江苏省2019-2020学年高二上学期数学期末检测(理)试题含答案

江苏省2019-2020学年度第一学期期末检测试题

高二数学

一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）

1.双曲线2

214

y x -=的渐近线方程是 ． 2.焦点为(0,2)的抛物线标准方程是 ． 3.命题“若a b <，则22a b <”的否命题为 ．

4.等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若53a =，则9S = ．

5.

函数y =的定义域是 ．

6.已知实数x ，y 满足条件30,0,0,x y y x +-≤⎧⎪

≥⎨⎪≥⎩

则2x y +的最大值是 ．

7.在等比数列{}n a 中，70a <，242646236a a a a a a ++=，则35a a += ． 8.对任意的[]

0,1x ∈，都有2

(1)30x a x a +-+-≤成立，则实数a 的取值范围是 ． 9.数列{}n a 满足11a =，1(1)0n n n a a a ++-=（*n N ∈），则2018a = ． 10.

函数()cos 2f x x =+（(0,

)2

x π

∈）的极小值是 ．

11.过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2FA BF =u u u r u u u r

，则直线AB

的斜率为 ．

12.已知x ，y R +

∈，且244x y

+=，则

21

x y

+的最小值是 ． 13.已知1F ，2F 为椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆上存在点P 使2||PF c

=（c 为半焦距）且12F PF ∠为锐角，则椭圆离心率的取值范围是 ． 14.已知实数a ，b 满足1a b +=，则3

3

(1)(1)a b ++的最大值是 ．

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.）

15.已知实数0m >，p ：(2)(3)0x x +-≤，q ：22m x m -≤≤+． （1）若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围； （2）若2m =，“p q ⌝∧”为真命题，求实数x 的取值范围．

16.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB =，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上．

（1）若异面直线AM 和1A N 所成的角为90︒，求AM 的长； （2）若14CC CM =，求二面角1A DN M --的余弦值．

17.我市“金牛”公园欲在长、宽分别为34m 、30m 的矩形地块内开凿一“挞圆”形水池（如

图），池边由两个半椭圆22221(0)x y x a b +=≤和22221y x b c

+=（0x ≥）组成，其中0a b c >>>，

“挞圆”内切于矩形且其左右顶点A ，B 和上顶点C 构成一个直角三角形ABC ．

（1）试求“挞圆”方程；

（2）若在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，则该网箱水面面积最大为多少？

18.设{}n a 是公差为d （0d ≠）且各项为正数的等差数列，{}n b 是公比为q 各项均为正数的等比数列，n n n c a b =⋅（*n N ∈）． （1）求证：数列1

n

n n c c qc +⎧

⎫⎨

⎬-⎩⎭是等差数列；

（2）若112a b ==，220c =，364c =． （i ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （ii ）求数列{}n c 的前n 项和n S ．

19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 是椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的右顶点，B 是上顶

点，C 是椭圆位于第三象限上的任一点，连接AC ，BC 分别交坐标轴于P ，F 两点．

（1）若点F 为左焦点且直线CO 平分线段AB ，求椭圆的离心率； （2）求证：四边形ABFP 的面积是定值． 20.已知函数()ln m

f x x x

=+

()m R ∈. （1）若函数()f x 的图象与直线240x y +-=相切，求m 的值； （2）求()f x 在区间[]

1,2上的最小值；

（3）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，试求实数m 的取值范围．

高二数学答案 一、填空题

1.2y x =±

2.2

8x y = 3.若a b ≥，则22a b ≥ 4.27 5.[]

4,3-

6.6

7.6-

8.3a ≥

9.

12018

10.12-

+ 11.±

12.4 13.1

(1)2

14.4

二、解答题

15.解：（1）因为p ：23x -≤≤；

又q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件， 则23,

22

m m +≤⎧⎨

-≥-⎩，得1m ≤，又1m =时p q ⇔，所以01m <<．

（2）当2m =时，q ：44x -≤≤，

p ⌝：3x >或2x <-．

因为p q ⌝∧是真命题，所以44,

32,

x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或

则(3,4][4,2)x ∈--U ．

16.解：以D 为原点，DA 为x 轴正半轴，DC 为y 轴正半轴，1DD 为z 轴正半轴，建立空间直角坐标系．

（1）则(1,0,0)A ，1(1,0,2)A ，(0,1,0)C ，1(,1,0)2

N ，设(0,1,)M m ，

所以11

(,1,2)2

A N =--u u u u r ，(1,1,)AM m =-u u u u r

因为AM 和1A N 所成的角为90︒，所以1A N u u u u r 0AM ⋅=u u u u

r ，

则

11202m +-=，34

m =，

所以||AM =

u u u u r （2）当14CC CM =时，则1(0,1,)2

M ，