常微分方程数值解法-欧拉方法(1)

课题报告

题目：常微分方程的数值解法-欧拉方法

院 (系)：理学院

专业：数学与信息专业

指导教师：***

组员：艾佳欢(组长) 邓云娜

柏茜钟岩刘磊

2015 年 5 月 11 日

常微分方程数值解法-欧拉方法

摘要：从常微分方程数值解的基本概念入手，了解最基本的数值解法--欧拉方法。并利用

欧拉方法显式隐式的特点探究如何求解微分方程，以及欧拉方法的误差分析及校正。 关键词：数值解，欧拉方法，误差，校正

ABSTRACT: From the basic concept of numerical solution of ordinary differential equations, and understand the most basic numerical solution of euler method. And by using euler explicitly implicit characteristics and explore how to solve differential equations and the error analysis and correction of euler method.

KEYWORDS ：arithmetic solution,Euler's method,error,revise

1.初值问题数值解基本概念

初值问题的数值解法，是通过微分方程离散化而给出解在某些节点上的近似值。 在[]b a ,上引入节点{}),,1(,:1100n k x x h b x x x a x k k k n n

k k =-==<<<=-=称

为步长。在多数情况下，采用等步长，即),1,0(,n k kh a x n

a

b h k =+=-=

。记准确解为)(x y ,记)(k x y 的近似值为k y ,记),(k k y x f 为k f .一阶常微分方程的初值问题

⎩⎨

⎧=∈=')

2.1()()()

1.1(),())(,()(0 x y a y b a x x y x f x y ， 若f 在{}

〈+∞≤≤=y b x a D ,内连续，且满足Lip 条件：0≥∃L 使

2121),(),(y y L y x f y x f -≤-，则初值问题的连续可微解)(x y 在],[b a 上唯一存在，

称解)(x y 在节点i x 处的近似值)(i i x y y =为其数值解，该方法称为数值方法。

2. Euler 方法

在工程计算中许多实际问题的数学模型都可以用常微分方程来描述。除少常系数线性微分方程和少数特殊的微分方程可用解析方法求解外，大多数常微分方程难以求得其精确解。因此研究常微分方程的数值解法具有重要的意义。本课题研究的是关于常微分方程初值问题的最简单的数值解法，单步法中的一种---Euler 方法。

2.1 显式Euler 方法

设节点为b x x x a n =<<= 10。初值问题的显式Euler 方法为

⎩⎨⎧-=+==+1,,1,0,1

0n k f h y y a

y k k k k （2.1）

其中

),(,1k k k k k k y x f f x x h =-=+

2.1.1显式Euler 方法的导出

方法1：Taylor 展开法：

将)(1+k x y 在k x x =点进行Taylor 展开,得

[]12

1,,!

2)())(,()()(++∈''+

+=k k k k k k k k k k x x h y x y x f h x y x y ξξ 忽略2

k h 这一阶项,分别用()k k k k k y x f f y y ,,,1=+近似)(k x y ，)(1+k x y 和))(,(k k x y x f ，

得k k k k f h y y +==+1。结合初值条件α=)0(y 即得（2.1）。 方法 2：向前差分近似微分法：

用向前差分

k

k k h x y x y )

()(1-+近似微分)('k x y ，得

))(,()()(1k k k k k x y x f h x y x y ≈-+ 将近似号改作等号，用k k k f y y ,,1+近似)(k x y ，)(1+k x y ))(,(k k x y x f ，并结合初值条件即得（2.1）。

方法3：左矩数值积分法：

将（1.1）两边从k x 到1+k x 积分得

dx x y x f x y x y k k

x x k k ⎰

+=-+1

))(,()()(1

用k y ，1+k y 近似)(k x y 、)(1+k x y ，数值积分采用左矩公式得),(1k k k k k y x f h y y =-+，从而亦得（2.1）

Euler 方法有几何意义，如下图，式（1.1）,(1.2)的解曲线)(x y 过点),(000y x P ，

且具斜率0f 。从0P 出发以0f 为斜率作直线

段，交1x x =于),(111y x P ，显然0001f h y y +=。式（1.1）过),(111y x P 的解曲线具有斜率1f 从1P 出发以1f 为斜率作直线要交2x x =于),(222y x P ，余类推。这样我们得到一条折线n P P P 10，它在点k P

的右侧具有斜率k f ，与（1.1）过k P 的解曲线相切。我们取折线n P P P 10，作为（1.1）、（1.2）解曲线)(x y y =的近似曲线，所以Euler 方法又称折线

法。

例1取h=0.1，利用Euler 公式求解

⎪⎩

⎪⎨

⎧=≤≤-='

1)0()

10(,2y x y x y y 解：欧拉公式的具体形式为:

()

⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-+=+=+n n n n n n n y x y y y x hf y y n 21.0,1

其中)10,...,1,0(1.0==+=n n nh a x n ，已知1=n y ，由此式可得:

1.11.01200001=+=⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-+=y x y h y y

191818.11.12.01.11.01.1211112=⎪⎭⎫ ⎝⎛

-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+=y x y h y y ... ... ....

依次计算可得 3y ，4y ，5y ，6y ，7y ，8y ，9y ，10y