韦达定理

3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程
例4：求一元二次方程x2+3x - 2=0的两根之和 与两根之积 为根的一元二次方程。
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？ 1 1 （2）以 x , x 为两根的方程是？ 1 2
b b 2 4ac 2a b b 2 4ac x2 2a
x=
b b 2 4ac x1 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 x2 + 2a 2a b 2b = 2a = - a
b b 4ac b b 4ac x1 x2 * 2a 2a
x2 x1 (3) x x 1 2
，求
(4)| x1-x2 |
本题不能求根公式直接计算，应该应用两根之 和与两根之积进行变形转换。
2.利用两根关系，确定方程中未知系数的值
例2：已知方程x2-(k+1) x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k， 使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出 满足条件的k，若不存在，请说明理由。
韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1 ,
b x2，那么 x x百度文库 , 1 2 a
x1 x2
注：能用韦达定理的条件为△≥0即
c . a
b 4ac 0
2
韦达定理的证明： 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
2 2
(b) (b 4ac) 2 4a
2 2
b 2 b 2 4ac 4a 2
c 4ac 2 = a 4a
推论
如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，
那么
x1 x2 -b
x1 x2 c
韦达定理常见题型总结： 1.不解方程，进行变形求值
例1：已知x2-2x-1=0的两根是x1 , x2 1 1 (1) (2) x12+x22 x1 x2
；
4.已知两数的和与积，求这两个数
( x 2 1) ( x 1) 2 2 例6：解方程： x 1 x 1