勒让德(legendre)多项式及其性质教案资料

勒让德( l e g e nd r e ) 多

项式及其性质

勒让德（legendre ）多项式及其性质

勒让德多项式

勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让 德方程的幕级数解，勒让德方程的表达式如下：

2 ''

（1 x 2）y 2xy

它的幕级数解如下：

y y 1 y 2

( 1.2)

其中:

由达朗贝尔判别法可知，当n

0不为整数时，这两个级数的收敛半径为

1,在（1.3）式和

（1.4）式中，a o 与a 1可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（一 1， 1）内y 1 和y 都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1 ）的通解。

上面（1.3）和（1.4）幕级数当|X| 1时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现， 当n 取非负整数时，y 1和y 2中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1 ）在闭区间［-1,1］上的 有界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幕系数

a n ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式

或第一类勒让德函数，记作 P n x ，下面我们来推导勒让德多项式 R X 的表达式。

①当n 为正偶数时

%退化为n 次多项式。为求得P n X 的表达式，在％中我们通过a n 来表示其它各项的系 数。为此，将系数递推关系式改写成下列形式：

a （k 2）（k 1） a k （k n ）（k n 1） k 2

（1.5

）

在（1.5）式中取k n 2，得：

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n （n 1）y 0其中n 为非负实数

（i.i ）

y 2

2k

y i a 2k X

k 0

a

2k

2k 1 1

X

a o [1 a[x

n(n 1) x 2

X

2!

n(n 2)(n 1)(n 3)x

X

4! (1.3)

(n 1)(n 2)X 3

✓v

3!

(n 1)n 3)(n 2)(n 4),

✓v

5!

］

（1.4）

a

n 2

n(n 1)

2(2n 1)a

n

(1.6)

习惯上取a n 为

a n

(2n) 2n ( n!)2

(1.7)

于是有:

a n

2(2n n(n 1)2n(2n 1)2n n(n 1)!n(n 1)(n 2!)

(2n 2)! 2n

(n 1)!(n 2)!

在(1.5)式中取

般地，我们有

a n 2m

1)(2n 2)!

(1.8)

a n 2之值得：

(n 2)(n 3)a

4(2 n 3)

n 2

(1)2

(n 2)(n 3)

4(2 n 3) 并利用 a

n 4

我们将这些系数带入(1.3)中,

P n (x) (2n 2)!

2n (n 1)!(n 2)!

2 (2n 4)!

2n (2!)(n 2)!(n

2n 2m !

2n

m!(n 并把此时的 n 2

(1)m

m 0

4)!

(1.9)

m)!(n 2m)!

(

m 0,1,

y 1记作P n (x)，可得:

(2n 2m)! x n

2n

m!(n m)!(n 2m)!

2m

(1.10)

(1.11)

这就是当n 为正偶数时勒让德多项式。 ②当n 为正奇数时

Y 2退化为n 次多项式，我们把Y 2记作P n (x)，同理可得:

特别当 n 0,1,2,3,4,5 时，由（1.11）和（1.12）式得:

它们的图形如下:

P n (X

)

2

( i )m ________ (2n 2m )! _______ *n 2m

m0

2n m!(n m)!( n 2m)! (1.12

)

把（1.11 ）和（1.12）写成统一的形式，得

P n (X

)

1)m

n (2n

2m )!

X

n 2m

2n m!(n m)!(n 2m)!

(1.13)

其中［2］表示n 的整数部分

由上述讨论可知，当n 为非负整数时,

y 1和y 2中有一个是n 阶勒让德多项式，而另一个是无

穷级数，记作Q n （x ），称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为:

y Cf n (X ) C 2Q n (x)

(1.14)

巳(X )1

P(x) X

1 3

P 3(X ) 2(5X

3X ) RJ X )

P 2(X ) *3x 2 1)

2

1 4

2 -(35x 4

30x 2

3) F 5(x)

」(63x 5 70x 3 15x)

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