相似三角形的性质与判定讲义)讲解学习

相似三角形的性质与判定讲义

【知识点拨】

一、相似三角形性质

(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例.

⑵相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

(3)相似三角形周长的比等于相似比.

⑷相似三角形面积的比等于相似比的平方.

(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等

二、相似三角形的等价关系

(1)反身性：对于任一ABC有ABC s ABC .

⑵对称性：若ABC s A'B'C'，贝V A'B'C's ABC .

(3)传递性：若ABC s A'B'C，且A'B'C s ABC，则ABC s ABC

三、三角形相似的判定方法

1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.

3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似?简述为：两角对应相等，两三角形相似.

4、判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似?简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.

5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似?简述为：三边对应成比例，两三角形相似.

6、判定直角三角形相似的方法: (1)以上各种判定均适用.

(2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

(3) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.

直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式Rt △KBC中，/ BAC=90°,AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

2 2 2

(1)( AD) =BDDC, ( 2)( AB) =BD BC ,( 3)( AC) =CDBC。

【例题精讲】：

1、如图DE//BC, AB=5 , AC=10 , DB=AE，求AE 的长。

2、已知，如图，在ABC中，G为重心，GE//AB，求匹的值

3、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，FC 54cm, CE 27cm，

BE 32cm，求CD 的长.

4、如图AABC中，DE//BC, BE 平分/ABC,若BC=6cm , AD=3cm，求DE 的

5、如图已知/C=90°, ED丄AB, BD=4 , BE=5 , BC=8，求AC 的长。

【拓展延伸】：

1、如图，正方形EFGH内接A ABC, E、H分别在AB、AC上, F、G在BC上, AD丄BC交EH于点P, BC=10 , AD=6，求正方形EFGH的周长。

2、如图，/ AOB=90°, 0、B、C、D 在同一直线且0B=0A=BC=CD

找一下图中有否相似三角形？如有，请加以证明，如没有要说明理由

3、如图，DA//EF//BC，BE=3EA，

Sz ADE=1cm2，求(1) S/ABC；( 2) S/AEF

【知识点类型练习】：

」、求线段的长

1、如图，矩形ABCD中，AB=12 , AD=10，把此矩形叠,

的中点E处，求折痕FG的长。

2、如图，△ ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过

ED并延长交AB于F，交AH于H。

(1)求证：AH = CE

(2)如果AB=4AF，EH= 8，求DF 的长。

3、已知：如图，在△ ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，

交于点E，EC与AD相交于点F。

B点落在AD边上

A作AH //BE，连结

DE丄BC，DE与AB相

(1) 求证：△ ABC S/FCD;

(2) 若S Z FCD=5 , BC= 10，求DE 的长。

、测物体的高度:

1 .在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为 1.5米的测竿的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（）

A . 20 米

B . 18 米

C . 16 米

D . 15 米

2. （05?北京）如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角AMC 30，窗户的高在教室地面上的影长MN 2 3 米，窗户的下檐到教室地面的距离BG 1米（点M,N,C在同一直线上），则窗户的高AB为（）

A . .3米

B . 3米

C . 2 米

D . 1.5 米

3 ?如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是

0.8米，要使球恰好能打过网，而且落在里网4米的位置，则球拍击球的高度h 为 .

4. （05?福建）如图，某学习小组选一名身高为1.6m的同学直立于旗杆影子的顶

端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长为 1.2m，另一部分同

学测量同一时刻旗杆影长为9m，那么旗杆的高度是________ m .

5 .小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE 21m ?当她与镜子的距离CE 2.5m 时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端 B ?已知她的眼睛距地面高度CD 1.6m .请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）.

【课堂练习】：

1、 ____________________________________________________ 如图1, ZADC=^ACB=90,

Z1=ZB,AC=5,AB=6，则AD= ___________________________

2. 如图2,AD //EF//BC,则图的相似三角形共有_____ 对?

3. 如图3,正方形ABC中,E是AD勺中点，BM丄CE,AB=6,CE=^'5 ,则BM= __ .

4. A ABC勺三边长为...2,-102 A A'B'C'的两边为1和5 ,若A ABSM'BC,贝忆

A'B'C'的笫三边长为 __________ .

5. 两个相似三角形的面积之比为1 : 5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长

6. 如图4,Rt A AB(中, ZC=9(y,D为AB勺中点，DE丄AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC勺面积为

7. __________________________________________________ 如图5,Rt A AB（中,

ZACB=90,CD± AB,AC=8,BC=6则AD= ____________________ ,CD= _______

8. 如图6,矩形ABC中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF= ________ .

9. 如图7, A AB（中, Z A=ZDBC,BC=.! ,S A BCD :S^AB（=2 : 3,则CD=

10. 如图8,梯形ABC中,AD//BC,两腰BA与CD勺延长线相交于P,PF丄BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,

则PF= ___ .

11. 如图9, A AB（中,DE / BC,AD： DB=2: 3,则S A ADE : S A ABE= __ .

12.如图10,正方形ABC内接于等腰A PQR,ZP=90°,则PA： AQ= ________

13.如图11, A AB（中,DE//FG//BC,AD： DF： FB=1 ：2 ：3,

则S四边形DFGE : S四边形FBC= 14.如图12, A ABC中,中线BD与CE相交于0点,S A AD=1,则S四边形BCD=

15. 已知：如图，A AB(中,CE丄AB,BF丄AC?求证：A AEF^A ACB.

16. 已知：如图，A ABC中,AD=DB,Z1 = Z2.求证：A AB3AEAD.

17. 已知，如图，在△ ABC中, D为BC的中点，且AD=AC DEL BC DE与AB相交于点E, ?EC与AD相交于点F.( 1)求证：△ ABC^ZFCD (2)若S ZFCD=5, BC=10 求DE的长。

【课外练习】

1.如图，在△ ABC 中, 贝y DM=(

A、

m n

c、

m n

2.如图，在D\BCD中,

A、BF= 1 DF

2 CD平分/ACB过D作BC的平行线交AC于M 若BC=m AC=n

E是BC的中点，且/ AEC= ZDCE,下列结论不正确的是()

B、S A FAD=2S△ FBE

C、四边形AECD是等腰梯形

D、/AEB=ZADC

3 ?已知△ ABC，延长BC到D,

点E ?

使CD BC ?取AB的中点F，连结FD交AC于

(1 )求一一的值;

(2)若AB a, FB EC ,求AC的长.

74、如图，已知过A (2, 4)分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M N,若点P从0点出发，沿0M作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。

(1)经过多少时间，线段PQ的长度为2 ？

(2)写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；

(3)在P、Q运动过程中，是否可能出现PQL MN若有可能，求出此时间t ;若不可能，请说

明理由；

(4)是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与厶MONf似？若存在，求出此时间t ;若

不可能，请说明理由；