \neq 0\)；2. 方程的根是实数根或者虚数根（复数形式），即\(\Delta = b^2 - 4ac \geq 0\)或\(\Delta = b^2 - 4ac < 0\)；3. 方程的根是有理数根或者实根，即\(\frac{b^2 - 4ac}{a}\)是一个平方数或者一个完全平方数，或者判别式\(\Delta\)为完全平方数。
举个例子，对于一元二次方程 \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)，我们可以应用韦达定理进行求解。
首先根据公式 \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) 和\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)，代入系数，可以求得该方程的两个根。
这样，我们就可以利用韦达定理来快速求解一元二次方程的根。
了解一元二次方程韦达定理的应用条件对于解题非常重要。
只有在满足特定条件的情况下，我们才能够有效地使用韦达定理来求解一元二次方程的根。
希望通过本文的讲解，你能更加深入地理解一元二次方程韦达定理的应用条件，并在实际解题中灵活运用。
高次方程的韦达定理
高次方程的韦达定理摘要：I.引言- 简要介绍高次方程和韦达定理II.韦达定理的推导- 推导韦达定理的公式- 韦达定理的符号表示III.韦达定理的应用- 举例说明韦达定理在实际问题中的应用- 讨论韦达定理的限制和局限性IV.总结- 总结韦达定理的重要性和意义正文：I.引言高次方程是指最高次数为n 的方程，其中n 是正整数。
在代数学中，高次方程是一个重要的研究对象，它在解决实际问题中有广泛的应用。
韦达定理是关于高次方程的一个重要定理，它可以用来求解高次方程的根。
II.韦达定理的推导韦达定理的推导过程相对复杂，需要运用代数中的多项式除法、因式分解等知识。
在这里，我们简单介绍一下韦达定理的公式和符号表示。
设一元n 次方程为：a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(1)x + a(0) = 0根据韦达定理，方程的n 个根x1、x2、...、xn 满足以下关系：x1 + x2 + ...+ xn = -a(n-1)/a(n)x1x2 + x1x3 + ...+ x(n-1)xn = a(n-2)/a(n)x1x2x3 + ...+ x(n-2)x(n-1)xn = (-1)^(n-1)a(0)/a(n)III.韦达定理的应用韦达定理在解决实际问题中有着广泛的应用，例如在求解多项式的根、研究代数曲线和代数曲面的性质等方面。
下面我们举一个例子来说明韦达定理的应用。
例：求解方程x^3 - 6x^2 + 9x - 2 = 0 的根。
根据韦达定理，我们可以先求出方程的系数：a(3) = 1, a(2) = -6, a(1) = 9, a(0) = -2然后，我们可以根据韦达定理的公式求解方程的根：x1 + x2 + x3 = -a(2)/a(3) = 6/1 = 6x1x2 + x1x3 + x2x3 = a(1)/a(3) = 9/1 = 9x1x2x3 = (-1)^(3-1)a(0)/a(3) = -2/1 = -2通过解这个方程组，我们可以得到方程的三个根：x1 = 2, x2 = 3, x3 = 1IV.总结韦达定理是代数学中的一个重要定理，它可以用来求解高次方程的根。
韦达定理应用(资料)
韦达定理的运用一.典范例题例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4,求另一个根.解：设另一个根为x1,则相加,得x例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1,x2,求作一个新的一元二次方程,使它的两根分离为和.解：∵又∴代入得,∴新方程为例3：断定是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？解：∵二次实数方程实根共轭,∴若是,则另一根为∴,.∴认为根的一元二次方程即为.例4：解方程组解：设∴.∴A=5. ∴xy=5又xy=6.∴解方程组∴可解得例5：已知Rt ABC中,两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m （m－2）=0的两根,且斜边长为13,求S的值解：无妨设斜边为C=13,两条直角边为a,b,则2.又a,b 为方程两根.∴ab=4m（m2）∴S但a,b为实数且∴∴∴m=5或6当m=6时,∴m=5∴S.例6：M为何值时,方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根①均为正数②均为负数③一个正数,一个负数④一根为零⑤互为倒数解：①∵∴m>7②∵∴不消失如许的情形.③∴m<7④∴m=7⑤∴不消失这种情形【模仿试题】（答题时光：30分钟）1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根,则m＋n等于2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋,可求得p= ,q=3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48,则m的值为（）A．±8 B.8 C.－8 D.±44. 已知两个数的和比a少5,这两个数的积比a多3,则a为何值时,这两个数相等？5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根,求a的取值规模.6. 已知方程组的两组解分离为,,求代数式a1b2+a2b1的值.7. ABC中,AB=AC, A,B,C的对边分离为a,b,c,已知a=3,b 和c是关于x 的方程x＋mx＋2－m=0的两个实数根,求ABC的周长.【试题答案】1. －12. 4,13. A4. a=1或135. －3≤a≤－2 提醒：分a=－3以及a≠－3评论辩论求解6. 13例 1 已知p＋q＝198,求方程x2＋px＋q＝0的整数根．(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1.x2,无妨设x1≤x2．由韦达定理,得x1＋x2＝－p,x1x2＝q．于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198,即x1x2－x1－x2＋1＝199．∴(x1－1)(x2－1)＝199．留意到x1－1.x2－1均为整数,解得x1＝2,x2＝200;x1＝－198,x2＝0．例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数,求m的值．解：设方程的两个正整数根为x1.x2,且无妨设x1≤x2．由韦达定理得x1＋x2＝12－m,x1x2＝m－1．于是x1x2＋x1＋x2＝11,即(x1＋1)(x2＋1)＝12．∵x1.x2为正整数,解得x1＝1,x2＝5;x1＝2,x2＝3．故有m＝6或7．例 3 求实数k,使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．解：若k＝0,得x＝1,即k＝0相符请求．若k≠0,设二次方程的两个整数根为x1.x2,由韦达定理得∴x1x2－x1－x2＝2,(x1－1)(x2－1)＝3．因为x1－1.x2－1均为整数,所以例 4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α,0). (β,0)两点,且α＞1＞β,求证：p＋q＞1．(’97初中数学比赛试题)证实：由题意,可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α.β．由韦达定理得α＋β＝p,αβ＝－q．于是p＋q＝α＋β－αβ,＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．一元二次方程根的判别式.判别式与根的个数关系.判别式与根.韦达定理及其逆定理〖大纲领求〗1.控制一元二次方程根的判别式,会断定常数系数一元二次方程根的情形.对含有字母系数的由一元二次方程,会依据字母的取值规模断定根的情形,也会依据根的情形肯定字母的取值规模;2.控制韦达定理及其简略的运用;3.会在实数规模内把二次三项式分化因式;4.会运用一元二次方程的根的判别式和韦达定理剖析解决一些简略的分解性问题. 内容剖析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b24ac△＞0时,方程有两个不相等的实数根当△＝0时,方程有两个相等的实数根, 当△＜0时,方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)假如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=b/a,x1x2=c/a(2)假如方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=P,x1x2=q(3)以x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2(x1+x2)x+x1x2=0． 3.二次三项式的因式分化(公式法) 在分化二次三项式ax2+bx+c的因式时,假如可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2,那么ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)．〖考核重点与罕有题型〗1.运用根的判别式判别一元二次方程根的情形,有关试题出如今选择题或填空题中,如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中,假如a<0,那么根的情形是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不克不及肯定2.运用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中测验题中消失的频率异常高,多为选择题或填空题,如：设x1,x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根,则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C） 6 （D） 3 3．在中测验题中常消失有关根的判别式.根与系数关系的分解解答题.在近三年试题中又消失了有关的凋谢摸索型试题,考核了考生剖析问题.解决问题的才能.考核题型1．关于x的方程ax2－2x＋1＝0中,假如a<0,那么根的情形是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不克不及肯定2．设x1,x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根,则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C） 6 （D） 3 3．下列方程中,有两个相等的实数根的是（）（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2√5 x（C）√3 x2－√2 x+2=0（D）3x2－2√6 x+1=0 4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A） y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=0 5．假如x1,x2是两个不相等实数,且知足x12－2x1＝1,x22－2x2＝1, 那么x1•x2等于（）（A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1 6．假如一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根,那么k＝7．假如关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k的取值规模是8．已知x1,x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根,则x1＋x2＝,x1•x2＝ ,（x1－x2）2＝ 9．若关于x的方程(m2－2)x2－(m －2)x＋1＝0的两个根互为倒数,则m＝二.考点练习：1. 不解方程,判别下列方程根的情形：（1）x2－x=5 (2)9x2－6√2 +2=0 (3)x2－x+2=02. 当m= 时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根; 当m= 时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根;3. 已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0,如有一个根为0,则m= ,这时方程的另一个根是 ;若两根之和为－3/5 ,则m= ,这时方程的两个根为 . 4. 已知3－2 是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m的值.5. 求证：方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根.6. 求作一个一元二次方程使它的两根分离是1－√5 和1+√5 .7. 设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根,运用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2 （3）x12+ x1x2+2 x1 解题指点1. 假如x2－2(m+1)x+m2+5是一个完整平方法,则m= ;2. 方程2x(mx－4)=x2－6没有实数根,则最小的整数m= ;3. 已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)两根的和与两根的积相等,则m= ;4. 设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20,则k值为;5. 设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2,不解方程,求下列各式的值: (1) x12+x22 (2)x1－x2 （3）√x1 ＋√x2 ＊（4）x1x22＋12 x1＊6.实数s.t分离知足方程19s2＋99s＋1＝0和且19＋99t＋t2＝0求代数式(st＋4s＋1)/t 的值.7.已知a是实数,且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x2+2ax+1－(1/2) (a2x2－a2－1)=0有无实根？8.求证：不管k为何实数,关于x的式子(x－1)(x－2)－k2都可以分化成两个一次因式的积. 9．实数K在什么规模取值时,方程kx2＋2（k－1）x－（K－1）＝0有实数正根？自力练习（一）1. 不解方程,请判别下列方程根的情形;(1)2t2+3t－4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1)－7u=0, ;2. 若方程x2－(2m－1)x+m2+1=0有实数根,则m的取值规模是 ;3. 一元二次方程x2+px+q=0两个根分离是2+√3 和2－√3 ,则p= ,q= ;4. 已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是,m= ;5. 若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数,那么m的值是 ;6. m,n是关于x 的方程x2(2m1)x+m2+1=0的两个实数根,则代数式mn= .7. 已知关于x的方程x2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;8. 假如α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根,运用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分离等于α+(1/β) 和β+(1/α) ;9. 已知a,b,c是三角形的三边长,且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x2－(4k+1)x+2k2－1可因式分化.11.已知关于X的一元二次方程m2x2＋2（3－m）x＋1＝0的两实数根为α,β,若s＝1/α ＋1/β ,求s的取值规模. 自力练习（二）1. 已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;2. 假如关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根雷同,则m的值为;3. 已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2又1/2 ,则k= ;4. 若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3,则a= ;5. 方程4x2－2(ab)x－ab=0的根的判别式的值是;6. 若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为;7. 已知p<0,q<0,则一元二次方程x2+px+q=0的根的情形是 ;8. 以方程x2－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9. 设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 1/x1 －1/x210．m取什么值时,方程2x2－(4m+1)x+2m2－1=0 （1）有两个不相等的实数根,（2）有两个相等的实数根,（3）没有实数根; 11．设方程x2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值. 12．是否消失实数k,使关于x的方程9x2－(4k－7)x－6k2=0的两个实根x1,x2,知足｜x1/x2 ｜＝3/2 ,假如消失,试求出所有知足前提的k的值,假如不消失,请解释来由.。
运用三次方程的韦达定理解题
运用三次方程的韦达定理解题
韦达定理（Vieta's Theorem）是一种有趣的数学理论，它描述了一
般三次方程在解析解方面的强大功能。
它主要说明了三次方程两个根
之和以及根与一常数的乘积之和是一定的。
一、定义
韦达定理是指对于三次方程ax³+bx²+cx+d=0，其根为r1，r2，r3，则
r1+r2+r3= -b/a，r1r2r3=-d/a。
其中a,b,c,d不全为零，且a≠0。
二、运用
（1）利用韦达定理来求解三次方程的有理根
首先，算出三次方程的a，b，c，d，由韦达定理可得，r1+r2+r3= -b/a，r1r2r3=-d/a，由这两个公式可以得到三个关于x的线性方程，求解这三
个方程，可以求解出三个根以及有理根。
（2）利用韦达定理验证给定的解是否正确
若给定某三次方程的解r1，r2，r3的值，则可以利用韦达定理来检验
其正确与否，即求出r1+r2+r3，r1r2r3的值，对比其是否符合韦达定理
的关系式即可。
三、注意事项
（1）要求a≠0，即三次方程的系数不能全为零，如果a=0，则不符合
韦达定理的要求，无法应用这个定理来解决三次方程；
（2）若三次方程有重根，即有两个根相同，则运用韦达定理会出现数
学上的问题，此时可以利用其它方法来求解三次方程。
四、总结
韦达定理是一个有效求解三次方程的定理，它不仅可用来求解有理根，也可以用来检验给定的根是否符合三次方程的条件。
但是，有时候会
出现三次方程的系数a等于0以及根中存在相等的情况，此时韦达定理就无法使用了，所以在应用韦达定理时要注意以上两种特殊情况的出现。
韦达定理一元三次方程根的关系
韦达定理一元三次方程根的关系韦达定理是解一元三次方程根的公式之一，它可以帮助我们求解形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的一元三次方程的根。
韦达定理的应用可以使得我们更深入地理解一元三次方程的根之间的关系，从而有助于我们在数学领域更灵活地进行推理和运用。
一、韦达定理的数学表达式我们先来看一下韦达定理的数学表达式。
对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，我们可以根据韦达定理的公式进行求解：1. 设该方程的三个实数根分别为x1、x2、x3，则有x1 + x2 + x3 = -b/a。
2. 且有x1*x2 + x2*x3 + x3*x1 = c/a。
3. 且有x1*x2*x3 = -d/a。
二、韦达定理的深入理解从韦达定理的公式中，我们可以深入地理解一元三次方程根之间的关系。
x1 + x2 + x3 = -b/a告诉我们方程根之和与系数之间的关系。
x1*x2 + x2*x3 + x3*x1 = c/a告诉我们方程根的两两乘积与系数之间的关系。
x1*x2*x3 = -d/a告诉我们方程根的乘积与系数之间的关系。
韦达定理为我们提供了一种直观而深刻的方式来理解一元三次方程根之间的联系，为我们在数学推理中提供了便利。
三、个人观点和理解对于韦达定理，我个人认为它不仅仅是一种求解一元三次方程根的工具，更是一种深入理解数学规律的方法。
通过运用韦达定理，我们可以更全面地把握一元三次方程根的性质，加深对数学知识的理解。
韦达定理的应用也为我们解决实际问题提供了便利，使得我们可以更灵活地运用数学知识来解决现实中的复杂情况。
总结回顾通过本文的阐述，我们对韦达定理有了更加深入和全面的理解。
我们学习了韦达定理的数学表达式，以及其对一元三次方程根之间关系的深入解读。
我也共享了我对韦达定理的个人观点和理解。
通过对韦达定理的全面探讨，相信我们对数学中的一元三次方程有了更加深刻和灵活的理解。
希望本文可以帮助你更好地理解韦达定理，并在数学领域的学习和应用中有所帮助。
圆锥曲线中韦达定理的运用技巧
2x1x2
36 15
，将韦达定理代入，得k
2.
谢谢观看！~
,①两边乘以
x1 得 x1x2
3 5
x12
,即
6 1 2k2
3 5
(
1
5k 2k
2
)2
,解得
解方程,然后构造等式 k 2 . x1x2=x12来建立方程
求解参数.
例题 已知圆 C:(-1,0),定点 A(1,0),M 为圆上一动点.
(2)若经过 F(0,2)的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 G,H(点
线相切，且有一个公共点；∆<0：方程没有实数根,直线与圆
锥曲线相离，没有公共点.
另外，当二次项为零时，方程就是一次方程，此时有一解，
无解或无数个解的情况,对应着相交，重合与相离.
一、复习
一元二次方程：ax2+bx+c=0(a 0)
3.判别式∆ 0 时：
xx11
x2 x2
0 0
方程有两个正实数根；
与抛物线 C 交于不同的两点 M,N，过点 M 作 x 轴的垂线分
别与直线 OP,ON 交于点 A,B，其中 O 为原点.
(1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A 为线段 BM 的中点.
y
P
M
A
OF
x
B
N
【解】设 M(x1，y1),N(x2，y2),因 P(1,1),
y
,
y22
x2 , y12
x1
y2 x2
1 , x1 y2 y1
y1
韦达定理的 两个式子相
所以
y2 x2
x1
1 y2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
1
一元二次方程跟与系数关系（韦达定理）的应用
一 教材分析
本节教学内容为“韦达定理的应用”，此内容是学生学习“一元二次方的根与系数的
关系”中解决一些简单问题的重要方法。韦达定理联系了方程根与系数的关系，是学
生在解决应用问题中的重要工具，具有广泛的应用价值，根据教材内容，由学生已
知的认知结构及原由的知识水平，制定如下教学目标:
二 教学目标
1、巩固上一节学习的韦达定理，并熟练掌握韦达定理的应用。
2、提高学生综合应用能力
三 教学重难点
重点:运用韦达定理解决方程中的问题
难点:如何运用韦达定理
四 教学过程
(一 ) 回顾旧知，探索新知
上节课我们学习了韦达定理，我们回忆一下什么是韦达定理?
如果)0(02acbxax的两个根是21,xx
那么acxxabxx2121,
{老师:由韦达定理我们可知，韦达定理表示方程的根与系数的关系，如果在方
程中遇到需要求解根的情况，我们是否能用韦达定理来解决呢?今天我们将来
探讨这个问题。)
(二) 举例分析
例 已知方程0652kxx的一根是2，求它的另一根及k的值。
请同学们分析解题方法:
思路:应用解方程的方法，带入法
解法一:把X=2代入方程求的K=-7
把K=-7代入方程:06752xx
运用求根公式公式解得53,221xx
提问:同学们还有没有其它方法呢?
启发学生，我们已知方程一根，求另一根，我们否能用韦达定理建立一个关系，求解方程。
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
2
解法二:设方程的两根为21,xx，则21,2xx是未知数
用韦达定理建立关系式53,56222xx
7,53,27,52212kxx
kkx
对比分析，第二种方法更加简单
总结:在解方程的根时，利用韦达定理会使求解过程更为简单，且不用解方程，直接求某
些代数式的值
例2 不解方程，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的
（1）平方和；（2）倒数和
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
3
方法小结:
(1)运用韦达定理求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用
2121
,xxxx
的代数式表示。
(2)格式、步骤要求规范: ①将方程的两根设为。 ②求出2121,xxxx的值 。 ③将
所求代数式用2121,xxxx的代数式表示 。 ④ 将2121,xxxx的值代人并求值。
三 综合运用 巩固新知
1、求一个一元二次方程，使它的两根分别是
解：
2、设21,xx是方程03422xx的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
(1)1121xx
(2)221xx
(3)2112xxxx
3 已知方程032mxx的两根差的平方是17，求M的值
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
4
板书设计
韦达定理的应用
回顾 …… …… 例题分析 1…… 2…… 3…… 总结…… 练习
1……
……
2……
3……