2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案：第一章1.11.1-1.1.2 变化率问题 导数的概念-含解析

1．1.1&1.1.2 变化率问题 导数的概念

(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？

(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？

(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？

[新知初探]

1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率

(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．

(3)意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．

(4)平均变化率的几何意义：

设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，

函数y ＝f (x )的平均变化率

Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率，如图所示．

[点睛] Δx 是变量x 2在x 1处的改变量，且x 2是x 1附近的任

意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．

2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率

Δx 趋于0的距离要多近有多近，即|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx ≠0.

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预习课本P2～6，思考并完成下列问题

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( )

(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( )

(3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( )

答案：(1)√ (2)× (3)×

2．质点运动规律为s (t )＝t 2＋3，则从3到3＋Δt 的平均速度为( )

A ．6＋Δt

B ．6＋Δt ＋9Δt

C ．3＋Δt

D ．9＋Δt 答案：A

3．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上两点A ，B ，且x A ＝1，x B ＝1.1，则函数f (x )从A 点到B 点的平均变化率为( )

A ．4

B ．4x

C ．4.2

D ．4.02 答案：C

4．在f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

中，Δx 不可能为( ) A ．大于0 B ．小于0

C ．等于0

D ．大于0或小于0 答案：C

[典例] 求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13

，哪一点附近的平均变化率最大？

[解] 在x ＝1附近的平均变化率为

k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx

＝2＋Δx ； 在x ＝2附近的平均变化率为

k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22

Δx

＝4＋Δx ； 在x ＝3附近的平均变化率为