变量贡献率分解的方法
数据分析方法实验(范金城梅长林)习题报告
习题4.5实验报告一、实验目的问题描述：在习题1.5表1.9中，列出了历年人口出生率、死亡率和自然增长率（单位：%）。
设对应于人口出生率、人口死亡率、自然增长率的数据变量分别为x1,x2,x3。
（1）分别从样本协方差矩阵S及样本相关矩阵R出发，求x1,x2,x3的样本主成分y1,y2，计算各样本主成分的贡献率。
（2）分别从样本协方差矩阵S及样本相关矩阵R出发，将第一样本主成分y1从小到大排序，并给与分析。
二、所用方法及工具（1）主成分分析法与贡献率：主成分分析法即构造原变量的一系列线性组合，使各线性组合在彼此不相关的前提下尽可能多地反映原变量的信息，即使其方差最大。
求的各主成分,等价于求它的协方差矩阵的各特征值及相应的正交单位化特征向量.按特征值由大到小所对应的正交单位化特征向量为组合系数的X,Xz ,…,X,的线性组合分别为X的第一,第二、直至第p个主成分,而各主成分的方差等于相应的特征值。
（2）SAS编程：SAS语言是一种专用的数据管理与分析语言，它提供了一种完善的编程语言。
类似于计算机的高级语言，SAS用户只需要熟悉其命令、语句及简单的语法规则就可以做数据管理和分析处理工作。
因此，掌握SAS编程技术是学习SAS的关键环节。
在SAS中，把大部分常用的复杂数据计算的算法作为标准过程调用，用户仅需要指出过程名及其必要的参数。
这一特点使得SAS编程十分简单。
三、实验内容本次实验采用SAS编程实现，代码如下：data a;set sjfx.rk1;run;proc princomp n=2 cov out=out1;var x1 x2 x3;run;proc sort data=out1 out=a1;by prin1;run;proc print data=a1;run;proc princomp n=2 out=out2;var x1 x2 x3;run;proc sort data=out2 out=a2;by prin1;run;proc print data=a2;run;实验结果：PRINCOMP 过程。
因子分析中的方差贡献率与累计贡献率解释
因子分析是一种多元统计分析方法，旨在确定数据集中的潜在因子结构。
方差贡献率和累计贡献率是因子分析中常用的两个指标，用于解释变量之间的相关性和数据集的变异程度。
本文将探讨这两个指标在因子分析中的应用和解释。
首先，方差贡献率是指每个因子对总方差的贡献程度。
通过计算每个因子的方差占总方差的比例，可以了解到每个因子在数据集中的解释能力。
方差贡献率越高的因子，其解释能力越强，对数据集中的变异程度起到更大的作用。
在因子分析中，通常会选择方差贡献率较高的因子作为最终的因子解释变量，以确保能够更好地解释原始变量之间的相关性和变异程度。
其次，累计贡献率是指在因子提取过程中，每个因子的累积方差贡献率之和。
累积贡献率可以帮助确定需要保留的因子数量，以达到对原始变量解释的最佳效果。
通过观察累积贡献率曲线，可以找到一个拐点，确定保留的因子数量。
一般来说，当累积贡献率达到80%以上时，即可认为已经解释了大部分的数据变异程度，可以停止提取新的因子。
在因子分析中，方差贡献率和累积贡献率是相辅相成的两个指标。
方差贡献率反映了每个因子对总方差的贡献程度，而累积贡献率则帮助确定保留的因子数量。
两者结合起来，可以更全面地解释数据集的变异程度和相关性结构。
在实际应用中，方差贡献率和累积贡献率的计算通常是由统计软件自动完成的。
研究人员只需输入原始数据，选择因子分析方法和提取因子的数量，软件即可输出相应的方差贡献率和累积贡献率。
然而，对于使用因子分析结果进行决策的研究人员来说，理解和解释这两个指标的含义至关重要。
除了在因子分析中的应用外，方差贡献率和累积贡献率还可以在其他统计方法中发挥作用。
比如在主成分分析中，也可以使用这两个指标来确定保留的主成分数量。
在探索性因子分析或验证性因子分析中，方差贡献率和累积贡献率同样是重要的指导指标。
总之，方差贡献率和累积贡献率是因子分析中常用的两个指标，用于解释变量之间的相关性和数据集的变异程度。
通过计算每个因子的方差贡献率和累积贡献率，可以更好地理解数据集的结构和特点，为后续的数据分析和决策提供有力支持。
主成分分析法的原理应用及计算步骤
F1 a11 X1 a21 X 2 ... a p1 X p
,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可
用其方差来度量，其方差 Var(F1)越大，表示 F1 包含的信息越多。常常希望第 一主成分 F1 所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的 F1 应该是 X1， X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大的，故称 F1 为第一主成分。如果第一主 成分不足以代表原来 p 个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标 F2，为有 效地反映原信息，F1 已有的信息就不需要再出现在 F2 中，即 F2 与 F1 要保持独 立、不相关，用数学语言表达就是其协方差 Cov(F1, F2)=0，所以 F2 是与 F1 不
U1 称为第一主成分,U2 称为第二主成分,…,Up 称为第 p 主成分。 5 、对 m 个主成分进行综合评价 对 m 个主成分进行加权求和，即得最终评价值，权数为每个主成分的方差贡献率。
一、主成分分析基本原理 概念： 主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析 方法。从数学角度来看，这是一种降维处理技术。 思路：一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。变量太多无疑会增加分析 问题的难度和复杂性， 利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较 多的变量， 并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这 样问题就简单化了。 原理：假定有 n 个样本，每个样本共有 p 个变量，构成一个 n×p 阶的数据 矩阵，
l (Zi ,X j ) i aij (i 1, 2,
, m; j 1, 2,
, p)
在 SPSS 软件中主成分分析后的分析结果中， “成分矩阵”反应的就是主成分 载荷矩阵。 （5）计算主成分得分 计算样品在 m 个主成分上的得分：
因子分析方法
因子分析与因子分析法主成分分析通过线性组合将原变量综合成几个主成分，用较少的综合指标来代替原来较多的指标(变量)。
在多变量分析中，某些变量间往往存在相关性。
是什么原因使变量间有关联呢？是否存在不能直接观测到的、但影响可观测变量变化的公共因子？因子分析法(Factor Analysis)就是寻找这些公共因子的模型分析方法，它是在主成分的基础上构筑若干意义较为明确的公因子，以它们为框架分解原变量，以此考察原变量间的联系与区别。
例如，随着年龄的增长，儿童的身高、体重会随着变化，具有一定的相关性，身高和体重之间为何会有相关性呢？因为存在着一个同时支配或影响着身高与体重的生长因子。
那么，我们能否通过对多个变量的相关系数矩阵的研究，找出同时影响或支配所有变量的共性因子呢？因子分析就是从大量的数据中“由表及里”、“去粗取精”，寻找影响或支配变量的多变量统计方法。
可以说，因子分析是主成分分析的推广，也是一种把多个变量化为少数几个综合变量的多变量分析方法，其目的是用有限个不可观测的隐变量来解释原始变量之间的相关关系。
因子分析主要用于：1、减少分析变量个数；2、通过对变量间相关关系探测，将原始变量进行分类。
即将相关性高的变量分为一组，用共性因子代替该组变量。
1. 因子分析模型因子分析法是从研究变量内部相关的依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方法。
它的基本思想是将观测变量进行分类，将相关性较高，即联系比较紧密的分在同一类中，而不同类变量之间的相关性则较低，那么每一类变量实际上就代表了一个基本结构，即公共因子。
对于所研究的问题就是试图用最少个数的不可测的所谓公共因子的线性函数与特殊因子之和来描述原来观测的每一分量。
因子分析模型描述如下：（1）X = (x1，x2，…，xp)￠是可观测随机向量，均值向量E(X)=0，协方差阵Cov(X)=∑，且协方差阵∑与相关矩阵R相等（只要将变量标准化即可实现）。
第14章 主成分分析
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中国矿业大学管理学院 陈 权 宝
主 成 分 分 析
Applied Statistics
(14.1)
新变量
是原变量
的线性组合。
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中国矿业大学管理学院 陈 权 宝
主 成 分 分 析
Applied Statistics
旋转的目的是为了使得n个样本在 即
轴方向的离散程度最大，
分别称为原变量的第
一，第二，…第p个主成分。其中 在总方差中占的比重最 大，其余的综合变量 的方差依次递减。在具体
经济分析时，我们只挑选前几个方差最大的主成分，从而达 到简化系统，抓住问题的实质。
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中国矿业大学管理学院 陈 权 宝
主 成 分 分 析 主成分的求法及性质
Applied Statistics
信息并不多。这样，二维空间降为一维空间了， 是 的线性组合，简化了系统的结构，抓住了主要问题。 由此可以推广到：在考虑含有p个变量的问题时，通过p 个变量的多种线性组合，寻找到有限个主成分，这几个主成 分包含了p个变量的绝大部分信息，简化了系统结构，有利于 经济分析。
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中国矿业大学管理学院 陈 权 宝
Applied Statistics
由线性代数的理论可知，方程有非零解得充要条件是系数 行列式等于零。即：
(14.10)
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中国矿业大学管理学院 陈 权 宝
主 成 分 分 析
Applied Statistics
得到特征向量 进一步得到主成分 (14.11) 以此类推，得到其他的特征值， ……………….. 和特征向量
探索性因子分析(课堂PPT)
确定因子个数的方法（三）
➢碎石图
碎石图是按特征值大小排列因子，横轴表 示因子序号，纵轴表示特征值大小。
公因子提取方法
➢主成分分析法
假设变量是因子的纯线性组合，第 一成分有较大的方差，后续成分其 可解释的方差逐个递减。
➢最大似然法
该方法不要求多元正态分布，给出 参数估计。
因子命名
• 因子载荷阵显示了原始变量与各主成分之 间的相关程度。根据他们的相关程度的大 小，综合出各因子的含义。如果每个因子 与原始变量相关系数没有很明显的差异， 对因子命名就比较困难。
➢公因子的累积方差贡献率
根据累计贡献率达到的百分比确定
确定因子个数的方法（二）
• 实际上累积贡献率是一个次要指标 。主要指标是特征值, 在前一指标达 到的情况下，只要累计贡献率不是 太差都可以接受。即使70%也不是 太大的问题。实际处理中，很少碰 到累计贡献率太低的情况，如果问 卷设计和数据收集没有太大问题的 前提下。
判断变量是否适合做因子分析
1. KMO（Kaiser-meyer-olkin）检验 KMO统计量是用来比较各变量间简单相关系
数和偏相关系数的大小。在0~1之间取值，越接近 1，越适合作因子分析。 2. 巴特利特球形检验
巴特利特球形检验原假设H0为：相关阵是单 位阵，既各变量各自独立。
3. 反映象相关矩阵检验
的变量间强相关问题 ➢数据化简，将具有错综复杂关系的
变量综合为少数几个因子（不可观 测的、相互独立的随机变量） ➢发展测量量表
探索性因子分析——步骤
收集观测变量
构造相关矩阵
判断是否适合作因子分析
确定因子个数 提取因子
特征值大小、因子累计贡献率、碎石图
因子旋转 解释因子结构 计算因子得分
主成分分析
Extraction Method: Principal Component Analysis. Component Scores.
主成分系数矩阵，从而得出各主成分的表达式， 主成分系数矩阵，从而得出各主成分的表达式，注意在表达 式中各变量已经不是原始变量，而是标准化变量。 式中各变量已经不是原始变量，而是标准化 身高（X1,cm）、头围（X2,cm）、 体重（X3,g）的数据。
实验报告
写出X1， ， 的相关矩阵 的相关矩阵。 写出 ，X2，X3的相关矩阵。 写出KMO与球形检验的结果（P值）， 与球形检验的结果（ 值 写出 与球形检验的结果 并做出判断， 并做出判断，该数据是否适合主成分分 析。 写出3个主成分的贡献率 个主成分的贡献率。 写出 个主成分的贡献率。 写出3个主成分关于 个主成分关于X1， ， 的标准 写出 个主成分关于 ，X2，X3的标准 化的数值的线性组合。 化的数值的线性组合。
Rotation子对话框：用于因子分析。 子对话框：用于因子分析。 子对话框 Score子对话框 子对话框
选择是否将因子得分存入文件，以及具体的得分计算方法。 （1）Save as Variables：将计算出的因子得分作为新变量 加入数据文件，注意此处加入的是经过标准化的因子得分。 （2）Method单选框组：用于选择计算因子得分用的方法， 使用默认的回归法即可。 （3）Display factor score coefficient maxtrix：很重要。显 示因子得分系数阵，通过该系数阵就可以将所有公因子表示 为各个变量的线性组合，也就是我们所需要的主成分分析的 结果，系统同时会给出因子得分的协方差阵。
主 成 分 分 析
主成分分析
每个人都会遇到有很多变量的数据。 比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量 的数据；各个学校的研究、教学等各种变量的数 据等等。 这些数据的共同特点是变量很多，在如此多的变 量之中，有很多是相关的。人们希望能够找出它 们的少数“代表”来对它们进行描述。 主成分分析（principal component analysis） 就是把变量维数降低以便于描述、理解和分析的 方法。
林业科技进步贡献率测算方法的比较研究
比较研究
本次演示从指标设置、数据来源和测算结果等方面对上述五种测算方法进行比 较研究。
在指标设置方面，生产函数模型、动态因子分析法和灰色关联度分析法均涉及 多个指标，能够全面反映林业经济的各个方面。神经网络模型和复合指数法则 针对特定的目标或问题设置指标，适用范围相对较小。
在数据来源方面，生产函数模型、动态因子分析法和灰色关联度分析法需要较 长时间序列数据，而神经网络模型和复合指数法则对数据的要求较低，适用于 较短时间序列数据。
此外，我们还应该林业科技创新的效率问题。尽管科技因素对林业经济增长的 贡献不断提高，但科技创新的效率仍存在提升空间。因此，我们建议加强科技 创新能力的建设，优化科技创新资源配置，提高科技创新成果的转化率。
总之，中国林业科技进步贡献率的测算分析对于理解中国林业现代化进程和制 定相关政策具有重要意义。本次演示的结论为我们认识中国林业科技进步贡献 率的现状提供了一定的参考依据，同时也为我们指出了未来需要进一步和研究 的方向。
2、动态因子分析
动态因子分析法通过主成分分析将多个指标降维为几个主成分因子，并利用时 间序列数据对各因子进行分析，从而得出科技进步对林业经济增长的贡献。该 方法能够有效地处理多指标之间的相关性，同时还可以对未来一段时间内的林 业经济增长进行预测。
3、灰色关联度分析
灰色关联度分析法通过分析各因素之间的灰色关联度，定量评估科技进步对林 业经济增长的贡献。该方法可以避免传统回归分析中存在的多重共线性问题， 并且能够对变量之间的非线性关系进行更好地处理。
4、神经网络模型
神经网络模型利用神经网络的自学习能力，对林业经济增长趋势进行预测并计 算科技进步贡献率。该方法具有良好的非线性拟合能力，并且能够自动调整参 数以获得最佳拟合效果。然而，神经网络模型需要大量的数据来进行训练，且 训练时间较长，因此在某些情况下可能不适用。
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变量贡献率分解的方法
变量贡献率分解的方法是一种用于分析多个变量对某一目标变量的
贡献程度的方法。该方法可以帮助我们了解各个变量对目标变量的
影响程度，从而有针对性地进行优化和改进。
在进行变量贡献率分解之前，我们首先需要明确目标变量和相关的
自变量。目标变量通常是我们希望优化或预测的变量，而自变量则
是我们认为可能对目标变量产生影响的变量。
变量贡献率分解的方法可以分为两个步骤：首先是建立模型，然后
是进行变量贡献率分解。
建立模型是进行变量贡献率分解的第一步。在建立模型时，我们可
以选择合适的统计方法或机器学习算法，根据实际情况选择线性回
归、逻辑回归、支持向量机等模型。通过对数据进行训练和拟合，
得到一个能够较好地描述目标变量和自变量之间关系的模型。
在建立模型之后，我们就可以进行变量贡献率分解了。变量贡献率
分解的核心思想是通过对模型进行解析，计算每个自变量在模型中
的贡献率。贡献率可以通过各种统计指标来衡量，如系数的绝对值、
方差解释度等。
通过变量贡献率分解，我们可以得到各个自变量对目标变量的贡献
率大小。这些贡献率可以帮助我们了解每个自变量在模型中的重要
性，从而决定是否保留该变量或者进行优化。同时，变量贡献率分
解还可以帮助我们发现一些可能存在的问题，比如某个自变量对目
标变量的贡献率较大，但是在实际应用中可能存在一些限制或副作
用。
在进行变量贡献率分解时，需要注意一些问题。首先，变量之间可
能存在多重共线性，这会导致变量贡献率的估计不准确。在这种情
况下，我们可以通过一些方法，如主成分分析或岭回归，来解决多
重共线性的问题。其次，变量贡献率的分解结果可能受到模型选择
的影响，不同的模型可能得到不同的贡献率分解结果。因此，在进
行变量贡献率分解时，我们需要考虑选择合适的模型。
总结来说，变量贡献率分解的方法可以帮助我们分析多个变量对目
标变量的贡献程度。通过建立模型和进行变量贡献率分解，我们可
以了解各个自变量在模型中的重要性和贡献度，从而有针对性地进
行优化和改进。变量贡献率分解是一种较为常用的分析方法，可以
在实际问题中得到广泛应用。