辽宁金融职业学院单招数学模拟试题附答案解析

2016辽宁金融职业学院单招数学模拟试题(附答案解析) 一、填空题（4′×12）

1．函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点。

2．已知集合，集合，则集合。

3．若角终边落在射线上，则

。

4．关于的方程有一实根为，则。

5．数列的首项为，且，记为

数列前项和，则。

6．新教材同学做：

若满足，则目标函数取最大值时。

老教材同学做：

若的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第项。

7．已知函数，若对任意有

成立，则方程

在上的解为。

8．新教材同学做：

某校高二（8）班四位同学的数学期中、期末和平时成绩可分别用矩阵

表示，总评成绩分别按期中、期末和平时成绩的30%、40%、30%的总和计算，则四位同学总评成绩的矩阵可用表示为。

老教材同学做：

某足球队共有11名主力队员和3名替补队员参加一场足球比赛，其中有2名主力和1名替补队员不慎误服违禁药物，依照比赛规定，比赛后必须随机抽取2名队员的尿样化验，则能查到服用违禁药物的主力队员的概率为。（结果用分数表示）

9．将最小正周期为的函数的图象向左平移个单位，得到偶函数图象，则满足题意的的一个可能值为。

10．据某报《自然健康状况》的调查报道，所测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据规律，并将最适当的数据填入表中括号内。

11．若函数，其中表示两者中的较小者，

则的解为。

12．如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径

为的半圆得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前

一个被剪掉半圆的半径）可得图形，记纸板的面积为，则。

二、选择题（4′×4）

13．已知满足，则下列选项中不一定能成立的是（ C ）

A、 B、 C、 D、

14．下列命题正确的是

（ C ）

A、若，，则。

B、函数的反函数为。

C、函数为奇函数。

D、函数，当时，恒成立。

15．函数为奇函数的充要条件是

（ B ）

A、 B、 C、 D、

16．不等式对任意都成立，则的取值范围为（ B ）

A、 B、 C、

D、

三、解答题：

17．（本题满分12分）

新教材同学做：在中，角所对边分别为，已知

0 = 0，求的面积S。

0 1

解：计算行列式的值，得，由正弦定理，得

即，∴，再由，得

，∴

∴是直角三角形，∴。

老教材同学做：在中，角所对边分别为，已知

，求的面积S。

解：由及正弦定理，得，即

，（其余同上）

18．（本题满分12分）

设复数，复数，且

在复平面上所对应点在直线上，求的取值范围。

解：

∴

19．（本题满分14分）

已知关于的不等式的解集为。

（1）当时，求集合；

（2）若，求实数的取值范围。

解：（1）时，不等式为，解之，得

（2）时，

时，不等式为，解之，得

，

则，∴满足条件

综上，得。

20．（本题满分14分）

如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数时，输出结果记为，且计算装置运算原理如下：

①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则；②若Ⅰ输入固定的正整数，

Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。

试求：

（1）的表达式；（2）的表达式；

（3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数，则输出结果能否为2005？

若能，求出相应的；若不能，则请说明理由。

解：（1）

（2）

（3），∵，

∴输出结果不可能为。

21．（本题满分16分）

对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中

。

对自然数，规定为的阶差分数列，其中

。

（1）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？

（2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。

（3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得

对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。

解：（1），∴是首项为4，公差为2的等差数列。

∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。

（2），即，即，∴

∵，∴，，，猜想：

证明：ⅰ）当时，；

ⅱ）假设时，

时，

结论也成立

∴由ⅰ）、ⅱ）可知，

（3），即

∵

∴存在等差数列，，使得

对一切自然都成立。

22．（本题满分18分）

已知函数是定义在上的奇函数，当时，

（为常数）。

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；（3）当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。

解：（1）时，，则

∵函数是定义在上的奇函数，即

∴，即，又可知

∴函数的解析式为，

（2），∵，，∴

∵

∴，即时，

。

猜想在上的单调递增区间为。

（3）时，任取，∵

∴在上单调递增，即

，即

∵，∴，∴

∴当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。