浅谈韦达定理在解析几何中的应用
韦达定理在解析几何中的应用
韦达定理在解析几何中的应用陈历强一，求弦长在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。
求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。
能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式：∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +⋅=)1](4)[(221221k x x x x +-+或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k +⋅ =)11](4)[(221221ky y y y +-+ ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。
请看下面的例子：例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。
解：易知直线的方程为y=2(x-2p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x-2p ) 消去x 得y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。
由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d=25p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________.分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得x 1+x 2=14162+k k = 4得k=21.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数例3,曲线 y = ax 2(a>0)与曲线 y 2+3= x 2+4y 交点的个数应是___________个. 分析：联立方程组y=ax 2(a>0)与y 2+3=x 2+4y.消去x 得y 2-(1/a+4)y+3=0(a>0) 因为 ⎪⎩⎪⎨⎧>=>+=+>>-+=∆030/14)0(012)4/1(21212y y a y y a a 所以,方程有两个不等正实根。
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中重要的定理之一，通过证明和相关推导可以帮助学生理解其原理。
在解决高中数学题目中，韦达定理的应用不仅能够简化计算，还能够提高解题效率。
特别是在几何问题中，利用韦达定理可以更快速地找到解答。
韦达定理与其他数学定理之间也存在联系，通过举例说明可以更好地理解其实际应用。
总结来看，韦达定理在高中数学学习中扮演着重要的角色，展望未来，它仍有着广阔的应用前景，将继续为学生提供帮助和启发。
【关键词】韦达定理、高中数学、引言、正文、结论、证明、推导、应用、几何问题、联系、实际应用、作用、应用前景1. 引言1.1 介绍韦达定理的基本概念韦达定理是代数学中一个非常重要的定理，它可以用来解决关于多项式方程的根的问题。
韦达定理由法国数学家韦达于16世纪提出，至今仍然被广泛应用于数学领域。
韦达定理的核心思想是：对于一个n 次多项式方程，它的n个根之和等于多项式方程的一次项系数的相反数，而且这n个根两两之间的乘积等于多项式方程的二次项系数的相反数。
具体来说，对于一个n次多项式方程\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\]其n个根分别为\(x_1, x_2, ..., x_n\)，则有\[x_1 + x_2 + ... + x_n = - \frac{a_{n-1}}{a_n}\]\[x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}\]韦达定理在高中数学学习中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解多项式方程的根与系数之间的关系，从而更加深入地理解代数学的相关知识。
通过学习韦达定理，学生可以更加灵活地解决各种数学问题，为以后的学习打下坚实的基础。
1.2 韦达定理在高中数学学习中的重要性在高中教学中，韦达定理的学习不仅有助于拓展学生的数学思维，更可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
浅析韦达定理在解析几何中的应用
浅析韦达定理在解析几何中的应用
韦达定理，即大家熟知的“三角形内任意一点到三角形三边的距离之和等于周长的一半”，是著名的利维古斯数学家十六世纪末提出的定理，他把它称为定理，因为他受益最大，因此被命名为韦达定理。
它是解析几何中一个重要的定理，它把有关任意三角形边缘以及它们所关联的一系列距离的性质综合起来，将它与其他的解析几何定理联系起来，从而使我们能够用来解决几何问题。
韦达定理可以被用来描述任意三角形的各种性质。
它的一个最主要的应用就是可以利用韦达定理来画出三角形的内接圆，从而用来确定一个三角形的形状。
同时，韦达定理也可以用来计算一个三角形的面积。
这是因为韦达定理得出的结论是：三角形的面积是任意一条边形成等边三角形时，最大面积的一半。
根据这个结果，我们可以用海伦公式(a,b,c 分别代表三角形的边)：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ，来计算三角形的面积，其中p 是三角形的周长的一半，即$p=\frac{a+b+c}{2}$ 。
另外，由韦达定理可以进一步得出另外一组定理，如项塔尔定理。
项塔尔定理是指任意三角形内三条边之外，另一点到三角形三内角顶点距离之积等于外接圆和内接圆的面积差值。
根据项塔尔定理，我们可以知道，任意三角形的任意一点到三内角顶点的距离的乘积是一个常数，叫做项塔尔定数。
总之，韦达定理是解析几何中一个重要的定理，它关乎着三角形的三个边和其距离的性质，它的应用可以用来绘制三角形的内接圆，计算三角形的面积，并且还可以进一步得出项塔尔定理。
它的应用涉及很多方面，被广泛应用于数学和几何中，对于理解几何性质有很大的帮助。
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中一个重要的定理，它在解方程、证明、几何、概率以及数学竞赛中都有广泛的应用。
通过韦达定理，我们可以更加方便地解决一些复杂的数学问题，提高数学解题的效率。
在高中数学学习中，深入理解韦达定理的定义和重要性，可以帮助我们更好地掌握数学知识，提升数学解题能力。
结合实际案例，探讨韦达定理在不同领域中的具体应用，可以帮助我们更好地理解和运用这一定理。
通过对韦达定理的综合应用和进一步拓展，我们可以进一步拓宽数学思维，提升数学解题的能力。
了解和掌握韦达定理在高中数学学习中的实际意义，对我们的数学学习和思维能力具有重要的启发作用。
【关键词】关键词：韦达定理、高中数学学习、方程、证明、几何、概率、数学竞赛、实际意义、综合应用、进一步拓展。
1. 引言1.1 韦达定理的定义韦达定理，又称韦达方程或韦达公式，是解代数方程组的一种重要方法。
它由法国数学家韦达在16世纪提出，是一种利用多项式系数的关系，将代数方程组的解和系数之间的关系联系起来的方法。
韦达定理的基本形式可以表示为：如果有一个n次多项式f(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0，其中a_n \neq 0，那么f(x)的所有复根x_1, x_2, \ldots, x_n满足以下关系式：\begin{aligned}x_1 + x_2 + \ldots + x_n & = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \\x_1x_2 + x_1x_3 + \ldots + x_{n-1}x_n & = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\& \vdots \\x_1x_2\ldots x_{n-1} + x_1x_2\ldots x_{n-2}x_n + \ldots +x_2x_3\ldots x_n & = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}\end{aligned}韦达定理的本质是利用多项式的系数与根之间的关系，通过对未知数的组合取值进行消元，从而求解未知数的值。
韦达定理在三角与解析几何中的应用
2n+1 1 2n+1 2 2n+1 3 −(C3 C1 + C5 C1 + C7 C1 2n+1 n 2(n−1) + · · · + C2 x n+1 C1 ) cos
2n+1 2 2n+1 3 +(C5 C2 + C7 C2 + · · · 2n+1 n 2(n−2) +C 2 n+1 C2 ) cos
2π 3π · cos 2n · cos 2n ··· (ii) cos 2nπ +1 +1 +1 nπ cos 2n = 21 n. +1
證: (i) 考察方程 sin(2n + 1)x = 0, 顯然, xi =
iπ (i 2n+1
(1)
= 1, 2, . . . , n) 是方程
(ai (i = 0, 1, 2, . . . , n) 為複數, 且 a0 = 0)
2n+1 n 2(n−3) + · · · + C2 x+··· n+1 C3 ) cos 2n+1 +(−1)n C2 n+1 ].
x−
2n+1 3 (C 7 C3
&#為直角, 求這一
令 y = cos2 x, 則方程
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 (C 1 + C3 + C5 + C7 2n+1 n 2n+1 1 + · · · + C2 C1 n+1 )y − (C3 2n+1 2 +C 5 C1
韦达定理在解析几何中的一点应用
韦达定理在解析几何中的一点应用职业中专数学教材中，解析几何的内容是直线和圆以及圆锥曲线。
其要求比较简单，但职业中专的学生数学基础参差不齐，对一部份学有余力的同学如何拓展数学知识面，又不能太难太繁，就显得格外重要。
本文试引进“韦达定理”来探索解析几何中的一些新思路，确能化繁为简，既拓展了学生的数学知识面，又适合职业学校学生接受能力，对培养职业学校学生的数学兴趣作一些尝试。
一、向量运算加韦达定理学生对向量运算比较熟练，可结合向量的加法，数乘，数量积运算，从中找出韦达定理的应用。
引例1设椭圆C：x25a2+y25b2=1（a>b>0）的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o，AF=2FB.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=1554，求椭圆C的方程.解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y10.（Ⅰ）直线l的方程为y=3（x-c），其中c=a2-b2.联立y=3（x-c），x25a2+y25b2=1 得（3a2+b2）y2+23b2cy-3b4=0∴y1+y2=-23b253a2+b2，y1y2=-3b453a2+b2∵AF=2FB，∴-y1=2y2.∴y1 + y2 = -y2y1 y2 = -2y22消去y2得2y1+y22+y1y2=0…………（注意此处构造使用韦达定理的条件）即2-23b253a2+b22-3b453a2+b2=0整理得4a2=9c2得离心率e=c5a=253.（Ⅱ）因为AB=1+153y2-y1，所以253·43ab253a2+b2=1554.由c5a=253得b=553a.所以554a=1554，得a=3，b=5.椭圆C的方程为x259+y255=1.说明：向量是研究解析几何的重要工具，通过向量运算所得式子与韦达定理的积式和和式联立方程组，利用解方程的思想进行消元，最终达到我们的计算目的。
二，在拓展解析几何中，常常碰到直线与圆锥曲线的交点、求弦长、弦中点或求点的轨迹等问题，用常规方法计算量大，不适合职业学校的学生，试用韦达定理化繁为简。
5.解析几何中韦达定理的运用
(2)证明：将直线 l 的方程 y kx 1代入圆 C : (x 2)2 ( y 3)2 1 ，
得 (1 k 2 )x2 4(1 k)x 7 0 ，设 M (x1 , y1) 、 N (x2 , y2 ) ，则
x1
x2
4(1 k 1 k2
)
，
x1
x2
3 x1x2 2(x1 x2 ) 4
1点 2k 3睛
4k 2 12 4k2 3
3k
8k 2 4k2
3
4k 2 4k 2
12 3
2
8k 2 4k2
3
4k 4
1 k
所以 k·k 为定值 1.
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
k2 1
3
3
点 所睛以实数
k
取值范围为
(
4
7 , 4
7)
3
3
2．涉及向量的数量积的问题
【例 2】已知：过点 A(0 , 1) 且斜率为 k 的直线与圆 C : (x 2)2 ( y 3)2 1
相交于 M , N 两点（1）求实数 k 取值范围；（2）求证： AM AN 为定值
，则
x1
x2
8m 5
线点段 睛
AB
的中点为
P(4 5
,
1) ， 5
x1
x2
8 5
，
8m 5
8 5
，即 m
1，满足（**）式
平面解析几何中韦达定理的运用
．
，
，
９
ｋ
４Ｓ ２０
＋ ＿＿ ｌ
２
５
例 １ 知 直 线ｘ ｖ ２ 抛 物 线 ｖ＝ ｘＥ于 Ａ、 两 点 ， ． 已 —＝ 与 ４ Ｓ Ｂ 试求 线 段 Ａ 的 中点 坐 标 。 Ｂ 解 ： 直 线Ｙ ｘ ２ ｔ 抛 物 线 Ｖ ４ ， 将 ＝一４入 。 ｘ 消去 ｖ 方 程 ｘ一 ｘ ４ ＝ 得 ８＋ ＝ Ｏ 。设 Ａ（ Ｙ ） Ｂ（ ， ， 南韦 达 定理 知 ｘ＋ ， ８ 从 而线 段 ＡＢ ｘ ， ， ｘ ｖ ） 则 ，ｘ＝ ， 小点 横 坐 标 为４， 代 入 商 线 ｙ ｘ ２ 纵 坐 标 为 ２ 故 线 段 Ａ 巾 再 ＝一得 ， Ｂ
２用 于 求 参 数 的 范 围 ．
说明 ： 围问题 一般 是将两 曲线联 立方 程消 去其 中的一 个变 范 量得 出关于 另一个 变量 的一 元二 次方程 ，然 后或 保证 根 的存在 ， 再结合 图形 的实 际情况 确保 有交 点 ．最后 才能运 用 韦达 定理 ， 建 立出符 合条 件的关 系式 ， 此关 系式并 检验 后得正 确结 论。 解
一
ａ 一３
当 点 Ｐ Ｑ 定 点 Ａ的 同侧 时 ， 、 点 对 应 的 参 数 ｔ ｔ 号 ， 、在 Ｐ Ｑ两 ２ ，同 因 此 有 ｉＩｈＩｈ＋ ； Ｐ Ｑ 顶 点 Ａ的 异 侧 时 ， Ｑ 应 的 参 ｔ ＋ ＝ ｔ 当 、 在 Ｉ Ｐ、 对
（ｌｔ） （】ｔ ‘４ｌ＝ ２ 所 以ＩＰ＋Ａ ＝ ｌｔ＝ ２ ｔ ２‘ ｔ ２ 一 ｔ２１ ， － ＝ ＋） ｔ １ Ａ ＩＩＱＩｈ＋２ １ 。 １ （ ） Ｑ＝ ｔ ４ ／７。 ２ Ｉ Ｉｈ一２ 、 Ｐ １ ＝
说 明 ：此 题是 利用 直 线 参 数 方 程 中 ｔ 几 何 意 义 求 解 的 ， 的
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Q 两点( 如图 1) , O 为坐标原点, 若OP L OQ, 求实数 m 的值。
x + 2y - 3 = 0
解
由 x 2 + y2 + x - 6y + m = 0
消 y 得, 5x 2 + 10x - 27 + 4m = 0,
根据韦达定理, x 1 +
x2 = -
2, x 1 x 2 =
4m 5
点 A ( x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) , 线段 A B 中点为 M ( x 0 , y 0 ) , 则: x 0 =
x1 + x2 ,y = 2
y1 + y2 = 2
kx 0 + b。
例2
已知过点 P(-
1, 1)
作直线与椭圆 x 2 4
+
y2 2
=
1 交于 A , B 两点, 若线段 AB 的中点恰为B 所在直线的方程为 y - 1 = k( x + 1) , A ( x 1 , y 1) , B( x 2 , y2 )
由方程组
x2 4
+
y2 2
=
1
y - 1 = k( x + 1)
消去 y 得: ( 2k 2 + 1) x 2 + ( 4k - 4k2 ) x + 2k2 - 4x - 2 = 0
1 应用几何变换来沟通几何和代数知识 几何和代数是数学不可分割的两块, 它们 的联系紧密, 各自以 数和形作为 研究的重 点, 它 们的沟通 可以将 各自领 域 的棘手问题顺利解决。正如著名的数学家希尔伯特曾说:/ 算术 是写下来的 图形, 几何图形 是画出 来的公式 。0 构造图 形 利用几何变换的知识直观地解决一些代数问题, 以及利用几何变换将图形中的隐含条件挖掘出来, 再借助明了的代数 变 形解决几何问题都是常见的思路。
k
(
25 k2 5k2 +
4
-
5)
=
- 20k 5k2 + 4
。又
|
F2C |
=
|
F2D |
Z F2R L
l Z k # kF2R = -
1, 故 k # k F2 R =
k#
0
1
(-
2 0k 5k 2 +
4)
-
25 k2 5k2 + 4
=
20 k2 4 - 20k2
=-
1
得 20k2 = 20k 2 - 4, 所以不存在直线 l, 使得 | F2C | = | F2 D | 。 综上所述, 不存在直线 l, 使得 | F2 C | = | F2 D | 。
4 5
x2 -
1=
1 5
x2 +
3, 因 x
I
[-
5, 5] , 故当 x = 0, 即点 P 为椭圆短轴端点
时, PF1 # PF 2 有最小值 3; 当 x = ? 5, 即点 P 为椭圆长轴端点时, PF 1 # PF2 有最大值 4 。 ( Ò ) 假设存在满足条件的直线 l, 易知点 A ( 5, 0) 在椭圆的外部, 当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l 与椭圆无交点, 所
韦达定理求得。
例 1 求过直线 2x + y + 4 = 0 和圆 x 2 + y 2 + 2x - 4y + 1 = 0 的交点, 且面积最小的圆的方程?
2x + y + 4 = 0
解由
, 消 y 得 5x 2 + 26x + 33 = 0, 根据韦达定理, A B 的中点 P 的坐标为
x 2 + y2 + 2x - 4y + 1 = 0
( x 1 , y 1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) , 则 a# b = x 1 x 2 + y1 y 2 。利 用韦达定理解决有关直线与曲线相交的问题时, 将直 线方程与曲线方程 所构成的方程组中消去一元, 转化为一元二次方程的形 式, 根据题意便可利用韦
达定理求解有关 x 1 、x 2 或 y 1 、y 2 的代数表达式。 例 3 已知圆 x 2 + y 2 + x - 6y + m = 0 与直线 x + 2y - 3 = 0 相交于 P、
在直线 l 斜率存在, 设为 k, 则有 y =
k( x - 5) , 由方程组
x5 5
+
y2 4
=
1 , 得( 5k2 + 4) x 2 - 50k2 x + 125k2 - 20 =
0, 依题
y = k( x - 5)
意 v = 20( 16 - 80k2 ) > 0, 得 -
5 5
<
k<
55, 当 -
所以x - x B xC - x
=
xB xC
,
]
x=
2x B x C x B + xC
( 1)
y = kx + a
设过 A 所作直线方程为 y = kx + a, ( 显然 k 存在) , 由
得( 1+ k2 ) x 2 + ( 2ak - 4) x + a2 + 3 = 0,
( x - 2)2 + y2 = 1
点就是通过韦达定理来求解。
例 4 过点 A ( 0, a) 作直线交圆 M : ( x - 2) 2 + y 2 = 1 于点 B、C, 在 BC 上取一点 P , 使 P 点满足: AB = KA C , BP =
KPC ( K I R) , 求点 P 的轨迹方程。
解 令 P ( x , y ) , 因为A B = KA C, BP = KPC , ( K I R) , 所以 x B = Kx C , x - x B = K( x C - x )
所以 x B + x C =
41+
2 ak k2
, xBx
C
=
2a + 2-
3k ak
,
代入(
1)
得
x
=
a2 + 3 2 - ak
,
故
y
=
kx +
a=
2a + 2-
a3kk,
消去
k,
得所求轨迹为
2x - ay - 3 = 0, ( 在圆 M 内部) 。
5 求存在性问题
这个问题是解析几何中的难点, 在教学过 程中, 学生对这个问题 的掌握相 对而言比较 困难, 这类问 题一般 也是试 卷
6 结束语
以上就韦达定理在解析几何中的应用作了简单分析, 从上述各例中 我们可以看 出: 韦 达定理 的应用 相当灵活 , 且 十
分广泛, 要很好地掌握它、应用它, 需对题中的条件、结论有精心的分析, 然后将其条件进行变形和转化成一元 二次方程,
方能运用它来解决相关问题。这类问题的特点主要表现 为概念性强, 计算量大, 对学生的运算能力要求比较高, 特别是 在
韦达定理是初中课程中的重要定理, 但在整个中学 阶段解题时都会经常用到它。鉴于它应用的灵活性, 在解决有 关 方程、三角、几何等问题中都有着广泛的应用, 特别对于 圆锥曲线问题, 初看起 来没有方 程的影子, 也不 是两数 之和与 两 数之积的问题, 没有直接运用韦达定理的条件, 但经过适当的变形或转化后, 就显出了一元二次方程的性质, 变成两数 之 和与两数之积的问题了, 就可以运用韦达定理 来求解。下面就韦达定理在解析几何中的应用举例介绍:
( 1+
1 k2
)
,
故弦长公式
|
P1P2 | = |
x1 -
x2 |
( 1+ k2) 或
| P1P 2 | = | y1- y2 |
(1+
1 k2
),
其中 |
x1
-
x2 | =
( x 1 + x 2) 2 - 4x 1 x 2 , | y1 - y 2 | =
( y 1 + y 2 ) 2 - 4y1 x y 2 可由
得4m5
27 +
m+ 5
12
=
0, 解得 m =
3。
4 求轨迹的问题
轨迹问题是高考重点考查的内容, 常常与最值及分 类讨论的思想结合在一起。解析几何中的/ 求轨迹方程, 并说明 是
什么曲线0 是近几年高考的热点 , 它综合考查了学生逻辑推理能力, 运算能力, 分析问题和 解决问题 的能力, 其计算的 重
利用韦达定理解有关圆锥曲线, 特别是在 求有关弦长与弦的中点时 非常简便; 它利 用了设而 不求的 方法进 行求解, 大大简化了计算步骤, 同时解题的思路比较清 晰, 如直线与曲线( 椭圆、双曲线、抛物线) 相交, 求弦长、弦 的中点等。
1 弦长问题 设直线与曲线相交于 P1 ( x 1 , y 1 ) 、P2 ( x 2 , y 2) 两点, 直线 P1 P2 的斜 率为 k, 则
x=
x1 + 2
x2
=-
13 5
y = - 2x - 4 =
6 5
| A B | = | x 1 - x 2 | ( 1 + k2 ) =
262 -
4@ 5
5@
33 @
1+
(-
2)2 =
45 5
所以, 圆的方程是( x + 13 ) 2 + ( y - 6 ) 2 = 4 。
5
5
5
2 弦的中点问题