粗糙表面接触分形模型的提出与发展

第16卷　第4期摩擦学学报V o l.16,　N o.4 1996年10月TR I BOLO GY O ct.,1996评述与进展(375～384)粗糙表面接触分形模型的提出与发展3贺　林 朱　均(西安交通大学润滑理论及轴承研究所　西安　710049)摘要　自表面接触塑性变形模型问世以来,经过近40年的发展,已经形成以分形几何理论为基础的M2B粗糙表面接触分形模型.M2B模型以分形参数代替统计学参数表征粗糙表面,推导出了实际接触面积与载荷的关系,以及实际弹性接触面积和实际塑性接触面积的计算公式,指出了影响接触面变形性质的因素与规律1由于分形参数的尺度独立性,可望利用M2B模型对接触面积的预测不受测量仪器分辨率和取样长度等因素的影响,故其比基于统计分析的G2W接触模型更为合理1尽管如此,M2B模型还有待完善,多方面的问题尚待进行深入研究.关键词　粗糙表面　接触模型　分形几何　分维　形貌参数　真实接触面积表面形貌对摩擦、磨损及润滑都有重要影响,因而对表面形貌的研究受到人们的广泛关注,表面接触理论是发展摩擦学理论的一个重要出发点.作者拟对粗糙表面接触分形模型的提出、主要内容及其发展进行综合介绍与评述.1　粗糙表面接触分形模型的提出人们在试图解释经典Am on ton摩擦定律之初,就认识到在微观尺度上摩擦面是粗糙的,实际接触是发生在摩擦面的微凸体上,实际接触面积与名义面积之比非常小.为了计算实际接触面积、预测接触面积随载荷的变化,早期是将球体之间接触的赫兹理论应用于单个接触点上进行研究,直至Ho l m提出接触点上的局部应力可以高到足以超过较软材料的弹性极限而使微凸体塑性屈服这一观点后,Bow den等〔1〕才建立了接触的塑性变形模型,可以对经典摩擦定律作出解释.但在此后不久,A rchard〔2〕就提出了完全不同的弹性变形模型,他进行了多重接触的假设,得到了即使在完全弹性变形条件下,真实接触面积与载荷之间也非常接近于线性关系的结论.A rchard模型的重要贡献是首次实现了对经典Am on ton摩擦定律较好的解释,而不一定依赖于塑性变形的假设.试验结果表明,这2种模型都还不很符合实际.1966年,Greenw ood与W illiam son共同提出了基于统计分析的接触模型,即G2W模型〔3〕.这种模型首次将表面形貌的高度分布看成随机变量,没有以绝对弹性或绝对塑性变形为前提,而是引入了塑性指数Ω=EΡ B H(其中,E为赫兹接触的复合弹性模量,H为较软材料的硬度,Ρ为微凸体高度分布的标准差,Β为微凸体顶端的平均曲率半径)的概念.通过Ω将材料本身的特性与接触面的几何形状联系起来,Ω是衡量弹性接触和塑性接触面积3国家自然科学基金资助项目1996201228收到初稿,1996205205收到修改稿本文通讯联系人贺林大小的判据.在载荷一定时,Ω值越大塑性变形比例越大,而弹性变形比例越小,由Ω的定义式可以看出,表面形貌参数Ρ和Β对决定弹性与塑性变形比例起着重要作用.G 2W 模型是首次考虑表面形貌参数而建立的,比以前的模型更接近于实际,而且在表面高度分布为高斯型时能对经典摩擦定律作出满意的解释,故其对接触理论的研究具有重要影响,至今依然广为人们所接受.随着表面检测技术,以及模型和数字分析技术的迅速发展,人们可以相当方便地通过轮廓分析获得更多表面形貌的统计学信息和参数,如除高度分布外的斜率分布、曲率分布、功率谱密度曲线和自相关函数等,从而能够对G 2W 模型的假设条件进行更加切合实际的修正.W h itehou se 与A rchard 共同建立的W 2A 模型〔4〕,M cCoo l 〔5〕,N ayak 〔6〕和B hu shan 等〔7〕在表面接触分析中,都使用了除表面高度标准差Ρ外的表面斜率标准差Ρ′和曲率标准差Ρ″等统计学参数.应该指出,Greenw ood 等〔3〕在其建立G 2W 模型时就曾认为,微凸体平均曲率半径Β是试验仪器分辨率的函数.此外,M ajum dar 等〔8〕的研究结果表明,表面形貌参数Ρ,特别是Ρ′和Ρ″都明显地受仪器分辨率的影响1本世纪70年代末S ay les 等〔9〕已经发现,表面形貌的高度分布具有非稳定的随机特性,并且指出高度分布的标准差Ρ还与取样长度有关1由此可见,表面形貌的统计学参数对确定的表面不是唯一的,以这些参数为基础建立的接触模型对接触面积的预测结果也就不是唯一的.这是由于表面粗糙度具有多重尺度(毫米、微米和纳米级甚至更小)的特性,在一定的测量条件下获得的统计学表征参数,只能反映与仪器分辨率及取样长度有关的粗糙度信息,而没有反映表面粗糙度全部信息的缘故.可以设想,如果能够找到一种可以将所有尺度的粗糙度信息都包含于其中的表征参数,则其就是尺度独立的,对于确定的表面也就是唯一的,建立于这种参数上的接触理论势必更为合理.F ig .1　Q ualitative descri p ti on of statistical self 2affinityfo r a surface p rofile 图1　表面轮廓统计自仿射性的定性描述示意图由以上所述可以看出,粗糙表面是否有唯一的、确定的性质,这是一个值得进行深入研究的课题.若将粗糙表面的轮廓线反复放大,就能够观察到纳米级甚至更小的粗糙度不断增加的细节,如图1所示.可以看出,在不同放大倍数下的粗糙度轮廓结构非常相似,这说明粗糙表面在不同尺度的相似性可能是唯一的、确定的.这一特性可由分形几何来表征.研究结果表明,粗糙表面的分形特性与尺度无关,可以提供存在于分形面上所有尺度范围内的全部粗糙度信息〔8,10〕.因此,利用表面分形特性建立的接触模型,可望对表面接触的分析结果具有确定性、唯一性.2　表面形貌统计自仿射分形特性的数学表征2.1　分形几何学的产生维数是图形最基本的不变量,传统的欧氏几何采用0,1,2,3维数分别描述有序的几何形状点、线、面、体,有序几何形状大小的测量与其维数有关,而与测量时使用的尺度无关.例如,在1维线的长度测量时,其长度L 与测量单位∈之间的关系为:对于直线段L =∈θ,(1)673摩　擦　学　学　报第16卷L 的大小与∈的大小无关;对于曲线L =li m ∈→0∑∈11(2)当∈→0时,L 收敛于一确定值.但是,M andelb ro t 〔11〕在研究自然海岸线的长度时发现,海岸线的测量长度随所用尺度而变化,当测量单位∈减小时,海岸线长度单调增加,原因是此时有越来越多的小海湾和小海角被测量到,∈→0时海岸线长度L →∝.自然海岸线长度的这种特性与早期一些数学家构造的“病态曲线”及“病态函数”的特性完全相同,其数学特点是处处连续而处处不可导.不可导是由于曲线被反复放大时越来越多的细节会出现,在任一点就不可能做出其切线的缘故.在双对数坐标上,M andelb ro t 发现L 与∈为简单直线关系:L ～∈(1-D ). (1<D <2)(3)对于确定的海岸线,D 为确定值,并由此得出结论:实数D 是海岸线的维数,海岸线具有分形特性,D 称为分形维数,简称分维,可以反映所有尺度上海岸线粗糙度的信息,且不随尺度的变化而变化.这一结论为分形几何学的产生奠定了基础,在科学与工程中表征及描述无序现象时得到越来越广泛的应用.2.2　表面轮廓线的分形特性自然海岸线的特点是将小尺度下的粗糙度在所有方向上放大相同倍数后,其概率分布与大尺度下的一致,这种曲线具有统计自相似特性.对于统计自相似分形曲线,分维D 可以通过长度与尺度的关系式(3)求出相似维数.但是,绝大多数实际曲线并不具有统计自相似特性,而是具有统计自仿射特性,即要使较小尺度下的概率分布与较大尺度下的一致,就必须在不同方向上放大不同的倍数,典型的例子是分子的布朗运动曲线.对于统计自仿射曲线,L ～∈(1-D )关系不成立,曲线的长度不再提供分维D 的信息,即相似维数对于统计自仿射曲线无效,这时H au sdo rff 维数、盒维数和质量维数等的计算也都很困难.因此,要方便地计算统计自仿射曲线的分维D ,就必须采用特殊方法.研究表明,许多工程表面形貌的轮廓线都具有统计自仿射分形特性〔8,10〕.2.3　表面形貌分形特性的数学表征若设一各向同性均匀粗糙表面的分维为D s ,则沿任意方向垂直截取该粗糙表面得到的轮廓曲线的分维D 满足〔12〕D =D s -1.(4)图1所示各向同性均匀粗糙表面的任一轮廓曲线的高度相对于中线的变化可用Z (x )表示,它是随机的、多重尺度的和无序的.Z (x )与海岸线相同的数学特征是处处连续而处处不可导,不同的是它具有统计自仿射分形特征.W eierstrass 2M andelb ro t 函数(简称W 2M 函数)可满足表面轮廓曲线Z (x )的上述所有数学特征,其表达式为〔8〕Z (x )=G (D -1)=∑∝n =n 1co s 2ΠΧn x Χ(2-D )n .(5)式中:D 具有维数的特性,是函数Z (x )的分维(D 与H au sdo rff 维数及盒维数等的关系至今还没有见到严格的数学证明),它描述函数Z (x )在所有尺度上的不规则性,但其不能够确定Z (x )的具体尺寸,即两个完全不同尺度上的分形曲线可以具有相同的分维,为此引入分形参数G ;G 是反映Z (x )幅值大小的尺度系数,它决定Z (x )的具体尺寸;Χn 决定Z (x )的频773第2期贺林等:　粗糙表面接触分形模型的提出与发展谱,Χ=1.5可适于高频谱密度及相位的随机性〔13〕.因此,决定Z (x )的参数是D ,G 和n 1,由于表面轮廓具有非稳定的随机特性,Χn 1=11L (此处L 为取样长度).W 2M 函数的功率谱为S (Ξ)=G 2(D -1)Πln Χ=1Ξ(5-2D ).(6)式中:Ξ为频率,即粗糙度波长的倒数.由式(6)明显可以看出,在双对数坐标上,S (Ξ)与Ξ呈直线关系,直线的斜率与Z (x )的分维D 有关,分形参数G 与直线在S (Ξ)轴上的截距有关.因此,与传统的统计学参数明显不同,W 2M 函数的分形参数D 和G 均与频率无关,是尺度独立的.3　分形参数D 和G 的获得研究表明,并非所有的粗糙表面都具有分形特性〔8〕.因此,对表面轮廓线的分析首先应当确定其是否为分形的,然后求出D 和G ,可以采用的方法有2种:a .　比较真实表面轮廓的功率谱与W 2M 函数的功率谱,若在双对数坐标上真实表面轮廓的功率谱为一直线,且直线的斜率k p 满足-3<k p <-1,则轮廓是分形的,从而可由下式计算其分维D =(k p +5) 2,(7)再由直线在S (Ξ)轴上的截距计算出G 值.b .　通过轮廓曲线Z (x )的结构函数求D 和G .结构函数的定义为S (Σ)=〈[Z (x +Σ)-Z (x )]2〉=∫∝-∝S (Ξ)(e j ΞΣ-1)d Ξ.(8)式中:Σ为x 的任意增量,〈〉表示空间平均值.将式(6)代入式(8)并积分得S (Σ)=CG 2(D -1)Σ(4-2D ).(9)式中:C =#(2D -3)sin [(2D -3)Π 2](4-2D )ln Χ.(10)当1<D <2时,对于确定的D 值,C 为常数.因此,与功率谱函数类似,结构函数也为幂函数,即在双对数坐标上S (Σ)与Σ呈直线关系,当直线的斜率k s 满足0<k s <2时,轮廓是分形的,便可由下式计算其分维D =(4-k s ) 2,(11)再由直线在S (Σ)轴上的截距计算出G 值.通过结构函数S (Σ)确定分形参数D 和G 无需进行谱分析,只要将由轮廓仪采集的数据输入计算机进行简单处理.例如,将轮廓仪测量的某一轮廓Z (x )的模拟信号通过A D 转换后输入计算机,计算机的采样间距为∃t ,共采样N 个,记为Z (x i )=Z i 1 (i =0,1,2,3,…,N -1)令式(8)中的Σ=n ∃t (此处n =0,1,2,3,…),则结构函数S (Σ)=〈[Z (x +n ∃t )-Z (x )]2〉=1N -n ∑N -n i =0(Z i +n -Z i )2.(12)求出表面轮廓的分形参数后,统计学参数Ρ,Ρ′和Ρ″也都可由谱函数S (Ξ)导出〔8〕:Ρ=∫Ξh ΞΙS (Ξ)d Ξ1 2,(13)873摩　擦　学　学　报第16卷Ρθ=∫Ξh ΞΙΞ2S (Ξ)d Ξ1 2,(14)Ρ″=∫ΞhΞl Ξ4S (Ξ)d Ξ1 2.(15)式中:ΞΙ是由取样长度L 决定的最低频率,Ξh 是由仪器分辨率和滤波决定的最高频率,一般Ξh >>Ξl ,近似地有下列关系式成立:Ρ≈ΞD -2Ι,(16)Ρ′≈ΞD -1h ,(17)Ρ″≈ΞD h .(18)由式(16～18)可知,无论统计学参数怎样测量,其值总与取样长度及仪器分辨率有关.4　粗糙表面接触分形模型1991年,M ajum dar 与B hu shan 共同提出了以分形几何为基础的接触模型(简称M 2B 模型).这种模型与G 2W 模型相同的是也将粗糙表面之间的接触简化为粗糙表面与刚性理想平面的接触,不过这一粗糙表面具有分形特性.4.1　真实接触面积M andelb ro t 〔15〕发现海洋面岛屿的面积分布有幂函数规律:N (A >a )≈a -D 2.(19)式中:N 是指面积A 大于面积a 的岛屿之总数,D 为岛屿海岸线的分维.若将粗糙表面(如金属加工表面)放大到适当尺寸,就会发现类似于地球表面的高山峡谷,用一理想平面水平切取该表面形成的接触点,也类似于海洋面的岛屿.因此,假设平面与粗糙表面接触时接触点面积的分布规律与海洋面岛屿面积的分布规律相同,即接触点的数目N 为:N (A >a )～a -D 2.这里,D 是接触点在水平截面上轮廓曲线的分维,但与岛屿的海岸线不同的是接触点的轮廓曲线不是统计自相似曲线,而是中线不为直线(为封闭曲线)的统计自仿射曲线,其分维D 的确定是比较困难的.M ajum dar 等曾经指出,由于统计自相似的海岸线分维D 与地表面分维D s 之间的关系也是D =D s -1,这和式(4)表达的均匀各向同性粗糙表面垂直轮廓线的分维与粗糙表面的分维之间的关系相同,即海岸线的分维与粗糙表面垂直轮廓的分维都以相同的方式与表面分维相联系.由此可见,垂直轮廓线的分维D 可以用于式(19)中(但对于这一点至今还缺乏严格的数学证明).若最大的接触点面积为a 1,数量为1,代入式(19)有N (A >a )=(a l a )D 2.(20)依此有接触点的面积分布n (a )=d N d a =D 2a D 2l a (D 2+1).(21)由上式可以看出,当接触点的面积a →0时,其数量趋于无穷.由于表面在纳米级,甚至更小的尺度上也是分形的,可以假设最小接触点的面积a s →0,总的真实接触面积为A r =∫a l 0n (a )a d a =D (2-D )a 1.(22)973第2期贺林等:　粗糙表面接触分形模型的提出与发展4.2　接触面的变性性质确定真实接触面积中弹性变形和塑性变形接触面积大小的研究表明〔3〕,当微凸体顶端的变形量∆(正比于接触点的面积a )大于临界变形量∆c 时,变形就由弹性转变为塑性.在这种情况下有F ig .2　M 2B f ractal contact m od el 图2　M 2B 分形接触模型示意图∆c =(ΠK Υ2)2Β.(23)式中:K =H Ρy ,Υ=Ρy E ,H 表示较软材料的硬度,Ρy 表示较软材料的屈服强度,E 表示复合弹性模量.在G 2W 模型中,假定微凸体顶端的曲率半径Β为一常数,则∆c 也是一常数,这样就很容易得出接触点面积较小时因变形量小而为弹性变形,面积较大时因变形量大而转变为塑性变形的结论.但是,微凸体顶端的曲率半径Β实际上并不是常数,按照分形理论的观点,Β取其平均值也不合适,这是因为Β的大小依赖于接触点的面积a ,后者在轮廓线上对应于接触长度l [图2(a )],二者之间的关系为l =a 1 2.(24)若忽略更小尺度上的细节,则在l 范围内的轮廓线可以由W 2M 函数确定其数学表达式近似为余弦波[参见图2(b )]:Z (x )=G (D -1)l (2-D )co s Πx l . (-l 2<x <l 2)(25)M ajum dar 等由上式推导出分形表面微凸体顶端的曲率半径为Β= 1 d 2Z d x 2 x =0 =a D 2Π2G (D -1).(26)将式(26)代入式(23),得∆c =(K Υ2)2a D 2G (D -1).(27)由式(27)可以看出,分形表面∆c 的大小取决于接触点的接触面积a ,当a 减小时因其顶端的曲率半径也减小而使临界变形量更小.由式(25)可得微凸体顶端的变形量∆与接触点面积a 的关系为:∆=G (D -1)l (2-D )=G (D -1)a (2-D ) 2.(28)比较∆和∆c 就可以确定接触点的性质.由式(27,28)得∆c ∆=[(K Υ 2)2a (D -1)] G 2(D -1).(29)当∆=∆c 时,即∆c ∆=1的接触面积为临界接触面积a c ,有a c =G 2(K Υ 2)2 (D -1),(30)∆c ∆=(a a c )(D -1). (1<D <2)(31)如果微凸体的接触面积a <a c ,即a a c <1,则由式(31)可以得到∆c ∆<1,∆<∆c ,发生的083摩　擦　学　学　报第16卷是塑性变形;如果微凸体的接触面积a >a c ,即a a c >1,由式(31)可以得到∆c ∆>1,∆<∆c ,发生的是弹性变形.可以看出上面的分析结果与G 2W 模型得出的结论正好相反.因为大接触点是通过对小接触点不断加载而获得,所以M ajum dar 等提出了图2(a )所示的接触模型.当接触面在位置a 时,1,2二接触点的曲率半径小而处于塑性接触;而当载荷增加使接触面移到位置b 时,1,2二点合成为一大点3,这一大点的曲率半径增大,应力释放而使其转变为弹性接触.谢友柏等〔16〕早在M 2B 模型问世之前就已经发现,当增加载荷而使接触面积增大时,接触性质由塑性向弹性转变,这无法用G 2W 接触模型解释,而与M 2B 接触模型的结论一致.临界接触面积a c 与接触点顶端的曲率半径Β无关,只与材料的物理参数及表面分形参数有关,即对于确定的粗糙表面是一确定值.根据临界接触点面积a c ,可以分别确定弹性接触面积A re 和塑性接触面积A rp :若a l <a c ,则有A rp =A r =D2-D a l ,(32)A re =0;(33)若a Ι>a c ,有A rp =∫a c 0n (a )a d a =D (2-D )a D 2l a (2-D ) 2c ),(34)A re =∫a l a cn (a )a d a =D (2-D )(a l -a D 2l a (2-D ) 2c ).(35)4.3　影响接触面变形性质的因素研究表明,在粘着磨损过程中,弹性接触引起的磨损速度远比塑性接触引起的小,如果用A re A r 表示接触面的性质,其值越大,总的真实接触面积中弹性的比例越大,粘着磨损越低,理想状态是A re A r →1,即为H alling 提出的“耐磨表面”〔3,17,18〕.由式(22和35)可得:A re A r =1-D a c (2-D )A r(2-D ) 2=1-D G 2(2-D )(K Υ 2)2 (D -1)A r )(2-D ) 2(2-D ) 2.(36)引入名义接触面积A a ,令G 3=G A a 和A 3r =A r A a 并代入式(36),可将其转化为无量纲表达式:A re A r =1-D G 32(2-D )(K Υ 2)2 (D -1)A 3r (2-D ) 2.(37)由式(37)可以看出,表面分形参数D 和G 3,以及材料的物理参数Υ和K ,都对接触性质有影响.M ajum dar 等〔10〕曾经计算得出了一系列D ,G 3和Υ值时的A re A r ,结果见图3所示.由图3(a 和c )可以看出,G 3值减小和Υ值增大都能改善表面接触的性质1但是,G 3值减小意味着表面粗糙度降低,Υ值增大意味着较软材料的屈服强度提高.值得注意的是,D 对接触性质的影响有一最佳值D opc ,在此分维数下表面的弹性接触最大,这对工程上通过控制表面形貌参数来改善表面接触性质具有指导意义,当然D opc 是与G 3及Υ等参数有关的.183第2期贺林等:　粗糙表面接触分形模型的提出与发展F ig .3　P redicti ons of the fractal model fo r fracti on of real contact area in elastic defo r m ati on图3　接触性质的分形模型预测4.4　真实接触面积与载荷的关系M ajum dar 等以赫兹接触理论为基础,参考Jahn son 〔19〕的研究结果,确定了分形表面的弹性接触点上接触面积与载荷的关系p e (a )=4ΠEG (D -1)a (3-D ) 2 3(38)和塑性接触点上接触面积与载荷的关系p p (a )=H a =K Ρy a ,(39)进而得到总载荷与真实接触面积之间的关系p =4ΠEG 3∫a l a c n (a )a (3-D ) 2d a +K Ρy ∫a c 0n (a )d a .(40)将式(21)代入式(40)积分,并将表达式处理成无量纲形式,得:当1<D <2,但D ≠1.5时p 3=4Π3G 3(D -1)g 1(D )A 3D r (2-D )A 3r D (3-2D ) 2-a 3(3-2D ) 2c 283摩　擦　学　学　报第16卷+K Υg 2(D )A 3D 2r a 3(2-D ) 2c ;(41)当D =1.5时p 3=ΠG 31 2A 3r 33 4ln A 3r 3a 3c +3K Υ4A 3r 33 4a 1 4c .(42)式中:g 1(D )=[D (3-2D )][(2-D ) D ]D 2,g 2(D )=[D(2-D )](2-D 2),P 3=P A a E ,G 3=G A a ,A 3r =A r A a ,a 3c =a c A a .可以看出,真实接触面积(摩擦力)与载荷的关系受表面形貌参数、材料物理参数等因素的影响,并非古典Am on ton 摩擦定律给出的线性关系,而且已被大量实验结果所证实.5　结束语与传统的G 2W 模型相比,M 2B 模型的先进性是利用了包含全部表面粗糙度信息的分形参数D 和G ,因而能够定量地表达总的真实接触面积A r ,弹性接触面积A re 和塑性接触面积A rp 分别与表面粗糙度的关系,以及接触面积与载荷的关系,可望对粗糙表面的接触性质预测不受仪器分辨率和取样长度的影响,使预测具有唯一性或确定性.M 2B 模型已经应用于磨损的预测〔19〕和滑动摩擦表面温度分布的确定〔20～22〕等,初步显示了这一模型的数学严格性及其实用价值.M 2B 分形接触模型是目前摩擦学领域研究的热点之一,然而要使其不只是一种“数学珍品”〔22〕,还必须做大量的基础性研究工作:a .　并非所有粗糙表面都具有分形特性,因而首先应对工程表面(如金属加工表面和机械零部件的磨损表面等)进行分形特性分析,以确定哪些工程表面具有分形特性,这是M 2B 接触模型存在的基础.b .　分形参数D 和G 的尺度独立性都是由统计自仿射分形函数W 2M 函数推导出来的,对于实际的统计自仿射分形工程表面,D 和G 的尺度独立性,即W 2M 函数中的D 和G 能否完全表征实际工程表面,还有待进一步研究.c .　M 2B 接触模型给出的接触面积分别与分维数及载荷的关系等,都还缺少足够的试验验证,特别是对金属材料的研究报道更少.d .　与G 2W 接触模型一样,在M 2B 接触模型中也没有考虑配对表面的粗糙度对接触特性的影响,而是将其假设为刚性理想平面.不言而喻,同时考虑两粗糙面分形特性的系统接触模型更具有实用价值.e .　在M 2B 模型中未考虑材料的加工硬化、硬度随深度的变化、弹性变形和摩擦力,以及在高载荷作用下表面微凸体之间的相互作用等对接触的影响,这些都还有待研究.参考文献1　Bow den F P ,T abo r D .F ricti on and L ubricati on .O xfo rd :O xfo rd U niversity P ress ,19542　A rchard J F .E lastic defo r m ati on and law s of fricti on .P roc Roy Soc L ond ,1957,A 243:190～2053　Greenwood J A ,W illiam son J B P .Contact of nom inally flat surfaces .P roc Roy Soc L ond ,1966,A 295:300～3194　W h itehouse D J ,A rchard J F .T he p roperties of random surface of significance in their contact .P roc Roy Soc L ond ,1970,A 316:97～1215　M cCoo l J I.Comparison of models fo r the contact of rough surfaces .W ear ,1986,107:37～606　N ayak P R .R andom p rocess model of rough surfaces in p lastic contact .W ear ,1973,26:305～3337　Bhushan B ,D ugger M T .R eal contact area m easurem ents on m agnetic rigid disk s .W ear ,1990,137:41～50383第2期贺林等:　粗糙表面接触分形模型的提出与发展483摩　擦　学　学　报第16卷8　M ajum dar A,Bhushan B.Ro le of fractal geom etry in roughness characterizati on and contact m echanics of surfaces.J T ribo l(A S M E),1990,112:205～2169　Sayles R S,T hom as T R.Surface topography as a nonstati onary random p rocess.N ature,1978,271:431～43410　M ajum dar A,Bhushan B.F ractal model of elastic-p lastic contact betw een rough surfaces.J T ribo l(A S M E), 1991,113:1～1111　M andelbro t B B.How long is the coast of britain?statistical self-si m ilarity and fracti onal di m ensi on.Science,1967, 155:636～63812　M andelbro t B B.T he F ractal Geom etry of N ature.N ew Yo rk:F reem an,198213　M ajum dar A,T ien C L.F ractal characterizati on and si m ulati on of rough surfaces.W ear,1990,136:313～32714　Berry M V,L ew is Z V.O n the w eierstrass-m andelbro t fractal functi on.P roc Roy Soc L ond,1980,A370:459～484 15　M andelbro t B B.Stochastic models fo r the earthπs relief,the shape and the fractal di m ensi on of the coastlines,and the num ber2area rule fo r islands.P roceeding of the N ati onal A cadem y of Science(U SA),1975,72:3825～382816　谢友柏,陈国定.用测量接触电阻研究实际接触面积的变化.摩擦磨损,1986,(2):40～4417　A rchard J F.W ear theo ry and m echanics.in:Peterson M B,W iner W O eds.W ear Contro l H andbook.N ew Yo rk:A S M E,198018　Sto larsk i T A.A p robabilistic app roach to w ear p redicti on.J Phys(D),1990,24:1143～114919　Johnson K L.Contact M echanics.Cam bridge:Cam bridge U niversity P ress,198520　Zhou G Y,eu M C,B lackmo re D.F ractal geom etry model fo r w ear p redicti on.W ear,1993,170:1～1421　W ang S,Kom vopoulo s K.A fractal theo ry of the interfacial temperature distributi on in the slow sliding regi m e:Part I-E lastic contact and heat transfer analysis.J T ribo l(A S M E),1994,116:812～82322　W ang S,Kom vopoulo s K.A fractal theo ry of the interfacial temperature distributi on in the slow sliding regi m e:Part -M ulti p le dom ains,elastop lastic contacts and app licati ons.J T ribo l(A S M E),1994,116:824～832F ra c ta lM ode l fo r C onta c t of Rough S urfa ce sH e L in　Zhu Jun(T heory of L ubrication and B earing Institu teX iθan J iaotong U niversity　X iθan　710049　Ch ina)A bs tra c t T he p lastic defo r m ati on m odel fo r con tact of rough su rfaces has been develop2 ing fo r abou t40years since it w as p ropo sed.M2B fractal m odel fo r con tact of rough su r2 faces has been fo r m ed recen tly,w h ich is based on fractal geom etry.M2B m odel character2 ized rough su rfaces u sing fractal param eters in stead of statistical p aram eters.T he relati on betw een real con tact area and app lying load and the calcu lating fo r m u las of real elastic and p lastic con tact area w ere derived from th is m odel,the facto rs affecting the defo r m ing p rop2 erty of con tact su rfaces and their changing tendency w ere also indicated.T he p redicti on of con tact area u sing th is m odel w ou ld no t change w ith the reso lu ti on of roughness2m easu r2 ing in strum en t and the length of sam p le becau se of the scale2independence of fractal pa2 ram eters,so th is m odel is m o re reasonab le than G2W con tact m odel w h ich w as based on statistical analysis.How ever,M2B m odel needs fu rther i m p rovem en t and there are still som e p rob lem s to be deep ly investigated later.Ke y W o rds rough su rface　con tact m odel　fractal geom etry　fractal di m en si on　to2 pograph ic param eter　real con tact area。