二次函数中的等腰三角形问题
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第九节 二次函数与几何综合题 类型三：二次函数与特殊三角形问题
求点的坐标： 1．分别表示出点 A，B，P 的坐标，再表示出线段 AB，BP，AP 的长度， 由①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP 分别列方程求解即可． 2．作等腰三角形底边上的高，用勾股定理或相似建立等量关系． 3．以 AB 为底边时，可用解析法，先求中垂线的解析式，再联立方程组 求交点．
此时点 C 的坐标为21，1＋32
5
或2 1，13－2
5
.
综上可知，当△ABC 是直角三角形时，点 C 的坐标共有 4 个为((1 1，，33))，
((1，1，－ －2)
2)，21，1＋23
5
或21，1－23
5
.
问题：已知线段 AB 和直线 l，在 l 上求点 P，使△PAB 为直角三角形．
【分层分析】 点 P 在线段 BC 的中垂线与抛物线的交点处．求中垂线的解析式，联立方 程组求解．
解：存在．由题意得 B(3，0)，C(0，－3)，由点 B，C 的坐标求得直线
BC 的解析式为 y＝x－3，线段 BC 的中点为32，－32，设线段 BC 的中垂线 的解析式为 y＝－x＋b，代入23，－32，得 b＝0. ∴线段 BC 的中垂线的解析式为 y＝－x，
【分层分析】 利用两圆一中垂的方法在直线 l上找出点 P，共有 5 个，并注意检验点 P 是否满足条件，当点 P，A，C 共线时，不符合题意．
解：存在．设 P(1，p)，AC2＝10， PA2＝(1＋1)2＋(p－0)2＝p2＋4， PC2＝(1－0)2＋(p＋3)2＝p2＋6p＋10. 分三种情况讨论： ①当 PA＝PC 时，p2＋4＝p2＋6p＋10， 解得 p＝－1，∴P1(1，－1)； ②当 AC＝PC 时，p2＋6p＋10＝10，解得 p1＝0，p2＝－6， 当 p＝－6 时，显然 A，C，P 三点在一条直线上不能构成三角形，舍去， ∴P2(1，0)；
二次函数中等腰三角形专题
二次函数中等腰三角形专题一．解答题（共15小题）1．如图，经过点A（0，-6）的抛物线y= 1/2x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC 内，求m的取值范围；（3）在（2）的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB 是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．2．如图，二次函数y=4/3 x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ 的形状，并求出D点坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-1/2 x2+3/2 x+2的图象与x轴交于点A，B（点B 在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=-1/2 x2+3/2 x+2的图象相交于点D，E．（1）写出点A，点B的坐标；（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．4．如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x-2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．5．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，1/4）；点F（0，1）在y轴上．直线y=-1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x 轴的垂线与直线y=-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．6．如图，抛物线y=-1/2 x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．8．已知抛物线经过A（-2，0），B（0，2），C（3/2，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=1/2 AP时，求t的值；（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．9.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．10.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0) C(8,0) D(8,8)抛物线y=ax2+bx 过A,C两点，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P 作PE⊥AB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式。
九年级数学上册复习专题17二次函数中平行四边形与等腰三角形存在性问题
专题17二次函数中平行四边形与等腰三角形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为1 两个结论，解题的切入点数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。
1.1 线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为(221xx+,221yy+).证明如图1，设AB中点P的坐标为(x P,y P).由x P-x1=x2-x P，得x P=221xx+，同理y P=221yy+，所以线段AB的中点坐标为(221xx+,221yy+).1.2 平行四边形顶点坐标公式□ABCD的顶点坐标分别为A(x A,y A)、B(x B,y B)、C(x C,y C)、D(x D,y D)，则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D.证明：如图2，连接AC、BD，相交于点E．∵点E为AC的中点，∴E点坐标为(2CAxx+,2CAyy+).又∵点E为BD的中点，∴E点坐标为(2DBxx+,2DByy+).∴x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D.总结即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．图42.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题题目例1 已知抛物线y=x 2-2x+a (a ＜0）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线y=21x -a 分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线AM 相交于点N .(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则M ( ), N ( )； (2)如图4，将△NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连接CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线y=x 2-2x+a (a ＜0）上是否存在一点P ，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.解答解：(1)M (1,a -1)，N (a 34,-a 31)；(2)a=-49；S 四边形ADCN =16189；(3)由已知条件易得A (0,a )、C (0,-a )、N (a 34,-a 31).设P (m ,m 2-2m +a ). ①当以AC 为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=-+=+am m a a a m a 23134002,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==81525a m . ∴P 1(25,-85)； ②当以AN 为对角线时，得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=-+=+am m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==81525a m (不合题意，舍去). ③当以CN 为对角线时，得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=--+=+am m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=8321a m . ∴P 2(-21,87). ∴在抛物线上存在点P 1(25,-85)和P 2(-21,87)，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形.反思 已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.解 ：（1）易求抛物线的表达式为y=132312--x x ； (2)由题意知点Q 在y 轴上，设点Q 坐标为(0,t )；点P 在抛物线上， 设点P 坐标为(m,132312--m m ).尽管点Q 在y 轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．①当以AQ 为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m ， ∴m=-4，∴P 1(-4,7)；②当以BQ 为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P 2(4,35)； ③当以AB 为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P 3(2,-1). 综上，满足条件的点P 为P 1(-4,7)、P 2(4,35)、P 3(2,-1).这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x 轴（y 轴）或对称轴或某一定直线上．设图6题目例3 如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (-4,0),B (0,-4),C (2,0)三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y =-x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．解答解：（1）易求抛物线的解析式为y=21x 2+x -4； （2）s=-m 2-4m (-4<m <0)；s 最大=4（过程略）；（3）尽管是直接写出点Q 的坐标，这里也写出过程．由题意知O (0,0)、B (0,-4). 由于点Q 是直线y=-x 上的动点，设Q (s ,-s )，把Q 看做定点；设P (m ,21m 2+m -4). ①当以OQ 为对角线时， ⎪⎩⎪⎨⎧-++-=-+=+42140002m m s m s ∴s=-252±.∴Q 1(-2+52,2-52)，Q 2(-2-52,2+52)；②当以BQ 为对角线时， ⎪⎩⎪⎨⎧--=-+++=+s m m s m 44210002 ∴s 1=-4，s 2=0(舍). ∴Q 3(-4,4)；③当以OB 为对角线时， ⎪⎩⎪⎨⎧-++-=-+=+42140002m m s m s ∴s 1=4，s 2=0(舍). ∴Q 4(4,-4).综上，满足条件的点Q 为Q 1(-2+52,2-52)、Q 2(-2-52,2+52)、Q 3(-4,4)、Q 4(4,-4).反思该题中的点Q 是直线y =-x 上的动点，设动点Q 的坐标为(s ,-s )，把Q 看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.4 问题总结这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）．这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广．其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1（0）和点B与y轴交于点C（0（3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M（N同时停止运动，问点M（N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（（1（0（（B（3（0）两点，与y轴相交于点C（0（（3（（（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．4．如图，抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y 轴于点C (1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D 的坐标为(-1，0)，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．(3)点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使△MNO 为等腰直角三角形，且∠MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与坐标轴分别交于点A ，B （﹣3，0），C （1，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△P AB 的面积最大？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使（POB 与（POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且（ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．7．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A（（4（0（（B（1（0）两点，过点B 的直线y=kx+23分别与y 轴及抛物线交于点C（D（（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E（F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M（N 的坐标；若不存在，请说明理由．8．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得（CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得（AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线y=（14x 2（12x+2与x 轴交于A（B 两点，与y 轴交于点C （1）求点A（B（C 的坐标；（2）点E 是此抛物线上的点，点F 是其对称轴上的点，求以A（B（E（F 为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得（ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A （（1（0（（B （4（0（（C （0（（4）三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大，求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）与y 轴交与点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． （1）求抛物线的解析式；（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设（MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使（MBN 为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标； （3）点M 也是直线l 上的动点，且（MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．1．如图，已知抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）经过点A （3，0），B （﹣1，0），C （0，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A 为圆心的圆与直线BC 相切于点M ，求切点M 的坐标；（3）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标. 3．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC（ (1)求抛物线的函数表达式； (2)（BCD 的面积等于（AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.4．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．5．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线l ：y kx n =+与y 轴交于点C ，与抛物线2y x bx c =-++的另一个交点为D ，已知(1,0)(5,6)A D --，，P 点为抛物线2y x bx c =++﹣上一动点（不与A 、D 重合）．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作//PF y 轴交直线l 于点F ，求PE PF +的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与直线AB：y=12x+12相交于点A（1，0）和B（t，52），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D是x轴上的一个动点，连接BD、CD，请问△BCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出点D的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由．（3）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．7．如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；（2）当点P在直线AB上方时，请求出△P AB面积的最大值并求出此时点P的坐标；（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．9．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）E是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，52）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
专题06 二次函数中三角形存在性问题(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题06二次函数中三角形存在性问题一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P 的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．令y＝0，则x2+x﹣4＝0，解得x＝﹣4或2，∴A（﹣4，0），C（2，0），∵B（0，﹣4），∴OA＝OB＝4，＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×∵S△ABD4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∵﹣1＜0，∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC 于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，＝S△OPG+S△EPG∴S△OPE＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y 轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M 1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M 4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y ＝ax 2+3x +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，8），顶点为D ，连接AC ，CD ，DB ，直线BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ．（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；（2）求四边形ABDC 的面积；（3）P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝S △ABC 时，求点P 的坐标；（4）在抛物线的对称轴l 上是否存在点M ，使得△BEM 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+3x +c （a ≠0）过点A （﹣2，0）和C （0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+3x +8．令y ＝0，得．解得x 1＝﹣2，x 2＝8．∴点B 的坐标为（8，0）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ．把点B （8，0），C （0，8）分别代入y ＝kx +b ，得，解得，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l 与x 轴交于点H ．∵抛物线的解析式为，∴顶点D 的坐标为．∴S 四边形ABDC ＝S △AOC +S 梯形OCDH +S △BDH ＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．41。
2023年重庆中考数学第二轮专题复习第24题二次函数综合题等腰三角形类
重庆中考数学第二轮专题复习第24题二次函数综合题等腰三角形类（2022-2023学年版）1.二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D．(1)求二次函数的表达式；(2)在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D同时出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，设运动时间是t且0≤t≤5，当点M，N运动到何处时，△MNB的面积最大，试求出最大面积．2.如图，已知点A的坐标为(−2,0).直线y=−3x+3与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接AC，4顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．(1)求拋物线的解析式及顶点D的坐标；(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；(3)设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN//AB，交AC于点N，Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t(秒).当以MN为直角边的▵QMN是等腰直角三角形时，直接写出此时t的值．3.在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(−1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M(m,0)是x轴一个动MB的最小值以及此时点M、N的坐标．点，请直接写出CN+MN+124.抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段PN 的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与坐标轴分别交于点A(0,6)，B(6,0)，C(−2,0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE//x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−23x2−23x+4与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E，过点E作BC的平行线交AC于点F．(1)如图1，求点D的坐标和直线BC的解析式；(2)如图1，在对称轴右侧的抛物线上找一点P，使得∠PDE=45°，点M是直线BC上一点，点N是直线EF上一点，MN//AC，求PM+MN+NB的最小值；(3)如图2，将△BOC绕点O逆时针旋转至△B′O′C′的位置，点B，C的对应点分别为点B′，C′，点B′恰好落在BC上，点T为B′C′的中点，过点T作y轴的平行线交抛物线于点H，将点T沿y轴负方向平移3个单位长度得到点K.点Q是y轴上一动点，将△QHK沿直线QH折叠为△QHK′，△BKK′是否能为等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不能，请说明理由．7.如图，直线y=−3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a(x−2)2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．(1)求a，k的值；(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．8.如图，抛物线y=ax2+bx−3经过点A(2,−3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线上有一点N，且S△OCN=6，求点N的坐标；(3)点P是对称轴上的一个动点，若存在P使△ABP是等腰三角形，请求出此时P点的坐标．9.如图，已知二次函数y=−x2+bx+3的图象与x轴的两个交点为A(4,0)与点C，与y轴交于点B．(1)求此二次函数关系式和点C的坐标；(2)请你直接写出△ABC的面积；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6)，D为抛物线的顶点．(1)求此二次函数的表达式；(2)求△CDB的面积．(3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11.在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，C，已知A(−1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的表达式．(2)如图①，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标．(3)如图②，抛物线的顶点为点E，EF⊥x轴于点F.若N是直线EF上一动点，M(m,0)是x轴上MB的最小值以及此时点M，N的坐标．一个动点，请直接写出CN+MN+1212.如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(−3,0)和点B(1,0)，交y轴于点C．(1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D的坐标为(−1,0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．(3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，抛物线y=−35x2+125x+3与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC．(1)直接写出A、B、C三点坐标及直线BC的函数表达式；(2)如图1，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN.点P是直线AB上的动点．当△NBC面积取得最大值时，求出点N的坐标及△NBC面积的最大值，并求此时PN+CP 的最小值；(3)如图2，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为参数)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(−2,0).已知M(−1+n,m)和N(5−n,m)是抛物线上两点．图1图2(1)求抛物线的解析式(结果用含a的式子表示)；(2)如图1，对称轴与x轴的交点为D，若△AOC绕原点顺时针旋转90°得到△COD，点E为x轴正半轴上一点，且满足∠CDO=∠CEO+∠CBO，求点E的坐标；(3)如图2，若△OBC为等腰三角形，点F为OC中点，连接BF；若点P在B点左侧的抛物线上，过点P作PQ⊥BF，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB=2S△QRB，求点P的坐标．15.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C(0,3)，顶点F的坐标为(1,4)，x+1交x轴于点D，交y轴于点E，交抛物线的对称轴于点G．对称轴交x轴于点H，直线y=12备用图(1)求抛物线的解析式．(2)点M为抛物线对称轴上一个动点，若△DGM是以DG为腰的等腰三角形时，请求出点M的坐标．(3)点P为抛物线上一个动点，当点P关于直线y=1x+1的对称点恰好落在x轴上时，请直接2写出此时点P的坐标．16.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连结AC，BC.M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)过点P作ON⊥BC，垂足为点N.设点M的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点且以AC为腰长的三角形是等腰三角形．若存在，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．17.已知抛物线y=ax2+34x+c经过点A(−2,0)和C(0,94)，与x轴交于另一点B，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E，F分别在线段AB，BD上(E点不与A，B重合)，且∠DEF=∠DAB，设AE=x，BF=y，求y与x的函数关系式；(3)在(2)问的条件下，△DEF能否为等腰三角形？若能，求出DF的长；若不能，请说明理由；18.如图，抛物线y=1x2+bx+c与x轴交于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，3BC，点M是抛物线在第四象限内的一个动点，过点M作MN⊥BC于点N，点M的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式；(2)请用含m的代数式表示线段MN的长；(3)试探究在点M运动的过程中，是否存在点N，使得△ACN是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．第11页，共1页。
专题 二次函数与等腰三角形有关问题(专项训练)(解析版)
专题06 二次函数与等腰三角形有关问题（专项训练）1．（2022•榆阳区一模）如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则x＝3，∴B（3，0），将C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴M（2，1），对称轴为直线x＝2，设P（2，t），∴MP＝|t﹣1|，MC＝2，CP＝，①当MP＝MC时，|t﹣1|＝2，∴t＝2+1或t＝﹣2+1，∴P（2，2+1）或（2，﹣2+1）；②当MP＝CP时，|t﹣1|＝，解得t＝﹣，∴P（2，﹣）；③当MC＝CP时，2＝，解得t＝1（舍）或t＝﹣7，∴P（2，7）；综上所述：P点坐标为（2，2+1）或（2，﹣2+1）或（2，﹣）或（2，7）．2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（3）易证线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，∴M（3，0），当x＝0时，y＝3，∴N（0，3），由题意得PD⊥MB，∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：①当MB＝MD时，∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，解得m1＝3+，m2＝3﹣，②当MB＝BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，解得，m1＝3（舍去），m2＝8（舍去），③当MD+BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，解得，m＝5.5．综上所述，m的值为3+或3﹣或5.5时，△BMD是等腰三角形．3．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x 轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝3，令x＝0，得y＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，∴A（﹣1，0）．将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）存在．如图2，∵点P在x轴上，∴设P（m，0）．∵C（0，3），D（1，0），∴由勾股定理，得：CD2＝OC2+OD2＝32+12＝10，PD2＝（m﹣1）2，CP2＝OP2+OC2＝m2+32＝m2+9，分为三种情况讨论：①当CD＝PD时，CD2＝PD2，即10＝（m﹣1）2，解得m1＝1+，m2＝1﹣，此时点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；②当CD＝CP时，CD2＝CP2，即10＝m2+9，解得m1＝﹣1，m2＝1（不符合题意，舍去），此时点P的坐标为（﹣1，0）；③当PC＝PD时，PC2＝PD2，即m2+9＝（m﹣1）2，解得m＝﹣4，此时点P的坐标为（﹣4，0）．综上所述，在x轴上存在点P，使得△PDC为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）．4．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．5．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；6．（2021•攀枝花）如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中x1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由x2+3x﹣4＝0得x1＝﹣4，x2＝1，∴A（﹣4，0），B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，∵AC⊥BC，∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠OBC，∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴＝，即＝，∴OC＝2，∴C（0，﹣2），设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），将C（0，﹣2）代入得﹣2＝﹣4a，∴a＝，∴抛物线解析式为y＝（x+4）（x﹣1）＝x2+x﹣2；（2）如图：由A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）得：AB＝5，BC＝，AC＝2，∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴△ABC∽△DBE，∴＝＝，设D（t，0），则BD＝1﹣t，∴＝＝，∴DE＝（1﹣t），BE＝（1﹣t），∴S△BDE＝DE•BE＝（1﹣t）2，而S△BDC＝BD•OC＝（1﹣t）×2＝1﹣t，∴S△CDE＝S△BDC﹣S△BDE＝1﹣t﹣（1﹣t）2＝﹣t2﹣t+＝﹣（t+）2+，∵﹣＜0，∴t＝﹣时，S△CDE最大为，此时D（﹣，0）；（3）存在，由y＝x2+x﹣2知抛物线对称轴为直线x＝﹣，而D（﹣，0），∴D在对称轴上，由（2）得DE＝×[1﹣（﹣）]＝，当DE＝DP时，如图：∴DP＝，∴P（﹣，）或（﹣，﹣），当DE＝PE时，过E作EH⊥x轴于H，如图：∵∠HDE＝∠EDB，∠DHE＝∠BED＝90°，∴△DHE∽△DEB，∴＝＝，即＝＝，∴HE＝1，DH＝2，∴E（，﹣1），∵E在DP的垂直平分线上，∴P（﹣，﹣2），当PD＝PE时，如图：设P（﹣，m），则m2＝（﹣﹣）2+（m+1）2，解得m＝﹣，∴P（﹣，﹣），综上所述，P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣2）或（﹣，﹣）．7．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC 于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）是抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝，∴根据抛物线的两点式知，y＝．（2）设PH与x轴的交点为Q1，P（a，），则H（a，），PH＝，若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ1＝∠BCO，∴tan∠APQ1＝tan∠BCO＝2，∴AQ1＝2PQ1，即a+1＝2（），解得a＝3（﹣1舍去），此时PH＝．若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，∴∠PFH＝∠PHF，∵∠CF A＝∠PFH，∠Q1HB＝∠PHF，∴∠CF A＝∠Q1HB，又∵∠ACF＝∠BQ1H＝90°，∴△ACF∽△BQ1H，∴CF＝AC＝，在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，F（1，），∴AF：，将上式和抛物线解析式联立并解得x＝（﹣1舍去），此时PH＝．若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E（见上图），∵∠CAF+∠CF A＝90°，∠P AQ+∠HPF＝90°，∠CF A＝∠HFP＝∠HPF，∴∠CAF＝∠P AQ1，即AP平分∠CAB，∴CE＝CA＝，∴E（，2），∴AE：，联立抛物线解析式，解得x＝5﹣（﹣1舍去）．此时PH＝．∴当FP＝FH时，PH＝；当PF＝PH时，PH＝；当HF＝HP时，PH＝；8．（2020•济南）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），由点A、C、D的坐标得，AC＝＝，同理可得：AD＝，CD＝，①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；故点D的坐标为（1，1）或（1，）；9．（2020•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A 和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），∴2＝a（0+6）（0﹣2），∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣（x+2）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；针对于抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2），令y＝0，则﹣（x+6）（x﹣2）＝0，∴x＝2或x＝﹣6，∴A（﹣6，0）；（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x＝﹣2，∴E（﹣2，0），∵C（0，2），∴OC＝OE＝2，∴CE＝OC＝2，∠CED＝45°，∵△CME是等腰三角形，∴①当ME＝MC时，∴∠ECM＝∠CED＝45°，∴∠CME＝90°，∴M（﹣2，2），②当CE＝CM时，∴MM1＝CM＝2，∴EM1＝4，∴M1（﹣2，4），③当EM＝CE时，∴EM2＝EM3＝2，∴M2（﹣2，﹣2），M3（﹣2，2），即满足条件的点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；10．（2020•枣庄）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由：点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：m＝±（舍去负值），故点Q（，）；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），故点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m＝（舍去）；综上，点Q的坐标为（1，3）或（，）．11．（2019•本溪）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D 重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+x+；（32）由（2）确定的点F的坐标得：CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，①当CP＝CF时，即：（2﹣m）2＝（）2+4，解得：m＝0或（0舍去），②当CP＝PF时，同理可得：m＝，③当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），故点P（2，）或（2，﹣2）或（2，）或（2，）。
专题【01】---二次函数之等腰三角形
第 1 页 共 3 页 专题——二次函数之等腰三角形 【几何法】一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么1cos2ACABA；
③如图3，如果CA＝CB，那么1cos2ABACA． 【代数法】一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
图1 图2 图3 1、如图,已知抛物线y=ax2−23ax−9a与坐标轴交于A,B,C三点,其中C(0,3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N. (1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标； 第 2 页 共 3 页
2、如图，抛物线y=31x2−3
1x−4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交
于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE//AC交x轴于点E，交BC于点F． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
3、如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=43,且经过点A(2,1),点P是抛物线上的动点,P的横坐标为m(0点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E. (1)求抛物线的解析式； (2)填空： ①用含m的式子表示点C，D的坐标：C(___,___),D(___,___)； ②当m=___时，△ACD的周长最小； (3)若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标。 第 3 页 共 3 页
专题2.2 以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题(原卷版)
第二关 以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数竞赛中也有二次函数大题，很多生在有限的时间内都不能很好完成。
由于在高中和大中很多数知识都与函数知识或函数的思想有关，生在初中阶段函数知识和函数思维方法得好否，直接关系到未来数的习。
以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题主要考查了生的数形结合能力及综合分析问题的能力，这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。
解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。
此类问题较多地关注生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性。
【解题思路】等腰三角形的存在性的解题方法：①几何法三步：先分类；再画图；后计算．②代数法三步：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用.【典型例题】【例1】如图，已知抛物线y=﹣214x +bx+4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）连接AC 、BC ，求线段BC 所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣14x 2+32x+4；（2）直线BC 的解析式为：y=﹣12x+4；（3）存在，存在点P ，使△ACP 为等腰三角形，点P 的坐标为：P 1（3，0），P 2（3，4+11），P 3（3，4﹣11）． 【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）在抛物线解析式中，令x =0，可求出点C 坐标；令y =0，可求出点B 坐标．再利用待定系数法求出直线BD 的解析式；（3）本问为存在型问题．若△ACP 为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解：（1）∵抛物线y =﹣14x 2+bx +4的图象经过点A （﹣2，0）， ∴﹣14×（﹣2）2+b ×（﹣2）+4=0， 解得：b =32，∴抛物线解析式为 y =﹣14x 2+32x +4，又∵y =﹣14x 2+32x +4=﹣14（x ﹣3）2+254，∴对称轴方程为：x =3． （2）在y =﹣14x 2+32x +4中，令x =0，得y =4， ∴C （0，4）； 令y =0，即﹣14x 2+32x +4=0，整理得x 2﹣6x ﹣16=0， 解得：x =8或x =﹣2， ∴A （﹣2，0），B （8，0）． 设直线BC 的解析式为y =kx +b ，把B （8，0），C （0，4）的坐标分别代入解析式，得：80{ 4k b b +==，解得： 1{ 24k b =-=，∴直线BC 的解析式为：y =﹣12x +4． （3）存在，理由：∵抛物线的对称轴方程为：x =3， 可设点P （3，t ），∵A （﹣2，0），C （0，4），∴AC =25，AQ =225t +，CQ =()249t -+．①当AQ =CQ 时， 有225t +=()249t -+，25+t 2=t 2﹣8t +16+9， 解得t =0， ∴P 1（3，0）； ②当AC =AP 时， 有25=225t +， ∴t 2=﹣5，此方程无实数根， ∴此时△ACP 不能构成等腰三角形； ③当AC =CP 时， 有25=()249t -+，整理得：t 2﹣8t +5=0， 解得：t =4±11，∴点P 坐标为：P 2（3，4+11），P 3（3，4﹣11）．综上所述，存在点P ，使△ACP 为等腰三角形，点P 的坐标为：P 1（3，0），P 2（3，4+11），P 3（3，4﹣11）．【名师点睛】本题考查了二次函数和一次函数的性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定及性质等知识，题目较综合，难度较大，解题的关键是会分类讨论，能够做到不重不漏，同时会利用方程思想解决问题.【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC ，BC ．（1）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA=QA ？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）21566y x x =-，直角三角形；（2）103；（3）M 1（52，205192+），M 2（52，205192-），M 3（52，5192），M 4（52，5192-）． 【解析】试题分析：（1）先确定出点A ，B 坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形；（2）根据运动表示出OP=2t ，CQ=10﹣t ，判断出Rt △AOP ≌Rt △ACQ ，得到OP=CQ 即可； （3）分三种情况用平面坐标系内，两点间的距离公式计算即可．试题解析：（1）∵直线y=﹣2x+10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，∴A （5，0），B （0，10），∵抛物线过原点，∴设抛物线解析式为2y ax bx =+，∵抛物线过点B （0，10），C （8，4），∴25506484a b a b +=⎧⎨+=⎩，∴1656a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为21566y x x =-，∵A （5，0），B （0，10），C （8，4），∴2AB =22512+=125，2BC =228(85)+-=100，2AC =224(85)+-=25，∴222AC BC AB +=，∴△ABC 是直角三角形．（2）如图1，当P ，Q 运动t 秒，即OP=2t ，CQ=10﹣t 时，由（1）得，AC=OA ，∠ACQ=∠AOP=90°，在Rt △AOP 和Rt △ACQ 中，∵AC=OA ，PA=QA ，∴Rt △AOP ≌Rt △ACQ ，∴OP=CQ ，∴2t=10﹣t ，∴t=103，∴当运动时间为103时，PA=QA ；（3）存在，∵21566y x x =-，∴抛物线的对称轴为x=52，∵A （5，0），B （0，10），∴AB=55设点M （52，m ）； ①若BM=BA 时，∴225()(10)1252m +-=，∴m 1=205192+，m 2=205192-，∴M 1（52，205192+），M 2（52，205192-）； ②若AM=AB 时，∴225()1252m +=，∴m 3=5192，m 4=5192-，∴M 3（52，5192），M 4（52，5192-）； ③若MA=MB 时，∴222255(5)()(10)22m m -+=+-，∴m=5，∴M （52，5），此时点M 恰好是线段AB 的中点，构不成三角形，舍去； ∴点M 的坐标为：M 1（52，205192+），M 2（52，205192-），M 3（52，5192），M 4（52，5192-）． 考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．【名师点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、三角形的全等的性质和判定、直角三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，要考查了解本题的关键是分情况讨论，也是本题的难点，属于中考压轴题，难度较大．【例3】如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标； （3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标． 【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）． 【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MA C 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c =++中，得：，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2ba-=1，故P （1，0）；（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2ba-=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则： 2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1；②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-；当m=﹣6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M（1，6）（1，6）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定及性质等知识，题目较综合，难度较大，解题的关键是判定等腰三角形时，一定要进行分类讨论，做到不重不漏. 【方法归纳】首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。
中考复习二次函数中 等腰三角形,直角三角形,平行 四边形的存在问题(图片版 25PPT)
∴所求抛物线的表达式为 y= x2- x-1；
满足条件的 P 为 P1（4， ）、P2（-4，7）、P3（2，-1）．
5（面积最值）已知抛物线 的图象与 x轴交于点Ａ（3，０） 和点 C，与y 轴交于点B(0,3) 。 （1）求抛物线的解析式。 （2）在抛物线的对称轴上找一点 ，使得点 到点 、 的距离之和 最小，并求出点 的坐标。 （3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点 ，使得 的面积最大？ 若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。
三、平行四边形的存在问题分类讨论 1. 假设结论成立； 2. 找点：探究平行四边形的存在性问题，一般是已知两定点求未知点坐标，此时可以 分两种情况，分别以这两点所构成的线段为边和对角线来讨论：①以这两点所构成 线段为边时，可以利用平行四边形对边平行且相等，画出符合题意的图形；②以这 两点所构成线段为对角线时，则该线段的中点为平行四边形对角线的交点，结合抛 物线的对称性，画出符合题意的图形； 3. 建立关系式，并计算. 根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用 平行四边形的性质进行计算，也可以利用抛物线的对称性、相似三角形或直角三角 形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程 组，由方程组的解为交点坐标的方法求解.
（1）
（2）
（等腰三角形）3、如图，点 Ａ在 x轴上，OA=4 ，将线段 OA绕点 O顺时针旋转120度 至ＯＢ 的位置。 （1）求点Ｂ 的坐标。 （2）求经过点Ａ 、Ｏ 、Ｂ 的抛物线的解析式。 （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点Ｐ ，使得以 点 Ｐ、Ｏ 、Ｂ 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在， 求点Ｐ 的坐标；若不存在，说明理由。
面积最值
面积最值
面积最值
不积跬步 无以至千里， 不积小流无以 成江海.
(精校版)二次函数与等腰三角形存在性问题汇总
(直打版)二次函数与等腰三角形存在性问题汇总(word 版可编辑修改)
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数
与
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腰
三
角
学生姓名
2.（2011•淮安）如图．已知二次函数 y=﹣x2+bx+3 的图象与 x 轴的一个交点为 A（4， 0）， 与 y 轴交于点 B．
（1)求此二次函数关系式和点 B 的坐标； （2）在 x 轴的正半轴上是否存在点 P．使得△PAB 是以 AB 为底边的等腰三角形？ 若存在,求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求该抛物线的解析式； （2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QE∥AC，交 BC 于点 E，连接 CQ．当△CEQ 的面积最大时，求点 Q 的坐标； （3）平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P,与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐标 为(﹣2,0）．问是否有直线 l，使△ODF 是等腰三角形?若存在，请求出点 F 的坐标； 若不存在,请说明理由．
教 学 过 程
Commented [x1]: 考点：二次函数综合题。 点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式与等腰 三角形的性质等知识．此题难度适中，注意分类讨论思想， 方程思想与数形结合思想的应用是解此题的关键，还要注 意别漏解．
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(直打版)二次函数与等腰三角形存在性问题汇总(word 版可编辑修改)
求出所有点 M 的坐标；若不存在，请说明
理由．
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word完美格式 精心整理 学习帮手 二次函数综合——二次函数与等腰三角形的点存在性问题 适用学科 数学 适用年级 初三
适用区域 北师大版 课时时长（分钟） 120
知识点 1. 二次函数综合2.等腰三角形的性质3.等腰三角形的判定 4.相似三角形的性质5.勾股定理6.二次函数解析式的确定 教学目标 1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题 2. 灵活运用数形结合思想
教学重点 巧妙运用数形结合思想解决综合问题
教学难点 灵活运用技巧及方法解决综合问题
教学过程 一、复习预习 1.二次函数的基础知识 2.等腰三角形的性质 3.相似三角形的性质
二、知识讲解 考点1 二次函数的基础知识 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关
于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数． 2.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－2ba，244acba
）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），•由于二次函数的图像为抛物
线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点． 考点2 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。 word完美格式 精心整理 学习帮手 2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。 3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。 8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方 9.等腰三角形的腰与它的高的关系 直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。 考点3 相似三角形的性质 1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。 2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 3.相似三角形周长的比等于相似比。 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方 6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项 7.c/d=a/b 等同于ad=bc. 8.不必是在同一平面内的三角形里 （1）相似三角形对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. （3）相似三角形周长的比等于相似比
三、例题精析 【例题1】
如图，抛物线y＝- x2+ x-4与x轴相交于点Ａ、Ｂ，与y轴相交于点Ｃ，抛物线的对称轴与x轴相交于点Ｍ。Ｐ是抛物线在x轴上方的一个动点（点Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一条直线上）。分别过点Ａ、Ｂ 作直线ＣＰ的垂线，垂足分别为Ｄ、Ｅ，连接ＭＤ、ＭＥ。
（1）求点Ａ、Ｂ的坐标（直接写出结果），并证明△ＭＤＥ是等腰三角形； （2）△ＭＤＥ能否为等腰直角三角形？若能，求此时点Ｐ的坐标，若不能，说明理由； （3）若将“Ｐ是抛物线在x轴上方的一个动点（点Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一条直线上）”改为“Ｐ是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△ＭＤＥ能否为等腰直角三角形？若能，求此时点Ｐ的坐标（直接写出结果），若不能，说明理由。 word完美格式 精心整理 学习帮手 【答案】 （1）抛物线解析式为y=﹣x2+ x﹣4，令y=0，
即﹣x2+ x﹣4=0，解得x=1或x=5，∴A（1，0），B（5，0）． 如答图1所示，
分别延长AD与EM，交于点F； ∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE，∴∠MAF=∠MBE； 在△AMF与△BME中，∠MAF=∠MBE，MA=MB,∠AMF=∠BME； ∴△AMF≌△BME（ASA）， ∴ME=MF，即点M为Rt△EDF斜边EF的中点， ∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形 （2）能；
抛物线解析式为y=﹣x2+ x﹣4=﹣（x﹣3）2+ ， ∴对称轴是直线x=3，M（3，0）； 令x=0，得y=﹣4，∴C（0，﹣4） △MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形； ①若DE⊥EM， 由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上， 而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上， word完美格式 精心整理 学习帮手 由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合， 不符合题意，故此种情况不存在； ②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在； ③若EM⊥DM，如答图2所示
设直线PC与对称轴交于点N， ∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA 在△ADM与△NEM中，∠EMN=∠DMA，EM=DM,∠ADM=∠NEM=135°； ∴△ADM≌△NEM（ASA），∴MN=MA
抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4=﹣（x﹣3）2+，故对称轴是直线x=3， ∴M（3，0），MN=MA=2， ∴N（3，2） 设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，2），C（0，﹣4）在抛物线上，
∴ ，解得k=2，b=﹣4，∴y=2x﹣4
将y=2x﹣4代入抛物线解析式得2x﹣4=﹣x2+x﹣4 解得x=0或x=， 当x=0时，交点为点C；当x=时，y=2x﹣4=3 ∴P（ ，3） 综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（ ，3） （3）能； 如答题3所示，设对称轴与直线PC交于点N； word完美格式
精心整理 学习帮手 与（2）同理，可知若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M； ∵MD⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB 在△DMN与△EMB中，∠DMN=∠EMB，MD=MB,∠MDN=∠MEB=45°； ∴△DMN≌△EMB（ASA）， ∴MN=MB； ∴N（3，﹣2） 设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，﹣2），C（0，﹣4）在抛物线上，
∴，解得k=，b=﹣4，∴y=x﹣4
将y=x﹣4代入抛物线解析式得x﹣4=﹣x2+x﹣4， 解得x=0或x= ， 当x=0时，交点为点C；当x= 时，y=x﹣4= ∴P（，） 综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（ ， ） 【解析】 （1）在抛物线解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得点A、点B的坐标； 如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形△AMF≌△BME，得到点M为为Rt△EDF斜边EF的中点，从而得到MD=ME，问题得证； （2）首先分析，若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M；如答图2所示，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，从而求得点N坐标为（3，2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标； （3）当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同； 【例题2】
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； word完美格式 精心整理 学习帮手 （2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；
（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒． ①当t为 秒时，△PAD的周长最小？当t为 或 秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号） ②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】 （1）由抛物线的轴对称性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）．
（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N， 由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM． ∵MN∥y轴，AB∥CD， ∴四边形ODMN是矩形． ∴DM=ON=2， ∴CD=2×2=4． ∵A（﹣1，0），B（﹣3，0）， ∴AB=2， ∵梯形ABCD的面积=（AB+CD）•OD=9， ∴OD=3，即c=3．