数学分析讲义 第一章 函数

1 第一章 函数 一、复习指导 （一）基本概念 1．函数的概念 2．复合函数、反函数的概念 3．有界函数、无界函数的概念，递增（严格递增）函数、递减（严格递减）函数的概念，奇函数、偶函数的概念，周期函数、基本周期的概念。 4．基本初等函数、初等函数的概念 5．邻域、空心邻域的概念

（二）基本理论

1．实数的性质； 2．函数的四则运算性质； 3．反函数存在的条件 （三）复习要求

1．掌握几个重要的等式与不等式 （1）平均值不等式（算术平均值、几何平均值、调和平均值的关系）

naaaaaannnnaaan2121111

21

（2）柯西—许尔瓦兹不等式

代数形式：niiniiniiibaba121221 （注意证明方法）

积分形式：dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()()(222 （注意证明方法） （3）绝对值不等式：bababa ; nnaaaaaa2121 （4）贝努利不等式： 当1h时，nhhn11 （5）几个常用不等式

211nnnn ， 1212124321nnn （注意证明方法）

121!1nn

， nnn21!，221!nnn ; nnn])!1[()!2(!4!2， xex1，

nnn111ln11 ， 11111nnnen （注意证明方法） （6）几个常用等式 )1(2121nnn; )12)(1(6121222nnnn， 2

据此可求222)2(42n与222)12(31n 2333)21(21nn

若1a，则nnnnnna2!2)1(1)1(，其中0 )(21},max{bababa ，)(21},min{bababa ])()()()([21)}(),(max{xgxfxgxfxgxf ])()()()([21)}(),(min{xgxfxgxfxgxf 2．理解函数的概念、函数的要素 3．讨论函数的定义域、对应法则、函数表达式与值域 4．熟练判断函数的相等 5．掌握函数的表示方法 6．理解函数的有界性、单调性、奇（偶）性与周期性，掌握讨论这些特性的思想方法与技能 7．掌握几个特殊分段函数的定义与基本性质 （1）符号函数







010001sgnxxxx ，易知xxxsgn

定义域为R，值域为}1,0,1{，图象见右图 此函数为递增函数（但不严格递增）、有界函数、奇函数。 此函数在0x处无极限，在0x处不连续，在0x处不可导，在任何区间上都可积。（注意证明方法）

（2）狄利克雷函数为无理数为有理数xxxD01)(

定义域为R，值域为}1,0{；有界函数、偶函数、周期函数（任何有理数都是它的周期，但无基本周期）。 此函数处处无极限、处处不连续、处处不可导。 （注意证明方法） 此函数在任何区间上都不可积。（注意证明方法） （3）黎曼函数





或无理数为为互质的正整数）1,00|,(|1)(xnmnmx

nxR

定义域为R，值域为)1,0[内的有理数， 此函数为有界函数 此函数在任何点的极限均为0，在无理点连续、在有理点不连续，处处不可导，此函数在区间]1,0[上可积且积分值等于0。（注意证明方法） （4）最大整数部分函数 ][)(xxf，其中][x表示不超过x的最大整数 3

定义域为R，值域为全体整数，递增函数 图象如右图 （5）非负小数部分函数

][)(xxxf

定义域为R，值域为)1,0[， 周期为1的周期函数，图象如右图 8．掌握复合函数的复合过程与分解 9．掌握函数思想及其应用： （1）函数的思想，就是运用函数的方法，必要时引入辅助函数，将常量视为变量、化静为动、化离散为连续，将所讨论的问题转化为函数问题加以解决的一种思想方法

（2）函数思想的应用： ①以函数为桥梁，实现函数与方程、不等式间的转化 例： 证明方程02lnxex在),0(内至少有两个实根。 方法：作函数2ln)(xexxf，应用根的存在定理。

例： 证明||1||||1||||1||bbaababa 方法：构造辅助函数xxxf1)(，通过讨论单调性得证。 例：设函数)(xf在]1,0[上可导，且1)(0xf，0)0(f，求证：dxxfdxxf)()(310210 方法：令dxxfdxxftFtt)()()(3020，通过讨论单调性知(1)(0)FF得证。 ②以函数为背景，实现函数思想在数列中的应用 例： 求极限nnnlim 方法：求limxxx，再由数列极限与函数极限的关系得nnnlim=1 ③化离散为连续，解决级数问题

例： 求12)12(1nnn的和.

方法：引入幂级数1212)(nnnxxs，则12)12(1nnn=)21(s， ④引入辅助函数，证明有关问题 例：设函数)(xf、)(xg在],[ba上连续，在),(ba内可导，且0)()(bfaf，证明在),(ba内至少存在

o - -

2 4

-

1 4 一点，使0)()()(gff 方法：作辅助函数：)()()(xgexfxF，利用故由罗尔定理。 二、分类题型与解题方法

（一）求函数的表达式 求下列函数的表达式 （1）设53)(2xxxf，求)(xf 解答：3)(2xxxf

（2）设211xxfx，求)(xf 解答：)11(12xx （3）设51221xxxfx，求)(xf 解答：27x （4）设xcbfxafx)()(1，其中cba,,为常数且||||ba，求)(xf 解答：bxxabacxf22)(

（5）设xxxfxf21)(，其中0x、1x，求)(xf 解：令xxt1，即tx11，则ttftf12)(11 即xxfxf12)(11 …….① 在①中令uux111，即ux11，则得uuufuuf)1(2111， 即xxxxfxf)1(2111 ….②；由①、②即已知等式可求出1111)(xxxxf （6）设)(lim23)(12xfxxfx，求)(xf 解：设)(lim1xfAx，则Axxf23)(2，两边当1x时取极限，Axxfxxx2lim3lim)(lim1211 即AA23，可得3A ，故63)(2xxf （7）设2)()(102dxxfxxf，求)(xf 解：设dxxfA)(10，则2)(2Axxf；两边在]1,0[上积分得： 231AA，即3A,故23)(2xxf （8）设dxxfxxf)(2)(102，求)(xf 解答：322x 5

（9）设]1)([)(xfxxf，求)(xf 解答：carctgxxx)1ln(212 （10）设dxxfdxxfxxxf)(2)()(10202，求)(xf 解答：32342xx （11）设xefx1)(，求)(xf 解答：cxxln （12）设dttxfxxfx)()(0，求)(xf 解：令utx，则duufudufdttxfxxx)()()()(000 即duufxxfx)()(0，所以)(1)(xfxf，故1)(xCexf，又0)0(f,故1)(xexf （13）设xxedttfxf)()(0，求)(xf （14）设2)(xexf，xxf1)]([且0)(x，求)(x 解：由xexfx1)]([)(2且0)(x，得)1ln()(xx 又有0)1ln(x得11x，即0x, 所以)1ln()(xx，0x （15）设)(xf在0x连续，3)1(f且当0,0yx时有dttfydttfxdttfxyxy)()()(11， 求)(xf 解：在已知等式两边对y求导得：dttfyxfxyxfx)()()(1 令1y，3)1(f知dttfxxxfx)(3)(1 求导得：)(3)()(xfxfxxf，即xxf3)( 所以dttdttfxx3)(11，即xfxfln3)1()(,故)ln1(3)(xxf （二）求函数的定义域 求下列函数的定义域 （1）11)1lg(xxy 解答：),1(

（2）dtttxfxsin)(22 解答：),( （3）)sin(lgxy 解答：},2,1,0|)12,2{(kkk （4）xxy34)12ln( 解答：]34,21(