实变函数 答案

第2章习题参考答案

A 类

1、（1）()C ；（2）()A ；（ 3）()C ；（4）()B ； （5）()D 。

2、（1）[0,1]，空集，[0,1]；（2）3

{(0,):1}E y y ≤；

（3）(1,6)；（4）公共；（5）c

E 。

3、证明：（1）必要性 设'

0P E ∈，则0δ∀>，邻域0(,)N P E δ中有无穷多个点。现设0(,)P N P δ∈，

则00(,)d P P η

δ

≤=<。故

0(,)y N P δη∈-，有

00(,)(,)(,)d y P d y P d P P δηηδ≤+<-+=。

所以

0(,)(,)N P N P δηδ-⊂，而0(,)

N P E δη-有无穷多个E

中的点，自然有异于

0P 的点

10(,)(,)P N P E N P δηδ∈-⊂。而00(,)({})N P E P δη--是无穷点集，故(,)N P δ中有

无穷多个异于0P 的E 中的点。

充分性 若任意含0P 的邻域(,)N P δ中恒有异于0P 的点1P E ∈，则0δ∀>，0(,)N P δ中有异于0

P 的点1P E ∈，记101(,)d P P δ=，显然1δδ<，于是邻域01(,)N P δ中又有异于0P 和1P 的点2P E ∈，

而202

1(,)d P P δδδ=<<，这样下去，可得无穷点集

这表明0(,)N P δ中有无穷多个E 中的点，由δ的任意性知，'

0P E ∈。 （2）必要性显然。

充分性 若存在包含0P 的邻域(,)N P E δ⊂，则00(,(,))(,)N P d P P N P E δδ-⊂⊂，故0P 为E 的

内点。 4、仿第3题。

5、证明：记B 为E 的孤立点全体，则'E B E -=，所以'

()E E B B E

B =-=，而B 至多可数，

则当'E 有限时'

E B 是至多可数的，从而E 至多可数，矛盾。

6、证明：因为E 为闭集，则E E '⊂，而E E E '=⋃，所以E E =。反之，因为E E E E '==⋃，

所以，E E '⊂

，即E 为闭集。

7、证明：对任意{()}x E x f x a ∈=>，有()f x a >，由连续函数的局部保号性，存在(,)B x δ，

使对任意

(,)y B x δ∈，有()f y a >，即y E ∈，所以，(,)B x E δ⊂

，即x 为E

的内点。所以

{()}E x f x a =>为开集。又{()}{()}c c F x f x a x f x a E =≤=>=是开集，所以，

{()}F x f x a =≤

为闭集。同法可证{()}x f x a <为开集，{()}x f x a ≥为闭集。

8、证明：反证法。假定12{,,,,}n E x x x =，作闭区间1:I 1x 是1I 的内点，因1x 不是孤立点，所

以存在E 中点

2:y 2y 是1I 的内点。作以2y 为中心的闭区间2:I 2112I I x I ⊂∉且。

同理，又有E 中点3:y 3y 是2I 的内点以及32y x ≠，再作以3y 为中心的闭区间3:I 3223I I x I ⊂∉且，

易知3I E ≠∅，如此进行下去，可得闭区间列{}:n I

现记n

n

K I E =，则{}n K 是有界闭集列，且1(1,2,)n n K K n +⊂=，因每个n K 均为E 的子集，

且1n n x I +∉，所以

1

n n K ∞

==∅，这显然与E 是完备集矛盾。证毕。

9、证明：方法一。n G R ∀⊂开集，显然n G R c ≤=。0x G ∀∈，0δ∃>，使0(,)N x G δ⊂，

而0(,)

N x c δ=，从而，G c =。

方法二。由第9题知n R 中任一开集G 都可表为1

i i G I ≥=

，其中i

I

为n R 中的开区间，从而n

I c =，

所以G c =

10、证明：设F 是包含E 的任意闭集，则'

'E F ⊂，所以''E E E F F F =⊂=，因F

是为闭

集，所以E

F F ⊂=。

11、证明：反证法。假定

12G G ≠∅，则存在012

x G G ∈，由于12G G =∅

，故

'

0222x G G G ∈-⊂。但01x G 是的内点，因而存在

00δ>，使得

001(,

)N x G δ⊂，002(,)N x G δ=∅，从而得'02x G ∉，导致矛盾，故结论成立。

12、证明： 设1{,}G G G R =⊂是开集F

，则易知c ≥F ，G ∀∈F

，由1R 中的开集的构造

知，G 可表为至多可数个互不相交的开区间的并，即1

(,)i i i G

a b ≥=

，令A 表示直线上互不相交的开区

间的全体，从而G 对应于A 的一个子集，这就说明F

对等于

2A 的一个子集，又A a =。于是

2a c ≤=F ，即有c =F 。又由对偶定理知，1R

中的开集全体和闭集全体的势相同，从而

1R 中全体

闭集也作成一基数为c 的集合。

13、证明 设n

R y x ∈,，对任意E z ∈有

),(),()

,(z y d y x d z x d +≤.