p 3=4
Π3G 3(D -1)g 1(D )A 3D r (2-D )A 3r D (3-2D ) 2-a 3(3-2D ) 2
c 283摩 擦 学 学 报第16卷
+K Υg 2(D )A 3D 2r a 3(2-D ) 2c ;
(41)当D =1.5时p 3=ΠG 31 2A 3r 33 4
ln A 3r 3a 3c +3K Υ4A 3r 33 4a 1 4c .
(42)式中:g 1(D )=[D (3-2D )][(2-D ) D ]D 2,g 2(D )=[D
(2-D )](2-D 2),P 3=P A a E ,G 3=G A a ,A 3r =A r A a ,a 3c =a c A a .
可以看出,真实接触面积(摩擦力)与载荷的关系受表面形貌参数、材料物理参数等因素的影响,并非古典Am on ton 摩擦定律给出的线性关系,而且已被大量实验结果所证实.5 结束语
与传统的G 2W 模型相比,M 2B 模型的先进性是利用了包含全部表面粗糙度信息的分形参数D 和G ,因而能够定量地表达总的真实接触面积A r ,弹性接触面积A re 和塑性接触面积A rp 分别与表面粗糙度的关系,以及接触面积与载荷的关系,可望对粗糙表面的接触性质预测不受仪器分辨率和取样长度的影响,使预测具有唯一性或确定性.M 2B 模型已经应用于磨损的预测〔19〕和滑动摩擦表面温度分布的确定〔20～22〕等,初步显示了这一模型的数学严格性及其实用价值.M 2B 分形接触模型是目前摩擦学领域研究的热点之一,然而要使其不只
是一种“数学珍品”〔22〕,还必须做大量的基础性研究工作:
a . 并非所有粗糙表面都具有分形特性,因而首先应对工程表面(如金属加工表面和机械零部件的磨损表面等)进行分形特性分析,以确定哪些工程表面具有分形特性,这是M 2B 接触模型存在的基础.
b . 分形参数D 和G 的尺度独立性都是由统计自仿射分形函数W 2M 函数推导出来的,对于实际的统计自仿射分形工程表面,D 和G 的尺度独立性,即W 2M 函数中的D 和G 能否完全表征实际工程表面,还有待进一步研究.
c . M 2B 接触模型给出的接触面积分别与分维数及载荷的关系等,都还缺少足够的试验验证,特别是对金属材料的研究报道更少.
d . 与G 2W 接触模型一样,在M 2B 接触模型中也没有考虑配对表面的粗糙度对接触特性的影响,而是将其假设为刚性理想平面.不言而喻,同时考虑两粗糙面分形特性的系统接触模型更具有实用价值.
e . 在M 2B 模型中未考虑材料的加工硬化、
硬度随深度的变化、弹性变形和摩擦力,以及在高载荷作用下表面微凸体之间的相互作用等对接触的影响,这些都还有待研究.
参考文献
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83第2期贺林等: 粗糙表面接触分形模型的提出与发展
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22 W ang S,Kom vopoulo s K.A fractal theo ry of the interfacial temperature distributi on in the slow sliding regi m e:Part -M ulti p le dom ains,elastop lastic contacts and app licati ons.J T ribo l(A S M E),1994,116:824～832
F ra c ta lM ode l fo r C onta c t of Rough S urfa ce s
H e L in Zhu Jun
(T heory of L ubrication and B earing Institu te
X iθan J iaotong U niversity X iθan 710049 Ch ina)
A bs tra c t T he p lastic defo r m ati on m odel fo r con tact of rough su rfaces has been develop2 ing fo r abou t40years since it w as p ropo sed.M2
B fractal m odel fo r con tact of rough su r2 faces has been fo r m ed recen tly,w h ich is based on fractal geom etry.M2B m odel character2 ized rough su rfaces u sing fractal param eters in stead of statistical p aram eters.T he relati on betw een real con tact area and app lying load and the calcu lating fo r m u las of real elastic and p lastic con tact area w ere derived from th is m odel,the facto rs affecting the defo r m ing p rop2 erty of con tact su rfaces and their changing tendency w ere also indicated.T he p redicti on of con tact area u sing th is m odel w ou ld no t change w ith the reso lu ti on of roughness2m easu r2 ing in strum en t and the length of sam p le becau se of the scale2independence of fractal pa2 ram eters,so th is m odel is m o re reasonab le than G2W con tact m odel w h ich w as based on statistical analysis.How ever,M2B m odel needs fu rther i m p rovem en t and there are still som e p rob lem s to be deep ly investigated later.
Ke y W o rds rough su rface con tact m odel fractal geom etry fractal di m en si on to2 pograph ic param eter real con tact area
分形与分形艺术
分形与分形艺术 我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 一、分形几何与分形艺术 什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。 “分形” 一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如前面提到的“蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。 图 1 Mandelbrot集合
分形理论
分形理论及其在水处理工程中的应用 凝聚和絮凝是混凝过程的两个重要阶段, 絮凝过程的完善程度直接影响后续处理(沉淀和过滤)的处理效果。但絮凝体结构具有复杂、易碎和不规则的特性，以往对絮凝的研究中由于缺乏适用的研究方法，通常只考虑混凝剂的投入和出水的混凝效果, 而把混凝体系当作一个―黑箱‖, 不做深入研究。即使考虑微观过程, 也只是将所有的胶粒抽象为球形, 用已有的胶体化学理论及化学动力学理论去加以解释[1]，得出的结论与实验中实际观察到的胶体和絮凝体的特性有较大的差别。尽管有的研究者在理论推导和形成最终的数学表达式时引入了颗粒系数加以修正, 但理论与实验结果仍难以一致。而分形理论的提出，填补了絮凝体研究方法的空白。作为一种新兴的絮凝研究手段, ,分形理论启发了研究人员对絮凝体结构、混凝机理和动力学模型作进一步的认识。 1 分形理论的概述 1.1 分形理论的产生 1975年[2],美籍法国数学家曼德布罗特（B. B. Mandelbrot）提出了一种可以用于描绘和计算粗糙、破碎或不规则客体性质的新方法，并创造了分形(fractal) 一词来描述。 分形是指一类无规则、混乱而复杂, 但其局部与整体有相似性的体系, 自相似性和标度不变性是其重要特征。体系的形成过程具有随机性,体系的维数可以不是整数而是分数[3]。它的外表特征一般是极易破碎、无规则和复杂的,而其内部特征则是具有自相似性和自仿射性。自相似性是分形理论的核心，指局部的形态和整体的形态相似，即把考察对象的部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。自仿射性是指分形的局部与整体虽然不同, 但经过拉伸、压缩等操作后, 两者不仅相似, 而且可以重叠。 分形理论给部分与整体、无序与有序、有限与无限、简单与复杂、确定性与随机性等概念注入了新的内容，使人们能够以新的观念和手段探索这些复杂现象背后的本质联系。 1.2 絮凝体的分形特性 絮凝体的成长是一个随机过程, 具有非线性的特征。若不考虑絮凝体的破碎, 常规的絮凝过程是由初始颗粒通过线形随机运动叠加形成小的集团, 小集团又碰撞聚集成较大集团, 再 进一步聚集，一步一步成长为大的絮凝体。这一过程决定了絮凝体在一定范围内具有自相似性和标度不变性, 这正是分形的两个重要特征[4], 即絮凝体的形成具有分形的特点。 2 絮凝体的模拟模型 2.1 絮凝体的分形结构模型 为了更好地了解絮凝体的形成过程并尽可能地加以预测, 经过大量的研究提出了众多的絮
表面粗糙度数
表面粗糙度理论与标准的发展 表面粗糙度标准的提出和发展与工业生产技术的发展密切相关，它经历了由定性评定到定量评定两个阶段。表面粗糙度对机器零件表面性能的影响从1918年开始首先受到注意，在飞机和飞机发动机设计中，由于要求用最少材料达到最大的强度，人们开始对加工表面的刀痕和刮痕对疲劳强度的影响加以研究。但由于测量困难，当时没有定量数值上的评定要求，只是根据目测感觉来确定。在20世纪20～30年代，世界上很多工业国家广泛采用三角符号(▽)的组合来表示不同精度的加工表面。 为研究表面粗糙度对零件性能的影响和度量表面微观不平度的需要，从20年代末到30年代，德国、美国和英国等国的一些专家设计制作了轮廓记录仪、轮廓仪，同时也产生出了光切式显微镜和干涉显微镜等用光学方法来测量表面微观不平度的仪器，给从数值上定量评定表面粗糙度创造了条件。从30年代起，已对表面粗糙度定量评定参数进行了研究，如美国的Abbott就提出了用距表面轮廓峰顶的深度和支承长度率曲线来表征表面粗糙度。1936年出版了Schmaltz论述表面粗糙度的专著，对表面粗糙度的评定参数和数值的标准化提出了建议。但粗糙度评定参数及其数值的使用，真正成为一个被广泛接受的标准还是从40年代各国相应的国家标准发布以后开始的。首先是美国在1940年发布了ASA B46.1国家标准，之后又经过几次修订，成为现行标准 ANSI/ASME B46.1-1988《表面结构表面粗糙度、表面波纹度和加工纹理》，该标准采用中线制，并将R a作为主参数；接着前苏联在1945年发布了ΓOCT2789-1945《表面光洁度、表面微观几何形状、分级和表示法》国家标准，而后经过了3次修订成为ΓOCT2789-1973《表面粗糙度参数和特征》，该标准也采用中线制，并规定了包括轮廓均方根偏差(即现在的R q)在内的6个评定参数及其相应的参数值。另外，其它工业发达国家的标准大多是在50年代制定的，如联邦德国在1952年2月发布了DIN4760和DIN4762有关表面粗糙度的评定参数和术语等方面的标准等。 以上各国的国家标准中都采用了中线制作为表面粗糙度参数的计算制，具体参数千差万别，但其定义的主要参数依然是R a(或R q)，这也是国际间交流使用最广泛的一个参数。 2 表面粗糙度标准中的基本参数定义 随着工业的发展和对外开放与技术合作的需要，我国对表面粗糙度的研究和标准化愈来愈被科技和工业界所重视，为迅速改变国内表面粗糙度方面的术语和概念不统一的局面，并达到与国际统
股票市场的分形特征和股票价格的FIGARCH模型研究
股票市场的分形特征和股票价格的FIGARCH模型研究 股票市场投资的目的是获取最大投资收益，然而收益与风险相伴，在收益与风险之间决策常常是不容易的。传统的股票投资理论认为股票市场是有效的，均衡的，收益是风险的线性函数，收益的波动符合布朗运动，收益的分布是独立同分布的，方差和均值是稳定的。实际情况却是股票市场影响因素以及各因素之间相互作用关系复杂，受投资者个人及群体心理因素影响明显，股票的波动以及收益与风险的关系常常是非线性的，非均衡的，收益的方差和均值是自相关的、不稳定的，收益的波动符合分形布朗运动，表现出分形和混沌的特征。本文分析了股票市场的波动的非线性、非均衡、分形和混沌特征，建立并检验了几种股票的分形差分异方差时间序列模型。 第一章回顾了股票定价理论的发展过程，介绍了九种在不同阶段具有代表性的股票定价理论，为把握股票定价理论的发展趋势，为以后各章的研究奠定基础。第二章分析了股票市场波动的一般特征和非线性非均衡特征，分析了股票投资收益和风险的影响因素，提出“虚拟性”、“风险性”、“流动性”和“投机性”是股票市场的核心特征。提出股票市场是远离平衡的、具有分形特征的非线性系统。投机是股票市场存在的前提和股票市场的天性。 第二章分析了有效市场理论产生的背景，就有效市场理论成立的基本假设进行了检验，提出股票价格收益是不稳定的随机序列，收益分布不是正态分布，股票价格收益表现出非性，序列自相关性，异方差性。提出有效市场理论失灵的主要原因是投资者的非理性行为，信息反映的羊群效应，投资者存在反应过度和反应不足现象，股票市场的非均衡特征和股票市场的非线性特征。第四章分析并检验了股票市场的分形混沌特征，推导了投资函数，计算了表征股票市场分形特征的Hurst指数，关联维和最大Lyapunov指数，分析了股票价格的自相似性、长期记忆和循环周期，分析了股票价格的波动对初始条件的敏感性，提出中国股票市场具有混沌分形的特性，用传统的方差法度量股票风险是无效的，必须使用混沌分析能够理论来刻画股票收益的风险，建立收益模型。第五章介绍了股票价格的分形时间序列模型，介绍了检验时间序列平稳性的方差分析和单位根检验方法以及非平稳的处理方法，ARFIMA，GARCH和FIGARCH模型的建模方法和股票市场的分形特征和股票价格的FIGARCll模型叭
趣味数学--分形艺术
神奇的分形艺术：无限长的曲线可能围住一块有限的面积 很多东西都是吹神了的，其中麦田圈之谜相当引人注目。上个世纪里人们时不时能听见某个农民早晨醒了到麦田地一看立马吓得屁滚尿流的故事。上面这幅图就是97年在英国Silbury山上发现的麦田圈，看上去大致上是一个雪花形状。你或许会觉得这个图形很好看。看了下面的文字后，你会发现这个图形远远不是“好看”可以概括的，它的背后还有很多东西。 在说明什么是分形艺术前，我们先按照下面的方法构造一个图形。看下图，首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换为等边三角形的两边，得到了16条更小的线段。然后继续对16条线段进行相同的操作，并无限地迭代下去。下图是这个图形前五次迭代的过程，可以看到这样的分辨率下已经不能显示出第五次迭代后图形的所有细节了。
当把三条这样的曲线头尾相接组成一个封闭图形时，有趣的事情发生了。这个雪花一样的图形有着无限长的边界，但是它的总面积却是有限的。 这个神奇的雪花图形叫做Koch雪花，其中那条无限长的曲线就叫做Koch曲线。他是由瑞典数学家Helge von Koch最先提出来的。麦田圈图形显然是想描绘Koch雪花。Koch曲线于1904年提出，是最早提出的分形图形之一。下面我们来看Koch雪花的面积与周长，如下图
周长为次分叉图第4n 设图1三角形周长为31=P ,面积为4 31=A ； 第一次分叉图2;913,3411212A A A P P ??+==面积为周长为 第二次分叉图3 … 面积为 1121211)9 1(43)91(43913A A A A n n --??++??+?+=Λ ]})9 4(31)94(31)94(3131[1{221-+++++=n A Λ Λ,3,2=n 雪花曲线令惊异的性质是：无限长的曲线可能围住一块有限的面积。 ;91431223?????????????? ????+=A A A 面积为Λ ,2,1)34(11==-n P P n n ]})9 1[(4{31121A A A n n n n ---+=，周长为12 334P P ??? ??=
基于分形模型的分布式虚拟现实系统的应用研究
※编程技术应用实践 应用实践※※ 基于分形模型的分布式虚拟现实系统的应用研究 刘鹏 （太原工业学院） 【摘要】比较深入地分析和说明了开发基于分形模型的分布式虚拟现实系统的可行性及其应用价值，并给出了详细的设计方案。 【关键词】分形模型；分布式虚拟现实系统；设计方案 1引言 在分布式虚拟现实系统的分析和设计中，特别关注交互性，这就要求开发出的系统必须具有较快的响应速度和较大的吞吐量【1】。而且，VR系统要求很强的实时性，图形更新速率至少要求16桢/s，图形客体行为反映的滞后要低于0.1s。随着技术的发展，对象的细节层次越来越复杂，就目前计算机图形学的水平而言，只要有足够的时间，就能生成准确度相当高的像照片一样的逼真图像。然而这种提高真实感的方法是采用增加物体多边形来获得，从而使计算复杂，绘图速度大大降低，无法满足DVR系统的需要【2】。 2DVR系统及其特点简介 DVR是指基于网络的虚拟环境，在这个环境中，位于不同物理位置的多个用户和多个 虚拟环境通过网络相连接，并共享信息。它是网络和虚拟现实结合的产物，是一个支持多人通过网络实时进行交互的软件系统，每个用户在一个VR环境中通过计算机与其他用户进行交互。DVR系统一般由显示器，通信和控制设备，处理系统，数据网络四个基本部件组成【3】。 DVR追求良好的交互性，这就使得其对系统的响应速度和吞吐量有较高的要求。为了获得较好的交互反应时间，系统必须由相当少的软件层组成，在客户和服务器之间传递的数据量必须足够小。吞吐量受客户和服务器的处理速度，数据传输率的影响。在远程服务器上的数据必须从服务器进程传递到客户进程，经过两个计算机上若干个软件层。软件层的吞吐量与网络的吞吐量一样重要【1】。与此同时，DVR还要求系统具有良好的实时性，保持较高的图形刷新速率等。 3分形模型及其在DVR系统设计中的应用价值 3.1分形模型概述 正如分形之父Mandelbrot所说的那样，分形是大自然的几何学。分形几何学是描述复杂自然形状及其形成机制的有力手段，为人类构建自然图形提供了一种新的科学基础，形成了一种全新的自然图像——生成论的自然图像。分形几何学能够借助迭代模拟自然界的复杂形状，这正是分形模型的独特魅力所在【4】。目前，发展较为成熟的分形几何模型有L-System（L-系统）与IFS（Iterated Function System，迭代函数系统）。它们都能以极少的存储数据来生成逼真度相当高的复杂自然形状。而且，对于任何自然物形态，都可以通过计算机把它们转换成IFS编码，即数据模型【4】。因此，分形模型具有极其广阔的应用前景。 3.2分形模型在DVR系统设计中的应用价值 传统DVR系统中的几何模型一般用多边形来表示，通常具有两个信息：一个包含点的位置信息，另一个是点的拓扑结构信息，用来说明这些点之间的连接【2】。因此，在生成实体时通常要求较大的数据量，对网络的带宽要求很高。而且，在生成较为复杂的实体模型时，限于大量的数据传输和计算，使得图形的 1
分形几何与分形艺术
我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 一、分形几何与分形艺术 什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。 "分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。
学习分形心得体会
学习分形心得体会 经过三十六课时的学习，分形课结束了，似乎大家都感触颇深，这里想谈谈本人的一些学习心得和体会。 “分形”被认为是20世纪数学科学的最重要发现之一。我们手中拿到的这本书是信息与计算科学专业系列丛书之一，具有该专业的特点。信息与计算科学专业是以信息技术和计算机技术的数学基础为研究对象的理科类专业，其目标是培养学生具有良好的数学基础和数学思维能力，掌握信息与计算科学基础理论、方法与技能，受到科学研究的训练，能解决信息技术和科学与工程计算中的实际问题的高级专门人才。基于以上认识，院系于是给我们信息与计算科学专业开了分形这门课。 这门课的任课老师是唐强教授，唐教授学识渊博、理论扎实、内容丰富多彩，特别能激发同学们学习的兴趣。这本书的内容由浅入深，定理推导详略得当，语言通顺，内容新颖，很多都是近年来的新成果，书后并附有大量的彩插。书中配以大量的例题和图片，以利于学生对内容有更好的理解；附录适当的C语言及BASIC程序，方便学生上机实践。 自从Euclid（欧几里得）在两千多年前创立几何学以来，在漫长的岁月里，自然科学研究人员与数学家们基本上都在Euclid空间进行研究和探索。但Euclid 几何学不是万能的，大自然中的许多现象都不可能由Euclid几何来解释。比如 树是三维空间的实物，但能由) f x z 来描述吗？显然不能。那么如何来描述 , (y 大自然几何及其他许多Euclid几何所不能解决的问题呢？虽然历史上曾经出现像俄罗斯数学家Lobachevski（罗巴切夫斯基）创立的非欧几何，但其影响有限并且还不能解决我们当前所面临的许多问题。 分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(Fractal)。 后来，英国数学家法尔科内(Falconer)提出罗列分形集的性质，来给分形下定义。如果集合F具有下面所有的或大部分的性质，它就是分形：（1）F具有精细的结构，即是说在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节； （2）F是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述； （3）F通常具有某种自相似性，这种自相似性可以是近似的，也可能是统计意义上的； （4）F在某种意义下的分形维数通常都大于它的拓扑维数； （5）在多数令人感兴趣的情形下，F以非常简单的方法定义，或许以递归过程产生。 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象
分形理论
分形理论 在多年大量实践与探索的基础上，我于96年年底完成了论文<<大系统随机波动理论>>, 随后又在近一年的运作实践中不断进行了修正与完善，自信已经形成一个比较合乎现实逻辑的理论体系。该论文结合当今数学与物理学界最热门的研究领域之一--- 以变化多姿杂乱无章的自然现象为研究对象的分形理论，从最基本的概念与逻辑出发阐明了波动是基本的自然法则, 价格走势的波浪形态实属必然；阐明了黄金分割率的数学基础及价值基础, 价格波动的分形、基本形态及价量关系, 并总结了应用分析的方法与要点等等；文中也多次引用我个人对分形问题的研究成果；另外也指明了市场中流行的R.N. 埃劳特的波浪理论的基本点的不足之处。在国内基金业即将进入规范的市场化的大发展时期之际，就资金运作交易理论进行广泛的交流与探讨，肯定与进行有关基金的成立、组织、规范管理等方面的交流与探讨同样有意义。我尽力用比较通俗的语言描述并结合图表实例分析向读者介绍有关价格波动理论研究的基本内容与使用要点，供读者朋友参考。 一、分形理论与自然界的随机系统 大千世界存在很多奇形怪状的物体及扑溯迷离的自然景观, 人们很难用一般的物质运动规律来解释它们, 象变换多姿的空中行云, 崎岖的山岳地貌, 纵横交错的江河流域, 蜿蜒曲折的海岸线, 夜空中繁星的分布, 各种矿藏的分布, 生物体的发育生长及形状, 分子和原子的无规运动轨迹, 以至于社会及经济生活中的人口、噪声、物价、股票指数变化等等。欧氏几何与普通的物理规律不能描述它们的形状及运动规律, 这些客观现象的基本特征是在众 多复杂因素影响下的大系统(指包括无穷多个元素)的无规运动。通俗一点讲, 这是一个复杂的统计理论问题, 用一般的思维逻辑去解决肯定是很困难的或者说是行不通的。70年代曼德尔布罗特(Mandelbrot,B.B.)通过对这些大系统的随机运动现象的大量研究,提出了让学术界为之震惊的“分形理论”, 以企图揭示和了解深藏在杂乱无规现象内部的规律性及其物理本质，从而开辟了一个全新的物理与数学研究领域，引起了众多物理学家和数学家的极大兴趣。 所谓分形, 简单的讲就是指系统具有“自相似性”和“分数维度”。所谓自相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采用什么样大小的测量“尺度”，物体的形状不变。如树木不管大小形状长得都差不多, 即使有些树木从来也没见过, 也会认得它是树木；不管树枝的大小如何，其形状都具有一定的相似性。所谓分形的分数维, 是相对于欧氏几何中的直线、平面、立方而言的, 它们分别对应整数一、二、三维，当然分数维度“空间”不同于人们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。说起来一般人可能不相信，科学家发现海岸线的长度是不可能（准确）测量的，对一个足够大的海岸线无论采用多么小的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于一个确定值！用数学语言来描述即是海岸线长度与测量标尺不是一维空间的正比关系，而是指数关系，其分形维是1.52；有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。 一个全新的概念与逻辑的诞生，人们总是有一个适应过程，但是无数事实已经证明，合理的（或者说不能推翻的）逻辑在客观现实中总能找到其存在或应用的地方的。本世纪初, 爱因斯坦将物质运动从三维空间引到四维空间去描述, 从而产生了一场科学与认识上的革命, 爱因斯坦的相对论不仅让人类“发现”了原子能，而且更重要的是其极大地推动了人们对太空与原子（和微观粒子）的认识层次与能力的提高，但愿分形理论的诞生也具有同样意义，也许在生命（生物）科学与环境科学领域将发现分形理论的重大价值。 下面结合三分法科赫曲线（KOCH）来进一步说明自相似性的意义。如附图一所示, 将一条1个单位长度的线段, 分三等份, 去掉中间的一份并用同等长度的等边三角形的两条边取代之, 随后用同样的方法不断循环地操作五次, 即得这些图形。由科赫曲线明显可以看出,
两种测度方法表征粗糙表面的效果研究
２００６年７月 第７期（总第１７９期） 润滑与密封 ＬＵＢＲＩＣＡＴＩＯＮＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ Ｊｕｌｙ２００６ Ｎｏ．７（ｓｅｒｉａｌＮｏ．１７９） 两种测度方法表征粗糙表面的效果研究＋ 李刚朱华吕亮 （中国矿业大学可靠性工程研究所江苏徐州２２１００８） 摘要：为了比较结构函数与均方根２种测度方法对粗糙表面的分形表征效果，模拟了具有不同理论分形维数的表面轮廓曲线，然后用结构函数和均方根２种方法对它们进行分形特性表征和分形维数计算，并对表征结果进行了理论分析。研究表明，２种测度方法均具有较好的表征效果。与结构函数测度方法相比，均方根测度方法的分维计算精度高，表征曲线的线性度好，反映分形特征的无标度区间宽，分形表征效果显著。另外，均方根测度方法还具有物理意义明确和分维计算简单的优点。因此均方根测度方法不失为粗糙表面分形表征的一种有效方法。 关键词：结构函数测度；均方根测度；分形表征；粗糙表面；分形维数 中图分类号：’ｒ璐４文献标识码：Ａ文章编号：０２５４一０１５０（２００６）７一０４８—３ Ｓｔｕｄｙ伽ｔｈｅＤｉ仃ｅｒｅ眦ｅｓｏｆＣｈａｒａｃｔｅｒｉｚｉｎｇＲ０ｕｇｈ Ｓｕｒｆａｃｅｓ耐ｔｈＴｗｏＦｒａｃｔａｌＤｉｍｅ璐ｉｏｎＭｅｔｈｏｄｓ ＬｉＧａｎａＺｈｕＨｕａＬｖＬｉａｎｇ （ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＲｅｌｉａｂｉｌｉｔｙＥｎｇｉｎｅ秭ｎｇ，ＣｈｉｎａＵｎｉｖｅ瑁ｉｔｙｏｆＭｉｎｉｎｇ蛐ｄＴｅｃｈｎ０１０盯，ＸｕｚｌＩｏｕＪｉ舳ｇｓｕ２２１００８，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓ订ａｃｔ：ＩｎｏｒｄｅｒｔｏｓｔｕｄｙｔｌｌｅｄｉＨ．ｅｒｅｎｔｅｆｆｅｃｔｓｏｆｃｈａ瑚Ｌｃｔｅｒｉｚｉｎｇｒｏｕｇｈｓｕ商帕ｅｓ诮ｔｈｔｗｏｆｊ∞ｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｏｆｔｈｅｓｔｍｃｔｕｒｅｆｕｎｃｔｉｏｎＩｍ鹅ｕｒｅｍｅｎｔａｎｄｔｌｌｅｍｏｔｍｅ船ｓｑｕａｒｅｍｅ鹊ｕ砘ｍｅｎｔ，ｆｈｃｔａ：Ｉ耐ｉｌｅｃｕｎｒｅｓ埘ｔｌｌｄｉ矗－ｅｒｅｎｔｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｄｉⅡＩｅｎ８ｉｏｎｓｗｅｒｅｓｉｌｒｍｌａｔｅｄ．Ｔｈｅｉｒｆ圣ａｃｔａｌｃｈ啪ｃｔｅＩｉｓｔｉｃｓｗｅＤｅｃｈａｒ｛ｌｃｔｅｒｉｚｅｄａｎｄｆｔａｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｗｅｌ＿ｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄ．Ｔｈｅｒｅ—ｓｕｌｔｓ０ｆｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｗｅｒｅａｌｌａｌｙｚｅｄ，蚰ｄｇｏｏｄｆ｝ａｅｔａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ乒托ｃｔｓｆｏｒｓｉｎｍｌａｔｅｄｆｈｌｃｔａｌｃｕｎｒｅｓｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｔｗｏＩｎｅｔｈｏｄｓ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ诵ｔｌｌｔ｝ｌｅｓｔｒＩｌｃｔｕ托ｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔＩｌｏｄ，ｔｌｌｅｒｏｏｔｍｅ肌ｓｑｕａｒｅｍｅｔ｝ｌｏｄｈａｓｈｉｇｈｅｒｃａｌ—ｃｕｌａｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙｏｆ触ｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ，ｂｅｔｔｅｒｌｉｎｅ耐哆ｏｆｆｂｃｔａｌｃｈ锄ｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｃｕｒｖｅｓａｎｄｗｉｄｅｒ瑚ｇｅ０ｆｓｃａｌｅｉｎＶ撕ａｎｃｅｉｎｗｈｉｃｈｔｈｅｆ｝ａｃｔａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｅｘｉｓｔｓ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｔｌＩｅｒｏｏｔｍｅ蛐ｓｑｌｌａｒ｛ｅｍｅｔｈｏｄｐｏｓｓｅｓｓｅｓｍｅａｄｖａｌｌｔａｇｅｓｏｆｄｅ６ｎｉｔｅｐｈｙｓｉｃａｌｍｅａｎｉｎｇａｎｄｓｉｍｐｌｅｆ｝ａｃｔａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．Ｓｏ，ｉｔ ｉｓ蚰硪ｂｃｔｉｖｅｍｅｔｌｌｏｄｆｂｒｆ蕊ｔａｌｃｈ啪ｃｔ面ｚａｔｉｏｎｏｆｒｏｕｇｈｓｕｒｆｊ∞ｅｓ．Ｋ舒ｗｏｒｄｓ：ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｆｕｎｃ石ｏｎｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ；ｒｏｏｔｍｅａＩｌｓｑｕａｒｅ ｍｅａｓｕｒ啪ｅｎ￡；ｆｍｃｔａｌｃｈａｒａｃｔ翻黯ｔｉｏｎ；ｒ叫ｇｈｓｕｌ矗ｅｅ；ｆｒａｃ—ｔａｌｄｉｍｅｎｓｊｏｎ 粗糙表面需要用有效的方法和参数来表征，由于基于统计学的传统表征参数存在尺度相关性，其测量结果随表面轮廓的测量条件如仪器分辨率和取样长度等的变化而表现出不稳定性，因此人们研究用尺度独立的分形参数来表征表面的粗糙度水平和内禀特性。到目前为止，人们已研究了多种计算粗糙表面分形维数的方法，如尺规法、盒计数法、变差法、功率谱法、结构函数法和均方根法等。这些方法各有其特点和适用范围，研究表明¨“ｏ，机加工表面和磨损表面等粗糙表面具有统计自仿射分形特征，盒计数方法不 ｝基金项目：国家自然科学基金项目（５０４７５１６４，５０２２５５１９）；江苏省自然科学基金项目（ＢＫ２００２１１６）；中国矿业大学科研基金资助项目（２００５８０３４）． 收稿日期：２００６—０４—２０ 作者简介：李刚（１９７９一），男，研究生，主要从事摩擦学理论与设计研究．适合自仿射轮廓曲线的分维计算；功率谱法虽然适合于自仿射分形曲线，但测度一尺度的幂律关系不显著，因而分维计算精度较低；变差法相对于功率谱法的表征效果较好，但不如结构函数法。国外研究认为ｂ“１，结构函数方法具有信息量大、分形表征有效等优点，特别适用于具有统计自仿射分形特征的表面表征，因而自１９９０年ＭａｊｕｍｄａｒＡ和Ｂｈｕｓｈ肌Ｂｐ。引入摩擦学分形研究以来得到了广泛的应用¨“。。均方根方法是葛世荣ｐ１在１９９７年摩擦学学报上发表的“粗糙表面的分形特征与分形表达研究”一文中提出来的，与结构函数方法相比，该方法具有标度律显著、表征曲线线性度好、无标度区间宽、分维计算精度高和表征直观等特点，因此分形表征效果较结构函数方法显著。为便于人们熟悉和应用该方法，使粗糙表面的表征更加科学、客观，本文作者以结构函数测度方法为比较对象，阐明均方根测度方法表征粗糙表面的有效性。 万方数据
分形理论及岩石破碎的分形特征
第22卷第1期武汉冶金科技大学学报(自然科学版) Vol.22,No.11999年3月J.of Wuhan Y ejin Uni.of Sci.&T ech.(Natural Science Edition ) Mar.,1999 收稿日期:1998-11-17 作者简介:盛建龙(1964-),武汉冶金科技大学资源工程系,副教授. 文章编号:1007-5445(1999)01-0006-03分形理论及岩石破碎的分形特征 盛建龙1 刘新波1 朱瑞赓2 (1.武汉冶金科技大学资源工程系,武汉,430081;2.武汉工业大学建筑学院,武汉,430070) 摘要:介绍了分形的基本概念,分析了4种分维数的确定方法,进而探讨了岩石破碎过程中的分形特征。关键词:分形;分维;岩石破碎 中图分类号:O18;P616.3 文献标识码:A 分形几何(fractal geometry )创立于本世纪70年代,是由法国数学家曼德尔布罗特(B.B.Man 2delbrot )提出的。分形(fractal )一词是B.B.Mandel 2brot 从拉丁文fractus (断裂)创造的新词[1],意思是破碎、细片、分数、分级,等等。分形几何学主要研究一些具有自相似性(self 2similar )的不规则曲线和形状,具有自反演性(self 2reverse )的不规则图形以及具有自平方性(self 2squaring )的分形变换和自仿射(self 2affine )分形集,等等。而自相似性的不规则曲线和形状是分形几何研究的主体内容[2]。因此,分形几何学的出现,为更准确地研究自然现象的内在机理提供了一种新方法。 近年来,分形几何被广泛地应用于物理学、生物学、地理学、冶金学、材料学、计算机图形学等领域。从几何学的角度来研究不可积系统即耗散结构图形或浑沌吸引子图形的自相似性,并把复杂多变的自然现象看作是无限嵌套层次的精细结构[3],使分形理论与耗散结构理论、协同论、混沌理论、渗透理论等这些与非线形复杂现象有关的理论成为新的思想和理论模型。 1 分形与分维 分维(fractal dimension )是分形几何学定量描 述分形集合特征和几何复杂程度的参数。经典的欧几里德几何的研究对象是极规则的几何图形,是拓扑学意义下的整数维(记为D T )。它反映的是确定一个点在空间的位置所需独立坐标的数目或独立方向的数目。在经典几何学中,一个点是 零维的,一条(光滑)曲线是一维的,一个曲面是二维的。豪斯道夫(Hausdorff )于1919年引入维数概念,以Hausdoff 度为基础,提出了维数可以是分数,即分数维。下面简要介绍4种常见的分维定义。1.1 相似性维首先以Von K och 曲线为例,通过曲线的构造过程来分析相似维数。如图1所示,起始于n =0的单位长度线段称为Von K och 曲线的零阶生成;将直线段中间的1/3用边长为1/3直线段长的等边三角形的另外两段取代,得到n =1的Von K och 曲线生成元,称为第一阶生成;把第一阶生成的4个直线段类似于第一阶生成进行变形,就得到Von K och 曲线的第二阶生成;类似地无穷变形下 去,最后得到的曲线(n →∞)就是Von K och 曲线 。 图1 V on K och 曲线的构造过程 由Von K och 曲线可以看出,每一折线与整
基于W-M分形函数的三维粗糙表面摩擦生热研究
第16卷第3期2018年6月 中国工程机械学报 C H IN E SE JOURNAL OF CONSTRUCTION MACHINERY Vol. 16 No. 3 Jun. 2018 基于W-M分形函数的三维粗糙表面摩擦生热研究 刘宇，邓宏盛，张生芳，沙智华，马付建，尹剑 (大连交通大学机械工程学院，辽宁大连116028) 摘要：将W-M分形函数引人风电制动器制动过程的摩擦生热研究中，根据W-M分形表面形貌的特点及利用其 特有的自相似性，以Matlab软件模拟出粗糙表面的分形曲面形貌.通过Creo软件建立不同分形维数的粗糙表面 模型，运用Abaqus有限元软件分析分形维数、相对滑动速度、施加载荷对粗糙表面制动过程中闪点温度和接触 压力的影响.结果表明：随着分形维数增大，摩擦区域块状热区的数量减少，而点状热区的数量增多;相对速度越 大时，接触区域最顶端的微凸体节点温度也越大,非接触区域温度上升速率也越快;施加载荷增大时，微凸体的 最高闪温点的温度变化幅度不大，但会影响热区的数量大小与次闪温点和非接触点的温度. 关键词：粗糙表面（W-M函数；分形维数；摩擦生热 中图分类号！T H164 文献标志码：A文章编号！1672- 5581(2018)03-0194 - 08 Research on friction heat /en eration o f three dimensional r o u/h surface based on W-M fractal function LIU Y u，DENG Hongsheng，ZHANG Shengfang，SHA Zhihua，MA Fujian?YIN Jian (School of M echanical Engineering,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,Liaoning,China) Abstract：The Weierstrass-Mandelbrot(W-M)fractal function is introduced into the research of friction heat generation in braking process of wind power brake.According to the characteristics of surface morphology of W-M fractal theory and its unique self-similarity,the fractal surface morphology of surface is simulated by using Matlab.The rough surface model with different fractal dimensions is established by Creo software.And the flash point temperature and contact stress in rough process are analyzed under different fractal dimensions,relative sliding velocities and applied loads through finite element software Abaqus.The results show that the number of block hot zone number of dotted hot zone decreases in friction areas as the fractal dimension increases.The relative velocity is，the greater the temperature of the asperity nodes is at the top of the the faster the r ate of temperature rises in the non-contact region.When the applied load increases,the temperature of the highest flash point of the asperity increases little，but t can affect zones and the temperature of the sub-flash point and non-contact point. Key words：rough surface；W-M fractal function；fractal dimension；friction heat 大功率风电制动器具有制动转速高、制动力矩 大的特点，其制动过程中大部分动能通过摩擦作用 转化为热能，制动器摩擦副表面将产生大量摩擦 热.制动闸片由于局部高温和应力集中的原因，材料属性发生改变，造成闸片不均匀摩擦损耗的加 剧，影响了风电制动器的制动性能，并降低了制动 闸片材料的利用率，因此，如能对制动过程中摩擦 接触的微观过程进行深入研究，即可有效预测摩擦 基金项目：国家自然科学基金资助项目（51675075,51475066);辽宁省自然科学基金资助项目（2015020114)作者简介:刘宇"982 )，男，副教授.E5nail:liuyu_ly l2@https://www.360docs.net/doc/f76356859.html, 通信作者:张生芳(1973 )，男，教授，博士生导师.E~mail:zsf@djtu. edu. cn
分形统计模型的理论研究及其在地质学中的应用
第33卷 第2期1998年4月 SC IEN T I A GEOLO G I CA S I N I CA V o l .33N o.2 A p r .,1998 3地矿部“九五”基础研究重点项目《矿产定量预测的勘查评价新理论研究》和中国博士后科学基金项目资助。申 维,男,1957年2月生,博士后,数学地质专业。 1997210207收稿,1997209209改回,王桂凤编辑。 分形统计模型的理论研究及其在 地质学中的应用 3 申 维 赵鹏大 (中国地质大学数学地质研究所 武汉 430074) 摘 要 本文提出了一般分形模型和一般分维数的概念,认为许多地质模型是一般分形模型的特例,指出幂函数分布和帕累托分布是分形统计模型的数学基础,论证了幂函数分布在高端截尾条件下具有尺度不变的分形性质,根据非线性回归模型参数估计的方法,提出了求分维数的新方法,该方法具有许多优点。通过在计算机上产生随机数对分形统计模型进行模拟研究,以及通过实例说明分形统计模型应用的方法及步骤,并解释了分维数的实际意义。 关键词 分形统计模型 分维数 模拟研究 成矿预测 由于人类社会和自然界中广泛地存在无序、混乱、不规则和不光滑的复杂现象,传统的理论只能是简化或定性地刻画它们。分形理论的提出为揭示隐藏于混乱复杂现象中的精细结构和定量地刻画描述它们提供了理论基础。 分形理论创立于70年代中期,其研究对象为自然界和社会活动中广泛存在的无序(无规则)而具有自相似性的系统。分形论借助于自相似性原理洞察隐藏于混乱现象中的精细结构;为人们从局部认识整体,从有限认识无限提供新的方法论;为不同学科发现规律性提供崭新的语言和定量的描述;为现代科学技术提供新思想新方法。分形理论不但为复杂的现象提供了一种简便的定量描述工具,而且它是一种辩证的思想方法和认识方法:部分与整体有相似性是整个的相对缩影,含有整体的信息,因而人们可以通过认识部分来认识整体。 1 一般分形模型 设非线性模型 y =f (x ,Η )+Ε(1) 式中:x 为可观测的已知变量,可以是向量;y 为可观测的随机变量;Ε为不可观测具有零 均值和有限方差Ρ2>0独立同分布F 的随机误差项(Ρ2未知);Η=(Η1,Η2,…,Ηp )′为未知参数,定义域为欧氏空间R p 上的一个子空间(;f 称为模型函数,它的函数形式已知,但含有未知参数Η。如果f 是Η的线性函数,则(1)式化为线性模型,否则就称为非线性模型。
分形与幽默艺术
分形与幽默艺术 分形与幽默艺术 作者：憔悴太子 ── 从赵本山的小品《心病》谈起 摘要表演艺术本身就有着自己的规律与理论。研究分形与幽默，研究分形与表演艺术之间的关系，只不过是从一个从新的角度来进一步了解及研究表演艺术它的自身规律与理论，将原来看到的，还有可能看不到的和遗漏的，或者看不清楚的问题及内容，从理论与技术上进一步进行归纳与升华成为应用价值的东西，从而形成新的规律与理论。并用它来指导表演艺术的编导与表演艺术的实践。从赵本山的小品《心病》谈起, 研究分形与幽默的目的就在于希望本文能起抛砖引玉的作用。 关键词分形自相似性表演艺术幽默 一前言 2003春节晚会上赵本山的小品“心病”（何庆魁先生等撰写），由赵本山、高秀敏、范伟组成的“黄金铁三角” 重新杀回央视，成为最大的看点和亮点。小品“心病”在舞台演出需要的时间很短（网上下载赵本山的“心病”播放时间为13分54秒），然而观众的笑声不断共计有25次之多（除“黄金铁三角”的人物出场时深受观众欢迎，引起观众大笑叫好外，其中还有15次也是大笑与幽默喜剧的高潮），足见其成功之处。他们获得非常好的幽默喜剧效果与巨大轰动效应。该小品最典型的幽默是赵本山这个“医生”与“病人”范伟一样都得了相似的“心病”。对于身外之物的“钱”的“心病”上，“医生”治好了“病人”的“心病”，他自己却是同样的“心病”大发其着，而且更为甚之。正是赵本山这个“医生”与“病人”范伟一样都得了相似的“心病”才引发了幽默喜剧的效果，也正是这个幽默喜剧情节才引发了一些不必要的争论。其实艺术上的“相似”的故事情节，“相似”表现手法的相互借鉴是无可非议的，因为世界上从时间与空间的整体来看每时每刻不知要发生多少“相似”，“相同”的事情，这是不足为奇的。世界本来就是“分形”的世界。 从现在的观点来看，赵本山的小品“心病”他们获得非常好的幽默喜剧效果与巨大轰动效应，除了他们的表演技巧外，小品剧情的发展与表现技巧都应用了“分形”这一手法。这里我们只不过是从一个从新的角度来进一步了解及研究表演艺术而已。 二分形简介 “分形”（f ractal）这个名词是由美国IBM（International Business Machine）公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学教授曼德勃罗特（Benoit B. Mandelbort）在1975年首次提出的，其原意是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体，这个名词是参考了拉丁文f ractus(弄碎的)后造出来的，它既是英文又是法文，既是名词又是形容词。1977年，他的所撰写的世界第一部关于“分形”的著作“分形：形态，偶然性和维数”（Fractal：From, Chance and Dimension），标志着分形理论的正式诞生。五年后，他又出版了著名的专著“自然界的分形几何学”（The Fractal Geometry of Nature），至此，分形理论初步形成。由于他对科学作出的杰出的贡献，他荣获了1985年Barnard奖，该奖是由全美科学院推荐，每五年选一人，是非常有权威性的奖。在过去的获奖者中，爱因斯坦名列第一，其余的也都是著名的科学家。 分形理论诞生后，人们意思到应该把它作为工具，从新的角度来进一步了解及研究自然界和社会，范围包括所有的自然科学和社会科学领域。[1] （张济忠<<分形>> 清华大学出版社1995年8月第一版绪论pⅧ-Ⅸ） 分形的几个特点： (1) 具有无限精细的结构； (2) 比例自相似性； (3) 一般它的分数维大于它的拓扑维数； (4) 可以由非常简单的方法定义，并由递归，迭代产生等。 这里（1）（2）两项说明分形在结构上的内在规律性。自相似性是分形的灵魂，它使得分形的任何一个片段包含整个分形的信息。第（3）项说明了分形的复杂性，第（4）项说明了分形的生成机制。[2]（分形--自然几何.htm）请看图1中的几个图形,它们叫做科赫曲线和科赫雪花曲线，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个局部和整体自相似的图形。这就是分形几何的一个特点叫做自相似性。并且具有无限精细的结构，即它的全息性。从图1中，可以看出它的生成规律，即其递归过程。[3]（分形艺术欣赏.htm）[4]（21ic_com
