人教版高二数学选修2-3第一章第一节《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教案学案含答案
人教版高中数学选修2-3分类加法计数原理和分步乘法计数原理讲义
2
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？ 反馈训练 3 在 7 名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋，有 2 名会下围棋但不会下象棋， 另 2 名既会下象棋又会下围棋，现从这 7 人中选 2 人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多 少种不同的选法？
附：某艺术小组有 9 人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中 7 人会钢琴，3 人会小 号，从中选出会钢琴与会小号的各 1 人，有多少种不同的选法？
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第二课时
教学要求 理解两个计数原理，会用两个原理解决一些实际简单问题
教学重点 熟练应用两个计数原理
教学难点 能利用两个原理解决一些综合性问题
【牛刀小试】将正整数 n 表示成 k 个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数 n 分
成 k 个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同
的划分，将正整数 n 划分成 k 个部分的不同划分的个数记为 P（n,k），则 P（10,3）的值为
（）
A．12 B．10
C．8
考点 2 分步乘法计数原理的应用
例 2 已知集合 M {3,2,1,0,1,2}， P(a, b)(a, b M ) 表示平面上的点，问： (1)点 P 可表示平面上多少个不同的点？ (2)点 P 可表示平面上多少个第二象限内的点？
反馈训练 2 若乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3 名主力队员要 安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共 有多少种？
高中数学人教A版选修2-3同步课件1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
• 新知导学 • 1．分类加法计数原理 • 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中 有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不 m＋n 同的方法，那么完成这件事共有 N＝ __________种不同的方法． • 2．分类加法计数原理的推广 • 完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案 m1＋m2＋„＋mn 中有 m1种不同的方法，在第2类方案中有m2 种不同的方法，„，在第n类方案中有mn种 不同的方法，那么完成这件事共有N＝
• 2．用1、2、3这3个数字可以写出没有重复 数字的整数________个． • [答案] 15 • [解析] 分三类：第一类为一位整数，有3个； • 第二类为两位整数，有12,21,13,31,23,32， 共6个； • 第三类为三位整数，有 123,132,321,312,231,213，共6个， • ∴共写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15 个．
•分步乘法计数原理
思维导航 2．2013 年 9 月，第 12 屈全运会在辽宁召 开，这是中国体坛的一大盛事．一名志愿者从广 州赶赴沈阳为游客提供导游服务， 但需在北京停 留，已知从广州到北京每天有 7 个航班，从北京 到沈阳每天有 6 列火车．请思考：该志愿者从广州到沈阳需要 经历几个步骤？完成每一步各有几种方法？该志愿者从广州到 沈阳共有多少种不同的方法？
• 新知导学 • 3．分步乘法计数原理 • 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不 m×n 同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么 完成这件事共有N＝__________种不同的方 法． • 4．分步乘法计数原理的推广 • 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1 m1×m2ׄ×mn 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方 法，„，做第n步有mn种不同的方法，那么 完成这件事共有N＝___________________
人教A版高中数学选修2-3课件高二《1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理》
4．从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名， 有多少种不同的选法？
Zx.xk
•
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法
答：最多可以给1053个程序命名。
•
例3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照 号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都 必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母 必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给 多少辆汽车上牌照？
课堂练习
1、乘积 (a1 a2 a3 )(b1 b2 b3 )(c1 c2 c3 c4 c5 ) 展开后共有几项？
2、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个 门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多 少种不同的进出商场的方式？
•
3．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组 成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都 是。到 9 之间的一个数字，那么这个电话局不同 的电话号码最多有多少个？
分析：按照新规定，牌照可以分为 2类，即字母组合在左和字母组合在右．确定一个牌照的字母和数字可 以分6个步骤． 解：将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤 确定一个牌照的字母和数字： 第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法； 第2步，从剩下的25个字母中选 1个，放在第2位，有25种选法； 第3步，从剩下的24个字母中选 1个，放在第3位，有24种选法； 第4步，从10个数字中选1个，放在第 4 位，有10种选法；
…… 第5步，从剩下的 9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的 8个字母中选 1个，放在第 6位，有8种选法．
高二数学人教A版选修2-3课件：1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
解析:要完成选择听讲座这件事,需要分六步完成,即 6 名同学逐 个选择要听的讲座,因为每名同学均有 5 种讲座可选择,由分步乘法
计数原理,6 位同学共有 5×5×5×5×5×5=56(种)不同的选法.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
(2)已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆的个数为 ( )
结果,只需一种方法就可 完成这件事
事,只有各个步骤都完成了,才能 完成这件事
各类 (步) 的关 系
各类方法之间是互斥的、 并列的、独立的,即“分类 互斥”
各步之间是关联的、独立的,“关 联”确保连续性,“独立”确保不 重复,即“分步互依”
目标导航
预习导引
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4.用两个计数原理解决问题的步骤 用两个计数原理解决计数的问题时,最重要的是开始计算之前要仔细分析——需要分类还是分步. 分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数. 分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤,恰好完成任务,步与步之间要相互独立,分步后再计算每一步 的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.
A.9
B.12
C.8
D.24
思路分析:确定圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标及半径,可以用分步乘法计数原理解决.
答案:D
解析:完成表示不同的圆这件事有三步:第1步,确定a有3种不同的选取方法;第2步,确定b有4种不同的选取方
法;第3步,确定r有2种不同的方法.由分步乘法计数原理,方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆共有 3×4×2=24(个).
最新人教版高中数学选修2-3《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计
教学设计1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理整体设计教材分析两个原理的主要内容都是计算在完成一件事情中所有不同方法种数的问题，其区别在于：运用加法原理的前提条件是做一件事有n类方案，选择任何一类方案中的任何一种方法都可以独立完成此事，也就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的；运用乘法原理的前提条件是做一件事有n个步骤，只有依次完成所有的步骤后才能完成这件事，也就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的．两个原理本身是容易理解的，但学生又缺乏一定的认知基础，而这两个原理是我们学习排列、组合的基础，它的方法和思想贯穿于整章的教学内容中，故学生对两个原理的掌握程度决定后面两个单元的学习效果．所以在教学中要通过实例导入，引导学生利用实例分析两个原理的区别，明确使用的前提条件．课时分配4课时第一课时教学目标知识与技能1．归纳得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理．2．初步学会区分“分类”和“分步”，能够用两个计数原理解决简单的计数问题．过程与方法通过对简单实例的分析概括，总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理．情感、态度与价值观引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式，培养学生的抽象概括能力．重点难点教学重点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理．教学难点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的准确理解．教学过程引入新课提出问题1：某家庭欲在五一期间从甲地去乙地进行自助旅游，一天中有火车3班，有汽车2班，那么这个家庭一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法？提出问题2：后来听说丙地也是旅游胜地，于是改变行程，先从甲地到乙地，再从乙地到丙地，已知乙地到丙地一天中有飞机2班，轮船2班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到丙地共有多少种不同的走法？活动设计：请学生举手回答．活动成果：问题1如图1，从甲地到乙地共有两类不同的走法，其中坐火车有3种走法，坐汽车有2种走法，所以从甲地到乙地共有5种不同的走法．图1问题2如图2，先从甲地到乙地，再从乙地到丙地，有5类不同的方案．图2若从甲地到乙地乘火车1，从乙地到丙地有飞机2班，轮船2班共4种不同的走法；同样，若从甲地到乙地乘火车2、3和汽车1、2，从乙地到丙地均有飞机2班，轮船2班共4种不同的走法，所以从甲地经乙地到丙地共有4＋4＋4＋4＋4＝4×5＝20种不同的走法．设计意图：从两个具体的例子入手，引出这一章要研究的问题：计数问题．为引出分类加法计数原理和分步乘法计数原理做准备．1．分类加法计数原理探索新知提出问题1：由上述问题1，你能归纳猜想出一般结论吗？活动设计：先独立思考，后小组交流，学生总结，教师补充．活动成果：分类加法计数原理：完成一件事，有两类不同的方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．设计意图：培养学生的抽象概括能力，得到分类加法计数原理．理解新知提出问题1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？活动设计：请学生举手回答．活动成果：由于这名同学在A、B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择A、B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．又由于两所大学没有共同的强项专业，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为5＋4＝9.设计意图：强调解决计数问题时，应特别注意使用计数原理的条件．提出问题2：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学．那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？活动设计：学生举手发言．活动成果：解：这名同学可以选择A、B、C三所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，在C大学中有3种专业选择方法．又由于三所大学没有共同的强项专业，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为5＋4＋3＝12.设计意图：加深对分类加法计数原理的理解，明确使用的条件．提出问题3：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？活动设计：学生举手发言．活动成果：共有m1＋m2＋m3种不同的方法．设计意图：将分类加法计数原理推广到三类的情况，为进一步推广奠定基础．提出问题4：如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？活动设计：学生举手发言，学生补充，教师总结．活动成果：完成一件事，有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．设计意图：推广分类加法计数原理，加深对分类加法计数原理的理解．2．分步乘法计数原理探索新知提出问题1：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？活动设计：请学生举手回答．活动成果：用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54个不同的号码．设计意图：进一步应用分类加法计数原理，为引出分步乘法计数原理做准备．提出问题2：由上述问题，你能归纳猜想出一般结论吗？活动成果：分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．设计意图：培养学生的抽象概括能力，得到分步乘法计数原理．理解新知提出问题1：设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选择？活动设计：学生分析思路．活动成果：思路分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤：第1步是选男生，第2步是选女生．解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24＝720种不同的选法．设计意图：在用原理做题时，要从完成一件事的角度去分析，完成这件事是分成几个不同的步骤还是几个不同的类别．提出问题2：学校要为同学们订做新校服，有三个服装厂，每个服装厂均提供了五种款式，每种款式均有六种颜色可供选择，那么学校有多少种不同的订做校服的选择？活动设计：学生举手回答．活动成果：可以把订做校服这件事分成三个步骤来完成．第一步，选择服装厂，有3种选择；第二步，选择款式，有5种选择；第三步，选择颜色，有6种选择．根据分步乘法计数原理，共有3×5×6＝90种不同的选择．设计意图：将分步乘法计数原理推广到分三步的情况，为进一步推广奠定基础．提出问题3：由上述问题，你能得到更一般的结论吗？活动设计：学生举手发言，学生补充，教师总结．活动成果：完成一件事，需要n个不同的步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．设计意图：推广分步乘法计数原理，加深学生对分步乘法计数原理的理解．提出问题4：比较分类加法计数原理和分步乘法计数原理，你能找出它们的区别与联系吗？活动成果：1．相同点：都是回答有关完成一件事的不同方法种数的问题．2．不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，只完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成．设计意图：引导学生对两个计数原理作比较，加深对原理使用条件的理解．运用新知例书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？(2)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？(3)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？思路分析：(1)要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的哪一本书都可以完成这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理．(2)要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有在第1、2、3层中都取一本书后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理．(3)要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理．解：(1)从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9.(2)从书架的第1,2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N＝m1×m2×m3＝4×3×2＝24.(3)N＝4×3＋4×2＋3×2＝26.【巩固练习】要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N＝3×2＝6.6种挂法可以表示如下：【变练演编】为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码．在某网站设置的信箱中，(1)密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？(2)密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的一个．这样的密码共有多少个？解：(1)设置电子密码可以分成四个步骤：第一步，确定第一位密码，有10种不同的方法；第二步，确定第二位密码，有10种不同的方法；第三步，确定第三位密码，有10种不同的方法；第四步，确定第四位密码，有10种不同的方法．根据分步乘法计数原理，不同的密码共有10×10×10×10＝10 000个．(2)设置电子密码可以分成四个步骤：第一步，确定第一位密码，有两类不同的方案．第一类方案选数字有10种不同的方法，第二类方案选字母，有26种不同的选择，共有10＋26＝36种不同的选法；第二步，确定第二位密码，有两类不同的方案．第一类方案选数字有10种不同的方法，第二类方案选字母，有26种不同的选择，共有10＋26＝36种不同的选法；第三步，确定第三位密码，有两类不同的方案．第一类方案选数字有10种不同的方法，第二类方案选字母，有26种不同的选择，共有10＋26＝36种不同的选法；第四步，确定第四位密码，有两类不同的方案．第一类方案选数字有10种不同的方法，第二类方案选字母，有26种不同的选择，共有10＋26＝36种不同的选法．根据分步乘法计数原理，不同的密码共有36×36×36×36＝364个．设计意图：进一步加深对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解，初步接触分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合运用．【达标检测】1．填空：(1)一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是________．(2)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有________条．2．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有________种行车路线．3．某地的部分电话号码是0543316××××，后面的每个数字来自0～9这10个数，问可以产生多少个不同的电话号码？答案：1.(1)9(2)6 2.12 3.10 000课堂小结1．知识收获：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，以及它们的区别与联系．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．2．方法收获：分类讨论、化归思想．3．思维收获：抽象概括问题的能力．补充练习【基础练习】1．(1)在图Ⅰ的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？(2)在图Ⅱ的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．(1)从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？(2)从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？答案：1.(1)5(2)6 2.(1)12(2)60【拓展练习】已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数有多少？解答：要确定圆的方程可以分成三个步骤：第一步，确定a的值，有3种不同的选择；第二步，确定b的值，有4种不同的选择；第三步，确定半径r的值，有2种不同的选择．根据分步乘法计数原理得，共可表示圆的个数为3×4×2＝24.设计说明本节课是计数原理的起始课，是全章内容的理论依据和知识基础．重点介绍分类加法计数原理和分步乘法计数原理，理解两个原理的区别与联系，并会初步应用两个原理解决计数问题．本节课的设计主要是实例分析、问题驱动、归纳总结、类比思考、启发引导、自主探索等教学方式．主要特点是引导学生把两个原理总结出来，并总结出两个原理的区别与联系．实例分析总结、类比分析是本节课设计的主要特点．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行变练演编，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料例1某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤．现要配成一荤一素一汤的套餐．问可以配制出多少种不同的品种？分析：1.完成的这件事是什么？2．如何完成这件事？(配一个荤菜、配一个素菜、配一个汤)3．它们属于分类还是分步？(是否独立完成)4．运用哪个计数原理？5．进行计算．解：属于分步：第一步，配一个荤菜，有3种选择；第二步，配一个素菜，有5种选择；第三步，配一个汤，有2种选择．共有N＝3×5×2＝30种不同的品种．例2有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书．(1)从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？(2)从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？(1)分析：1.完成的这件事是什么？2．如何完成这件事？3．它们属于分类还是分步？(是否独立完成)4．运用哪个计数原理？5．进行计算．解：属于分类：第一类，从上层取一本书，有5种选择；第二类，从下层取一本书，有4种选择．共有N＝5＋4＝9种．(2)分析：1.完成的这件事是什么？2．如何完成这件事？3．它们属于分类还是分步？(是否独立完成)4．运用哪个计数原理？5．进行计算．解：属于分步：第一步，从上层取一本书，有5种选择；第二步，从下层取一本书，有4种选择．共有N＝5×4＝20种．(设计者：徐西文)第二课时教学目标知识与技能分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用．过程与方法通过对简单实例的分析概括，总结分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用的方法．情感、态度与价值观引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式，培养学生的抽象概括能力和分类讨论能力．重点难点教学重点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用．教学难点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用．教学过程复习回顾提出问题1：某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？提出问题2：有一个班共有46名学生，其中男生有21名．(1)现要选派一名学生代表本班参加学校的学代会，则有多少种不同的选派方法？(2)若要选派男、女学生各一名代表本班参加学校的学代会，则有多少种不同的选派方法？活动设计：请同学分析思路和解法依据，并由另外的同学补充．活动成果：1．要完成领带和衬衣的搭配可以分两个步骤：第一步，选择一条领带，有4种不同的选择；第二步，选择一件衬衣，有6种不同的选择．根据分步乘法计数原理，共有4×6＝24种不同的搭配方法．2．(1)要选派一名学生代表本班参加学校的学代会有两类不同的选法：第一类，选男生，有21种不同的选择；第二类，选女生，有25种不同的选择．根据分类加法计数原理，共有21＋25＝46种不同的选择．(2)要选派男、女学生各一名代表本班参加学校的学代会，可以分成两个步骤：第一步，选男生，共有21种不同的选择；第二步，选女生，共有25种不同的选择．根据分步乘法计数原理，共有21×25＝525种不同的选法．设计意图：通过以上两个简单的问题，引导学生回顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理．提出问题3：上一节课我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并将两个原理进行了推广，请同学们回忆我们推广的两个原理的内容，并回忆两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生回答，请不同的同学补充．活动成果：1．分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：完成一件事，需要n个不同的步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系：(1)相同点：都是回答有关完成一件事的不同方法种数的问题．(2)不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，只完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成．设计意图：检查学生对两个原理的掌握情况，为本节课的学习提供知识基础和方法提示．典型示例例1给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？思路分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，选中间字符；第三步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．解：第一步，先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有7＋6＝13种不同的选法．第二步，中间字符和末位字符各有9种不同的选法．根据分步乘法计数原理，最多可以有13×9×9＝1 053种不同的选法，即最多可以给1 053个程序命名．例2核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分．一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据．总共有4个不同的碱基，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关．假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？思路分析：用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、G、U中任选一个来占据．第1位第2位第3位第100位↑↑↑↑4种4种4种4种解：100个碱基组成的长链共有100个位置，如上图所示．从左到右依次在每个位置中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法．根据分步计数原理，长度为100的所有可能的RNA分子种数为.例3电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．问：(1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？(2)计算机汉字国标码(GB码)包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？思路分析：由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题．解：(1)用下图来表示一个字节．第1位第2位第3位第8位↑↑↑↑2种2种2种2种一个字节共有8位，每位上有2种选择．根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示2×2×2×2×2×2×2×2＝28＝256个不同的字符．(2)由(1)知，用一个字节所能表示的字符不够6 763个，我们就考虑用2个字节能够表。
高中数学人教A版选修2-3课件1-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
纠错心得解决计数问题的基本策略是合理分类和分步,然后应用 分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计算.解决本题易出现的 问题是对完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误,对于(1), 选择的标准不同,误认为每个信箱有三种选择,所以可能的投法有34 种;对于(2),易混淆“类”与“步”,误认为到达乙地要先乘火车后坐轮 船,进而使用分步乘法计数原理计算.
第1课时
课标阐释
思维脉络
1.理解分类加法计数原理与分步 乘法计数原理. 2.会用这两个原理分析和解决一 些简单的实际计数问题.
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,
在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种
不同的方法.
【做一做1】 已知某校高二(1)班有54人,高二(2)班有56人,现从
种种 3种 4种
(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不
同时间里,火车有4趟,轮船有3班,则此人的走法共有
种.
易错分析:(1)若选择信箱作为标准,则第一个信箱可以有3封信去
投,共有3种投法;同理第二个信箱也有3种投法;依次类推共有
3×3×3×3=34种投法,故而错选D;
(2)若搞不清分步还是分类,把此题当成分步,则有3×4=12种,从
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
变式训练3如图,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2 条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.从甲地到丙 地共有多少种不同的走法?
解:要从甲地到丙地共有两类不同的方案: 第1类,从甲地经乙地到丙地,共需两步完成; 第1步,从甲地到乙地,有3条公路可走; 第2步,从乙地到丙地,有2条公路可走.
高中数学选修2-3第一章计数原理教案11分类加法计数原理和分步乘法计数原理.doc
1・1分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目标：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）・教学难点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）的准确理解.授课类型：新授课・课时安排：2课时・教具：多媒体、实物投彫仪.教学过程：引入课题先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一•排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用冇关排列、组合知识.排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的來说，就是研究按某一•规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这节课, 我们从具体例子出发來学习这两个原理.1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1・1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1・2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从卬地到乙地共冇多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N = m + n种不同的方法.（3）知识应用例1•在填写高考志愿表时，一名高中毕业牛了解到，A,B两所大学各有一些白己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B人学生物学数学会计学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共冇多少种选择呢？分析：由于这名同学在A , B两所人学屮只能选择一所，而且只能选择一个专业，乂由于两所大学没冇共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件.解：这名同学可以选择A , B 两所人学屮的--所.在A大学小有5种专业选样方法，在B大学中有4种专业选择方法.又由于没冇一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理, 这名同学可能的专业选择共有5+4=9 (种)・变式：若还冇C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在笫1类方案中有"种不同的方法，在第2 类方案中有®种不同的方法，在笫3类方案中有®种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有〃类不同方案，在每一•类中都有若T-种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n类办法，在笫1类办法中有"种不同的方法，在笫2类办法中有加2 种不同的方法……在第n类办法中有加”种不同的方法.那么完成这件事共有7V = /% + 加2 + ° …+ m n种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立,用任何一类屮的任何一-种方法都nJ以单独完成这件事. 2 分步乘法计数原理(1)提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以A2，-, B、，B?,… 的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码:字母数字得到的号码/IZ2A?/犷A,A4As比A,\8£我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而它们各不相同，因此共冇6X9 = 54个不同的号码.探究：你能说说这个问题的特征吗？(2)发现新知分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法.那么完成这件事共有N = mxn种不同的方法.(3)知识应用例2.设某班冇男生30名，女生24名•现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤.第1步选男生.第2步选女生.解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；第2步，从24名女生中选出1人，冇24种不同选择.根据分步乘法计数原理，共有30X24二720种不同的选法•探究：如果完成一件事需耍三个步骤，做第1步有“种不同的方法，做第2步有®种不同的方法，做第3步有加3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要〃个步骤，做每一•步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n个步骤，做笫1步有"种不同的方法，做笫2步有加2种不同的方法……做第n步有加“种不同的方法•那么完成这件事共冇N = m A x m2x • • • x m n种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存, 完成任何其小的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理界同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事耍分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只冇当各个步骤都完成后, 才算完成这件事，是合作完成.3 综合应用例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2木不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1木书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3层小各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有笫1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先耍考虑的是取哪两个学科的帖，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解：(1)从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书, 冇4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，冇3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N =加］+ + m3 =4+3+2=9;(2 )从书架的第1,2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步从第3层収1本体育书，有2种方法.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N -加］x m2 x m3 =4 X 3 X 2=24 .(3) N = 4x3 + 4x2 + 3x2 = 26o例4.耍从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分別挂在左、右两边墙上的指定位置, 问共有多少种不同的挂法？解：从3幅画屮选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步, 从3幅呦屮选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画屮选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N=3 X 2=6 ・6种挂法可以表示如下:左边左甲右乙左甲右丙左乙右甲左乙右丙右边得到的挂法左丙右甲左丙右乙分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其屮各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤屮的方法互和依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.练习1.填空：(1)一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会川第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是—；(2 )从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B 的路线有—条.2.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.(1 ) 从屮任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去C村，不同(2 )从3个年级的学生屮各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？3.在例1中，如果数学也是A人学的强项专业，则A人学共有6个专业可以选择, B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择共有6 + 4 = 1()(种).这种算法有什么问题？例5•给程序模块命名，需耍用3个字符，其中首字符要求用字母A〜G或U〜Z,后两个要求用数字1〜9.问最多可以给多少个程序命名？分析：耍给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符.而首字符乂可以分为两类.解：先让算首字符的选法.由分类加法计数原理，首字符共有7+ 6= 13种选法.再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原理，最多可以有13X9X9 = = 1053个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名.例6.核糖核酸(RNA)分子是在牛•物细胞屮发现的化学成分一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链屮每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据. 总共有4种不同的碱基，分别用A, C, G, U表示.在一个RNA分子屮，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子分析：用图1. 1-2来表示由100个碱基组成的长链，这时我们共有100个位置，每个位置都可以从A , C , G , U屮任选一个来占据.解:100个碱基组成的长链共有100个位置，如图1.1-2所示.从左到右依次在每一个位置中，从A , C , G , U中任选一个填人，每个位置冇4种填充方法.根据分步乘法计数原理，长度为100的所有可能的不同RNA分子数目有4-4••…4 = 4】°° （个）例7•电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只冇0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节來表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问: （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析：由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值祁有0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解木题.解：（1）用图1.1-3來表示一个字节.第1位第2位第3位第8位图1 . 1 一3一个字节共有8位，每位上有2种选择.根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示2X2X2X2X2X2X2X2= 28 =256个不同的字符;（2）由（1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够6 763个，我们就考虑用2 个字节能够表示多少个字符.前一个字节冇256种不同的表示方法，后一个字节也冇256 种表示方法.根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示256X256 = 65536个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6 763.所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用2个字节表示.例&计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底冇多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多了模块组成.如图1.1-4,它是一个具冇许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？•开始•字模块丄字模块2 字模块3•18条执行略径45条执行酰径2B条执行路径•字模块•38条执行路径•給東图1. 1 一4分析：整个模块的任意-条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束•而第1步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成;第2步可山子模块4或子模块5来完成.因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.解：由分类加法计数原理，子模块1或子模块2或子模块3中的子路径共有18 + 45 + 28 = 91 （条）；了模块4或了模块5屮的了路径共有38 + 43 = 81 （条）.又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有91X81 = 7 371 （条）.在实际测试屮，程序员总是把每一个了模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常.总共需耍的测试次数为18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172.再测试各个模块Z间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为3X2=6 .如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常.这样，测试整个模块的次数就变为172 + 6=178 （次）・显然，178打7371的差距是非常大的.你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？例9•随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门岀台了一•种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉们数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？分析：按照新规定，牌照可以分为2类，即字母组合在左和字母组合在右.确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤.解：将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右.字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个字母屮选1个，放在第6位，有8种选法.根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26 X25X24X10X9X8=11 232 000 （个）.同理，字母纽合在右的牌照也有11232 000个.所以，共能给11232 000 + 11232 000 = 22464 000 （个）.辆汽车上牌照.川两个★数原理解决计数问题时，最重耍的是在开始计算之前要进行仔细分析一需耍分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类示再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”一完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步Z间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.练习1 •乘积（q +0 + Q3）（也+ b? + $）（q + C2 + C3 + C4 + C5）展开后共有多少项?2.某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字纟fl成，其屮前四位的数字是不变的，后四位数字都是。
高中数学选修2-3精品课件：1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)
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3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成 复数a＋bi，其中虚数有___3_6____个. 解析 第一步取b的数，有6种方法， 第二步取a的数，也有6种方法， 根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36(种)方法.
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4.将3封信投入6个信箱内，不同的投法有___2_1_6___种. 解析 分三步，每一步投一封信. 每封信都有6种投法， 共有6×6×6＝216(种)不同的投法.
从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法； 从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法. 所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10 ＋9×10＝431(种).
规律方法 (1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是 “分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步” 的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看 能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏. (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运 用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图 或列出表格，使问题更加直观、清晰.
2.用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1， A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能 编出多少个不同的号码？ 答 编写一个号码要先确定一个英文字母， 后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图 列出所有可能的号码.如图：
由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任 何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9＝54(个)不同的号码.
第一章——
1.1 分类加法计数原理与分步乘法 计数原理(一)
[学习目标] 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.
人教A版高中数学高二选修2-3课件 1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
方法.
答案:C
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答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
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1.某校高一年级共8个班,高二年级共6个班,从中选一个班级担任学 校星期一早晨升旗任务,安排方法共有 ( ) A.8种 B.6种 C.14种 D.48种 解析:由分类加法计数原理,得完成升旗这一任务分两类,安排方法 共有8+6=14种. 答案:C
种不同的选法;第2步,选长裤,从7条长裤中任选一条,有7种不同的
选法.故共有4×7=28种不同的配法.
答案:B
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探究一
探究二
思维辨析
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解:(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的 方案.
第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法; 第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法; 第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会 主席,共有50+60+55=165种不同的选法.
纠错心得解决计数问题的基本策略是合理分类和分步,然后应用 分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计算.解决本题易出现的 问题是对完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误,对于(1), 选择的标准不同,误认为每个信箱有三种选择,所以可能的投法有34 种;对于(2),易混淆“类”与“步”,误认为到达乙地要先乘火车后坐轮 船,进而使用分步乘法计数原理计算.
高中数学选修2-3精品教案2：1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教学设计
分类加法计数原理与分步乘法计数原理第二课时教学目标1. 能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；2. 能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题；3. 会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用.教学重点：两个基本原理的进一步理解和体会教学难点：正确判断是分类还是分步，分类计数原理的分类标准及其多样性课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程一、课前准备复习1：什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？它们在使用时的主要区别是什么？分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N +=种不同的方法.分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N ⨯=种不同的方法. 区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．复习2：现有高二年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组.⑴ 选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？⑵ 每组选1名组长，有多少种不同的选法？(1)7+8+9=24;(2)7×8×9=504二、新课导学※ 学习探究探究任务一：两个原理的应用问题：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A ～G 或U ～Z , 后两个要求用数字1～9.问最多可以给多少个程序命名？解：由分类加法计数原理可知，首字符共有7+6=13种选法，由分步乘法计数原理可知共有13×9×9=1053个不同的名称.新知：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，正确选择是分类还是分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务.试试：积()()()4321321321c c c c b b b a a a +++++++展开后共有多少项？反思：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个原理，有时还可能多次使用同一原理. ※ 典型例题例1 核糖核酸（RNA ）分子是生物细胞中发现的化学成分.一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4中不同的碱基，分别是A ,C ,G ,U 表示.在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意位置上的碱基与其他位置的碱基无关.假设有一类RNA 分子有100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA 分子？解：100个碱基组成的长链共有 100个位置，如图1 . 1一2所示．从左到右依次在每一个位置中，从 A , C , G , U 中任选一个填人，每个位置有 4 种填充方法．根据分步乘法计数原理，长度为 100 的所有可能的不同 RNA 分子数目有1001004444⋅⋅⋅=（个）变式：电子元件很容易实现电路的通与断，电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或两个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问： ⑴ 一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？⑵ 计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析：由于每个字节有 8 个二进制位，每一位上的值都有 0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题．解：(1）用图1.1一3 来表示一个字节．图 1 . 1 一3一个字节共有8 位，每位上有2 种选择．根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示2×2×2×2×2×2×2×2= 28 =256 个不同的字符；( 2）由（1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够6 763 个，我们就考虑用2 个字节能够表示多少个字符．前一个字节有256 种不同的表示方法，后一个字节也有256 种表示方法．根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示256×256 = 65536汉字个数6 763．所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用 2 个字节表示．小结：使用分步计数原理时，要注意各步中所有的可能情况，做到不重不漏.例2计算机编程人员在编好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径，以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图，它是一个具有许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？（课本P8）解：由分类加法计数原理，子模块 1 或子模块2 或子模块3 中的子路径共有18 + 45 + 28 = 91（条）; 子模块4 或子模块5 中的子路径共有38 + 43 = 81（条）.又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有91×81 = 7 371（条）.变式：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？解：将汽车牌照分为2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选 1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选 1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第 4 位，有10种选法；第5步，从剩下的 9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的 8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法．根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26 ×25×24×10×9×8=11 232 000（个）. 同理，字母组合在右的牌照也有11232 000 个．所以，共能给11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个）辆汽车上牌照．※ 动手试试练1. 某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？答案： 30种练2. 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（各位上的数允许重复） 答案： 100种三、总结提升※ 学习小结1. 正确选择是分类还是分步的方法2. 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”.※ 知识拓展乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有类似关系.四、当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）1. 从5名同学中选出正，副组长各一名，共有20种不同的选法.2. 某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局最多有10000个.3. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可以构成___16____个不同的分数，可以构成7个不同的真分数.4. 在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在集合｛0，1，2，3，4，5｝内取值的不同点共有36个.五、课后作业1. 设x,y *∈N ，4x y +≤，则在直角坐标系中满足条件的点()M x,y 共有个；2.在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝, y轴上的截距在集合C=｛2，4，6，8｝内取值的不同直线共有条.3. 有3个班的同学分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法种数是.4. 在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有种.5. 用1，2，3三个数字，可组成个无重复数字的自然数.6. 一个班级有8名教师，30位男同学，20名女同学，从中任选教师代表和学生代表各一名，共有不同的选择种数为.六、教学反思七、板书设计（略）。
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1.1. 两个原理
【教学目标】
准确理解两个原理，弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。
【教学重难点】
教学重点：两个原理的理解与应用
教学难点：学生对事件的把握
【教学过程】
情境设计
1、从学校南大门到图艺中心有多少种不同的走法？
2、从学校南大门经图艺中心到食堂有多少种不同的走法？（请画分析图）
3、课件中提供的生活实例。
新知教学
引出原理：
分类计数原理：完成一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m1种不同的方法,在第二类
方式,中有m2种不同的方法，……，在第n类方式,中有mn种不同的方法. 那么完成这件事共
有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
分步计数原理：完成一件事,需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有
m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有
N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
巩固原理
例1、某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。
（1）若学校分配给该班1名代表，有多少不同的选法？
（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女代表各一名，有多少种不同的选法？
解：见书本第6页例1
（让学生明确是一件什么样的事）
练习1、乘积1231234aaabbbb
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ccccc
展开后共有多少项？
例2（1）在下图（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
（2）在下图（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
B
A
（1）
B
A
（2）
解：见书本第6页例2
（让学生明确是一件什么样的事，结合物理知识进行原理运用）
例3、为了确保电子信箱的安全,在注册时通常要设置电子信箱密码.在网站设置的信箱中,
（1）密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的 密码共有多少个?
（2）密码为4位,每位是0到9这10个数字中的一个,或是从A到Z这26个英文字母中的
1个,这样的密码共有多少个?
（3）密码为4～6位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的 密码共有多少个?
解：见书本第7页例3
（学生先练习分析，老师小结）
例4、用4种不同颜色给下图示的地图上色， 要求相邻两块涂不同的颜色， 共有多少种不
同的涂法？
解：见书本第8页例4
（结合课本的思考对问题进行变换分析，着色问题是难点不急于一次到位）
【当堂检测】课本P9：练习1--5
课堂小结
1. 分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，
尤其是较复杂的排列、组合问题的基础.
2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，
各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是
相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事.
作业：课本P9：习题1—5；6—12
1.1. 两个原理
课前预习学案
一、预习目标
准确理解两个原理，弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。
二、预习内容
分类计数原理：完成一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m1种不同的方法,在第二类
方式,中有m2种不同的方法，……，在第n类方式,中有mn种不同的方法. 那么完成这件事共
有 N= 种不同的方法.
分步计数原理：完成一件事,需要分成n个 ，做第1步有m1种不同的方法，
做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有
N= 种不同的方法。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
（1）
（2）
（4）
（3）
课内探究学案
一、 学习目标
二、 准确理解两个原理，弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。
学习重难点：
教学重点：两个原理的理解与应用
教学难点：学生对事件的把握
二、学习过程
情境设计
1、从学校南大门到图艺中心有多少种不同的走法？
2、从学校南大门经图艺中心到食堂有多少种不同的走法？（请画分析图）
3、课件中提供的生活实例。
新知教学
分类计数原理：完成一件事, 有n类 , 在第一类方式,中有m1种不同的方法,在
第二类方式,中有m2种不同的方法，……，在第n类方式,中有mn种不同的方法. 那么完成这
件事共有 N= 种不同的方法.
分步计数原理：完成一件事,需要分成n个 ，做第1步有m1种不同的方法，做第
2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有
N= n种不同的方法。
巩固原理
例1、某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。
（1）若学校分配给该班1名代表，有多少不同的选法？
（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女代表各一名，有多少种不同的选法？
解：
练习1、乘积1231234aaabbbb12345ccccc展开后共有多少项？
例2（1）在下图（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
（2）在下图（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
B
A
（1）
B
A
（2）
解：
例3、为了确保电子信箱的安全,在注册时通常要设置电子信箱密码.在网站设置的信箱中,
（1）密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的 密码共有多少个?
（2）密码为4位,每位是0到9这10个数字中的一个,或是从A到Z这26个英文字母中的
1个,这样的密码共有多少个?
（3）密码为4～6位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的 密码共有多少个?
解：
例4、用4种不同颜色给下图示的地图上色， 要求相邻两块涂不同的颜色， 共有多少种不
同的涂法？
解：
三、反思总结
1. 分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，
尤其是较复杂的排列、组合问题的基础.
2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，
各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是
相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事.
四、当堂检测
课本P9：练习1--5
课后练习与提高
一、选择题
1．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（ ）．
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
2．将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（ ）．
A．种 B． 种 C．18种 D．36种
3．已知集合 ， ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐
标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（ ）．
A．18 B．10 C．16 D．14
4．用1，2，3，4四个数字在任取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有（ ）．
（1）
（2）
（4）
（3）
A．8个 B．9个 C．10个 D．5个
二、填空题
1．由数字2，3，4，5可组成________个三位数，_________个四位数，________个五
位数．
２．用1，2，3…，9九个数字，可组成__________个四位数，_________个六位数．
３．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有_______种
不同的选法．要买上衣、裤子各一件，共有_________种不同的选法．
４．大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上
的面标着的两个数字之积不小于20的情形有_______种．
三、解答题
1．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到
多少个不同的对数值？
2．在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？
参考答案：
一、选择题：1．B 2．D 3．D 4．A
二、填空题：１． ２． ； ３．33；270 ４． 5
三、解答题：
1．注意到1不能为底数，1的对数为0，以2，3，4，7，9中任取两个不同数为真数、
底数，可有 个值，但 ， ， ，
，所以对数值共有 （个）.
2．与正八边形有两个公共边的有8个，有一个公共边的有 个，所以共有40
个．