新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结练习.doc

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第二章：实数

知识梳理

【无理数】

1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2.常见无理数的几种类型：

（ 1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；

（ 2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：010 001 000 01（两个1之间依次多 1 个 0）等。（ 3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数

（ 4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。如2,

（ 5）开方开不尽的数，如:2, 5, 3 9 等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9 等；无理数也不一定带根号，如：）

3.有理数与无理数的区别：

（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；

（ 2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：（ 1）下列各数：①、② 、③57 、④π、⑤ 2.25 、⑥2

3之间 0的个数、⑦ （相邻两个

3

逐次增加 2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号）

（ 2）有五个数 : , ,- , 4 ,3 2 其中无理数有( ) 个

【算术平方根】：

1. 定义：如果一个正数x 的平方等于 a，即x2 a ，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“ a ”，

读作，“根号 a”，其中， a 称为被开方数。例如32=9，那么 9 的算术平方根是3，即9 3。

特别规地， 0 的算术平方根是0，即0 0，负数没有算术平方根

2.算术平方根具有双重非负性：（ 1）若a有意义，则被开方数 a 是非负数。（ 2）算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方

根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表

示为： a 。

例：（ 1）下列说法正确的是（）

A．1 的立方根是1；B．42；（C）、 81的平方根是3；（D）、0没有平方根；

（ 2）下列各式正确的是（）

A、81 9

B、3.14 3.14

C、27 9 3

D、532

（3）( 3)2 的算术平方根是。（ 4）若x x 有意义，则x 1 ___________。

（ 5）已知△ ABC的三边分别是a, b,c,且a, b满足 a 3 (b 4)2 0 ，求c的取值范围。

（ 6）（提高题）如果x、 y 分别是 4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值 .

平方根：

1. 定义：

a ，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方（也

如果一个数 x 的平方等于 a，即x2

叫二次方根），记做： xa ( a 0)

2.性质：（ 1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

（2） 0 只有一个平方根，它是0 本身；（ 3）负数没有平方根

例（1）若x 的平方根是±2，则x= ；16 的平方根是（ 2）当 x 时，3－2x 有意义。

（ 3）一个正数的平方根分别是m和 m-4，则 m的值是多少？这个正数是多少？

3. ( a)2(a 0)与 a 2的性质

（ 1） 2 2 2

a a 如：） 2 a | a |a 5 |5| 5

（ a

2

) (0) 7 7 （）中，可以取任意实数。如

2

（-3）|-3| 3

例： 1. 求下列各式的值

2 2

2 （ 1）7 （3）（- 49）

（ 2）（-7）

2. 已知（a 1) 2 a 1，那么 a 的取值范围是。

3. 已知 2＜x＜ 3, 化简（2 - x) 2 | x 3 | 。【立方根】

1.定义：一般地，如果以个数 x 的立方等于 a，即 x3=a, 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次方根）记为3

a ，读作，3次根号a。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。

2. 性质：正数的立方根的正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1 ， -1.

例：（ 2）若

3

a 2.89,3

ab

28.9

，则 b 等于

（1）64 的立方根是

（ 3）下列说法中：① 3 都是 27 的立方根，② 3 y 3 y ，③64 的立方根是2，④3 8 2 4 。

其中正确的有（） A 、1个B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个

【估算】

用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部

分。

“精确到”与“误差小于”的区别：精确到 1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于 1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。

方法点拨：解决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。

例：估算下列各数的大小

（ 1）327（误差小于 0.1）（2）327（精确到 0.1）（ 3）33345（误差小于1）

用估算的方法比较数的大小

用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数

的大致范围，再作具体比较

当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：

（ 1）若 a＞ b≥0, 则 a b （ 2）若 a＞ b，则3a 3 b或a

3 b3

（ 3）若 a、 b 都为正数，且a＞ b 时，则 a2＞ b2

例：通过估算比较下列各组数的大小

比较两个数的大小：

方法一：估算法。如3＜10 ＜4方法二：作差法。如a＞ b 则 a-b ＞ 0.

方法三：乘方法. 如比较26与 3 3 的大小。

例：比较下列两数的大小

（ 1）【实数】10-3与 1 （2）5 2与3 5 2 2

定义：（ 1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是 -1 。

实数的性质：实数 a 的相反数是 -a ；实数 a 的倒数是1

（ a≠ 0）；实数 a 的绝对值 |a|= a(a 0) ，它的几何意义a a(a 0)

是：在数轴上的点到原点的距离。

实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0， 0 大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一

实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的

（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。

（2）数轴上的每个点都表示已个实数。

例：（ 1）下列说法正确的是（）；

A、任何有理数均可用分数形式表示； B 、数轴上的点与有理数一一对应；

C、 1 和 2 之间的无理数只有2；

D、不带根号的数都是有理数。

（ 2） a， b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )

a0 b

A、 a b

B、ab

C、 a b

D、b a

（ 3）比较大小 ( 填“ >”或“ <” ).

3 10 ， 3 3 20 ，7 6 ______ 6 7 ， 5 1 1 ，

2 2

（ 4）数7, 2, 3 的大小关系是 ( )

A. 7 3 2

B. 3 7 2

C. 2 73

D.

3 2 7

（ 5）将下列各数：2,3 8,3,1 5 ，用“＜”连接起来；______________________________________ 。（ 6）若a 3, b 2 ，且 ab 0 ，则： a b = 。

【二次根式】

定义：形如（a a0）的式子叫做二次根式， a 叫做被开方数

注意：（ 1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如9 是二次根式，而9 =3,3显然就不是二次根式。

（ 2）被开方数 a 可以是数，也可以是代数式。若 a 是数，则这个数必须是非负数；若 a 是代数式，则这个代

例： 下列根式是否为二次根式

（1） -3

（2） ｜- 3｜

（3） - a

（ 4）

2 3

二次根式的性质：

性质 1：

ab a. b (a

0, b 0) 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对

二次根式进行化简。

性质 2：

a a

.(a 0,b

0)

商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。

b

b

最简二次根式： 被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。

例： 1. 化简：

（1） 12

15

（ 2）

27 4 2

( b 0)

4

（ 3）

a b

9x

2. 计算：

1

8

2

1 0.52

3

1 3

0.125

3 1 3

1 4

27

16 8

3. 已知： x 7 2 121, y 1 3

0.064 ，求代数式 x 2 x 10 y

3

245y 的值。

6. （提高题）观察下列等式：回答问题：

①

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

22

1

1

1 ② 1

22

32 2 2

1

1

12

1

2

6

③

1

1

1 1 1 1 1 1

，

（ 1）根据上面三个等式的信息，请猜想 1

1 1

4 2

5 2 的结果；

（ 2）请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式，并加以验证。

课后练习

一、重点考查题型：

1. －1 的相反数的倒数是

2. 已知｜ a+3|+ b+1 ＝ 0，则实数（ a+b）的相反数

3. 数－ 3．14 与－Л的大小关系是

4. 和数轴上的点成一一对应关系的是

5.和数轴上表示数－ 3 的点 A 距离等于 2． 5 的 B 所表示的数是

2

6. 在实数中Л , －5 ,0, 3 , －3．14, 4 无理数有个

7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）

（A）非负数（B）非正数（C）负数（D）正数

8．若 x＜－ 3，则｜ x＋3｜ =。

9．下列说法正确是（）

（ A）有理数都是实数（B）实数都是有理数

（ B）带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数

10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：

（ 1） c-b 和 d-a

（ 2） bc 和 ad

二、考点训练：

*1 ．判断题：

（1）如果 a 为实数，那么－ a 一定是负数；（）

（ 2）对于任何实数a 与 b,|a －b|=|b －a| 恒成立；（）

（ 3）两个无理数之和一定是无理数；（）

（ 4）两个无理数之积不一定是无理数； （ ）

（ 5）任何有理数都有倒数； （ ）

（ 6）最小的负数是－ 1；（ ）

（ 7） a 的相反数的绝对值是它本身； （ ）

（ 8）若 |a|=2,|b|=3 且 ab>0，则 a － b=－1；（

2．把下列各数分别填入相应的集合里

22

－ | －3| ， 21．3，－ 1．234，－ 7 ,0 ，－ 9,

ctg45 °, ．．．．．．中

）

3 －1Л 0 － 2

－

8 , －2, 8,(

2 －

3 ) ， 3 ，

无理数集合｛

｝ 负分数集合｛

｝

整数集合｛

｝ 非负数集合｛

｝

*3 ．已知 1

。

4．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？

－ 1

1 －3,

2 －1，3， －0．3，

3 ， 1 +

2，33

互为相反数：

互为倒数：

互为负倒数：

*5 ．已知ｘ、ｙ是实数，且（ X － 2 ）2 和｜ｙ＋ 2｜互为相反数，求ｘ， y 的值

6. ａ,b 互为相反数， c,d 互为倒数， m 的绝对值是 2，

|a+b|

。

求2+4m-3cd=

2m+1

（ａ－ 3ｂ） 2＋｜ａ 2－ 4｜

。

*7 ．已知 a+2 ＝ 0，求ａ＋ｂ =

三、解题指导：

1．下列语句正确的是（

）

A 、无尽小数都是无理数

B 、无理数都是无尽小数

C 、带拫号的数都是无理数 D

、不带拫号的数一定不是无理数。 2．和数轴上的点一一对应的数是（

）

2．零是（）

A、最小的有理数 B 、绝对值最小的实数C、最小的自然数D、最小的整数

4.如果 a 是实数，下列四种说法：

（ 1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，

1

（ 3）ａ的倒数是a，（ 4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有个*5 ．比较下列各组数的大小：

3 1 1

(1) 2 3 12 (2)a

6．若 a,b 满足|4-a 2|+ a+b =0, 则2a+3b 的值是

a+2 a

*7 ．实数 a,b,c 在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且 |a|=|c|

（1）判定 a+b,a+c,c-b 的符号

（2）化简 |a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|

*8 ．数轴上点 A 表示数－ 1，若 AB＝3，则点 B 所表示的数为

9．已知 x<0,y>0 ，且 y<|x| ，用 "<" 连结 x，－ x，－ |y| ，y。

10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？

11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？

12．把下列语句译成式子：

（1）a 是负数；（2）a、b两数异号；（3）a、b互为相反数；

（4）a、b 互为倒数；(5)x与y的平方和是非负数；

（6）c、d 两数中至少有一个为零；（7）a、b两数均不为0。

*13. 数轴上作出表示 2 ， 3 ，－ 5 的点。

四．独立训练：

1．0 的相反数是，3－л的相反数是

3

的相反数是；－л的绝对值是，，－ 8

0 的绝对值是，2－ 3的倒数是

2．数轴上表示－ 3．2 的点它离开原点的距离是。

1 1

A 表示的数是－2 ，且 AB＝3，则点

B 表示的数是。

3

o 22

o － 1

3 － 3 , л,(1 － 2 ) , －7 ,0 ．1313 ,2cos60 , －3 ,1 ．0

( 两 1 之间依次多一个0), 其中无理数有，整数有，负数有。

4. 若 a 的相反数是 27，则｜ a| ＝；5．若 |a| ＝ 2 ，则 a=

5．若实数 x， y 满足等式（ x＋3）2＋｜ 4－y｜＝ 0，则 x＋y 的值是

6．实数可分为（） A 、正数和零 B 、有理数和无理数 C 、负数和零 D 、正数和负数

*7 ．若 2a 与 1－a 互为相反数，则 a 等于 a=

8．当 a 为实数时，

2

－a 在数轴上对应的点在（）a =

A、原点右侧 B 、原点左侧 C 、原点或原点的右侧 D 、原点或原点左侧

ａｂａｂ

*9 ．代数式｜ａ｜＋｜ｂ｜＋｜ａｂ｜的所有可能的值有个。10．已知实数 a、 b 在数轴上对应点的位置如图

（1）比较 a－ b 与 a+b 的大小

（2）化简 |b －a|+|a+b|

11．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜

试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜

*12 ．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜ 9－ａ2｜＝ 0 。求它的周长。＊ 13．若 3，ｍ， 5 为三角形三边，化简：（2－ｍ）2－（ｍ－8）2