02密克点在解题中的应用

２　中等数学　密克点在解题中的应用　叶中豪　（１．　海教育出版社，２０００３１　中图分类号：Ｏｌ２３．１　文献标识码：Ａ　（本讲适合高中）　１　知识介绍　命题如图１，直线ＡＦ、ＡＥ、ＢＦ、ＤＥ两两　相交成四个三角形，则这四个三角形的外接　圆通过同一点　．　图１　证明　如图１，设四条直线两两相交所　得的六个交点分别为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、　、Ｆ，且设　△ＡＢＦ的外接圆与△ＡＤＥ的外接圆的另一　交点为　，将　与六个交点连线．　由点　在△ＡＤＥ的外接圆和△ＡＢＦ的　外接圆上，分别知　ＤＥＭ＝　ＭＡＤ＝　ＭＢＦ．　这表明，　、Ｃ、　、Ｅ四点共圆，即点　在　△ＢＣＥ的外接圆上．　类似地，点　也在△ＤＣＦ的外接圆上．　从而，四个三角形的外接圆均通过点Ｍ．　提出这一结论的是英国几何学家密克　（Ａ．Ｍｉｑｕｅ１）．　收稿口期：２０１４—１２—０８　卢业照　２．安徽合肥一六八中学，２３００００）　文章编号：１００５—６４１６（２０１５）０１—０００２—０５　

四条直线两两相交于六点，此图形称为　完全四边形．　每个完全四边形共有四条边和六个顶　点，不共边的两个顶点称为对顶点，其连线称　为对角线，三条对角线交成的三角形称为对　角三角形．　将　称为上述完全四边形的密克点．　如图２，在△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上各取一　点Ｅ、Ｆ，设△ＡＢＣ的外接圆与经过　、　、，三　点的圆交于４、　两点．联结ＭＥ、ＭＦ．则由　ＡＢＭ＝　ＡＣＭ，／ＡＥＭ＝　ＡＦＭ．　得△ＭＢＥ∽△ＭＣＦ．　①　

２　图２可看作完全四边形及其密克点的等　

价构造．　设　与ＢＣ的延长线交于点Ｄ，则Ｄ即　为完全四边形的第六个顶点，而　正是该完　全四边形的密克点．　由式①亦可反推点　同时在△ＡＢＣ的　外接网及△ＡＥＦ的外接圆上．　这一基本图形在解几何题中具有比较广　２０１５年第１期　３　泛的应用．　２应用举例　例１　已知动点Ｅ、Ｆ分别在△ＡＢＣ的　边Ａ　、ＡＣ＿Ｌ，且　ＢＥ为，定值证明：／￣ＡＥＦ的　

外接圆过定点．　证明如图３，在　△ＡＢＣ的外接圆上　取一点　，使得　ＭＢ　ＢＥ　ＭＣ—ＣＦ’　

联结ＭＢ、ＭＣ．　又　ＭＢＡ　＝　ＭＣＡ．　

△朋Ｆ∽△ＰＣＥ　：　ＡＦＰ：／ＡＥＰ．　这表明，Ａ、Ｐ、Ｅ、Ｆ四点共圆．　又易知Ａ，为所共圆的直径，根据直径所　对网周角为直角，知　ＡＮ＝９０。．　例３　如图　

图３　则△ＭＢＥ∽△ＭＣＦ　ｊ　ＥＭＦ＝／ＢＭＣ＝　Ａ　＝＝＞Ａ、Ｍ、Ｅ、Ｆ四点共圆．　故△ＡＥＦ的外接圆始终经过定点　例２如图４，已知，为△ＡＢＣ的内心，　，Ｄ上ＢＣ于点Ｄ，Ａ，与△ＡＢＣ的外接圆交于　点Ｓ，延长ＳＤ，与外接圆交于点Ｐ．证明：　／ＡＰＩ：９０￣．　

图４　证明如图４，作饱＿ｌ’ＡＣ于点Ｅ，　上　

ＡＢ于点　联结ＰＢ、ＰＣ、ＰＥ、ＰＦ．　易知，ＰＳ平分　ＢＰＣ．　在△ＰＢＣ中，由角平分线定理得　丝＝　：　且　：ＡＣＰ　ＰＣ　ＣＤ　ＣＥ’　＿Ｌ　—一…　

Ｃ　ＤＦ上ＡＣ．证明：Ｅ、　、Ｆ三点共线．　证明如图６，延长ＭＨ，与△ＡＢＣ的外　接圆交于点Ｐ、Ｑ．　

图６　Ｉｔｌ／ｋ　ＰＥＢ　ｏ９／ｋ　ＰＦＣ　＝　．　

由Ｊｓ△删＝Ｊｓ　口　＝　．　又四边形ＨＢＱＣ为平行四边形，则　ＱＢ＝ＣＨ．ＱＣ＝ＢＨ．　故　ＢＥ：　ＢＨ，Ｈ．￣ＡＢＨ＝Ｚ　ＡＣＨ　

△ＢＥＨ∽△ＣＦＨ　ｊ　ＡＥＨ＝　ＡＦＨ．　若点Ｅ、Ｈ、Ｆ不共线．则由四边形ＡＥＤＦ　４　中等数学　的对称性，知点　在角平分线ＡＴ上．　从而，△ＡＢＣ必为等腰三角形，与已知　条件矛盾．　因此，只可能是Ｅ、　、Ｆ三点共线．　例４如图７，在△ＡＢＣ中，已知Ｅ、Ｆ分　别为边ＡＣ、ＡＢ上的任意点，０、０　分别为　ＡＡＢＣ、△ＡＥＦ的外心，Ｐ、Ｑ分别为线段　Ｅ、　上的　俩￣足　ＢＰ＝　＝器．证明：　

００ｆ　ＰＱ．　

７　证明如图７，分别作出△ＡＢＣ、△ＡＥＦ　的外接圆ｏ０、ｏ０　，设两圆交于另一点　联结ＡＭ、ＢＭ、ＣＭ、ＥＭ、ＦＭ．另在线段ＢＣ上　取一点Ｒ，使得袱ｆｆＡＣ，联结ＱＲ．　由　∥ＡＣ　：　＝　ＢＦ２　

ｊ　ＲＰ＝　Ｆ２．ＣＥ　Ｂ　４－ＣＥ２’　

又　＝　＝塑ｊ　ＱＲｆｆＡＢＰＥ　ＲＣ　．入ｐＣ～　一　一　’　

类似地，ＲＱ＝　ＣＥ　．ＢＦ　Ｂ　＋ＣＥ　’　

于是，篙＝　．　①　

由　ＡＢＭ＝／ＡＣＭ，　ＡＦＭ＝　ＡＥＭ　Ａ　ＭＢＦ∽△ＭＣＥ　

：　②　——～一　Ｉ…　ＭＣ　ＣＥ‘　由式①、②得　＝　，且　９＝　ＢＡＣ＝　ＢＭＣ．　则△ＲＰＱ∽△ＭＢＣ　ｐ＝　ＭＢＣ：　ＭＡＣ．　已知ＰＲ＃ＡＣ，于是，ＰＱ，／／ＡＭ．　而ＡＭ为ｏ０与ｏ０　的公共弦，故　００　上ＡＭ．　于是，００　上ＰＱ．　例５　如图８，　、Ⅳ分别为锐角△ＡＢＣ　

的外接圆上劣弧ＡＣ、ＡＢ的中点，过点　作ＭＮ　的平行线，与外接圆交于点Ａ　，，为Ａ　ＡＢＣ　的内心，４　，的延长线与外接网交于点Ｐ．设　△ＧＡＢ、Ａ　ＧＡＣ的内心分别为，Ｉ、，２．证明：　（１）ＭＡ　·ＭＰ＝ＮＡ　·ⅣＰ；　（２）Ｐ、Ｇ、，Ｉ、，２四点共圆．　（２００９，全国高中数学联合竞赛）　

４　

８　证明　如图８．　（１）由内心性质知　ＮＡ＝ＮＩ＝ＮＩ１，ＭＡ＝ＭＩ＝　．　由此Ａ　ＡＭＮ　Ａ　ＩＭＮ．　又Ａ　ＡＭＮ　△Ａ　ＮＭ，这表明，四边形　Ａ　ＭＩＮ为平行四边形．　２０１５年第１期　５　则Ａ　Ｐ经过ＭＮ的中点Ｌ．　故Ｓ△Ｍ仰：Ｓ△　Ｐ　１　ＭＡｔ·ＭＰ　ｎ　Ａ　ＭＰ　

１　＝　ＮＡ　·ＮＰｓｉｎ　Ａ　ＮＰ　

ｊ　ＭＡ　－ＭＰ＝ＮＡ　·ＮＰ．　（２）为证Ｐ、Ｇ、，ｌ、，　四点共圆，只需证　△ＰＮＩＩ∽△ＰＭＩ２．　而易知　ＰＮＧ＝　ＰＭＧ，且　ＮＰ　ＭＡ，　ＮＩｌ　ＭＰ—ＮＡ　一Ｍｌ２‘　

故△ＰＮＩＩ∽△ＰＭＩ２　ＰＩ．Ｇ＝　Ｇ　Ｐ、Ｇ、，ｌ、，２四点共圆．　例６　如图９，已知点Ｅ、Ｆ分别在ＡＡＢＣ　的边ＡＣ、ＡＢ上，且　ＢＥＣ＝　ＢＦＣ，ＢＥ与　ＣＦ交于点Ｄ，△ＡＥＦ的外接圆与△ＡＢＣ的　外接圆的另一个交点为Ｍ．证明：ＡＭ上ＭＤ．　

图９　证明辅助线如图９．　由　ＡＭＣ＝　ＡＢＣ＝　ＡＥＦ　＝１８０。一　ＡＭＦ．　知　为　ＦＭＣ的外角平分线．　注意到，Ａ　ＭＢＦ　ｃ／）Ａ　ＭＣＥ　ＢＦ＝　ＭＦ

￣Ａ　ＭＢＣ　ｃ／ｇＡ　ＭＦＥ　＝　．　由共边原理知　ＦＤ　ＳＡＢＦＥ　ＥＦ－ＢＦ　ＭＦ　ＤＣ　Ｓ八日ｃＥ　ＢＣ·ＣＥ　ＭＣ‘　这表明，ＭＤ为　ＦＭＣ的平分线．　由上即得ＡＭ－ｌ＿ＤＭ．　例７如图１０，设Ｄ为Ａ　ＡＢＣ的外接圆　，上任意一点，自Ｄ作内切圆的两条切线，　分别与边ＢＣ交于点　、Ⅳ，　为弧ＢＡＣ的中　点，，为△ＡＢＣ的内心，延长＂，与网厂交于　另一点Ｐ．证明：Ｄ、　、Ｎ、Ｐ四点共圆．　７１　图１Ｏ　证明如图１０，延长ＤＮ、ＤＭ，分别与圆　，交于点Ｅ、Ｆ．　由彭赛列（Ｐｏｎｃｅｌｅｔ）闭合定理，知直线　也一定与ＡＡＢＣ的内切圆相切．　延长　、仃，分另０与圆厂交于点Ｉ／、　１　１　则　ＩＭＮ＝÷　ＦＭＮ＝÷　ＴＯＶ＝　二　二　类似地，　ＩＮＭ＝　眦　因此，Ａ　ＩＭＮ∽△ＴＵＶ．　要证明△Ｐ　∽△ＰＦＭ，注意到，　ＦＭ　ＳＡｌＦＭ　ＩＦ·ＩＭ　ＥＮ　ｓＮＥＮ　ｌＥ·ｌＮ　Ｓ～ＦＴｌ　ＳＡＦＴＰ　ＴＦ·ＦＰ　ｓ　Ｓ　ＴＰ　ＴＥ－ＥＰ’　又△ＴＵＶ∽△ＩＭＮ，则　６　中等数学　ＩＭ　ＴＵ　ｓｉｎ　ＴｖＵ　ｓｉｎ　ＴＦＩ　｜Ｎ—Ｔｖ—ｓｉｎ　ＴＵＶ　

Ｓ　ＦＴｌ　Ｓ△　＂　

ｓｉｎ　ＴＥＩ　ＴＦ·ＩＦ　ｎ　ＴＦＩ　ＴＥ·ＩＥｓｉｎ　ＴＥｌ‘　

由以上各式得　

＝　ＦＰ，＿￣Ｚ　ＰＦＤ＝Ｚ　ＰＥＤ　

：　Ａ　ＰＥＮ∽△ｐＦＭ　ＰＮＤ＝　ＰＭＤ　Ｄ、Ｍ、Ｎ、Ｐ四点共圆．　

练习题　１．分别在△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上截取ＢＥ　＝ＣＦ．证明：线段　的中垂线经过定点．　提示：记ＥＦ的中垂线与ＡＡＢＣ的外接　圆交于点Ⅳ．易知Ａ　ＮＢＥ—Ｇ，Ｏ△ＮＣＦ，得ＮＥ＝　ⅣＦ．由此知ＥＦ的中垂线始终经过定点Ⅳ．　２．已知Ｍ为劣弧ＡＣ的中点，　为弧ＡＭ　上任意一点，作ＭＤ上ＢＣ于点Ｄ．证明：　１　’　ＢＤ＝　ｉｔ（ＢＣ—ＡＢ）．　提示：作ＭＥ上ＡＢ于点Ｅ．　由Ｒｔ　Ａ　ＭＡＥ　Ｒｔ△ＭＣＤ　ＡＥ＝ＣＤ．　由Ｒｔ△ＭＢＥ　Ｒｔ△ＭＢＤ　ＢＤ＝ＢＥ．　故ＣＤ：ＡＥ＝ＡＢ＋ＢＥ＝ＡＢ＋　Ｄ．　移项即得结论．　３．自ｏ　０外一点Ｐ作ｏ　０的两条切线　ＰＤ及割线ＰＢＣ，作ＡＥ上ＢＣ于点Ｅ，直　线ＤＥ与ｏ　０交于另一点　，　为△ＡＢＣ的　垂心．证明：　ＡＦＨ＝９０。．　提示：作高ＢＭ、ＣＮ．　由△ＰＡＢ∽△ＰＣＡ，ＡＰＢＤ　Ｃ／）△ＰＤＣ，　ＡＡＭＮ∽△ＡＢＣ及塞瓦定理得　△ＦＢＮ　ＣＯＡＦＣＭ．　于是，　ＡⅣＦ＝　ＡＭＦ．　由此得Ｆ、４、Ｍ、Ⅳ四点共网，即Ｆ、　、　、　Ⅳ、　五点共网，而ＡＨ为此网直径，故　／ＡＦＨ＝９０￣．　４．设　为锐角Ａ　ＡＢＣ的垂心，Ｄ为边　ＢＣ的中点，过点　的直线分别与边ＡＢ、　ＡＣ交于点Ｆ、Ｅ，使得４Ｅ＝ＡＦ，射线ＤＨ与　△ＡＢＣ的外接圆交于点Ｐ．证明：Ｐ、Ａ、Ｅ、Ｆ四　点共圆．　（２００９，中国西部数学奥林匹克）　提示：构造ＥＴＨＢＱＣ，易知点Ｑ必在外接　圆上．　￣Ａ　ＢＦＨ　ｃ，ｏＡ　ＣＥＨ　ＢＦ＝　＝器．　由｜ｓ　Ｑ＝ＳＡＰＣＱ　器＝　．　故△脚∽△ＰＣＥ　４　＝　ＡＥＰ　Ｐ、Ａ、Ｅ、Ｆ四点共圆．　５．已知非等腰锐角△ＡＢＣ的两条高线　ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ，ＢＣ与ＦＥ交于点Ｋ，　上　证明：　过ＢＣ的中点　提示：如图１　１，只需证Ｄ、Ｅ、Ｆ、　四点共　圆，该圆即为Ａ　ＡＢＣ的九点圆．因此，Ｍ为　日Ｃ的中点．　Ａ　

６．如图　１２，Ｅ、Ｆ分别　在Ｒｔ　Ａ　ＡＢＣ　的直角边ＡＣ、　ＡＢ　。ＢＥ与Ｂ　

ＣＦ交于点Ｄ，　

图１ｌ　

图１２　Ｃ　△ＡＥＦ的外接网ｏ　与△ＡＢＣ的外接圆６）０　交于点Ｐ．证明：ＡＰ上ＰＤ．　（下转第１２页）