2018年高考文科数学分类汇编：专题十三极坐标与参数方程
2018年北京市高考数学理 13专题十三 极坐标与参数方程
第十三篇：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．2.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,23⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .二、解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 参考答案 一、填空题 1.21+ 2.21二、解答题1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故2cos sin 0αα+=， 于是直线l 的斜率tan 2k α==-．3.解：（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =．l 与O交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π． （2）l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=． 于是s i nA B t t α+=，P t α．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以点P的轨迹的参数方程是2,2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB == 因此，直线l 被曲线C截得的弦长为．。
2018年全国2卷省份高考模拟文科数学分类---参数方程极坐标
2018年全国2卷省份高考模拟文科数学分类---参数方程极坐标1.（2018陕西汉中模拟）的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（II ）设直线与曲线相交于两点，求的最小值.解：（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为 …………..4分 （2）将直线的参数方程代入，得.设两点对应的参数分别为，则..6分 ∴当时，的最小值为4. ……………..10分2.（2018呼和浩特模拟）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos21ρθ=. （Ⅰ）求圆O 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知M ，N 是曲线C 与x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意一点. 证明：22PMPN +为定值.解：（1）圆C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）若2cos21ρθ=等价化为2222cos sin 1ρθρθ-=，再由互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=得其直角坐标方程为221x y -=（2）由（1）知()1,0M -，()1,0N ，设()2cos ,2sin P θθ，则()()2222222cos 14sin 2cos 14sin 10PM PN θθθθ+=+++-+=.l 1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩t 0απ<<C 2sin 4cos ρθθ=C l C A B 、AB 2sin 4cos ρθθ=()2sin 4cos ρθρθ=C 24y x =l 24y x =22sin 4cos 40t t αα--=A B 、12t t 、1212224cos 4,sin sin t t t t ααα+==-1224sin AB t t α=-==2πα=AB3.（2018东北育才中学模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设l 与C 交于,P Q 两点，求POQ ∠．解法一：（1）由1,1,x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得l的普通方程为1x =，1分又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以l的极坐标方程为()cos 1ρθθ+=+ ................... 3分由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即222x y x +=， ............................................................... 4分所以C 的直角坐标方程为2220xy x +-=． ............................................................................ 5分（2）设,P Q 的极坐标分别为()()1122,,,ρθρθ，则12POQ θθ∠=-................................. 6分由()cos 12cos ,ρθθρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去ρ得()2cos cos 1θθθ= ............. 7分化为cos22θθ=，即πsin 26θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ....................................................... 8分 因为π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，即ππ7π2+666θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ263θ+=，或π2π263θ+=， ................ 9分 即12π,12π,4θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12π,4π,12θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以12π=6POQ θθ∠=-． ........................................................ 10分解法2：（1）同解法一 ................................................................................................................... 5分（2）曲线C 的方程可化为()2211x y -+=，表示圆心为()1,0C 且半径为1的圆． ........ 6分将l的参数方程化为标准形式1,2112x y t ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩(其中t '为参数)，代入C 的直角坐标方程为2220x y x +-=得，221112102t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得，20t t ''+=，解得0t '=或1t '=-． ........................................................................... 8分设,P Q 对应的参数分别为12,t t ''，则121PQ t t ''=-=．所以60PCQ ∠=︒， ................ 9分 又因为O 是圆C 上的点，所以302PCQPOQ ∠∠==︒ ........................................................ 10分 解法3：（1）同解法一 ................................................................................................................... 5分（2）曲线C 的方程可化为()2211x y -+=，表示圆心为()1,0C 且半径为1的圆． ........ 6分又由①得l的普通方程为(10x -=， .................................................................. 7分则点C 到直线l的距离为d =， ............................................................................................ 8分所以1PQ ==，所以PCQ △是等边三角形，所以60PCQ ∠=︒， .................. 9分 又因为O 是圆C 上的点，所以302PCQPOQ ∠∠==︒…………………10分 4.（2018黑龙江省模拟）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：24cos 30ρρθ-+=，[0,2]θπ∈，曲线2C ：34sin 6ρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，[0,2]θπ∈.（1）求曲线1C 的一个参数方程；（2）若曲线1C 和曲线2C 相交于A 、B 两点，求AB 的值.解析：（1）由24cos 30ρρθ-+=可知，22430x y x +-+=.∴22(2)1x y -+=.令2cos x α-=，sin y α=，∴1C 的一个参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数，R α∈）.（2）2C ：4sincos cossin 366ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴14322x y ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭，即230x --=.∵直线230x --=与圆22(2)1x y -+=相交于A 、B 两点， ∴圆心到直线的距离14d =，∴242AB =⨯=. 5.（2018重庆9校联盟模拟）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的参数方程为（t为参数）．（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）设点P （2，1），直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求|PA |•|PB |的值． 【解答】（本小题满分10分）【选修4﹣4：坐标系与参数方程】解：（1）∵直线l 的参数方程为（t 为参数）．∴直线l 的直角坐标方程为，∵圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ， ∴圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x=0．（2）将代入x 2+y 2﹣4x=0，整理得：，∴|PA |•|PB |=|t 1|•|t 2|=|t 1•t 2|=3．6.（2018重庆模拟）已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线。
极坐标与参数方程 高考真题全国卷
（2018 文 I ）在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．⑴求的直角坐标方程；⑵若与有且仅有三个公共点，求的方程．（2018 文 I I ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为，（为参数）． （1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．xOy 1C 2y k x =+x 2C 22cos 30ρρθ+-=2C 1C 2C 1C xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩t C l C l ()1,2l（2018 文 III ）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．⑴求α的取值范围；⑵求AB 中点P 的轨迹的参数方程．（2017 文 I ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a=−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a.（2017 文 II ） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为π(2,)3，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值.（2017 文 III ）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ)，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.（2016 文 I ）在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+==ta y t a x sin 1cos （t 为参数，a ＞0）。
2018年极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+
极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数）（或θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
2018届高三数学(文理通用)坐标系与参数方程解答题新题好题专题汇编
2018届高三理科数学坐标系与参数方程解答题新题好题专题汇编【新题好题提升能力】1.在直角坐标系xOy中，曲线C1参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C1, C2的极坐标方程；（2）若射线分别交C1, C2于两点，求的最大值.【答案】（1）（2）时，有最大值.2. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数)，曲线.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线、的极坐标方程；(2)射线与曲线、分别交于点(且均异于原点)当时，求的最小值.【答案】(1)的极坐标方程为，的极坐标方程为；(2).（当且仅当时取等号）. 所以的最小值为3. 在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．【答案】（1）,；（2）或.综上：或．4. 已知直角坐标系中动点，参数，在以原点为极点、轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点在曲线：上.（1）求点的轨迹的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若动点的轨迹和曲线有两个公共点，求实数的取值范围.（2）.（2）曲线的方程为：，即表示过点，斜率为的直线，动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.由轨迹和曲线有两个公共点，结合图形可得．（或圆心到直线的距离小于半径和去求）.5. 在平面直角坐标系中，直线的方程是，曲线的参数方程是（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线与曲线的极坐标方程；（2）若射线与曲线交于点，与直线交于点，求的取值范围．【答案】(1)直线极坐标方程：，曲线的极坐标方程为；(2).（2）设，则，所以，因为，所以，所以，所以，故的取值范围是．6. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点的坐标为，直线与曲线交于，两点，求的值.【答案】(1) ， (2)8（2）在（为参数）中，令，得直线的参数方程的标准形式为（为参数），代入曲线：，整理得：，设，所对应参数分别为，，则，，所以，．7. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），圆与圆外切于原点，且两圆圆心的距离，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求圆和圆的极坐标方程；（Ⅱ）过点的直线与圆异于点的交点分别为点和点，与圆异于点的交点分别为点和点，且.求四边形面积的最大值.【答案】（1）见解析;（2）9 .由（1）得，所以所以当时，即时，有最大值9.8. 平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求.【答案】(1)直线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.(2).由一元二次方程的根与系数的关系知，，∴.9. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，已知点为曲线上的动点，点在线段上，且满足，动点的轨迹为.(1)求的直角坐标方程；(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求的面积的最大值.【答案】(1)，但不包括点；(2).由题设知，，于是面积为,.当时，取得最大值.所以面积的最大值为.10. 在平面直角坐标系xOy 中，圆22:40C x y y +-=，直线:40l x y +-=.(1)以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 和直线l 的交点的极坐标； (2)若点D 为圆C 和直线l 交点的中点，且直线CD 的参数方程为1{ 2x at y t b=+=+ (t 为参数)，求a ， b 的值.【答案】（1）4,2π⎛⎫⎪⎝⎭和点4π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）2a =， 3b =. 又点C 的坐标为()0,2，所以直线CD 的普通方程为20x y -+=，把1{2x at y t b=+=+ (t 为参数)代入20x y -+=，可得()230a t b -+-=，则20{30a b -=-=，即2a =， 3b =.11. 已知直线l的参数方程为1{12x y t=-=（t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),P x y 是直线l 与圆面24cos 3πρθ⎛⎫≤-⎪⎝⎭y +的取值范围. 【答案】（1）2220x y x ++-=（2）[]2,2-（2）设3z x y =+，故圆C 的方程2220x y x ++-= ()(2214x y ⇒++=， ∴圆C 的圆心是(-，半径是2， 将12{ 12x y t =--=代入z y =+得z t =-， 又∵直线l 过(C -，圆C 的半径是2，∴22t -≤≤，∴22t -≤-≤y +的取值范围是[]2,2-.12. 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为22413sin p θ=+，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为6{ x t my =-=（t 为参数， m R ∈）.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若曲线C 上的动点M 到直线l ，求m 的值. 【答案】（1）22:14x C y +=，直线l 的普通方程为： 0x m -+=（2）2m =±由点到直线的距离公式可得： 2cos23sin 13m d ϕϕ-+= 4cos 313m πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭= 据条件可知max |4cos |63m πϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，由于[]4cos 4,43m m m πϕ⎛⎫++∈-+ ⎪⎝⎭，分如下情况：①0m ≤时，由46m -=得2m =-；②0m >时，由46m +=得2m =；综上， 2m =±.13. 已知曲线1C 的极坐标方程是4cos ρθ=,曲线1C 经过平移变换2{1x x y y ''=+=-得到曲线2C ；以极点为原点,极轴为x 轴正方向建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是2{1x tcos y tsin θθ=+=+ (t 为参数).（Ⅰ）求曲线1C ， 2C 的直角坐标方程;（Ⅱ）设直线l 与曲线1C 交于A 、B 两点,点M 的直角坐标为(2,1),若3AB MB =,求直线l 的普通方程【答案】(1) 曲线1C :()2224x y -+=. ()()222:414C x y -++=（250y --=50y +-消去参数的普通方程为1552150x y --=或1552150x y +-=14. 已知圆锥曲线2{ x cos y θθ==(θ是参数)和定点(A ,1F 、2F 是圆锥曲线的左、右焦点． (1)求经过点1F 且垂直于直线2AF 的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程．【答案】(1) 1{ 12x y t =-= (t 为参数).(2) sin cos ρθθ试题解析：(1)圆锥曲线2{ x cos y θθ==化为普通方程22143x y +=，所以()()121,0,1,0F F -，则直线2AF的斜率k =1F 且垂直于直线2AF 的直线l的斜率3k '=，直线l 的倾斜角是30.所以直线l 的参数方程是130{ 30x tcos y tsin =-+= (t 为参数)，即1{ 12x y t =-= (t 为参数).。
极坐标与参数方程(十年全国高考数学真题分类汇编 (文科) )
在直线坐标系 中，圆 的方程为 ．
(1)以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 的极坐标方程；
(2)直线 的参数方程是 ( 为参数)， 与 交于 两点， ，求 的斜率．
17．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数， )．在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ．
(I)说明 是哪一种曲线，并将 的方程化为极坐标方程；
(II)直线 的极坐标方程为 ，其中 满足 ，若曲线 与 的公共点都在 上，求 ．
18．(2015高考数学新课标2文科)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
(1)分别写出 ， ， 的极坐标方程；
(2)曲线 由 ， ， 构成，若点 在 上，且 ，求 的极坐标．
7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷文科)在极坐标系中， 为极点，点 在曲线 上，直线 过点 且与 垂直，垂足为 ．
当 时，求 及 的极坐标方程；
当 在 上运动且 在线段 上时，求 点轨迹的极坐标方程．
(2)设 为 上任意一点，求 的取值范围．
(1)求 的轨迹的参数方程；
(2)将 到坐标原点的距离 表示为 的函数，并判断 的轨迹是否过坐标原点．
23．(2013高考数学新课标1文科)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 。
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)。
专题13-1 坐标系与参数方程-2018年高三数学文一轮总复习名师伴学 含解析 精品
1.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为错误！未找到引用源。
（θ为参数），直线l的参数方程为错误！未找到引用源。
．（1）若错误！未找到引用源。
，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为错误！未找到引用源。
，求错误！未找到引用源。
．【答案】（1）错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
；（2）错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
．（2）直线错误！未找到引用源。
的普通方程为错误！未找到引用源。
，故错误！未找到引用源。
上的点错误！未找到引用源。
到错误！未找到引用源。
的距离为错误！未找到引用源。
．当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
的最大值为错误！未找到引用源。
．由题设得错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
；当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
的最大值为错误！未找到引用源。
．由题设得错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
．综上，错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
．2.【2017课标II，文22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线错误！未找到引用源。
的极坐标方程为错误！未找到引用源。
（1）M为曲线错误！未找到引用源。
上的动点，点P在线段OM上，且满足错误！未找到引用源。
,求点P的轨迹错误！未找到引用源。
的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为错误！未找到引用源。
，点B在曲线错误！未找到引用源。
上，求错误！未找到引用源。
面积的最大值。
【答案】(1)错误！未找到引用源。
；(2) 错误！未找到引用源。
（2）设点B的极坐标为错误！未找到引用源。
,由题设知错误！未找到引用源。
,于是错误！未找到引用源。
面积错误！未找到引用源。
当错误！未找到引用源。
时，S取得最大值错误！未找到引用源。
所以错误！未找到引用源。
面积的最大值为错误！未找到引用源。
3.【2017课标3，文22】在直角坐标系xOy中，直线错误！未找到引用源。
高考数学(文)考点必杀题(全国卷)专练13 坐标系与参数方程(解答题)(解析版)
专练13坐标系与参数方程（解答题）1．（2018·四川省高考模拟（理））选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为0()R θθρ=∈，曲线C 与直线l 相交于,A B 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）当0=3θπ时，求|AB|.【答案】（1）2220x y y +-=；（2.【解析】（1）由2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，所以222x y y +=，所以曲线C 的直角坐标系方程为2220x y y +-=，（2）解一：3πθ=时，2sin 3AB πρ===.解二：曲线C 的标准方程为()2211x y +-=，直线l 的方程为y =，AB ==2．（2019·遵义航天高级中学高考模拟（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l ，求a ．【答案】（1）(3,0)，2124(,2525-；（2）8a =或16a =-．【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=.当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.从而C 与l 的交点坐标为()3,0，2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点()3cos ,sin θθ到l的距离为d =.当4a ≥-时，d.由题设得=，所以8a =；当4a <-时，d=16a =-.综上，8a =或16a =-.3．（2019·山西省大同一中高二月考（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为3sin(42πρθ-=．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(2,3)P -，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为2212x y +=；直线l 的直角坐标方程为10x y ++=；（Ⅱ）403.【解析】（Ⅰ）由x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数α可得2212x y +=，故曲线C 的普通方程为2212x y +=．由342sin πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得222sin cos ρθρθ--=，即10sin cos ρθρθ++=，将x cos ρθ=，y sin ρθ=代入上式，可得10x y ++=，故直线l 的直角坐标方程为10x y ++=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点()2,3P -在直线l 上，可设直线l的参数方程为22232x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），将22x t =-，32y t =-+代入2212x y +=，化简可得23400t -+=，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12403t t =，所以1212403PA PB t t t t ⋅=⋅==．4．（2019·安徽省高考模拟（文））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为(4,3π，点B 是曲线2C 上的点，求AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）12⎛ ⎝⎭，1 2⎛ ⎝⎭，；（2）2+.【解析】(Ⅰ)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，∴2=2cos ρρθ，∴222x y x +=.联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎨+=⎩，解得11122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴所求交点的坐标为1322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)设()B ρθ，，则=2cos ρθ.∴AOB ∆的面积11sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴当2312πθ=时，max 2S =+.5．（2019·安徽省高考模拟（文））在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作倾斜角为45︒的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，试求11PA PB+的值．【答案】（1）22880x y x y +--=；（2）7.【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程，化为直角坐标方程为22880x y x y +--=；（2）直线l的参数方程为：122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其带入上述方程中得：270t --=，则12127t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，所以12121211117t t PA PB t t t t -+=+==.6．（2019·四川省高考模拟（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)．(1)求曲线C 和直线l 的普通方程，(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若1AB =，求直线l 的方程．【答案】（1）见解析；（2）1313y x =-或1313y x =-+【解析】（1）曲线C ,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩消去参数θ，得221x y +=.对直线:l 2,x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩消去参数t ，当cos 0α=时，:2l x =；当cos 0α≠时，():tan 2l y x α=-.（2）把2,x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩代入221x y +=中，得24cos 30t t α++=.因为216cos 120α∆=->，所以23cos 4α>.因为1212124cos ,3,1t t t t AB t t α+=-==-=所以()()222121212416cos 121t t t t t t α-=+-=-=所以213cos 16α=，所以222sin 3tan cos 13ααα==.所以tan 13α=±，即直线l斜率为13±.所以直线l 的方程为392391313y x =-或392391313y x =-+.7．（2019·云南省高考模拟（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式12x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于,A B 两点，N 为AB 的中点，求OMN 的面积.【答案】（1）2214x y +=（2）85【解析】（1）将曲线C 按照伸缩变换公式变换可得：2cos sin x y αα=''⎧⎨=⎩（α为参数），2214x y ''∴+=，E ∴的普通方程为：2214x y +=.（2）（2）直线l 过()0,2M -，倾斜角为4π，则其参数方程为：222x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入2214x y +=得：25240t -+=，则12,t t 为,A B 对应的参数，N 对应的参数为122t t +，1225t t MN +∴==，118sin 2242525OMN S MN OM π∴=⋅=⨯⨯⨯=△.8．（2019·河北省唐山一中高考模拟（文））在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩(ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．【答案】（1）()R θαρ=∈，22(cos sin )10ρθθρ-++=（2）(【解析】（Ⅰ）由题意可得，直线1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=.（Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得()22cos sin 10ρααρ-++=，当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，228sin 404πα⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭，所以()122cos sin ρραα+=+，根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径.从而：122OA OB ρρ+=+=()cos sin 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，,442πππα⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故OA OB +的取值范围是(2,.9．（2019·台山市华侨中学高考模拟（文））已知直线l：1122x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，曲线1C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．(1)设l 与1C 相交于,A B 两点，求AB ；(2)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的2倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值．【答案】(1)1；(2)24+【解析】（1）l的普通方程为)1y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得交点为()11,0,,22A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以AB=1=；（2）曲线2C：1cos 2sin 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数）．设所求的点为1cos ,sin 22P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则P 到直线l的距离d ==4πθ+.当cos(14p q +=-时，d取得最大值24+．10．（2018·河北省高考模拟（理））在极坐标系中，已知三点()0,0O ，2,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4B π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求经过O ，A ，B 三点的圆1C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩，（θ是参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值.【答案】（1）)4πρθ=-；（2）a =【解析】（1）()0,0,2,,24O A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对应的直角坐标分别为()()()0,0,0,2,2,2O A B ，则过,,O A B 的圆的普通方程为22220x y x y +--=，又因为cos {sin x y ρθρθ==，代入可求得经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）圆21cos :{1sin x a C y a θθ=-+=-+（θ是参数）对应的普通方程为()()22211x y a +++=，因为圆1C 与圆2C 外切，所a =a =。
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2018年高考文科数学
分类汇编：专题十三极
坐标与参数方程
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
《2018年高考文科数学分类汇编》
第十三篇：极坐标与参数方程
解答题
1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2ykx.以坐
标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为
2
2cos30
.
（1）求2C的直角坐标方程；
（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程.
2.【2018全国二卷22
】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
2cos4sinxθyθ，
（θ为参数），直线l的参数方程为1cos2sinxtαytα，（
t
为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系xOy中，O⊙的参数方程为
cossinxy，
（为参数），过点
02，
且倾斜角为的直线l与O⊙交于AB，两点．
（1）求的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
4.【2018江苏卷21C】在极坐标系中，直线l的方程为πsin()26，曲线C的
方程为4cos，求直线l被曲线C截得的弦长．
参考答案
解答题
1.
解：
（1）由cosx，siny得2C的直角坐标方程为22(1)4xy．
（2）由（1）知2C是圆心为(1,0)A，半径为2的圆．
由题设知，1C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射
线为1l，y轴左边的射线为
2l．由于B在圆2C的外面，故1C与2
C
有且仅有
三个公共点等价于
1
l
与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与
2C只有一个公共点且1l与2
C
有两个公共点．
当
1l与2C只有一个公共点时，A到1
l
所在直线的距离为2，所以
2
|2|21kk
，故
4
3
k
或0k．
经检验，当0k时，
1l与2C没有公共点；当43k时，1
l
与2C只有一个公
共点，
2l与2
C
有两个公共点．
当
2l与2C只有一个公共点时，A到2
l
所在直线的距离为2，所以
2
|2|21kk
，故0k或
4
3
k
．
经检验，当0k时，
1
l
与2C没有公共点；当43k时，2l与2C没有公共
点．
综上，所求
1
C
的方程为4||23yx．
2.
解：（1）曲线C的直角坐标方程为
116422
yx
．
当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，
当cos0时，l的直角坐标方程为1x．
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
22
(13cos)4(2cossin)80tt
．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为
1
t
，2t，则120tt．
又由①得221cos31)sincos2(4tt，故2cossin0，
于是直线l的斜率tan2k．
3.
解：（1）O的直角坐标方程为221xy．
当
2
时，l与O交于两点．
当
2
时，记tank，则l的方程为2ykx．l与O交于两点当且
仅当22||11k，解得1k或1k，即
(,)
42或(,)24
．
综上，的取值范围是(,)44．
（2）l的参数方程为cos,(2sinxttyt为参数，
44
)
．
设A，B，P对应的参数分别为
At，Bt，Pt，则2ABPttt，且At，B
t
满
足222sin10tt．
于是
22sin
ABtt，2sinP
t
．又点P的坐标(,)xy满足
cos,2sin.PPxtyt
所以点P的轨迹的参数方程是
2
sin2,222cos222xy
(
为参数，
44
)
．
4.解：因为曲线C的极坐标方程为=4cos，
所以曲线C的圆心为（2，0），直径为
4的圆．
因为直线l的极坐标方程为
π
sin()26
，
则直线l过A（4，0），倾斜角为π6，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=π6．
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，
所以
π
4cos236AB
．
因此，直线l被曲线C截得的弦长为23．