自考线性代数教学大纲

《线性代数（经管类）》教学大纲 中文名称：《线性代数（经管类）》 英文名称：Linear Algebra 课程编号：04184 课程性质：专业课 课程类别：必修课 学 分：4 总学时数：64 周学时数：4 适用专业及学生类别：经济管理学院和商学院自考学生 一 课程概述 (一）课程性质 《线性代数》是经济管理类各专业本科段的一门重要的公共基础理论课。它是为培养各种与经济和管理有关的人才而设置的。线性代数是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性的一门学科。它为研究和处理涉及许多变元的线性问题提供了有力的数学工具，应用十分广泛。通过本课程的学习，使学生比较系统地获得线性代数中的行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型等方面的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生独特的代数思维模式和解决实际问题的能力，同时使学生了解线性代数在经济方面的简单应用,并为学生学习后继课程(如运筹学，现代管理学，计算机等)及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 （二）课程设计思路 本课程标准是根据《线性代数（经管类）自学考试大纲》的精神和要求编写的，章节安排、自学要求、重点难点都符合大纲要求。结合我校学生状况、教学资源等实际，以课程基本理念为指导，在总结教学经验和研究成果的基础上，对课程目标分别从知识与技能、过程与方法、等方面进行具体明确的阐述。在讲述中，以理论课为主，课后布置适当作业巩固课堂内容，在每一章结束后适当安排习题课，对于各章在自学 考试的重点难点以及作业中出现的问题，及时加以指导，强化巩固各章的教学内容，并穿插讲解历年自考真题。 各章学时分配 第一章 行列式 8 第二章 矩阵18 第三章 向量空间 12 第四章 线性方程组 6 第五章 特征值与特征向量12 第六章 实二次型 8 合 计 64 二、课程教学目标及基本教学要求 通过本课程的教学,要求学生: 1.理解行列式的性质，会计算行列式； 2.熟练掌握矩阵的各种运算； 3.学会判别向量组的线性相关与线性无关。理解向量组的秩和矩阵的秩的概念及其关系。 4.掌握线性方程组的解的结构和利用初等行变换法求解线性方程组的方法； 5.会求实方阵的特征值和特征向量，掌握方阵可对角化的条件，掌握方阵对角化的计算方法； 6.了解实二次性的概念和会正定二次型的判别方法。 本课程的重点是行列式的计算；矩阵的运算；初等变换法在求矩阵的逆、秩和向量组的相关性以及解线性方程组中的应用；特征值，特征向量的求法；n阶矩阵与对角矩阵相似的条件及矩阵对角化；用配方法化二次型为标准形。 本课程难点是一般的n阶行列式计算；矩阵的乘积及分块矩阵的乘积；向量间的线性关系；n阶矩阵与对角矩阵相似的条件；利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵；用正交变换法化二次型为标准形。 在教学过程中，要求学生切实掌握有关内容的基本概念、基本理论和基本方法。 通过讲解、复习、做大量的练习，具有比较熟练的运算能力，同时培养抽象思维能力和逻辑推理能力，并不断提高自学能力。 三 课程详细内容和要求 第一章 行列式(8学时) 本章的教学目标与教学要求： 理解n阶行列式的定义及其性质；掌握用行列式的计算方法（特别是低阶的数字行列式和具有特殊形状的文字或数字行列式）；掌握克莱姆法则；知道齐次线性方程组有非零解（仅有零解）的判定。 教学内容： 二阶三阶行列式和n阶行列式的定义；行列式的性质（证明选讲）；行列式按行(列)展开；克莱姆法则。 本章的重点、难点和考点： 重点：行列式的性质；行列式按某一行（列）展开定理；齐次线性方程组有非零解（仅有零解）的结论。 难点：一般的n阶行列式计算。 考点：行列式的定义（识记）、性质和计算（简单应用）。

第二章 矩阵(18学时) 本章的教学目标与教学要求： 熟练掌握矩阵加、减、数乘、乘的运算规则（明确矩阵与行列式的区别），了解其经济背景，熟练掌握方阵的行列式的有关性质；了解矩阵分块的原则；掌握分块矩阵的运算规则；理解可逆矩阵的概念及其性质；会用伴随阵求矩阵的逆。熟练掌握用初等行变换的方法求矩阵的逆；了解初等矩阵的概念及它们与矩阵初等变换的关系；熟练掌握用初等变换的方法求矩阵的秩。 教学内容： 矩阵的概念；矩阵的运算（矩阵的加、减法；数乘；乘法；矩阵转置；方阵的幂；方阵的行列式）；几种特殊的矩阵（对角矩阵，数量矩阵，三角形矩阵，单位矩阵，对 称矩阵与反对称矩阵）；分块矩阵（分块阵及其运算，分块对角阵）；逆矩阵（可逆阵的定义；伴随阵与逆阵的关系；逆阵的性质，二阶上三角分块阵的求逆方法）；矩阵的初等变换（初等矩阵定义；初等矩阵与矩阵初等变换的关系。用初等变换求矩阵的逆）；矩阵的秩（矩阵的秩的定义；矩阵的秩与其子式的关系；初等变换求矩阵的秩）。 本章的重点、难点和考点： 重点：矩阵加、减、数乘、乘的运算；初等变换求矩阵的逆；初等变换求矩阵的秩。 难点：矩阵的乘积及分块矩阵的乘积；矩阵不满足的运算律与矩阵的秩的概念的理解。 考点：矩阵的定义（识记）及其各种运算（重点是乘法，要求综合应用）；方阵的逆矩阵的判别和求法（会求伴随矩阵，会计算逆阵）；分块矩阵及其运算（识记）；矩阵的初等变换和初等方阵（熟练应用）；矩阵的秩（会求） 第三章 向量空间(12学时) 本章的教学目标与教学要求： 知道向量的概念；熟练掌握向量的加法和数乘运算；掌握同维数向量组线性组合的概念和组合系数的求法；掌握向量组的线性相关、线性无关的定义和判别法；理解向量组的极大无关组和秩的定义并要会求之；清楚向量组的秩和矩阵的秩之间的关系；知道向量空间的基与维数和坐标的概念并会求一组基及在基下的坐标。 教学内容： n维向量的定义；向量的加法与数乘运算；向量间的线性关系（线性组合；线性相关与线性无关；关于线性组合与线性相关的定理；向量组的极大无关组与秩（矩阵的行秩与列秩）；n维向量空间。 本章的重点、难点与考点： 重点：线性组合系数的求法；求向量组的秩；向量组线性相关与线性无关的判别。 难点：极大无关组与向量组的秩的理解；线性无关与线性相关的判别法。 考点：n维向量的定义（识记）；向量组的线性组合（会求组合系数）；向量组的线性相关与线性无关的判别（熟练判断、证明）；向量组的极大无关组与秩（熟练求解）； n维向量空间（会求基及坐标）。 第四章 线性方程组(6学时) 本章的教学目标与教学要求： 掌握齐次线性方程组的解空间、基础解系及通解的含义和求法；熟练掌握非齐次线性方程组的有解判别法和通解的求法。 教学内容 齐次线性方程组有非零解的充要条件；齐次线性方程组解的性质与解空间、基础解系与通解；非齐次线性方程组有解的条件、解的性质、结构和通解求法。 本章的重点与难点： 重点：齐次线性方程组有非零解的充要条件；非齐次线性方程组有解的条件；矩阵初等行变换求线性方程组的解的方法。 难点：齐次线性方程组的基础解系的求法。 考点：齐次线性方程组有非零解的充要条件（熟记）；齐次线性方程组解的性质与解空间（理解）；齐次线性方程组的基础解系与通解（综合应用、熟练求解）；非齐次线性方程组有解的条件（熟记）；非齐次线性方程组解的性质、结构和通解求法（综合应用、熟练求解）。

第五章 矩阵的特征值(12学时) 本章的教学目标与教学要求： 熟练掌握矩阵特征值、特征向量的概念与求法;了解特征值、特征向量的性质；清楚两个同阶方阵相似的概念和性质；理解方阵相似于对角形矩阵的条件并会用相似变换化方阵为对角阵；会计算两个实向量的内积和向量的长度，会判断两向量是否正交;了解正交向量组的定义，会用施密特正交化方法把线性无关的向量组化为等价的正交单位向量组；了解正交矩阵的定义、性质及判别法；了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；会用正交矩阵化实对称矩阵为对角阵。 教学内容： 矩阵的特征值与特征向量（矩阵的特征值和特征向量的定义；特征方程；特征值， 特征向量的求法及有关性质）；相似矩阵（相似矩阵及其性质；n阶矩阵与对角矩阵相似的条件）；实对称矩阵的特征值和特征向量（向量内积的定义，向量的长度；正交向量组（施密特正交化过程）；正交矩阵的定义及其性质，实对称矩阵的特征值和特征向量。利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵）。 本章的重点、难点与考点： 重点：求实方阵的特征值和特征向量；方阵可对角花的条件和方法；方阵的相似对角化；实对称矩阵的正交相似对角化。 难点：方阵与实对称矩阵的相似标准形的求法。 考点：特征值与特征向量（会求）；相似矩阵的定义与性质（理解掌握）；方阵相似对角化（熟练掌握）；向量内积和正交矩阵（清楚定义，理解性质，掌握方法）；实对称阵的性质（知道）与正交相似标准形（会求）。

第六章 实二次型(8学时) 本章的教学目标与教学要求： 理解实二次型的定义；掌握二次型的矩阵表示方法; 了解二次型的标准形；了解合同矩阵的概念；会用正交变换化二次型为标准形；了解用配方法化二次型为合同标准形；知道惯性定理；理解正定二次型、正定矩阵的定义和有关性质；掌握正定二次型和正定矩阵的判别法。 教学内容： 实二次型与标准形（二次型及其矩阵；二次型的标准形；合同矩阵；用配方法化二次型为标准形；用正交变换法化二次型为标准形）；正定二次型与正定矩阵（正定二次型，正定矩阵及其性质）。 本章的重点、难点与考点： 重点：化二次型为标准形；正定二次型和正定矩阵的判别法。 难点：用正交变换法化二次型为标准形。 考点：实二次型的定义及其矩阵表示（清楚、理解）; 实二次型的标准形（知道）；化实二次型为标准形（掌握会求）；知道惯性定理与二次型的规范性（知道）；正定二