小学六年级数学奥数讲座共30讲含答案_(13)
最新部编版人教小学数学六年级《奥数系列讲座：数论综合(含参考答案与解析)》精品
前言：该奥数系列讲座由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、知识点，精心编辑而成。
（最新精品奥数系列讲座）数论综合（一）涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。
所以n小于5．:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足．：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．至于n取1显然不满足了．所以满足条件的n是4．2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．3．如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，。
小学六年级奥数系列讲座：比的应用(含答案解析)
比的应用（一）一、知识要点我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相转化。
运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。
二、精讲精练【例题1】甲数是乙数的2/3，乙数是丙数的4/5，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：（）。
【思路导航】甲、乙两数的比 2：3乙、丙两数的比 4：5甲、乙、丙三数的比 8：12：15答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。
练习1：1．甲数是乙数的4/5，乙数是丙数的5/8，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：（）。
2．甲数是乙数的4/5，甲数是丙数的4/9，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：（）。
3．甲数是丙数的3/7，乙数是丙数的2又1/2，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：（）。
【例题2】光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。
这三个小组各有多少人？【思路导航】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。
①一、二两组人数的比 2：3 二、三两组人数的比 4：5一、二、三组人数的比 8：12：15②总份数：8+12+15＝35③第一组：140×8/35＝32（人）④第二组：140×12/35＝48（人）⑤第三组：140×15/35＝60（人）答：第一小组有32人，第二小组有48人，第三小组有60人。
练习2：1．某农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7：2，棉田与其他作物面积的比6：1。
每种作物各是多少公亩？2．黄山小学六年级的同学分三组参加植树。
第一组与第二组的人数的比是5：4，第二组与第三组人数的比是3：2。
已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。
六年级参加植树的共有多少人？3．科技组与作文组人数的比是9：10，作文组与数学组人数的比是5：7。
已知数学组与科技组共有69人。
数学组比作文组多多少人？【例题3】甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校图书本数的比就是3：4。
小学六年级奥数时钟问题(含例题讲解分析和答案)
时钟问题知识点拨：时钟问题知识点说明时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度小格，每分钟走0.5度时针速度：每分钟走112注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。
要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。
另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。
分。
例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为56511例题精讲：模块一、时针与分针的追及与相遇问题【例 1】王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30 秒.而闹钟却比标准时间每小时慢30 秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？【解析】闹钟比标准的慢那么它一小时只走（3600-30）/3600个小时，手表又比闹钟快那么它一小时走（3600+30）/3600个小时，则标准时间走1小时手表则走（3600-30）/3600*（3600+30）/3600个小时，则手表每小时比标准时间慢1—【（3600-30）/3600*（3600+30）/3600】=1—14399/14400=1/14400个小时，也就是1/14400*3600=四分之一秒，所以一昼夜24小时比标准时间慢四分之一乘以24等于6秒【巩固】小强家有一个闹钟，每时比标准时间快3分。
小学六年级奥数系列讲座几何综合(含答案解析)
几何综合（一）几何图形的设计与构造．涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题．1．今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.【分析与解】如下图所示，我们给出四种不同的排法．2．已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米．求这个六边形的周长．【分析与解】如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母，因为∠BAF=120°，而么∠IAF=180°-∠BAF=60°．又∠EFA=120°，而∠IFA=180°-∠EFA：60°，则△IAF为等边三角形．同理△BCG、△EHD、△IGH均为等边三角形．在△IAF中，有IA=IF=AF=9(厘米)，在△BGC中，有BG=GC=BC=1(厘米)，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19(厘米)．则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米)，在△EDH中，DH=EH=5(厘米)，所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(厘米)．于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42(厘米)．3．图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析与解】如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程．于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长．所以，最少的量出下列6段即可．4．将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2：3．已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少?【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此(1+2x)：(1+x)=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1．5．如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，在正六边形ABCDEF 中,与面积相等，12个组成小正六角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为16÷12×(12+6)=24(平方厘米)．而通过下图，我们知道，正六边形ABCDEF 可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角的面积相等，所以大正六角星形的积为24÷6×12=48(平方厘米)．6．如图12-6所示，在三角形ABC 中，DC=3BD ，DE=EA ．若三角形ABC 的面积是1．则阴影部分的面积是多少?【分析与解】 △ABC 、△ADC 同高，所以底的比等于面积比，那么有33.44ADC ABC ABC DC S S S BC ∆∆∆=⨯=⨯=而E 为AD 中点，所以13.28DEC ADC S S ∆∆== 连接FD ，△DFE 、△FAE 面积相等，设,FEA S x ∆=则．FDE S ∆的面积也为x ，11.44ABD ABC S S ∆∆==12,4BDF ABD FEA FDE S S S S x ∆∆∆∆=--=-而3.8FDC FDE DEC S S S x ∆∆∆=+=+ 13:(2);()1:348BDF FDC S S x x ∆∆=-+=，解得356x =.所以，阴影部分面积为333.8567DEC FEA S S ∆∆+=+=7．如图12-7，P 是三角形ABC 内一点，DE 平行于AB ，FG 平行于BC ，HI 平行于CA ，四边形AIPD 的面积是12，四边形PGCH 的面积是15，四边形BEPF 的面积是20．那么三角形ABC 的面积是多少?【分析与解】 有平行四边形AIPD 与平行四边形PGCH 的面积比为IP 与PH 的比，即为12：15=4：5．同理有FP:PG=20:15=4:3， DP:PE=12:20=3:5．如图12-7(a)，连接PC 、HD ，有△PHC 的面积为152△DPH 与△PHC 同底PH ，同高，所以面积相等，即152DPH S ∆=，而△DPH 与△EP H 的高相等，所以底的比即为面积的比，有::3:5DPH EPH S S DP PE ∆∆==，所以551525.3322EPH DPH S S ∆∆=⨯=⨯⨯如图12-7(b)所示，连接FH 、BP ，4108;5IFP EPH FBP IP IP S S S PH PH ∆∆∆===⨯=如图12-7(c)所示，连接FD 、AP ，396.42DPG DFP APD PG PG S S S FP FP ∆∆∆===⨯=有925122015872.22ABC AIPD BEPFCGPHIFP DGP EHP S SSSS S S ∆∆∆∆=+++++=+++++=8．如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的512，②号正方形的边长是长方形宽的18．那么，图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】 有①号正方形的边长为长方形长的512，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的712. 而②号正方形的边长为宽的18，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的78. 所以在长方形中有：712长=78宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12k ，宽为8k ，则①号正方形的边长为5k ，又是整数，所以k 为整数，有长方形的面积为962k ,不大于100．所以k 只能为1，即长方形的长为12，宽为8．于是，图中①号正方形的边长为5，②号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为： 22212851721.⨯---=9．如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5．那么这个长方形的长与宽之比是多少?【分析与解】以下用E横表示E部分横向的长度，E坚竖表示E部分竖向的长度，其他下标意义类似．有E横：D横=5：4，A横：B横=l：2．而E横+A横=D横+B横，所以有E横：D横：A横：B横=5：4：1：2．而A横+B横+C横=E横+A横对应为5+1=6，那么C横对应为3．而A面积：B面积：C面积=1：2：3，所以A坚=B坚=C坚．有A坚+C坚竖对应为6，所以A坚=C坚对应为3．那么长方形的竖边为6+C坚对应为9，长方形横边为E横+6+D横对应为5+6+4=15．所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3．10．如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少?【分析与解】如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变．并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积．所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是．黄色露出面积=绿色露出面积，而它们的和为14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12．有黄：空白=红：绿，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2．11．如图12-11，在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A，B，C，D，E，F，其中AB=EF=130厘米．现在从4处沿45°方向打出一球，碰到桌边后又沿45°方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45°方向弹出，如此继续下去．假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中?【分析与解】将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD的距离，于是A的位置为(0，150)，球经过的路线为：(0,150)→(150,0) →(260,110) →(220，150) →(70，0) →(0，70) →(80，150) →(230,0) →(260，30) →(140，150) →(0，10) →(10，0) →(160，150) →(260，50) →(210,0) →(60，150) →(0，90) →(90，0) →(240，150) →(260，130) →(130，0)．因此，该球最后落入E袋．12．长方形ABCD是一个弹子盘，四角有洞．弹子从A出发，路线与边成45度角，撞到边界即反弹，并一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止．如图12-12．当AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞．问：若AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前，撞击BC边多少次?【分析与解】撞击AD边的点，每次由A向D移动2；撞击BC边的点，每次由C向B移动2．因为第一次撞击BC边的点距C点1，第一次撞击AB边的点距A点为2，1994÷2=997．所以最后落人D洞，在此之前撞击BC边997次．13．10个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状．过图中所示两个圆心A，B作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?【分析与解】直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆．那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3．14．在图12-14中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?( 取3.14)【分析与解】有AO=OB，所以△A OB 为等腰三角形，AO=OC，所以△A OC为等腰三角形.∠ABO=∠1=15°，∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°. ∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°. 所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°，所以扇形BOC 的面积为260942.39360π⨯⨯≈(平方厘米)．15．图12-15是由正方形和半圆形组成的图形．其中P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点．已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?(π取3.14)【分析与解】 过P 做AD 平行线，交AB 于O 点，P 为半圆周的中点，所以0为AB 中点．有2ABCD DPC 101S 1010100S 12.522ππ=⨯==⨯⨯=半圆，（）. AOP OPQB 101101S 510+37.5S 105550.2222∆⎡⎤⎛⎫=⨯⨯==++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦梯形（）， 阴影部分面积为ABCD AOP DPC OPQB S S S S 10012.537.55012.512.551.75.ππ∆+-=+--=+≈半圆梯形-几何综合(二)内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系．与上述知识相关的几何计算问题．各种具有相当难度的几何综合题．典型问题2．如图30-2，已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?【分析与解】 方法一：因为CEFG 的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形CEFG 的边长为x ，有：=1010=100,ABCD S ⨯正方形2=x ,S 正方形CEFG 21110x-x =DG GF=(10-x)x=,222DGF S ∆⨯又1=1010=50,2ABD S ∆⨯⨯2110x+x =(10+x)x=.22BEF S ∆ 阴影部分的面积为:DGF ABD BEF ABCD CEFG S S S S S ∆∆∆++--正方形正方形2221010100505022x x x x x -+=++--=(平方厘米).方法二：连接FC ，有FC 平行与DB ，则四边形BCFD 为梯形．有△DFB 、△DBC 共底DB ，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBC 的面积11010502⨯⨯=(平方厘米)．阴影部分△DFB的面积为50平方厘米．4.如图30-4，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I等于多少度?【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有∠I=1800-(∠1+∠2),而∠1=1800-∠3,∠2=1800-∠4,有∠I=∠3+∠4-1800同理,∠H=∠4+∠5-1800,∠G=∠5+∠6-1800,∠F=∠6+∠7-1800,∠E=∠7+∠8-1800, ∠D=∠8+∠9-1800,∠C=∠9+∠10-1800,∠B=∠10+∠11-1800,∠A=∠11+∠3-1800则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×(∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11)-9×1800而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9边形的内角和为(9-2)×1800=12600．所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×12600-9×1800=90006．长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形．考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形．例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示．请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1<a2<a3<a4<a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a1,a2,a3,a4,a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一．【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出．第一类情况：以为特征的有7组：第二类情况：以为特征的有6组：第三类情况有如下三组：共有16组解，它们是：(1，2，2.5，5，7.25)，(1，2，2．5，5，14.5)．(1，2，2.25，2.5，3.625)，(1，2，2.25，2.5，7.25)．(1，2，5，5.5，6)，(1，2，5，6，11)，(1，2，2.5，4.5，7)，(1，2，2.5，4.5，14)，(1，2，5，12，14.5)，(1，2，5，12，29)，(1，2，2.25，2.5，4.5)，(1，2，5，6，12). 1020251,,2,,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,2,2.4,4.8,5), 131025147813101,,,,,1,,,,636333313⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.8.如图30-8，ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E ，F 分别为边AB,BC 的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，连接EC ，并在某些点处标上字母，因为AE 平行于DC ，所以四边形AECD 为梯形，有AE:DC=1:2，所以:1:4AEG DCG S S ∆∆=, AGD ECG AEG DCG S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯,且有AGD ECG S S ∆∆=,所以:1:2AEG ADG S S ∆∆=,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG ：GD=1:2，同理FH ：HD=1:2．有AED AEG AGD S S S ∆∆∆=+,而111822AED ABCD S S ∆=⨯⨯=(平方厘米) 有EG:GD=:AEG AGB S S ∆∆,所以1612AEG AED S S ∆∆=⨯=+(平方厘米) 21212AGD AED S S ∆∆=⨯=+(平方厘米) 同理可得6HFC S ∆=(平方厘米), 12DCH S ∆=(平方厘米),44624DCG AEG S S ∆∆==⨯=(平方厘米)又GHD DCG DCH S S S ∆∆∆=-=24-12=12(平方厘米)所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24(平方厘米)，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48(平方厘米)．10．图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG ．设△AEG 的面积为x ，显然△EBG 、△BFG 、△FCG 的面积均为x ，则△ABF 的面积为3x ，120101002ABF S ∆=⨯⨯=即1003x =，那么正方形内空白部分的面积为40043x =. 所以原题中阴影部分面积为400800202033⨯-= (平方厘米)．12．如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的面积．【分析与解】 如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等．我们把左下图中的每一部分阴影称为A ，右下图中的每一部分阴影称为B ．大半圆的面积为13332A B ++小圆的面积219322ππ=⨯⨯=而小圆的面积为π，则9133223A B πππ⎛⎫+=-÷= ⎪⎝⎭， 原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A 、B 的面积和，即为5236πππ+=14.如图30-14，将长方形ABCD 绕顶点C 顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD 边扫过部分的面积．(π取3.14)【分析与解】 如下图所示，如下图所示，端点A 扫过的轨迹为AA A '''，端点D 扫过轨迹为DD D '''，而AD 之间的点，扫过的轨迹在以A 、D 轨迹，AD ，A D ''所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD 上某点扫过，所以AD 边扫过的图形为阴影部分．显然有阴影部分面积为A D C ACA ACD S S S S ''''∆∆+--直角扇形直角扇形CD D ,而直角三角形A D C ''、ACD 面积相等．所以=A D C ACA ACD ACA S S S S S S ''''''∆∆+---直角扇形直角扇形CD D 扇形扇形CD D222290909=(54)7.065()36036044AC CD ππππ-=-==平方厘米即AD 边扫过部分的面积为7．065平方厘米．。
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小学六年级下册数学奥数知识点讲解第1课《列方程解应用题》试题附答案
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第2课《关于取整计算》试题附答案
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六年级奥数下册：第二讲关于取整计算习题解答
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第3课《最短路线问题》试题附答案
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六年级奥数下册：第三讲最短路线问题习题解答
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第4课《奇妙的方格表》试题附答案
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小学六年级下册数学奥数知识点讲解第5课《巧求面积》试题附答案
六年级奥数下册：第五讲巧求面积习题解答
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第6课《最大与最小问题》试题附答案
答案。
小学数学奥数基础教程目30讲全
小学数学奥数基础教程目30讲全本章主要内容有：1.加法的拆分和组合：将一个数拆分成几个数相加，或将几个数相加得到一个数。
例如：7=4+3，或者2+5=72.减法的逆运算：从一个数中减去几个数，或者几个数相减得到一个数。
例如：9-4=5，或者8-3-2=33.两位数的加法和减法：对于加法，先将个位数相加，然后将十位数相加，最后将得到的个位数和十位数相加得到结果。
对于减法，先将个位数相减，如果不够减，则向十位借1，然后将十位数相减。
例如：57+23=80，或者65-38=274.三位数的加法和减法：与两位数的运算类似，只是需要将百位数也相加或相减。
例如：243+137=380，或者574-238=3365.数量的估算和比较：通过近似计算来估算一个数的大小，或者将两个数进行比较。
例如：估算52+38，可以先计算50+40，得到90；比较98和73，可以根据个位数进行比较，发现8比3大，因此98比73大。
6.乘法的基本性质：乘法满足交换律和结合律，即a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)。
例如：3*4=4*3=12，(2*3)*4=2*(3*4)=247.乘法的应用：求面积和周长。
例如，长为5米，宽为3米的矩形的面积为15平方米，周长为16米。
8.乘法表的学习：通过背诵乘法表，加深对乘法的理解和运用。
例如，背诵2的乘法表：2*1=2，2*2=4，2*3=6，依次类推。
9.除法的基本性质：除法满足除法的唯一性和传递性。
例如：如果a/b=c，那么a=b*c；如果a/b=c，b/d=e，那么a/d=c*e。
10.除法的应用：求长度和宽度。
例如，一个面积为12平方米，宽度为4米的矩形，求其长度为多少。
11.多位数的乘法和除法：与两位数的运算类似，只是需要将各位数分别相乘或相除。
例如，231*4=924，或者925/5=185通过学习以上内容，学生将对加法、减法、乘法和除法有更深入的理解和掌握。
同时，他们也可以运用所学知识解决实际问题，提高数学运算能力。
湖南四大名校内部资料工程问题(二)小学六年级数学奥数讲座共30讲含答案 学生用
小学数学奥数基础教程(六年级)工程问题（二）上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。
在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。
例1一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。
如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？例2一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后么还要几天才能完成？例3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。
如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。
问：甲、乙二人合做需多少天完成？例4 放满一个水池的水，若同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开2，3，4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。
问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？例5 某工程由一、二、三小队合干，需要8天完成；由二、三、四小队合干，需要10天完成；由一、四小队合干，需15天完成。
如果按一、二、三、四、一、二、三、四、……的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最后完成？例6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。
若按乙、丙、甲的顺序轮流件工作，要用多少天才能完成？练习51.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。
甲完成有多少个？需的时间相等。
问：甲、乙单独做各需多少天？3.加工一批零件，王师傅先做6时李师傅再做12时可完成，王师傅先做8时李师傅再做9时也可完成。
现在王师傅先做2时，剩下的两人合做，还需要多少小时？独修各需几天？5.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要10，12，15时。
4工程问题(一)小学六年级数学奥数讲座共30讲含答案_(4)
4工程问题(一)小学六年级数学奥数讲座共30讲含答案_(4)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（4工程问题(一)小学六年级数学奥数讲座共30讲含答案_(4)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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小学数学奥数基础教程（六年级)本教程共30讲第4讲工程问题（一） 顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题.其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量=工作效率×工作时间， 工作时间=工作量÷工作效率， 工作效率=工作量÷工作时间.工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可 工作效率指的是干工作的快慢,其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”,或“工作量/时”等.但在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。
例1单独干某项工程，甲队需100天完成,乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？ 分析与解:以全部工程量为单位1.甲队单独干需100天,甲的工作效 例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。
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小学数学奥数基础教程(六年级)
本教程共30讲 第13讲
立体图形（二）
本讲主要讲长方体和立方体的展开图，各个面的相对位置，提高同学
们的看图能力和空间想象能力。
例1 在下面的三个图中，有一个不是右面正四面体的展开图，请将
它找出来。
分析与解：观察四面体容易看出，每个顶点都是三个面的交点，即四
面体的每个顶点只与三个面相连，而在图2中，“中心点”与四个面相连，
所以图2不是正四面体的展开图。
例2 在下面的四个展开图中，哪一个是右图所示立方体的展开图？
分析与解：观察立方体图形，A，B，C三个面两两相邻，即三个面有
一个公共顶点。再看四个展开图，图1中A与C不相邻，是相对的两个面，
不合题意；图3中C与B是相对的两个面，也不合题意；图2、图4中A，
B，C三个面都相邻，还需进步判别。我们看下面的两个立方体图形：
这两个图虽然相似，但是A，B，C三个面的相对位置不同。
我们可以借助一个现成工具——右手，帮助判断三个面的相对位置。
伸出右手，让除大姆指外的四指从A向B弯曲，此时，左上图中C位于大
姆指指向的方向，右上图中C位于大姆指指向的相反方向。所以两个图A，
B，C三个面的相对位置不同。用这种方法判断三个面相对位置的方法称
为右手方法。（这也是建立空间坐标系的方法）。
用右手方法很容易判断出，图4是所求的展开图。
例3 右图是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒时，1 点与哪
些点重合？
分析与解：直接想象将展开图折叠成纸盒时的情景，也可以得到答案。
现在我们从另一个角度来分析。在左下图所示的立方体上观察8个顶点，
其中与A点不在一个
表面上的只有B点，也就是说，沿着表面走，这两个点的路程最远。
在展开图上，这两个点恰好是相邻两个小正方形所构成的长方形的对角线
上的两个端点。在上页右下图中，1，2，6点都距9点最远，也就是说，
1，2，6点都与9点不在一个表面上。而与9点不在一个表面上的只有一
个点，所以1，2，6点是同一个点，即折叠成纸盒时，1，2，6点重合。
例4 有两块六个面上分别写着1～6的相同的数字积木，摆放如下图。
在这两块积木中，相对两个面上的数字的乘积最小是多少？
分析与解：由两图看出，5与1，3，4，6都相邻，所以5的对面只
能是2；对右上图使用右手方法，四指由5向4弯曲，大姆指指向6，将
5，4，6的这个关系移到左上图，立刻得到1的对面是4，3的对面是6。
5×2＝10，1×4＝4，3×6＝18，
相对两个面上的数字的乘积最小是4。
例5 有五颗相同的骰子放成一排（如下图），五颗骰子底面的点数
之和是多少？
分析与解：五颗骰子有三颗露出了5，并且5和1，2，3，6相邻，
所以5的对面是4；2与1，3，5相邻，因为5与4相对，故2也与4相
邻，所以2的对面是6；剩下的1与3必相对。
五颗骰子底面的点数从左至右依次是4，6，3，1，4，其和为4＋6
＋3＋1＋4＝18。
例6 用一平面去截一个立方体，把立方体截成两个部分，截口是一
个矩形的。问：这两个部分各是几个面围成的？
分析与解：截的方法有多种，所以一定要分情况讨论。截口通过1
条棱是1种情况，截口通过2条棱是1种情况，截口不通过任何棱有2
种情况。所以共有下图所示的四种可能。
练习14
1.在下列各图中，哪些是正方体的展开图？
2.将左下图沿虚线折成一个立方体，它的相交于一个顶点处的三个面
上的数字之和的最大值是多少？最小值是多少？
3.有四枚相同的骰子，展开图如右上图（1）。问：在右上图（2）中，
从上往下数第二、三、四枚骰子的上顶面的点数之和是多少？
4.将一个立方体纸盒沿棱剪开，使之展开成右图所示的图形，一共要
剪开几条棱？
5.左下图是图（1）（2）（3）中哪个正方体的展开图？
6.在一个立方体的六个面上分别写有A，B，C，D，E五个字母，其中
两个面写有相同的字母。下图是它的三个视图。问：哪个字母被写了两遍？
7.右图中第1格内放着一个立方体木块，木块六个面上分别写着A，
B，C，D，E，F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对。如果将木块
沿着图中方格滚动，那么当木块滚动到第21个格时，木块向上的面写的
是哪个字母？
答案与提示 练习14
1.（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20）
共11个。
2.13；8。
提示：最大是6+4+3=13；最小是1+2+5=8。
3.12。
提示：用右手方法可得，第二、三、四枚骰子上顶面的点数依次为3，
6和1。
4.7条。
提示：每剪开一条棱，展开图的周长就会增加2条棱长。展开图的周
长是14条棱长，所以剪开了14÷2=7（条）棱。
注：沿棱剪，无论剪成哪种连通的展开图，都要剪开7条棱。也就是
说，无论哪种展开图，周长都等于14条棱长。
5.图（1）。
提示：图（2）正面有两个相连的阴影的正方形，展开图中找不到，
所以不是图（2）；图（3）正面与右侧面各有两个阴影正方形，这四个阴
影正方形没有相邻的边，而展开图中有两个阴影正方形的面，折叠后有两
个阴影正方形相邻，所以不是图（3）。
6.C。
解：假设C只写了一遍。因为C与A，B，D，E都相邻，所以被写了
两遍的字母在C的对面。与C相邻的四个字母的相互位置是确定的。图（2）
（3）都有D，C，用右手方法判断，图（2）与图（3）不符。这个矛盾的
出现，是因为假设C只写了一遍，所以C写了两遍。
7.A。
提示：木块沿直线滚动4格，与原来的状态相同，所以木块到第5，
9，13，17，21格时，与在第1格的状态相同。