2013-2014学年高二下学期数学(理)活动单学案：第9课时——二阶矩阵与二元一次方程组
人教版高中数学高二数学《二阶矩阵与平面向量》学案
教学目标：
教学重点：
教学难点：
一、问题的情境引入
1、向量问题。
2、甲、乙两名选手初复赛成绩问题。
3、方程组系数问题。
二、新课讲解
1、矩阵的概念：
2、相关概念：行，列，元素。
3、特殊矩阵：零矩阵，行矩阵，列矩阵。
4、二阶矩阵与列向量的乘法：
5、变换：
三、典型例题
例1、用矩阵表示图中的ABC ∆，其中A(1-,0)，B(0,2)，C(2,0)。
例2、某种水果的产地为1A ，2A ，销地为1B ，2B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地i B 的水果数量(ij a )，其中1,2,1,2i j ==。
1B
2B 1A
11a 12a 2A 21a 22a
例3、已知A =4x ⎡⎢⎣ 32⎤⎥-⎦，B =1z ⎡⎢⎣ 2y ⎤⎥-⎦，若A =B ，求,,x y z 。
例4、计算20⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
例5、(1)已知变换''13x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡→=⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎣⎦ 42x y ⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦，试将它写成坐标变换的形式。
(2)已知变换''3x x x y y y y ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦试将它写成矩阵乘法的形式。
四、课堂练习：课本10P 2、3、11P 6。
五、课堂总结：。
高中数学 2.4.2《二阶矩阵与二元一次方程组》教学案 苏教版选修4-2
§2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学目标：知识与技能：1.掌握二阶行列式的定义及运算方法, 了解行列式与矩阵的异同.2.掌握运用行列式解方程组的方法.3.能利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程, 掌握从几何变换的角度判断方程组的解的情况过程与方法：情感、态度与价值观：教学重点：二阶行列式的定义及运算方法教学难点：运用行列式解方程组教学过程：一、问题情境:关于x , y的二元一次方程组ax by mcx dy n+=⎧⎨+=⎩当ab－bc≠0时, 方程的解为md bnxad bcan cmyad bc-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,观察方程组的解的结果, 与矩阵a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦,m bn d⎡⎤⎢⎥⎣⎦,a mc n⎡⎤⎢⎥⎣⎦有何联系?二、建构数学：1.二阶行列式及运算公式;2.二元一次方程组的行列式解法;3.利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程及从几何变换的角度判断方程组的解的情况.三、教学运用：例1、利用行列式解方程组2310 4560 x yx y+-=⎧⎨+-=⎩.思考: 如何用逆矩阵的知识解这个方程组?例2、利用行列式方法求矩阵A=5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.例3、试从几何变换的角度说明方程组1322x yy⎧+=⎪⎨⎪=⎩解的存在性和唯一性.例4、已知二元一次方程组Ax=B, A=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=22⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.四、课堂小结：五、课堂练习：1.设A=2132⎡⎤⎢⎥⎣⎦, x=xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 用两种方法解方程组Ax=B ;2.已知方程组Ax=B , A=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, x=xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=35⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.六、回顾反思：七、课外作业：1.已知M=11λ-⎡⎢⎣42⎤⎥⎦, 且det(M)=0 , 求λ.2.设A=12⎡⎢-⎣23⎤⎥⎦, B=12⎡⎢⎣24⎤⎥⎦.(1)计算det(A) , det(B)(2)判断矩阵AB是否可逆, 若可逆, 求其逆矩阵.3.利用行列式解下列方程组:(1)4203250x yx y++=⎧⎨+-=⎩(2)23040x yx y+=⎧⎨-=⎩4.设A=11-⎡⎢⎣24⎤⎥⎦, x=xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=32⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 用两种方法解方程Ax=B .5.试从几何变换角度说明方程351x yy+=⎧⎨=⎩的解的存在性和唯一性.6.已知2435⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦A1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 求使等式成立的矩阵A .。
苏教版高中数学选修4-2 2.4.2二阶矩阵和二元一次方程组_学案2(无答案)
二阶矩阵与二元一次方程组【学习目标】1. 了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组。
2. 能用变换与映射的观点认识解线性方程组解的意义。
3. 会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组。
4. 会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性。
【学习过程】一、课前预习1．定义：det(A) ＝a bc d ＝思考：二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 与二阶行列式d c b a 有什么异同？ 2．利用行列式求解二元一次方程组32437x y x y -=⎧⎨+=⎩二、教学运用：例1．利用行列式解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩. 方法一方法二例2．利用行列式方法求矩阵A=5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.例3．试从几何变换的角度说明方程组1322x yy⎧+=⎪⎨⎪=⎩解的存在性和唯一性.三、课堂练习：1.设A=2132⎡⎤⎢⎥⎣⎦, x=xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 用两种方法解方程组Ax=B ;2.已知方程组Ax=B , A=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, x=xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=35⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况。
四、课堂小结1．已掌握的知识2．已掌握的方法。
2013-2014学年高二下学期数学(理)活动单学案：第3课时——恒等变换、伸压变换
【学习目标】 1、 理解可以用矩阵表示平面中常见的几种变换；2、掌握恒等、伸压变换的矩阵表示及其几何意义。
【学习重点】 恒等、伸压变换的矩阵表示【活动过程】活动一、恒等变换1、情景引入。
如下图：它们在变换的作用下前后保持不变，能否用矩阵M 来表示这一变换？矩阵M 是什么？2、构建数学。
对平面上任意一点（向量）或图形施以矩阵 对应的变换，都把自已变成自已。
因此，我们把这种特殊的矩阵称为 或 所对应的变换称为 二位单位矩阵表示为活动二：伸压变换1、情景引入：2、构建数学 ：像矩阵 ， 这种将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，或沿x 轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称做沿y 轴或沿x 轴的 对应的变换为 简称活动三、数学应用。
例1：已知曲线y=sinx 经过变换 T ： 的作用后变为新 的曲线C ，试求变换T 对应的矩阵M 以及曲线C 的方程。
1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦10102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦2x x x y y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦例2：验证圆x 2+y 2=1在矩阵A=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的伸压变换下变为一个椭圆，并求椭圆的方程。
思考：将图形F 作沿x 轴方向反方向的伸压变换，其变换矩阵的一般形式是什么？沿y 轴方向呢？【课后作业】1、讨论下列矩阵将所给的图形（或方程表示的图形）变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变换？（1）][0120曲线方程为422=+y x 。
（2）][0010给定图形（3）][1001--点),(:b a A （4）][1001-点)1,2(:A2、已知曲线x y 2cos 31=经过伸压变换T 作用后变为新的曲线x y cos =，试求变换T 对应的矩阵M 。
3、设矩形ABCD 四个顶点为)1,1(),1,1(),0,1(),0,1(--D C B A ，若矩形ABCD 在矩形M ＝⎢⎣⎡0a ⎥⎦⎤20变换作用下变成正方形，求a 。
苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第10课时 二阶矩阵与一元二次方程组
第10课时 二阶矩阵与一元二次方程组一、要点讲解1．二阶行列式的概念：2．用二阶行列式求逆矩阵、解方程组：二、知识梳理1．如果矩阵A =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是可逆的，则__________．其中ab cd -称为二阶行列式，记作a b c d ，即a b c d =____________，ad bc -也称为行列式a b c d的展开式。
符号记为：det A 或|A |． 2．方程组ax by m cx dy n+=+=⎧⎨⎩写成矩阵的形式为______________，对于系数矩阵，当__________时，方程组有唯一解；当__________________时，方程组有无数组解．3．令0D a b c d =≠，D x m b n d =，D a m y c n =，则方程组ax by m cx dy n +=+=⎧⎨⎩的解是______________． 三、例题讲解例1． 利用行列式和逆矩阵的知识两种方法解方程组23104560x y x y +-=+-=⎧⎨⎩．例2． 利用行列式求矩阵A = 5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵．四、巩固练习1. 设A = 1223-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B = 1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(1)计算行列式 | A |，| B |； (2)判断矩阵AB 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵．2. 试从几何变换的角度说明10,22x y y +=⎧⎪⎨⎪=⎩的解的存在性和惟一性．3. 已知242012350101=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，求使等式成立的矩阵A ．4. 已知矩阵,1210102001==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M N ,试求曲线y = cos x 在矩阵M -1N 变换下的函数．。
高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版选修4_21
2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组1．把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad－bc .2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n 写成矩阵形式为AZ ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，称为系数矩阵，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，当A 可逆时，方程组有唯一解，当A 不可逆时，方程组无解或有无数组解． 3．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝mzx ＋dy ＝n ，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，D x＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b nd ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪am cn ，当D ≠0时，方程组有唯一组解，为x ＝D x D ，y ＝D yD .4．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0cx ＋dy ＝0，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，当D ＝0时，此方程组有非零解．5．二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆的充要条件是det(A )≠0且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dA－bA －cAa A.[对应学生用书P34][例1] 求⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值(其中λ∈R )．[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值．[精解详析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5) ＝－λ2－6λ－6＝－(λ＋3)2＋3≤3，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值为3.(1)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与它的行列式det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的意义是不同的．矩阵A 不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A )是由矩阵A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．1．计算下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ＝cos 2 θ－(－sin 2θ)＝1.2．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x 2 y 2－1 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x y －y ，求x ＋y 的值．解：x 2＋y 2＝－2xy ⇒x ＋y ＝0.[例2] 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11，判断AB 是否可逆，若可逆求出逆矩阵．[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解．[精解详析]AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－3 1. 因det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－31＝－1＋9＝8≠0，故AB 可逆，∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤18 －3838 －18. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，利用行列式求矩阵A 的逆矩阵的步骤如下：(1)首先计算det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，当det(A )≠0时，逆矩阵存在． (2)利用A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d A－bA －cAa A，求出逆矩阵A －1.3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 01；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a001.解：(1)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 1 1 1＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 12 12 12. (2)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 01＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －a 0 1. (3)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 001＝a ，当a ＝0时，矩阵不可逆，当a ≠0时，矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 0 0 1. 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 96 x 2存在逆矩阵，求x 的取值范围． 解：据题意det(A )≠0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 96 x 2≠0.∴3x 2－54≠0. ∴x ≠±3 2.故x 的取值范围是{x |x ∈R 且x ≠±32}.[例3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，－x ＋4y ＝3.[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用x ＝D xD ，y ＝D y D求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．[精解详析] 法一：(行列式解法)D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 －2－1 4＝12－2＝10， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 4＝4＋6＝10，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－13＝9＋1＝10， 故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD ＝1010＝1y ＝D yD ＝1010＝1.法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13. 令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －2－1 4，则其行列式det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵M 存在逆矩阵M －1，且 M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310，这样⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2515110 310 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为：(1)将二元一次方程组化成标准形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f .并写成矩阵形式．(2)判定系数矩阵是否可逆，即看⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 是否为零．若可逆则二元一次方程组有唯一解，若不可逆，方程组无解或解不唯一．(3)若可逆，求逆矩阵：⎣⎢⎡ab cd (4)利用矩阵乘法求解：即计算⎣⎢⎡ab cd⎦⎥⎤e f. 5．利用行列式解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.解：(1)因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－13＝3×3－1×(－1)＝10. 所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.(2)先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝－2≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4， 所以x ＝D x D＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.[例4] m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？[思路点拨] 先求出方程组对应行列式，利用行列式值为0时方程组有非零解求解． [精解详析] 二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －2y x －4y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx my ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝mx ，x －4y ＝my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－m x －2y ＝0，x －＋m y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－m －2 1 －＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.∴当⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－m －2 1 －＋m ＝0，即－(3－m )(4＋m )＋2＝0时，方程组有非零解．∴当m ＝－1±412时，方程有非零解．齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成比例，即a c ＝b d，此时，该齐次线性方程组的一组非零解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－b a 1.6．齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＝0x －2y ＝0存在非零解吗？如果存在，求出一组非零解．解：因D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －41 －2＝－4＋4＝0，所以存在非零解．其中一组非零解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.7．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋my ＝0，4x －11y ＝0有非零解，求m 的值．解：D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 m4 －11＝－33－4m ，令D ＝0，则得m ＝－334.[对应学生用书P36]1．求下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 32－1 5；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4. 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－15＝3×5－(－1)×2＝15＋2＝17. (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4＝28－(－72)＝28＋72＝100.2．已知矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆，求函数f (x )＝ax 2－7x ＋4的最小值．解：∵矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax 13 1x ＝ax ·1x －3×1＝a －3＝0， 即a ＝3，∴f (x )＝3x 2－7x ＋4 ＝3(x 2－73x ＋4936)＋4－4936×3＝3(x －76)2－112.∴当x ＝76时，函数f (x )有最小值－112.3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，解方程AX ＝B . 解：因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 021＝1≠0，所以A 的逆矩阵存在，且A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－21，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3. 4．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.证明：因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因为A －1是唯一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组唯一的解．5．分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝03x ＋4y －6＝0.解：法一：方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝53x ＋4y ＝6，D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪123 4＝4－6＝－2， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 264＝20－12＝8， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 536＝6－15＝－9，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD＝－4，y ＝D yD ＝92.法二：方程组用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤56.故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡1 234⎦⎥⎤56 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －2－3 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 926．试写出齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝0，4x ＋6y ＝0，的矩阵形式及该方程组的一组非零解． 解：齐次线性方程组改写成矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 346 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 346＝2×6－3×4＝0，∴此齐次线性方程组有非零解如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－23就是它的一组非零解．7．当λ为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？ 解：由题意知二元一次方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝λx ，x ＋3y ＝λy ，即⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＋2y ＝0，x ＋－λy ＝0.D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ 21 3－λ＝(2－λ)(3－λ)－2＝λ2－5λ＋4， 当D ＝0即λ＝1或4时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤221 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解． 8．如果建立如下字母与数字的对应关系 a b c … y z ↔ ↔ ↔ … ↔ ↔ 1 2 3 … 25 26 并且发送方按可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5321进行加密． (1)若要发出信息work hard ，试写出所要发送的密码； (2)将密码93,36,60,21,159,60,110,43恢复成原来的信息．解：(1)若要发出信息work hard ，则其编码为23,15,18,11,8,1,18,4.把上述编码按顺序分成四组并写成列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811，⎣⎢⎡⎦⎥⎤81，⎣⎢⎡⎦⎥⎤184，计算它们在矩阵A对应的变换下的象，可得A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤160 61， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 47， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4317， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤184＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102 40， 于是，得到所要发送的密码为160,61,123,47,43,17,102,40. (2)因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 321＝5×1－2×3＝－1，所以A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5.把接受到的密码按顺序分成四组并写成列向量，计算它们在矩阵A －1对应的变换作用下的象， 可得。
2013-2014学年高二下学期数学(理)活动单学案：第7课时——二项式定理
【学习目标】掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，会利用二项展开式及通项公式解决问题【学习重点】二项式定理及二项展开式的通项公式的应用。
【活动过程】活动一、情境引入。
1、在n=1,2,3, 4时，研究(a+b)n的展开式.(a+b)1= ,(a+b)2= ,(a+b)3= ,(a+b)4= .2、 列出上述各展开式的系数：3、这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数字 得到.你能写出第五行的数字吗？(a+b)5= .4、计算：04C = ，14C = ，24C = ，34C = ，44C = .用这些组合数表示(a+b)4的展开式是：(a+b)4= . 活动二、构建数学模型。
1、定理：(a+b) n= ( n ∈N +)2、二项展开式的结构特点：活动三、数学应用。
1、展开下列各式（1）6()a b -； （2）41(1)x+2、化简：（x-1）4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+13、求7(12)x +的展开式中第4项的二项式系数和系数 4、求61()2x x-的二项展开式中的常数项变1：数项的展开式中第六项是常已知在)333(xx n - （1）求n （2）求x 2项的系数 （3）求展开式中所有有理项。
变2：(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x 2的系数变3：求5)21(-+xx 展开式中的常数项变4：求42)32(-+x x 的展开式中x 的系数活动四、巩固练习。
1、如果n 展开式中前三项的系数成等差数列n求：（1）展开式中含x 的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项2、若（1-2x ）5展开式中的第2项小于第1项，且不小于第3项，求实数x 的取值范围.【课后作业】1、 （3a-2b ）5的前4项是_________________________________；2、项的二项式系数是的展开式中第4)2(7y x -_____________________; 3、(x-y2)n的展开式中第r 项的系数是 __________________________ ;4、 5322⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式的第3项的二项式系数是__________________,第3项的系数是__________________, 倒数第二项是__________________, 含x 5的项是____________________. 5、在183)xbb x (+的展开式中，第 项是中间项，中间项是 .6、2475)53(+的展开式中的整数是 。
2013-2014学年高二下学期数学(理)活动单学案：第3课时——独立性(1)
【学习目标】理解两事件相互独立的定义，会判定事件的独立性，并能进行一些与事件独立有关的概率计算【学习重点】事件相互独立的概率计算【活动过程】活动一、情境引入。
抛掷一枚质地均匀的硬币两次（1）两次都是正面向上的概率是多少？（2）在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？（3）在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？上述几个问题有什么区别？它们之间有什么关系？活动二、建构数学。
条件概率：（1）定义。
（2）公式。
活动三、数学应用。
例1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P（A），P（B），P（AB），P（A B）例2、一正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P（AB），P（A B）例3、在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，其中10个白球，求第一个人摸出一个红球，紧接着第二个人摸出一个白球的概率例4、一袋中有20个球，其中7个黑球，甲，乙，丙依次不放回各取一球，求下列概率：（1）甲取到黑球；（2）甲，乙都取到黑球；（3）甲没取到黑球而乙取到黑球；（4）甲，乙，丙都取到黑球；（5）乙取到黑球练习：1、已知P（A）=1/4，P（B/A）=1/3，P（A/B）=1/2，则P（AB）= ，P（B）=2、了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，系统A有效的概率为0．92，系统B有效的概率为0．93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0．85，求（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率（2）B失灵的条件下，A有效的概率【课后作业】1、假设一个小孩为男或女是等可能的,已知一个家庭有3个小孩,且其中至少有一个是女孩,这个家庭至少有一个男孩的概率2、从1,2,…..15中甲,乙依次任取一数(不放回),已知甲取到的数是5的倍数,则甲数大于乙数的概率3、掷3颗骰子,已知所得点数都不一样,则含有6点的概率是4、已知事件A与B互斥,且P(A)=0.3,P(B)=0.6,则P(A B)=5、一袋中有a只黑球和b只白球,从中不放回地依次随机取出2只球,已知第一次取到白球, 第二次仍取到白球的概率6、一袋中有3只黑球和2只白球,则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率7、设P（A B）=P（B A）=1/2，P（A）=1/3，求P（B）8、某地区气象台统计，该地区下雨的概率是4/15，刮三级以上风的概率为2/15，既刮风又下雨的概率是1/10，设A为下雨，B为刮风，求：（1）P（A B）（2）P（B A）9、掷两颗均匀的骰子，求在已知它们点数不同的情况下，至少有一颗是6点的概率是多少？10、设某种动物由出生算起活到20岁的概率为4/5，活到25岁的概率为2/5，现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率为多少？11、抛掷红，蓝两颗骰子，设事件A为：蓝色骰子的点数为3或6，事件B为：两颗骰子的点数之和大于8。
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【学习目标】了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求解方程组；会用矩阵的逆矩阵求解方程组
【学习重点】二阶行列式
【活动过程】
活动一、情景引入。
关于x,y的二元一次方程组
ax by m
cx dy n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
, 如何用矩阵的知识来解呢？
活动二、构建数学。
1、二阶行列式:
2:二阶矩阵与二阶行列式有什么不同？活动三、数学运用。
1、利用行列式解方程组
2310 4560
x y
x y
+-=⎧
⎨
+-=⎩
2、利用行列式的方法求矩阵
51
73
A
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的逆矩阵。
3、利用逆矩阵的知识求解
2310 4560
x y
x y
+-=⎧
⎨
+-=⎩
4、试从几何变换的角度说明
1
3
2
2
x y
y
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=
⎩
解的存在性和唯一性
【课后作业】
1、从几何角度的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由：
（1）
10101020 ;(2);(3);(4)
01010001 A B C D
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2、求解矩阵AB 的逆矩阵
1040(1);;10102A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1102(2);;0112A B ⎛
-⎛⎫⎪== ⎪-⎪⎝⎭⎪⎭
3、试用行列式和逆矩阵的方法，分别求解二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+0
41
32y x y x
4、设1
12,34A -⎛⎫= ⎪⎝⎭
试求出A
5、设21;32A X ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,1,2B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
试解方程AX=B
6设可逆矩阵1
22;,737a b A a b a --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
的逆矩阵A 试求出。