第5章 线性系统的频域分析法(续)(《自动控制原理》课件)
第五章线性系统的频域分析法2
第5章线性系统的频域分析法Frequency-response analysis5.1频率特性及其表示法幅相曲线对数频率特性曲线5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制5.3典型环节的幅相曲线的绘制5.4稳定裕度和判据5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制5.2.5最小相位系统与非最小相位系统Minimum phase systems and non-minimum phase systems在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数，称为最小相位传递函数；反之，在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数，称为非最小相位传递函数。
具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统，反之，具有非最小相位传递函数的系统，称为非最小相位系统。
在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。
任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围。
对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。
对于非最小相位系统则不是这种情况。
作为例子，考虑下列两个系统，它们的特性频率分别为：1111)(T j T j j G ωωω++=，1120,11)(T T T j Tj j G <<+-=ωωωσσ图5-18最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图如前所述，对于最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系。
这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然。
这个结论对于非最小相位系统不成立。
Bode DiagramFrequency (rad/sec)P h a s e (d e g )M a g n i t u d e (d B )10-210-110101102图5-19)()(11s G s G 和的相角特性)(1ωj G )(2ωj G10101010102图5-19)()(11s G s G 和的相角特性对于最小相位系统，相角在∞=ω时变为dec dB m n /)(90-︒-，n 为极点数，m 为零点数。
自动控制原理第五章频域分析
() 90
23
Bode图
dB
10 0
10 0.1
20
( )
0
45 0.1
90
1 10 TT
1 10
20dB / dec
1 10
极坐标图
G( j )
1
e jtg1T
2T 2 1
24
5. 一阶微分环节 G j 1 jT
l 幅频： 20lg A 20lg 1 2T 2
1 jT
a) <<1/T
20lg A 20lg1 0(dB)
b) >>1/T
20lg A 20lgT(dB)
c) =1/T —— 转折频率
21
误差（实际曲线与折线）
1) 最大误差在转折频率处( =1/T)
20lg A 1 20lg 2 3.01(dB) T
2）在 处0.1
T
入量之比（正弦传递函数）。
4
<引例>分析一阶RC网络的频率特性
输入 ui t Um sint
U o
U i
1/ jC R 1/ jC
1
U i
jRC
U i
1 (RC)2
tg1RC
U o U i
1
1
jRC
G( j )
A( )e j ( )
5
幅值比 相位差
U o U i
A( )
1
1 (RC )2
幅频特性误差修正曲线
20lg A 0.1 20lg 1 0.01 0.043(dB) 0(dB)
T
3）在 处10
T
20lg A 10 20lg 1 100 20.043(dB) 20(dB) T
自动控制原理-第5章新系统频域分析
第5章 控制系统的频域分析时域分析法具有直观、准确的优点，主要用于分析线性系统的过渡过程。
如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。
然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。
而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不容易实现。
本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。
频域法是通过分析不同谐波的输入时系统的稳态响应，故又称为频率响应法。
利用此方法，将传递函数从复域引到具有明确物理概念的频域来分析系统的特性。
频率分析的优点较多。
首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。
其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。
因而可以根据频率特性曲线的形状去确定系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求，并且可以同时确定系统工作的频率范围。
此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。
这对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，采用频率特性可以较方便地解决此类问题。
因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。
控制系统的时域分析法和频域分析法，作为经典控制理论的两个重要组成部分，既相互渗透，又相互补充，在控制理论中占有重要地位。
频率特性具有较强的直观性和明确的物理意义，可用实验的方法测量系统的频率响应，因此，频率特性分析的方法在控制工程中广泛应用。
频率特性的定义是以输入信号为谐波信号给出的。
当输入信号为周期信号时，可将其分解为叠加的频谱离散的谐波信号；当输入信号为非周期信号时，可将非周期信号看成周期为无穷大的周期信号，因此，非周期信号分解为叠加的频谱连续的谐波信号。
这样一来，就可用关于系统对不同频率的谐波信号的响应特性研究，取代关于系统对任何信号的响应特性的研究。
5.1频率特性概述5.1.1频率特性的基本概念1频率响应：线性定常控制系统或元件对正弦输入信号（或谐波信号）的稳态正弦输出响应称为频率响应。
西工大、西交大自动控制原理 第五章 线性系统的频域分析法__02_开环幅相频率特性曲线
1
1 开环幅相曲线的绘制方法
描点法 特殊点绘制概略曲线
2 概略开环幅相曲线的规律
起点、终点、交点、凹凸
3 开环幅相曲线与系统性能
稳定性 稳态误差
2 特殊点法 利用典型环节幅相曲线特点绘制概略开环幅相 曲线
二、概略开环幅相曲线的一般规律
规律1 开环幅相曲线的起点 ( 0)
当
0时，
Gk
(
j )
(
K
j )
开环幅相曲线的起点由开环增益和积分环节个数决定。
① 当 0 时，Gk ( j ) K0
开环幅相曲线起始于实轴上一点 ；
②
当 0时，
K
Q( ) Im[ Gk ( j )] 0
() (2k 1)
P( ) Re[Gk ( j )] 0
( ) 2k
2
二、概略开环幅相曲线的一般规律
规律3 开环幅相曲线与实、虚轴的交点
Gk ( j )
K
j( jT1 1)( jT2 1)
相频特性
( x
)
0
2
arctanT1 x
arctanT2 x
Gk ( j0) ( j )
0 (90 )
开环幅相曲线起始于无穷远处。
二、概略开环幅相曲线的一般规律
规律1 开环幅相曲线的起点 ( 0)
不同型别下开环幅相曲线起点
Gk
(
j )
(
j )
(
jT1
K 1)(
jT2
1)
j
(K ,T1,T2 0)
2
-1
K
0
1
二、概略开环幅相曲线的一般规律
K
j( jT1 1)
(K ,T1 0)
第五章 线性系统的频域分析法-5-2——【南航 自动控制原理】
)2
A(0) 1 (0) 0
G(jn )
A() 0 () 180
j
G(j0)
●
0
G(jn )
共振点
G( jn ) (n ) 0 G( jn ) (n ) 180
变化趋势 0 n () 0 , A() :1
n () 180 , A() : 0
零阻尼振荡环节在自然振荡频率处，相角突变180°。
A()
谐振现象是振荡系统的 特性，谐振频率 r 与系 统固有频率 n 和阻尼比
有关。当谐振频率等于
频率响应峰值
Mr 1/ (2 1 2 )
阶跃响应超调
p exp( / 1 2 )
固有频率时，则发生共振。
共振的危害巨大。
当阻尼比较小，且系统谐振频率处于输入信号的
频率范围时，系统输出会出现很大的振荡，影响系
5.2 典型环节与开环系统的频率特性
环节是系统的基本组成单元。將环节进行分类形成 典型环节。典型环节的频率特性是开环系统频率特性 的分解，而开环系统频率特性是闭环系统分析与设计 的基础。
一、典型环节的频率特性
1.典型环节的分类
环节：系统增益、零点或极点对应的因式
分类：按照增益的正负性、零点或极点的位置（实数 或复数、位于左半平面或右半平面）进行划分，共分 为最小相位、非最小相位两大类、12种典型环节。
设互为倒数的典型环节频率特性为
G1(j)=A1()e j1() G2 (j) =A2 ()e j2 ()
则由 G1(s) 1/ G2 (s) 得
A1()e j1 ( ) =A21()e j2 ( )
L1() L2 ()
互为倒数典型环节的对数相频曲线关于0°线对称， 对数幅频曲线关于0dB线对称。
自动控制原理 第五章 频率特性) ppt课件
系统微分方程的全解＝齐次通解+稳态特解 稳态特解就是稳态分量，即频率特性定义中要用到的量。
2019/11/12
PPT课件
19
19
（5）频率特性的求取
① 根据定义求取 对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态
数给定了，则系统的频率特性也完全确定。
② 系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率 当输入量频率改变，则输出、输入量的幅值之比A（）和
它们的相位移（）也随之改变。所以 A（）和（）都是 的函数。这是由于系统中的储能元件引起的。
2019/11/12
PPT课件
18
18
③ 频率特性是一种稳态响应，但表示的是系统动态特性 频率特性是在系统稳定的前提下求得的，对于不稳定系统则
b() d ()
2019/11/12
关于ω的奇PP次T课件幂多项式
13
13
G( j) arc tan( b ) arc tan( d )
a
c
G( j) arc tan( bc ad )
ac bd
tan(a b) tan a tan b 1 tan a tan b
uo
t t
8
8
RC网络的输入与输出的关系为：
T
duo dt
uo
ui
式中，T RC ，为时间常数。取拉氏变换并代入初始条件得
1
1 A
Uo (s)
Ts
1[Ui (s)
Tuo0
]
Ts[ 1s源自22 Tuo0
]
拉氏反变换得
自动控制原理第五章线性系统的频域分析
第五章 线性系统的频域分析例5-1 已知一控制系统结构图如图5-1所示，当输入r (t ) = 2sin t 时，测得输出c (t )=4sin(t -45︒)，试确定系统的参数ξ ，ωn 。
图5-1 系统结构图解：系统闭环传递函数为222()2nn ns s s ωΦξωω=++ 系统幅频特性为2()j Φω相频特性为222arctan)(ωωωξωωϕ--=nn由题设条件知c (t ) = 4sin( t -45︒) =2 A (1) sin(t + ϕ(1)) 即122222224)()1(=+-=ωωωξωωωnnnA 24)1(22222=+-=nnnωξωω1222arctan)1(=--=ωωωωξωϕn n ︒-=--=4512arctan2n nωξω整理得]4)1[(422224n n n ωξωω+-= 122-=n n ωξω解得 1.244n ω=，0.22ζ=例5-2 已知系统传递函数为)5.0)(2()52(10)(2-++-=s s s s s G ，试绘制系统的概略幅相特性曲线。
解：（1）传递函数按典型环节分解)15.0)(12()1)5(51251(50)(2+-++--=s s s s s G（2）计算起点和终点50)(lim 0-=→ωωj G ，10)(lim =∞→ωωj G相角变化范围：不稳定比例环节-50：-180︒ ~ -180︒；惯性环节1/(0.2s +1)：0︒~ -90︒；不稳定惯性环节1/(-2s +1)：0︒~ +90︒；不稳定二阶微分环节0.2s 2-0.4s +1：0︒~ -180︒（3）计算与实轴的交点22222)5.1()1()5.11)(25(10)(ωωωωωωω++-----=j j j G2222222)5.1()1()]5.35.5(3)1)(5([10ωωωωωωω+++-+++--=j（4） 确定变化趋势 根据G (j ω)的表达式，当ω <ωx 时，I m [G (j ω)] < 0；当ω >ωx 时，I m [G (j ω)] > 0。
线性系统的频域分析_自动控制原理
X G(-j )X d 1 G(s) 2 (s j ) S -j 2 2j s X G(j )X d 2 G(s) 2 (s - j ) S j 2 2j s G(j ) | G(j ) | e j G(-j ) | G(-j ) | e - j | G(j ) || G(-j ) |
第五章 线性系统的频域分析 §1 频率响应及其描述
一．频率特性 1.频率特性的基本概念 a.RC网络
右图所示的RC 网络的微分方程为
0 T dU dt U 0 U i
R UI C U0
式中
T RC 则
U 0 (S) U i (S)
1 TS 1
设 U i Asin t U 0 (S)
说明: 1.在稳态求出的输出信号 与输入信号的幅值比是 的非 线性函数, 称为幅频特性 Y/X | j ) | 2.输出信号与输入信号的 相位差是的非线性函数 ,称 为相频特性 .它描述在稳态情况下 ,当系统输入不同频率 的谐波信号时 , 其相位产生超前 ( 0 )或滞后( 0 )的 特性. 3.幅频特性和相频特性总 称为频率特性 , 记为 G(j ) G(j ) e jG(j ) 4.频率特性的求取 G(j ) G(s) s j
X(t) xsint Y(S)
B( s ) x ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) (s j )(s - j ) d1 d2 c1 cn s j s j s s1 s sn
y(t) d1e - jt d 2e jt c1e s1t c n e sn t 对于稳定系统 ,由于极点S1 , S2 , , Sn都有负实部 , 所以当t 时 y ss ( t ) d1e jt d 2e jt
《自动化控制原理》第五章频率域方法
通过对数幅频特性和相频特性曲线来判断系统的稳定性。若 系统开环传递函数的幅频特性曲线在穿越频率处的斜率小于20dB/dec，且相频特性曲线在穿越频率处的相位滞后小于 180°，则闭环系统稳定。
稳定裕度的计算与分析
幅值裕度和相位裕度
幅值裕度是指系统开环幅频特性曲线在穿越频率处的幅值与实际幅值之差；相位裕度是指 系统开环相频特性曲线在穿越频率处的相位滞后与180°之差。
根据描述系统性能的不同方面，可分为幅值指标、相位指标、稳定性指 标和动态性能指标等。
在控制系统的 频率域分析中 ，用于描述系 统性能的一系 列量化指标。
频率域性能指 标的分类
频率域性能指 标的定义
频率域性能指标的优化设计方法
基于Bode图的优化设计方 法
通过绘制控制系统的Bode图，分析系统的幅 值裕度、相位裕度等性能指标，进而调整系 统参数进行优化设计。
频率域方法与时间域方法的比较
研究对象
时间域方法主要研究系统的时域响应特性，而频率域方法则关注系 统的频域响应特性。
分析方法
时间域方法通过求解微分方程或差分方程来分析系统性能，而频率 域方法则通过傅里叶变换将时域信号转换为频域信号进行分析。
适用场景
时间域方法适用于简单系统和初始条件已知的情况，而频率域方法更 适用于复杂系统和初始条件未知的情况。
控制系统的频率域设计方法
Bode图法
Nyquist图法
利用Bode图进行系统设计的方法，通过调 整系统参数使Bode图满足性能指标要求。
基于Nyquist稳定判据进行系统设计的方法 ，通过绘制Nyquist曲线判断系统的稳定性 。
根轨迹法
校正网络设计
在频率域中分析根轨迹的方法，通过调整 系统参数改变根轨迹的形状，从而满足性 能指标要求。
自动控制原理 第五章 控制系统的频域分析法
则
uos (t) = A ⋅ A(ω)sin[ω t + ϕ(ω)]
(5.2)
结论：
(1) 稳态解与输入信号为同一频率的正弦量；
(2) 当ω 从 0 向∞变化时，其幅值之比 A(ω) 和相位差ϕ(ω) 也将随之变化，其变化规
律由系统的固有参数 RC 决定； (3) 系统稳态解的幅值之比 A(ω) 是ω 的函数，其比值为
三角函数形式： G( jω) = A(ω)[cosϕ(ω) + jsinϕ(ω)] 。
式中 A(ω) = G( jω) 是幅值比，为ω 的函数，称为幅频特性；
ϕ(ω) = ∠G( jω) 是相位差，为ω 的函数，称为相频特性； U (ω) 是 G( jω) 的实部，为ω 的函数，称为实频特性； V (ω) 是 G( jω) 的虚部，为ω 的函数，称为虚频特性。
s + p1 s + p2
s + pn s + jω s − jω
∑n
=
Ci
+
B
+
D
i=1 s + pi s + jω s − jω
(5.4)
式中 Ci , B , D 均为待定系数。
将(5.4)式进行拉氏反变换，得系统的输出响应为
n
∑ c(t) = Cie− pi t + (Be− jω t + Dejω t ) = ct (t) + cs (t) i =1
C( jω) = G( jω)R( jω)
因而，得
G( jω) = C( jω) R( jω)
(5.11)
事实上，当ω 从 0 向∞变化时， G( jω) 将对不同的ω 作出反映，这种反映是由系统自