用十字相乘法解一元二次方程
(1) X2-7X+6=0 (2) x2-5x+6=0
用“十字相乘法”解一元二次方程
1. 一元二次方程的一般形式是： ________________________________
一元二次方程
的根的个数的判断：（1 ）当 ________________
（2）当 ________________ 时，方程一解（3）当 _________________________
3.根与系数的关系（韦达定理）是：
________________ 作用：有根可求系数
4. 求根公式：
_________________________________ 作用：求根
5..求一元二次方程 的根的方法有： _______________________
6.常用求根方法是“十字相乘法” 新课讲解：用“十字相乘法”对某些特殊的多项式因式分解
一、二次项系数是1型：
例1：
x 2 x 3 x
2 5x 6，反过来，就得到二次三项式 x2
5x 6的因式
分解形式，即
x
2
5x 6 x 2 x 3，其中常数项6分解成2,3
两个因数的积, 而且这两个因数的和
等于一次项的系数 5,即6=2X 3,且2+3=5。
写成十字相乘形式是：
般地，由多项式乘法，
xaxb x
2
abxab
，反过来，就得到
x2 abxab xaxb
写成十字相乘形式是：
练习一用“十字相乘法” 把以下多项式分解因式:
回顾:
2.
时，方程无解
时，方程两解
(3) x2+8x+16=0 (4) x2 9x 8 0
:二次项系数不是1型:
例 2：
2x 1 3x 4 = ___________________________
反过来我们就得到 因式分解的结果：
6x
2
11x 4 2x 1 3x 4
。
我们把这个过程用以下划十字的形式来反映： 叉的左边
上下两角，（2）把常数项4拆成1 交叉相乘的和等于
一次项！
1.
2.
3.
2
（1）把二次项6x拆成2x 3x，分别写在十字交
4
，写在右边上下两角。上下两数可适当换位，使
因式分解竖式写
交叉相乘验一次项
横向写出
6x2 11x 4 2x 1 3x 4
二、用“十字相乘法”解某些 特殊的一元二次方程
例2解方程：
4x
2
31x 45 0
解：
x 9 4x 5 0
(5) x2 10x 24 0
(6) x2+(1+ .3)x+ 3=0
(7) x2 2x 15 0
(8) x2 3x 28 0
注意：要先把一元二 次
方程化为一般形式， 且二
次项系数要化为正
数；常数项太大时要进 行
因数分解，以确定出
(3) x2+8x+16=0 (4) x2 9x 8 0
应拆解的那两个数是什
练习二解下列一元二次方程:
(1)
2x
2
7x 3
=0
(3) 9x2 6x 1 0
(5) 2x2 5x 3
=0
2
(6) 3a 8a 4
=0
(7) 2x2 7x 6 0 (8) 3x2 4x 4 0
(11
) xx 16
116
1
(12
) x2 3x 1 0
成功的关键
(9) 16x2 8x 3
2
(10
) x 4x 96 0
2
(2) 2x 7x 3=0
2
4x 4x 1
0
：带字母的
总结：（1）当二次项系数是正数时，如果常数项是正数，必须拆成同号两个数相乘：一次项系数 为正则拆成两个数
同为正，一次项系数为负则拆成两个数同为负。
（ 2）当二次项系数是 1 时，如果常数项是负数，拆成异号两个数相乘：这两个数绝对值之 差的绝对值正好是
一次项系数的绝对值。
（ 3）不是所有二次三项式都能“十字相乘法” 进行因式分解，只是对某些特殊的多项式较
2
为方便。如
x x 1
不能用“十字相乘法” 进行分解。
1
)
x2 (a 1)x a 0
2
)
x2 (a 1)x a 0
(3)
x2 (m2 m)x m3 0
4
)
x2 (m2 m)x m3 0
5
)
x2 x a2 a
0
(6
22
)
x x a a 0
用十字相乘法解一元二次方程
用“十字相乘法”解一元二次方程回顾：1.一元二次方程 的一般形式是：2.一元二次方程 的根的个数的判断：（1）当 时，方程无解（2）当 时，方程一解（3）当 时，方程两解3.根与系数的关系（韦达定理）是：作用：有根可求系数4.求根公式：作用：求根5..求一元二次方程 的根的方法有：6.常用求根方法是“十字相乘法”新课讲解：用“十字相乘法”对某些特殊的多项式因式分解一、二次项系数是1型：例1：()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。
写成十字相乘形式是：一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到写成十字相乘形式是：练习一 用“十字相乘法” 把以下多项式分解因式：（1）2x -7x+6=0 （2）2x -5x+6=0（3） 2x +8x+16=0 （4）=++892x x 0（5）=+-24102x x 0 （6）2x +(1+3)x+3=0（7）=-+1522x x 0 （8）=--2832x x 0二：二次项系数不是1型：例2：()()4312++x x =反过来我们就得到 因式分解的结果： ()()431241162++=++x x x x 。
我们把这个过程用以下划十字的形式来反映：（1）把二次项26x 拆成x x 32⋅，分别写在十字交叉的左边上下两角，（2）把常数项4拆成41⨯，写在右边上下两角。
上下两数可适当换位，使交叉相乘的和等于一次项！ 1.因式分解竖式写2.交叉相乘验一次项3.横向写出∴ ()()431241162++=++x x x x 二、用“十字相乘法”解某些特殊的一元二次方程例2 解方程：0453142=--x x解： ()()0549=+-x x∴练习二解下列一元二次方程：（1）3722++x x =0 （2）3722+-x x =0（3）01692=++x x (4)=+-1442x x 0（5）3522-+x x =0（6）2384a a -+=0（7）06722=+-x x（8）04432=+--x x（9）38162=+x x（10）09642=--x x（11）()116116=+x x（12）0132=+-x x三：带字母的（1）0)1(2=++-a x a x （2）0)1(2=+++a x a x(3)0)(322=++-m x m m x （4）0)(322=+++m x m m x（5）022=+--a a x x (6）022=+-+a a x x总结：（1）当二次项系数是正数时，如果常数项是正数，必须拆成同号两个数相乘：一次项系数为正则拆成两个数同为正，一次项系数为负则拆成两个数同为负。
十字相乘法解一元二次方程
十字相乘法解一元二次方程【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式；2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力；3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质.【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式.【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p.【教学过程】【复习导入】1、我们学过了哪些解一元二次方程的方法？2、分别用配方法和公式法解方程：2430++=x x你能用因式分解法解这个方程吗？【打开记忆之门】如何将多项式x2+4x+3分解因式吗？归纳：x2＋(p＋q)x＋pq= ，这种分解因式的方法称为十字相乘法练一练：用十字相乘法分解因式：（1）x2-2x-15 （2）y2 +4y-12（3）x2-6x+8 （4）3x2-4x-15【自主学习】用十字相乘法解下列方程：（1）x 2+x-2=0 （2）x 2-7x+12=0（3）x 2-4x-21=0 （4）2y 2+3y-2=0【反馈检测】1、在横线上填上适当的运算符号或数字（1）x 2-x-6=（x 2）（x 3） （2）x 2+7x+12=（x+ ）（x+ ）（3）x 2 3x-10=（x-2）（x+5） （4）x 2-12x 35=（x-5）（x 7）2、选择适当的方法解方程：（1）x 2－3x －10=0 （2）x 2-2x-35=0（3）3x 2+10x-8=0（4）(x+3)(x －1)=5 【小结】1、请你谈谈如何根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程？2、本节课你还有什么疑问？【拓展延伸】解方程：10(x ＋2)2 －29(x ＋2) ＋10=0【作业】1、用十字相乘法解下列方程：（1）2120x x --= （2）212320x x ++=2、用适当的方法解下列方程：（1）212270x x ++= （2）3x （x+2）=5（x+2）（3）28110x x -+= （4）22(3)9x x -+=。
十字交叉法解一元二次方程_课件_1
2
11x 30 0
例2 解下列方程
(1)2 y 3 y 2 0 (2)3x 10x 8 0
2
2
(3)4x 31x 45 0
2
(4) 3x 22x 24 0
2
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
1、解下列方程
（ 1 ）x 2x 15 0 （2）a 7a 10 0
2
2
2、解方程
1x
2
6 x 8 0;
2x
2
5 x 6 0;
3x
2
x 20 0;
4x
2
2x 8 0
5y
2
3x 2 0;
6x
我思
我进步
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
（3）十字相乘法: 1 x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
1
a b
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法. 1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:
方程左边易于分解,而右边等于零; 2.理论依据是.
“如果两个因式的积等于零,
那么至少有一个因式等于零”
十字相乘法因式分解
例1 ：解方程x 2 ).因式分解竖直写; (2).交叉相乘验中项; 6x-3x=3x (3).横向写出两因式; (x+6)和(x-3)
用十字相乘法解一元二次方程教案(初高中衔接1)
新授课补1 用十字相乘法解一元二次方程通过对例题的研究，初步掌握用十字相乘法解一元二次方程； 教学重点： 用十字相乘法解一元二次方程 教学难点： 十字相乘法解原理的理解。
一 体 化设 计：导入新课 十字相乘法原理研究 例题 练习、巩固 教学过程：一、复习准备：在初中,我们学习过用公式法解一元二次方程，但这种方法对解系数比较简单的一元二次方程显得比较麻烦，用十字相乘法解解一些系数比较简单的一元二次方程比较快，这节课就学习用十字相乘法解一元二次方程。
（二）探索新知二、讲授新课：1. 我们知道，2()()(),mx a nx b mnx na mb x ab ++=+++反过来， 2()()()mnx na mb x ab mx a nx b +++=++如果二次三项式2rx px q ++的①二项式系数r 恰好能分解成两个因数,m n 的乘积，②常数项q 恰好可以分解成两个因数,a b 的乘积， 而且③一次项系数p 又恰好是na mb +，那么22()()()rx px q mnx na mb x ab mx a nx b ++=+++=++2. 例如：2223221(1(1)22(1)2=(21)(2)x x x x x x +-=⨯+⨯-+⨯+-⨯-+上式不易记住，我们可以借助画十字交叉线来表示，212x x -⨯ 按照十字相乘，它们的和是43x x x -=，所以 2232(21)(2)x x x x +-=-+3. 对二次三项式2rx px q ++因式分解时22()()()rx px q mnx na mb x ab mx a nx b ++=+++=++借助画十字交叉线来表示，mxanx b ⨯这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到na mb +，如果它正好等于2rx px q ++的一次项系数p ，那么2()()rx px q mx a nx b ++=++，这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．2. 例题：例1 用十字相乘法解一元二次方程：(1) 25240x x +-= (2) 212520x x --=必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例2 用十字相乘法解一元二次方程：（1）2(2)20x a x a +++=（2）2(21)20ax a x -++= 0a ≠三、练习与作业1. 2230x x +-=2. 219600x x ++=3. 2450x x --=4. 22150x x --=5. 220x x +-= 6 2524x x +-=07 25410x x --= 8 229350x x --=9. 2610x x --= 10 261130x x -+=11. 241130x x +-= 12 2141760x x --=13 26120x x --= 14. 2182150x x -+=15. 26750x x -++= 16 236240x x --=17. 23642100x x -+= 18 2623200x x ++=19. 2(1)0x a x a -++= 20. 223(2)0x x m m +-+-=。
解一元二次方程十字相乘法教案(一)
解一元二次方程十字相乘法教案(一)解一元二次方程十字相乘法教案1. 教学目标•理解一元二次方程十字相乘法的概念与原理•学会使用十字相乘法解一元二次方程的方法•掌握运用十字相乘法解决实际问题的能力2. 教学准备•黑板、粉笔•教材、练习题3. 教学内容与步骤第一步：引入概念1.引导学生回顾二次方程的定义。
2.引入十字相乘法的概念，并解释其背后的原理。
第二步：解一元二次方程的步骤1.给出一个简单的一元二次方程，例如：x^2 - 5x + 6 = 0。
2.按照以下步骤进行解题：–将方程转化为括号形式：(x - a)(x - b) = 0。
–根据方程的形式，利用十字相乘法得出 a 和 b 的值。
–根据 a 和 b 的值，写出方程的两个根。
3.通过多个例题，巩固学生对解一元二次方程的十字相乘法的理解。
4.强调注意事项，例如方程无解时或只有一个解时的特殊情况。
第三步：应用实例1.给出一些实际问题，例如：某数的平方减去这个数的两倍再加上1等于0，求这个数。
2.引导学生将问题转化为一元二次方程，并运用十字相乘法解决问题。
4. 拓展练习1.让学生在课后完成一些练习题，巩固解一元二次方程十字相乘法的能力。
2.鼓励学生运用所学知识解决更多的实际问题。
5. 小结与评价1.总结一元二次方程十字相乘法的解题步骤与技巧。
2.确保学生理解并掌握所学内容，及时解答他们的疑惑。
3.对学生的学习情况进行评价，并提供积极的反馈。
6. 参考资料•教材•练习题集7. 教学延伸1.给学生讲解使用十字相乘法解一元二次方程时的常见错误，并指导学生如何避免这些错误。
2.引导学生思考，如果方程不是标准的二次方程形式，如何将其转化为适合使用十字相乘法解题的形式。
8. 探究性学习1.提供一些较为复杂的一元二次方程，让学生自己尝试使用十字相乘法解决问题。
2.引导学生思考，在实际生活中可以应用十字相乘法解决哪些问题，如何解决。
9. 课外拓展1.推荐学生阅读相关的数学书籍或网站，进一步了解十字相乘法以及解一元二次方程的其他方法。
十字相乘法解一元二次方程公式
十字相乘法解一元二次方程公式《十字相乘法解一元二次方程公式：我的探索之旅》一元二次方程啊，在数学的世界里就像一个个神秘的小怪兽。
而十字相乘法呢，就像是我们对付这些小怪兽的神奇魔法棒。
今天呀，我就来和大家好好唠唠这个十字相乘法解一元二次方程公式的事儿。
咱们先来说说一元二次方程是啥样的。
它就长这样：ax²+bx + c = 0（a≠0）。
这就好比是一个大谜题，x就是我们要找的宝贝。
那十字相乘法怎么来解这个方程呢？我给大家举个例子吧。
就说方程x²+5x+6 = 0。
咱们要把这个二次项系数1和常数项6拆分开来。
1呢，只能拆成1×1，6可以拆成2×3。
然后我们要像搭积木一样把它们组合起来。
怎么组合呢？就是让交叉相乘之后的和等于一次项系数5。
那就是1×3+1×2 = 5。
这时候呀，我们就可以把这个方程写成(x + 2)(x+ 3)=0。
这样一来，我们就很容易得出x = -2或者x = -3啦。
是不是很神奇呢？就像我们把一堆乱乱的拼图块，一下子就拼成了完整的图画。
我还记得有一次，我和同桌一起做数学作业。
他对着一道一元二次方程愁眉苦脸的，那方程是2x² - 7x+3 = 0。
我就跟他说：“嘿，咱们可以用十字相乘法呀。
”他就瞪着眼睛看着我，说：“啥十字相乘法呀？我都晕头转向了。
”我就跟他讲：“你看啊，2可以拆成2×1，3可以拆成(-1)×(-3)。
然后我们要让2×(-1)+1×(-3)= -7。
”他听了之后，眼睛一下子就亮了，说：“哇，原来是这样啊，你可真厉害。
”我就笑着说：“这就像是在搭小房子，每一块都得放对地方才行呢。
”然后我们很快就把方程写成了(2x - 1)(x - 3)=0，得出x = 1/2或者x = 3。
再来说说这个方法为啥这么好用呢。
其实啊，这就好比是给这个复杂的一元二次方程找到了一条捷径。
初三_一元二次方程的补充解法——“十字相乘法
通过练习巩固 a 、 b 的符号法则．
2 把下列各式分解因式：
⑴ (x y)2 4(x y) 5 ； ⑵ a4 2a3 3a2 ．
⑶ 2x2 10xy 12y2 ；
⑷ (x2 2x)2 2(x2 2x) 3 ．
§观察“现象”
（1）现有一元二次方程： x2 2x 3 0
它的二次项系数为 1，一次项系数为－2，常数项为－3。
x2
Px
q
，若能找到两个数
a
、
b
，使
a a
b p, b q,
则就有 x2 Px q x2 (a b)x ab (x a)(x b) ．
（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常．数．项．分．解．成．两．个．数．的．积．，．且．其． 和．等．于．一．次．项．系．数．，．通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。）
∴ x2 5x 6 (x 1)(x 6) ．
如何检验分解是否正确？ 请观察比较例１中的各题，你能发现把 q 分解成两个整数 a 、 b 之积时的符号规律吗？
3
⑴若 q ＞ 0 ，则 a 、 b 同号． 当 p ＞ 0 时 a 、 b 同为正，当 p ＜ 0 时 a 、 b 同为负．
⑵若 q ＜ 0 ，则 a 、 b 异号． 当 p ＞ 0 时 a 、 b 中的正数绝对值较大，当 p ＜ 0 时 a 、 b 中的负数绝对值较大．
解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
2 -7y
5 ╳ 4y
=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3
2 x -7y
1
2
5 x +4y ╳ -3 =[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3] =（2x -7y+1）（5x +4y -3） 说明:在本题中先把 10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y） （5x +4y）-（x -25y）- 3 用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3].
十字相乘法解一元二次方程
初三数学《因式分解法解一元二次方程——十字相乘法》【典例】解方程 2-2-3=0x x解： －3 x 1所以2-2-3=x x （x- ）（x+ ）=0即（x- ）（x+ ）=0 即x- =0或x+ =0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 【跟踪训练】①0652=++x x ②2560x x ③2560x x④2560x x ⑤09102=++x x ⑥021102=++x x【巩固训练】选择合适的方法解方程①22-3=0x x ②04632=-+x x③0472=--x x ④()()03734=+-+x x x2x －3⑤112942-=-+x x x ⑥()1284+=+x x x⑦()()224253+=-x x ⑧04132=--x x ⑨26135=0xx ⑩27196=0x x尝试解方程：（1）22730x x =-+ （2）26750x x =-- （3）26135=0x x初三数学家庭作业1、在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、一元二次方程x 2-ax+1=0的两实数根相等，则a 的值为（ ）． A ．a=0 B ．a=2或a=-2 C ．a=2 D ．a=2或a=03、不解方程，判定2x 2-3=4x 的根的情况是____________________________（•填“二个不等实根”或“二个相等实根”或“没有实根”）．4、方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是 ( )A 、23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B 、2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 、231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D 、以上都不对5、已知关于x 的方程（a 2-1）x 2+（1-a ）x+a-2=0，下列结论正确的是（ ）A 、当a ≠±1时，原方程是一元二次方程。
高中数学课件-十字相乘法解一元二次方程
变式2、10x2 3x 1 0
动手试试、 求下列一元二次不等式
（1）4x2 4x 15
（2）13 4x2 0
（3）3x2 7x 10
（4）2x2 x 5 0
（5）x2 3x 10 0
（6）x(9 x) 0
2、解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0；(2)－x2－2x≥－3； (3)9x2－6x＋1>0；(4)x2－4x＋5>0； (5)x2－x＋1<0.
3、解下列不等式． (1)3x2－5x≤2；(2)－2x2＋x＋1<0； (3)2x2－x＋6<0；(4)－x2＋6x-9≥0； (5)x2－x－1>0；(6)-x2 + x >0.
c1
(a1x c1)(a2x c2 )
a2 c2
例2 解下列方程
(1)2 y2 3y 2 0 (2)3x2 10 x 8 0
(3)4x2 31x 45 0 (4) 3x2 22 x 24 0
先胜
解下列方程
为快
(1).x 1(5x 4) 0; (2).3xx 2 4 2x;
(3).(2x 1)2 4(2x 1); (4).(x 1)(x 2) 12
观察思考 2
怎样求不等式 x2 5x 0 的解呢？
我们先来考察与它相对应的二次函数 y x2 5x
以及二次方程 x2 5x 0 的关系
y
容易知道方程
的两个根是x1 x2 0,5xx20 5
（1）当 x 0 或 x 5 时， y 0
O x1
x
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
x≠ b
2a
△<0 y
x O 没有实根
一元二次方程的解法十字相乘法
练习 因式分解：
(1) x2 + 5x+ 6
(2)
课后练习：分解因式 (x-y)2+(x-y)-6
总结：
二次多项式x2+px+q在分解因式时： 如果常数项q是正数，那么把它分解成两个 同号因数，它们的符号与一次项系数p的符 号相同；
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个 异号因数，其中绝对值较大的因数与一次 项系数p的符号相同； 对于分解的两个因数，还要看它们的和是 不是等于一次项系数。
总结：
数学语言：对于二次多项式x2+px+q=(x+a)(x+b)（这 里p=a+b，q=ab），其中q、p、a、b之间的符号 有如下关系：
当q>0时，q分解的因数a、b同号且a、b符号与p的符 号相同；
当q<0时，q分解的因数a、b异号，其中绝对值较大的 因数符号与p的符号相同；
一般地，我们也可以用这种方法来解一元二 次方程。
即：x 2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)
十字相乘法： 借助十字交叉线分解因式的方法
对于二次三项式的分解因式， 借用一个十字叉帮助我们分解因式， 这种方法叫做十字相乘法。
例1 (1)分解因式 x2+3x+2
x
1
x
2
x+2x=3x
解：x 2+3x+2 =(x+1)(x+2)
注意要点： 1.因式分解竖直写； 2.交叉相乘验中项；
2.
3.
4.
例2：解方程 x2 - 3x+ 2 = 0
解：
x
-1
x
-2
-x-2x=-3x