韦达定理和逆定理在解析几何中的应用
韦达定理在解析几何中的应用
韦达定理在解析几何中的应用陈历强一，求弦长在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。
求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。
能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式：∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +⋅=)1](4)[(221221k x x x x +-+或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k +⋅ =)11](4)[(221221ky y y y +-+ ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。
请看下面的例子：例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。
解：易知直线的方程为y=2(x-2p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x-2p ) 消去x 得y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。
由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d=25p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________.分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得x 1+x 2=14162+k k = 4得k=21.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数例3,曲线 y = ax 2(a>0)与曲线 y 2+3= x 2+4y 交点的个数应是___________个. 分析：联立方程组y=ax 2(a>0)与y 2+3=x 2+4y.消去x 得y 2-(1/a+4)y+3=0(a>0) 因为 ⎪⎩⎪⎨⎧>=>+=+>>-+=∆030/14)0(012)4/1(21212y y a y y a a 所以,方程有两个不等正实根。
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中一个重要的定理，它在解方程、证明、几何、概率以及数学竞赛中都有广泛的应用。
通过韦达定理，我们可以更加方便地解决一些复杂的数学问题，提高数学解题的效率。
在高中数学学习中，深入理解韦达定理的定义和重要性，可以帮助我们更好地掌握数学知识，提升数学解题能力。
结合实际案例，探讨韦达定理在不同领域中的具体应用，可以帮助我们更好地理解和运用这一定理。
通过对韦达定理的综合应用和进一步拓展，我们可以进一步拓宽数学思维，提升数学解题的能力。
了解和掌握韦达定理在高中数学学习中的实际意义，对我们的数学学习和思维能力具有重要的启发作用。
【关键词】关键词：韦达定理、高中数学学习、方程、证明、几何、概率、数学竞赛、实际意义、综合应用、进一步拓展。
1. 引言1.1 韦达定理的定义韦达定理，又称韦达方程或韦达公式，是解代数方程组的一种重要方法。
它由法国数学家韦达在16世纪提出，是一种利用多项式系数的关系，将代数方程组的解和系数之间的关系联系起来的方法。
韦达定理的基本形式可以表示为：如果有一个n次多项式f(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0，其中a_n \neq 0，那么f(x)的所有复根x_1, x_2, \ldots, x_n满足以下关系式：\begin{aligned}x_1 + x_2 + \ldots + x_n & = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \\x_1x_2 + x_1x_3 + \ldots + x_{n-1}x_n & = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\& \vdots \\x_1x_2\ldots x_{n-1} + x_1x_2\ldots x_{n-2}x_n + \ldots +x_2x_3\ldots x_n & = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}\end{aligned}韦达定理的本质是利用多项式的系数与根之间的关系，通过对未知数的组合取值进行消元，从而求解未知数的值。
韦达定理在三角与解析几何中的应用
2n+1 1 2n+1 2 2n+1 3 −(C3 C1 + C5 C1 + C7 C1 2n+1 n 2(n−1) + · · · + C2 x n+1 C1 ) cos
2n+1 2 2n+1 3 +(C5 C2 + C7 C2 + · · · 2n+1 n 2(n−2) +C 2 n+1 C2 ) cos
2π 3π · cos 2n · cos 2n ··· (ii) cos 2nπ +1 +1 +1 nπ cos 2n = 21 n. +1
證: (i) 考察方程 sin(2n + 1)x = 0, 顯然, xi =
iπ (i 2n+1
(1)
= 1, 2, . . . , n) 是方程
(ai (i = 0, 1, 2, . . . , n) 為複數, 且 a0 = 0)
2n+1 n 2(n−3) + · · · + C2 x+··· n+1 C3 ) cos 2n+1 +(−1)n C2 n+1 ].
x−
2n+1 3 (C 7 C3
&#為直角, 求這一
令 y = cos2 x, 則方程
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 (C 1 + C3 + C5 + C7 2n+1 n 2n+1 1 + · · · + C2 C1 n+1 )y − (C3 2n+1 2 +C 5 C1
韦达定理在解析几何中的一点应用
韦达定理在解析几何中的一点应用职业中专数学教材中，解析几何的内容是直线和圆以及圆锥曲线。
其要求比较简单，但职业中专的学生数学基础参差不齐，对一部份学有余力的同学如何拓展数学知识面，又不能太难太繁，就显得格外重要。
本文试引进“韦达定理”来探索解析几何中的一些新思路，确能化繁为简，既拓展了学生的数学知识面，又适合职业学校学生接受能力，对培养职业学校学生的数学兴趣作一些尝试。
一、向量运算加韦达定理学生对向量运算比较熟练，可结合向量的加法，数乘，数量积运算，从中找出韦达定理的应用。
引例1设椭圆C：x25a2+y25b2=1（a>b>0）的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o，AF=2FB.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=1554，求椭圆C的方程.解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y10.（Ⅰ）直线l的方程为y=3（x-c），其中c=a2-b2.联立y=3（x-c），x25a2+y25b2=1 得（3a2+b2）y2+23b2cy-3b4=0∴y1+y2=-23b253a2+b2，y1y2=-3b453a2+b2∵AF=2FB，∴-y1=2y2.∴y1 + y2 = -y2y1 y2 = -2y22消去y2得2y1+y22+y1y2=0…………（注意此处构造使用韦达定理的条件）即2-23b253a2+b22-3b453a2+b2=0整理得4a2=9c2得离心率e=c5a=253.（Ⅱ）因为AB=1+153y2-y1，所以253·43ab253a2+b2=1554.由c5a=253得b=553a.所以554a=1554，得a=3，b=5.椭圆C的方程为x259+y255=1.说明：向量是研究解析几何的重要工具，通过向量运算所得式子与韦达定理的积式和和式联立方程组，利用解方程的思想进行消元，最终达到我们的计算目的。
二，在拓展解析几何中，常常碰到直线与圆锥曲线的交点、求弦长、弦中点或求点的轨迹等问题，用常规方法计算量大，不适合职业学校的学生，试用韦达定理化繁为简。
5.解析几何中韦达定理的运用
(2)证明：将直线 l 的方程 y kx 1代入圆 C : (x 2)2 ( y 3)2 1 ，
得 (1 k 2 )x2 4(1 k)x 7 0 ，设 M (x1 , y1) 、 N (x2 , y2 ) ，则
x1
x2
4(1 k 1 k2
)
，
x1
x2
3 x1x2 2(x1 x2 ) 4
1点 2k 3睛
4k 2 12 4k2 3
3k
8k 2 4k2
3
4k 2 4k 2
12 3
2
8k 2 4k2
3
4k 4
1 k
所以 k·k 为定值 1.
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
k2 1
3
3
点 所睛以实数
k
取值范围为
(
4
7 , 4
7)
3
3
2．涉及向量的数量积的问题
【例 2】已知：过点 A(0 , 1) 且斜率为 k 的直线与圆 C : (x 2)2 ( y 3)2 1
相交于 M , N 两点（1）求实数 k 取值范围；（2）求证： AM AN 为定值
，则
x1
x2
8m 5
线点段 睛
AB
的中点为
P(4 5
,
1) ， 5
x1
x2
8 5
，
8m 5
8 5
，即 m
1，满足（**）式
平面解析几何中韦达定理的运用
．
，
，
９
ｋ
４Ｓ ２０
＋ ＿＿ ｌ
２
５
例 １ 知 直 线ｘ ｖ ２ 抛 物 线 ｖ＝ ｘＥ于 Ａ、 两 点 ， ． 已 —＝ 与 ４ Ｓ Ｂ 试求 线 段 Ａ 的 中点 坐 标 。 Ｂ 解 ： 直 线Ｙ ｘ ２ ｔ 抛 物 线 Ｖ ４ ， 将 ＝一４入 。 ｘ 消去 ｖ 方 程 ｘ一 ｘ ４ ＝ 得 ８＋ ＝ Ｏ 。设 Ａ（ Ｙ ） Ｂ（ ， ， 南韦 达 定理 知 ｘ＋ ， ８ 从 而线 段 ＡＢ ｘ ， ， ｘ ｖ ） 则 ，ｘ＝ ， 小点 横 坐 标 为４， 代 入 商 线 ｙ ｘ ２ 纵 坐 标 为 ２ 故 线 段 Ａ 巾 再 ＝一得 ， Ｂ
２用 于 求 参 数 的 范 围 ．
说明 ： 围问题 一般 是将两 曲线联 立方 程消 去其 中的一 个变 范 量得 出关于 另一个 变量 的一 元二 次方程 ，然 后或 保证 根 的存在 ， 再结合 图形 的实 际情况 确保 有交 点 ．最后 才能运 用 韦达 定理 ， 建 立出符 合条 件的关 系式 ， 此关 系式并 检验 后得正 确结 论。 解
一
ａ 一３
当 点 Ｐ Ｑ 定 点 Ａ的 同侧 时 ， 、 点 对 应 的 参 数 ｔ ｔ 号 ， 、在 Ｐ Ｑ两 ２ ，同 因 此 有 ｉＩｈＩｈ＋ ； Ｐ Ｑ 顶 点 Ａ的 异 侧 时 ， Ｑ 应 的 参 ｔ ＋ ＝ ｔ 当 、 在 Ｉ Ｐ、 对
（ｌｔ） （】ｔ ‘４ｌ＝ ２ 所 以ＩＰ＋Ａ ＝ ｌｔ＝ ２ ｔ ２‘ ｔ ２ 一 ｔ２１ ， － ＝ ＋） ｔ １ Ａ ＩＩＱＩｈ＋２ １ 。 １ （ ） Ｑ＝ ｔ ４ ／７。 ２ Ｉ Ｉｈ一２ 、 Ｐ １ ＝
说 明 ：此 题是 利用 直 线 参 数 方 程 中 ｔ 几 何 意 义 求 解 的 ， 的
韦达定理在平面在几何中的应用
韦达定理在平面在几何中的应用姓名：莫……学号：201040432018班级：10数学本科（2）班院系：兴义民族师范学院1 引言韦达(Viete，Francois，seigneurdeLa Bigot iere) 是法国十六世纪最有影响的数学家之一.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃.人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.他最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系, 因此, 人们把这种关系称之为韦达定理(Viete’s Theorem).它的主要内容是：一元二次方程且中，设两个根为和，则：，. 一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的重要内容之一，其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终. 对韦达定理(Viete’s Theorem)在中学数学中的应用的研究，国内外很多教育学者和专家都有大量研究成果，范围涉及方程、代数、三角、解析几何，平面几何等多方面.摘要韦达定理揭示了一元二次方程根与系数的关系，它在中学数学中占有很重要的位置，根据这个定理欲证U+V=Q或U.V=Q，只需证U和V是方程20++=（a≠0）的两个根。
在平面几何中，常常会遇到求证两个几何量ax bx c的和或积等某值的问题，运用韦达定理可以给求解这类问题打开一条思路，解题的关键是建立所考察的两个几何量为根的一元二次方程，而建立这样的方程可借助余弦定理等工具来实现。
下面列举说明韦达定理在求解这类问题中的应用。
韦达定：韦达定理平面几何一元二次方程。
AbstractWada theorem reveals a yuan quadratic equation root and coefficient of relationship, it occupies very important position in the middle school mathematics, according to the theorem to U + V=Qor U.V = Q, just U and V is equation (indicates a 0) the two root. In plane geometry, often will encounter two geometric verification and/or the amount of product such as a value problem, using the wada theorem can open an idea for solving this kind of problem, the problem solving is the key to establish examined two geometric quantity for a yuan quadratic equation root, and such an equation can be achieved with the aid of tools such as cosine theorem to. Below list illustrates ouida theorem application in solving such problems.Keywords：wada theorem plane geometry a yuan quadratic equation1、韦达定理概述根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个45次方程各国数学家挑战各国数学家挑战。
韦达定理在解析几何中的应用
韦达定理在解析几何中的应用【摘要】平面解析几何，是用代数方法研究平面图形的一个数学分科。
它所提出的问题以及问题的结论都是几何的，而中间的论证和推导基本上是代数方法。
因此，许多代数中的定理和运算法则在解析几何中是不可缺少的工具。
这里着重讨论韦达定理的应用。
【关键词】韦达定理；结合方法；应用平面解析几何，是用代数方法研究平面图形的一个数学分科。
它所提出的问题以及问题的结论都是几何的，而中间的论证和推导基本上是代数方法。
因此，许多代数中的定理和运算法则在解析几何中是不可缺少的工具。
这里着重讨论韦达定理的应用。
韦达定理的内容是：若一元二次方程的两根是，则。
它是关于一元二次方程的根与一元二次方程未知量系数关系的一个结论。
解析几何是用代数方法解决几何问题的一门学科，在中学数学教学中，解析几何知识的考查，往往综合性较强，是学生学习的难点。
二次曲线的方程与直线方程结合可化为一元二次方程，与韦达定理有相通之处，分析问题中的一些结论与韦达定理的关系，在解题时活用韦达定理，求出方程中的待定系数，可以巧妙的解决学生认为的所谓“难题”。
这样，不仅可以体会灵活应用知识的技巧，提高分析问题和灵活运用知识的能力，还可以培养学生学习数学的兴趣。
下面举例说明韦达定理结合解析几何中的有关结论的应用。
1．韦达定理与中点坐标公式的结合解析几何中中点坐标公式：若，则中点的坐标为。
其中含有“ ”，与韦达定理中的结论“ ”相联系。
例：已知椭圆的某一条弦被点平分，求所在直线的方程。
分析：要求直线方程，根据确定直线的条件，已经知道直线上一点，再找一个条件，如斜率。
作为直线方程未知量的系数，通过整理，可以和韦达定理联系，巧列方程求出。
解：设所在直线的方程为，再设由方程组消去得：由韦达定理得：即：解得：所在直线的方程为当然，若应用中点纵坐标求解，只须由表达，即。
然后由解出。
这种类型的题目在解析几何习题中有许多，有的还将条件进一步变通。
例：抛物线，和直线相交所得弦的中点在上，求抛物线方程。
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Ｌ ｌ Ｂ ｌ Ａ ＋ＩＢ｛ Ｉ Ｑ Ｉ Ｉ Ｎ Ｉ ＝ Ａ ＝ｌ Ｆ Ｉ Ｆ ＝ Ａ ＋ Ｂ
＝ｘｌ ＋ｘｚ ＋ｐ一
２ｐ＋ ｔ ｎ２ ｐ ａ ０
一
ｔ
ｎ
２ ０
＋Ｐ ＝
，
南 达 理 ｘｘ｛ ． 韦 定 得 一＝ ＋ ：
设 弦 中 ・ ・
即 为所 求 函数 关 系 式 ．
则ｘ ： ＝ 薷 ｙ － ＋ ：薷 ｂ ｋ ＝
１ 若 ｋ 为 常 量 ， ｂ为 参 变 量 ， ） 则
Ｘ Ｋ Ｋ
（ ３ ） （ ４ ）
２ 函数 Ｌ —ｎ 。 的定 义域是 ０ ０ 竹 ） ：ｓｉ ＿ ． ＜＜ ． Ｕ
ａ２
一
表示一个椭圆， 其离心率 ｅ ＝
二
２
：
．
例 ３设 直 线 ｙ ｋ ＋ ． ＝ ｘ ｂ和 圆 ｘ＋ ２ ｒ 相 交 ， 求 出 ２ ｙ＝ ２ 不 交 点 坐 标 ， 所 成 弦 的 中 点 坐 标 ， 且 ， ） ｋ为 常 求 并 １若 量 ， ｂ为 变 量 时 ，求 证 弦 的 中 点 轨 迹 是 一 条 线 段 ； ） ２
证 明 ： 抛 物 线 方 程 为 ｙ＝ ｐ （ ＞ ） 它 的 一 组 设 ２ ２ ｘｐ ０ ，
＝
阜
．
（） ３
平 行 弦 的 斜 率 是 ｋ， 程 是 ｙ ｋ ＋ ． 方 ＝ ｘ ｂ
由 程 ｛２ｂ 去 得ｙ孕ｙ ： 方 组ｙｘ＋ ２ｐ ＝ｘ消 ： ＋ ｏ 一 ， ｙ ＝ｋ
此 方程两 根为 弦与抛 物线二 交点 的纵 坐标 。
如 果 方 程 ａ ： ｂ ＋ ＝ （ 、 Ｃ都 是 实 数 ， ≠０ 的 ｘ＋ ｘ ｃ ０ ａ ｂ、 ａ ） 两 根 是 和 ｐ， 么 ：ｔ １ 一 ， ｐ ． 之 ， 果 那 ｅ＋３ ・ ＝ 反 ＝ 如
ａ ａ
Ｊ２ ＋ ２ ＝ ２ ｂ） ａ ａ 【 ｙ ｂ
［＝ （－ ） ｙ ｋｘ ｃ
圭远叠婴和避塞理在竖＿ 析．
一 廛旦
证明：方程 ｘｙｒ 南 组｛＋＝ ２２２
Ｉ＝ ｘ ｂ ｙ ｋ＋
（ １ ）
（） ２
设 Ａ、 Ｂ到抛物 线准线 的距 离 为 Ｉ Ｑ ｝ ｌ Ｎ Ｉ Ａ 和 Ｂ ，
依抛 物线 定义有 ：
把 （ 代 入 （ ） ｘ＋ ２ ２ ｋ ＋ ｒ ２） １ 得 ２ｋｘ＋ ｂ ｘ ｂ＝ ２ ．
由 达 理 ｘ２ 韦 定 得 －＝ ＋器 ｘ
所 以弦 中点 的横坐标 是 ｘ ＝ 代 入 （ 纵 坐 标 ｙ ｃ ２） ＝ － ２ｋ ｂ
・ ． ． ．
＝ ｋ ａｃ ２ ２
，
例 １连 接 抛 物 线 上 任 意 两 点 的 线 段 叫 抛 物 线 的 ． 弦 ， 证抛 物线 的平行 弦 的中点在 一条 直线上 。 求
襄 樊职 业技 术 学院 学报 第 ９卷 第 １ 期
双 月刊 ２ １ ０ ０年 １ 月
韦达定理和逆定理在解析几何中的应用
叶 忠 国 （ 樊职 业技 术学 院 公 共课部 ，湖北 襄樊 ４ １５ ） 襄 ４０ ０
摘
要： 平面解析 几何 ， 用代数 方法研 究平 面几何 图形的一个教学分支 ， 是 它所提 出的 问题以及 问题 的结论都
（） １
（） ２
消 去 Ｙ得 （２ ａｋ） ２ ２ｋｘ ａ （ ｋｃ） ０， 方 ｂ＋ ＂ｒ 一 ａｃ ￣— ２ ｂ一 ２－ 此 ｘ 两 个 数 仅 和 Ｂ满 足 如 下 关 系 ：ｔ １ 一 ， ・ ｏ＋３ ｐ＝ ＝
ａ ａ
程 二 根 为 过 Ｆ点 弦 与 椭 圆 二 交 点 的 横 坐 标 。
该纵 坐标 与 ｂ值无 关 ， 以 ｙ ｝ 为平 行 弦的 中 所 ＝Ｋ
点 轨 迹 方 程 ， 是 平 行 于 ｘ轴 的 一 条 直 线 。 它 例 ２过 椭 圆 的一 焦 点 作 弦 ， 证 各 弦 中 点 的 轨 迹 ． 求 还 是 一个 椭 圆 ， 的离 心 率 和原 椭 圆 的 离 心 率 相 等 。 它 证 明 ： 椭 圆 方 程 为 ＋ ＝ｌａ ｂ Ｏ ， 它 的 设 （＞ ＞ ） 过
是几何形式 ， 而中间的论证和推导基本上是用代数方法。本文通过具体 的例 子， 介绍 了韦达定理和逆定理在解析 几
何中的应用。 关键词 ： 韦达定理； 解析几何 ； 应用
中 图分 类 号 ： ６ ３ ２ Ｇ ３． ６ 文 献 标识 码 ： Ａ 文 章 编号 ：６ １９ ４ ２ １） ｌ０ ３－ ３ １７ — １Ｘ（０ ０ Ｏ 一 ０ ０ ０
Ｄ２
若 ｂ为 常 量 ， ｋ为 变 量 时 ， 证 弦 的 中 点 的 轨 迹 是 一 求
段 圆弧 ［ ２ １
焦 点 Ｆｃ， ） 直 线 方 程 是 ｙ ｋｘ ｃ （ ０的 ＝ （— ）． 由方 程 组
收 稿 日期 ：０ ９ １－ ９ ２ ０ －０ １ 作者简介： 叶忠 国 （９ ４ ）男 ， 北 随 州人 。副 教 授 ， 究 方 向 ： 学 教 育 教 学 。 １５ 一 ， 湖 研 数
那 么 这 两 个 数 ｄ和 １ 方 程 ａ ｂ ＋ ＝ （ 、 Ｃ都 ３是 ｘ＋ ｘ ｃ Ｏ ａ ｂ、 是 实 数 ， ≠０） 根 。｛ 述 是 韦 达 定 理 及 其 逆 定 理 。 ａ 的 １ １ 上
下 面 通 过 具 体 的 例 子 说 明 它 在 解 析 几 何 中 的应 用 。
由 （ ） ＝ ｒ ， ／ ３） 理 得 ｂｘ＋ ￣Ｚｂｃ ＝ ． ２ ｋ ｊ － 代 ｋ（ 整 Ｚ ａ － Ｚｘ Ｏ
即
＋
－１ ．
由韦达定理得 Ｙ ｙ 牟 ｌ２ ． ＋＝
（ （ ） 手）
这 是经 过椭 圆一 焦点 诸 弦 中点 的 轨迹 方程 ， 它
但 ｙ毕 ＝ ＝ 二 ｝为弦中 Ｋ 点的 纵坐标。
‘
．
’ ｓｎ０≤ １ ． ｉ
・ ． ．
Ｌ擞】 ２ （ ０ 时 ） ， ｐ当 ＝ 、 ＝ ．