高一上期末数学试卷12含答案解析
河南省郑州中学2024届高一上数学期末复习检测试题含解析
19．已知函数
f
x
a 3x 1 3x 1
（1）当 a 1时，解方程 lg f 2x lg f x 1 lg16 ；
（1）用“五点法”做出函数 f x 在 x 0, 2 上的简图；
（2）若方程
f
x
a在
x
2 3
,
5 6
上有两个实根，求
a
的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D
【解题分析】利用分段函数在 R 上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.
A.
1 3
,1
B.
,
1 3
1,
C.
1 3
,
1 3
D.
,
1 3
1 3
,
7．下面四个不等式中不正确的为
A. sin 1 1 15 15
B. 20.9 0.92
C.
ln
1 2
log3
1 2
D. 20.3 0.30.2
8．函数 f (x) 2 tan( x 3) 的最小正周期为 2
【解题分析】设函数 y x2 4x 3 ，求出 x [0, 4]时 y 的取值范围，再根据 a [2, 2]讨论 a 的取值范围，判断 f x
是否能取得最大值 3 ,从而求出对应的概率值
【题目详解】在区间 2, 2 上任取一个数 a ，基本事件空间对应区间的长度是 4 ， 由 y x2 4x 3 x 22 1, x [0，4] ，得 y [1,3] ，
河南省信阳市2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测数学试题（答案在最后）本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}29A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B ⋂等于（）A.[]3,3- B.[0,3]C.(0,3]D.[)3,+∞2.若sin tan 0αα>，且cos tan 0αα<，则角α是（）A .第一象限角B.第二象限角C .第三象限角D.第四象限角3.函数()lg 2f x x x =+-的零点所在区间为（）A.()3,4 B.()2,3 C.()1,2 D.()0,14.函数()e ex xxf x -=+的部分图象大致为（）A. B.C.D.5.已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（）A.a c b>> B.a b c>> C.c a b>> D.b c a>>6.已知0,0x y <<，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（）A.1B.2C.2D.227.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.037,lg20.3010,lg30.4771≈≈≈A.2024年B.2023年C.2026年D.2025年8.已知2)()log (2xg x a -=+，若对于任意1212x x <<<，都有1212()()2g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A .[0,)+∞ B.1[,)8-+∞ C.1[,)4-+∞ D.1[,)2-+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数()e xf x -=-与()e xg x =的图象关于原点对称B.函数()1(0x f x aa -=>，且1)a ≠恒过定点()0,1C.已知命题2:0,10p x x x ∃>-+<，则p 的否定为：20,10x x x ∀>-+≥D.0x >是3x >的充分不必要条件10.下列化简正确的是（）A.sin(2024π)sin αα-=- B.tan(2025π)tan αα-=C.11πsin()cos 2αα+=- D.7πcos()sin 2αα-=11.已知函数(2)1,0,(),0,aa x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩则以下说法正确的是（）A.若1a =-，则()f x 是(0,)+∞上的减函数B.若0a =，则()f x 有最小值C.若12a =，则()f x 的值域为(0,)+∞D.若3a =，则存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，则（）A.()()ff x 是偶函数B.()()f g x 是奇函数C.()()g g x 在[)0,∞+上单调递增D.()()g f x 在[)0,∞+上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13.若扇形的半径为2，面积为4π3，则扇形的周长为________．14.函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减，则a 的范围为________.15.已知()y f x =是偶函数，当0x <时，()2f x x ax =+，且()33f =，则=a __________.16.已知()1e xf x x=-的零点为0x ，若000e ln 2xx x m +>，则整数m 的最大值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算､求值：（1）32log 2335lg 2lg23lg0.01lne 272++-++；（2）112519sin cos tan 634πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.已知幂函数()()26mf x m m x =-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式；（2）若()()822f a f a -<+，求a 的取值范围．19.已知函数()22log log 42x x f x =.（1）当[]2,8x ∈时，求该函数()f x 的值域；（2）若不等式()2log f x m x ≥在[]4,16x ∈上有解，求m 的取值范围.20.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？21.设sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根（1）求a 的值；（2）求33cos sin 22θθππ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（3）求()1tan tan θθπ--的值.22.已知定义域为R 的函数()122xx b f x a+-=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值；（2）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围．2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测数学试题本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}29A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B ⋂等于（）A.[]3,3- B.[0,3]C.(0,3] D.[)3,+∞【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，求出函数的定义域化简集合B ，再利用交集的定义求解即得.【详解】由29x ≤，得33x -≤≤，则[3,3]A =-，函数2log y x =有意义，得0x >，则(0,)B =+∞，所以(0,3]A B = .故选：C2.若sin tan 0αα>，且cos tan 0αα<，则角α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式变形得sin 0,cos 0αα<>，再求出角α所在象限.【详解】由sin tan 0αα>，cos tan 0αα<，得2sin 0cos αα>，sin 0α<，因此sin 0,cos 0αα<>，所以角α是第四象限角.故选：D3.函数()lg 2f x x x =+-的零点所在区间为（）A.()3,4 B.()2,3 C.()1,2 D.()0,1【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理和单调性即可求解.【详解】函数()()1lg11210,2lg222lg20f f =+-=-=+-=.又()f x 为单调增函数，所以()f x 有唯一零点，且在区间()1,2内.故选：C.4.函数()e e x xxf x -=+的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由函数的奇偶性及特殊点即可判定.【详解】由于()e e x x x f x -=+，x R ∈，()()e ex xxf x f x ---==-+，故()f x 为奇函数，图象应关于原点中心对称，故排除B 和C ；又因为11(1)1e e f -=<+，故排除D 项，故选：A.5.已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（）A.a c b >>B.a b c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数0.3x y =的单调性，可以判断,b c 的大小；根据作商法可得1>ab,可得答案.【详解】0.3x y = 是减函数，0.30.40.30.3∴>，即0b c >>，而0.30.30.44(()10.33a b ==>，即a b >，a b c ∴>>，故选：B6.已知0,0x y <<，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案.【详解】因为0,0x y <<，所以242221x y x y +=+≥==，当且仅当222x y =，即21x y ==-时，等号成立，故选：A ．7.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.037,lg20.3010,lg30.4771≈≈≈A.2024年 B.2023年 C.2026年 D.2025年【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数模型列不等式求解．【详解】依题意，第n ()N n *∈时投入资金为()12019%n⨯+亿元，设2020年后第n ()Nn *∈年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，则()12019%200n⨯+>,得51.093n>，两边同取常用对数，得lg5lg31lg2lg310.30100.47715.9973lg1.09lg1.090.037n ----->==≈，所以6n ≥，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.故选：C ．8.已知2)()log (2xg x a -=+，若对于任意1212x x <<<，都有1212()()2g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A.[0,)+∞B.1[,)8-+∞ C.1[,)4-+∞ D.1[,)2-+∞【答案】B 【解析】【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得.【详解】不等式1212122211)())02]()2[(2]([g x x g x g x g x x x x x x ++-->-⇔>--，令22222()()2)2(22)log (2log log xxxxf xg x a x a -=⋅++=+=+，则1212()()0f x f x x x ->-，依题意，1212,(1,2),x x x x ∀∈<，1212()()0f x f x x x ->-，因此函数22()(22)log x x f x a =⋅+在(1,2)上单调递增，令222x x u a =⋅+，而2log y u =在(0,)+∞上单调递增，则函数222x x u a =⋅+在(1,2)上单调递增，且恒有2220x x a ⋅+>令2(2,4)x t =∈，显然函数2x t =在(2,4)上单调递增，因此2v at t =+在(2,4)上单调递增，且(2,4)t ∀∈，20at t +>，当0a >时，2v at t =+在(2,4)上单调递增，当0a =时，v t =在(2,4)上单调递增，且20at t +>恒成立，因此0a ≥；当a<0时，由2v at t =+在(2,4)上单调递增，得142a -≥，解得108a -≤<，由(2,4)t ∀∈，20at t +>，得420a +≥，解得12a ≥-，因此108a -≤<，所以实数a 的取值范围是1[,)8-+∞.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数()exf x -=-与()e xg x =的图象关于原点对称B.函数()1(0x f x aa -=>，且1)a ≠恒过定点()0,1C.已知命题2:0,10p x x x ∃>-+<，则p 的否定为：20,10x x x ∀>-+≥D.0x >是3x >的充分不必要条件【答案】AC 【解析】【分析】A ：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；B ：令10x -=，由此确定出所过定点坐标；C ：通过修改量词否定结论可得结果；D ：根据0x >与3x >的互相推出情况进行判断.【详解】对于A ：设()exf x -=-上任意一点()00,P x y ，其关于原点的对称点为(),Q x y ，所以00x x y y=-⎧⎨=-⎩，所以()e x y ---=-，所以e x y =，即Q 为e x y =图象上任意一点，故A 正确；对于B ：令10x -=，所以1x =，此时()011f a ==，所以()f x 过定点()1,1，故B 错误；对于C ：修改量词否定结论可得2:0,10p x x x ⌝∀>-+≥，故C 正确；对于D ：0x >不能推出3x >，但3x >一定能推出0x >，所以0x >是3x >的必要不充分条件，故D 错误；故选：AC .10.下列化简正确的是（）A.sin(2024π)sin αα-=- B.tan(2025π)tan αα-=C.11πsin()cos 2αα+=- D.7πcos()sin 2αα-=【答案】ABC 【解析】【分析】利用诱导公式化简各选项并判断即得.【详解】对于A ，sin(2024π)sin()sin ααα-=-=-，A 正确；对于B ，tan(2025π)tan(π)tan ααα-=+=，B 正确；对于C ，11πππsin()sin[6π()]sin()cos 222αααα+=--=--=-，C 正确；对于D ，7πππcos()cos[4π()]cos()sin 222αααα-=-+=+=-，D 错误.故选：ABC11.已知函数(2)1,0,(),0,aa x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩则以下说法正确的是（）A.若1a =-，则()f x 是(0,)+∞上的减函数B.若0a =，则()f x 有最小值C.若12a =，则()f x 的值域为(0,)+∞D.若3a =，则存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-【答案】ABC 【解析】【分析】把选项中的a 值分别代入函数()f x ，利用此分段函数的单调性判断各选项.【详解】对于A ，若1a =-，131,0(),0x x f x x x --+≤⎧=⎨>⎩，()f x 在(0,)+∞上单调递减，故A 正确；对于B ，若0a =，21,0,()1,0,x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，当0x ≤时，()21f x x =-+，()f x 在区间(],0-∞上单调递减，()(0)1f x f ≥=，则()f x 有最小值1,故B 正确；对于C ，若12a =，1231,0,2(),0,x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩，当0x ≤时，3()12=-+f x x ，()f x 在区间(],0-∞上单调递减，()(0)1f x f ≥=；当0x >时，12()f x x =，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，()(0)0f x f >=，则()f x 的值域为(0,)+∞，故C 正确；对于D ，若3a =，31,0,(),0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩当0(1,)x ∈+∞时，()3001=>f x x ；当()020,1-∈x 时，()()()300220,1-=-∈f x x ；当(]002,-∈-∞x 时，()(]003,21-=-∞∈-f x x ，即当(]02,0x ∞-∈-时，()(]012,-∈-∞f x ，所以不存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-，故D 错误.故选：ABC12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，则（）A.()()f f x 是偶函数B.()()f g x 是奇函数C.()()g g x 在[)0,∞+上单调递增D.()()g f x 在[)0,∞+上单调递增【答案】AC【解析】【分析】根据奇偶性定义可判断AB ；根据复合函数单调性可判断CD.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()()ff x f f x -=，()()()()()()fg x f g x f g x -=-=，所以()()f f x 和()()f g x 均为偶函数，A 正确，B 错误；又因为()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，()g x 在R 上单调递减，所以，由复合函数的单调性可知，在[)0,∞+上()()g g x 单调递增，()()g f x 单调递减，故C 正确，D 错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13.若扇形的半径为2，面积为4π3，则扇形的周长为________．【答案】4π43+【解析】【分析】由扇形的面积公式求出弧长，代入扇形周长公式即可求解.【详解】由题意设扇形圆心角所对弧长、半径以及面积分别为,,l r S ，由题意411π2322S lr l ===⨯⨯，解得4π3l =，所以扇形的周长为442π22π433C l r =+=+⨯=+.故答案为：4π43+.14.函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减，则a 的范围为________.【答案】1a ≤【解析】【分析】函数|1|()2x f x -=是由指数2x y =变换得到的，根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得|1|()2x f x -=的单调性，从而解出答案.【详解】因为1112,1()21,12x x x x f x x ---⎧>⎪==⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得()f x 在()1,+∞单调递增，在(],1-∞单调递减.因为函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减所以1a ≤.故答案为：1a ≤.15.已知()y f x =是偶函数，当0x <时，()2f x x ax =+，且()33f =，则=a __________.【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的性质可知，(3)(3)f f -=【详解】因为()y f x =是偶函数，所以()()23(3)39333f a a f -=--=-==，解得2a =.故答案为：216.已知()1e x f x x=-的零点为0x ，若000e ln 2x x x m +>，则整数m 的最大值是______.【答案】0【解析】【分析】根据题意分析()1e x f x x =-的零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0001e 0x f x x =-=，得到()02000000011e ln x x x x x x x x +=+⋅-=-，通过判断()2111,122h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的范围即可得到答案.【详解】函数()1e x f x x=-的定义域为()(),00,∞-+∞U ，当0x <时，()0f x >恒成立，不存在零点；当0x >时，()f x单调递增，且1202f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()1e 10f =->，所以()1e x f x x =-的零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0001e 0x f x x =-=，即001e x x =，两边同时取对数，即00ln x x =-，即00ln x x =-，所以()020********e ln xx x x x x x x +=+⋅-=-，所以200112m x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，记()2111,122h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，显然，()h x 单调递减，所以()()112h h x h ⎛⎫<<⎪⎝⎭，所以()708h x <<，所以整数m 的最大值是0.故答案为：0【点睛】关键点点睛：本题关键点在于判断()1e xf x x =-的零点0x 的范围，并通过001e x x =和00ln x x =-代入原式进行化简，再构造函数结合单调性判断范围进而求解答案.本题考查了转化与化归能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算､求值：（1）32log 2335lg 2lg23lg0.01lne 272++-++；（2）112519sin cos tan 634πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）17（2）2【解析】【分析】（1）利用指对幂的运算法则求解即可.（2）运用诱导公式直接化简求值即可.【小问1详解】原式5lg lg 42239lg102212172=+++++=+++=；【小问2详解】原式ππ3113sincos tan πtan π2634224⎛⎫=++-=+-= ⎪⎝⎭.18.已知幂函数()()26m f x m m x =-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式；（2）若()()822f a f a -<+，求a 的取值范围．【答案】（1）()12f x x=（2）{|24}a a <≤【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解；（2）利用()f x 的单调性与定义域即可得解.【小问1详解】因为()()26m f x m m x =-是幂函数，所以261m m -=，解得12m =或13m =-，又()f x 在()0,∞+上是增函数，故0m >，12m ∴=，则()12f x x =.【小问2详解】由（1）知()12f x x =在()0,∞+上是增函数，又()()822f a f a -<+，()12f x x =的定义域为[)0,∞+，82282020a a a a -<+⎧⎪∴-≥⎨⎪+≥⎩，解得24a <≤，a ∴的取值范围是{|24}a a <≤．19.已知函数()22log log 42x x f x =.（1）当[]2,8x ∈时，求该函数()f x 的值域；（2）若不等式()2log f x m x ≥在[]4,16x ∈上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）换元令2log x t =，结合二次函数的性质求值域；（2）换元令2log x t =，整理可得23+-≥t m t 在[]2,4t ∈上有解，根据存在性问题分析求解.【小问1详解】因为()()()2222log log log 2log 142==--x x f x x x ，由对数函数单调性可知，当[]2,8x ∈时，[]2log 1,3x ∈，令2log x t =，[]1,3t ∈，即可得()()()22132=--=-+g t t t t t ，[]1,3t ∈，可知()232g t t t =-+的开口向上，对称轴为32t =，由二次函数性质可知当32t =时，()min 14=-g t ，当3t =时，()max 2=g t ，所以可得当[]2,8x ∈时，函数()f x 的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当[]4,16x ∈时，可得[]2log 2,4x ∈，令2log x t =，[]2,4t ∈，可得()()22132--=-+≥t t t t mt ，即232t t mt -+≥在[]2,4t ∈上有解，整理可得23+-≥t m t 在[]2,4t ∈上有解，因为函数()23=+-h t t t 在[]2,4t ∈上单调递增，当4t =时，()max 32=h t 所以m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.20.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩（2）生产量为5千件时，最大利润为6万元【分析】（1）设利润是y （万元），由y S C =-即可得利润关于生产量x 的函数；（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.【小问1详解】设利润是y （万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，则1835(3),06814(3),6x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩，所以1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩.【小问2详解】当06x <<时，189222(8)1888y x x x x ⎡⎤=++=--++⎢⎥--⎣⎦186≤-=，当988x x-=-，即5x =时，max 6y =，当6x ≥时，11y x =-是减函数，6x =时，max 5y =，所以当5x =时，max 6y =，所以生产量为5千件时，最大利润为6万元.21.设sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根（1）求a 的值；（2）求33cos sin 22θθππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（3）求()1tan tan θθπ--的值.【答案】（1）1a =（22（31【分析】（1）根据根与系数关系以及同角三角函数的基本关系式求得a .（2）利用诱导公式以及（1）的结论来求得正确答案.（3）利用同角三角函数的基本关系式以及（1）的结论来求得正确答案.【小问1详解】sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根，所以sin cos sin cos a aθθθθ+=⎧⎨=⎩，()2440,0a a a a a ∆=-=-≥≤或4a ≥，由sin cos a θθ+=两边平方得212sin cos 12a a θθ+=+=，2210a a --=，解得a =（舍）或1a =所以1a =【小问2详解】3333cos sin sin cos 22θθθθππ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22sin cos sin sin cos cos θθθθθθ=+-+()(112a a =-=-⨯=.【小问3详解】()11tan tan tan tan θθθθπ--=--22sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθ+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭11a =-=-=.22.已知定义域为R 的函数()122x xb f x a+-=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值；（2）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）2a =，1b =（2）4(,)3-∞【解析】【分析】（1）根据题意可得()00f =，()()11f f -=-求解即可；（2）由函数单调性可得()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，再将问题转化为2(3)(1)320x x k -+->对任意1x ≥恒成立，再设3x t =，根据二次不等式恒成立问题列式即可.【小问1详解】()f x 在R 上为奇函数，故()00f =，即102b a -=+，解得1b =，故()1122x x f x a+-=+.又()()11f f -=-，∴1112214a a--=-++；解得2a =.故2a =，1b =.【小问2详解】112(21)211()222(21)221x x x x x f x +--++===-++++；x 增大时，21x +增大，121x +减小，()f x 减小；()f x ∴在(,)-∞+∞上单调递减；()f x 为奇函数，∴由(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>得，(3)(932)x x x f k f ⋅>--；又()f x 在(,)-∞+∞上单调递减；3932x x x k ∴⋅<--，该不等式对于任意1x ≥恒成立；2(3)(1)320x x k ∴-+->对任意1x ≥恒成立；设3x t =，则2(1)20t k t -+->对于任意3t ≥恒成立；设2()(1)2g t t k t =-+-，△2(1)80k =++>；k ∴应满足：132(3)430k g k +⎧<⎪⎨⎪=->⎩；解得43k <；k ∴的取值范围为4(,3-∞．。
2022-2023学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷(含解析)
2022-2023学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
1. 已知集合A={x|log2x<1}，集合B={y|y=√2−x}，则A∪B=( )A. (0,+∞)B. [0,2)C. (0,2)D. [0,+∞)2. 设函数f(x)的定义域为(−1,3)，则函数g(x)=f(1+x)的定义域为( )ln(1−x)A. (−2,1)B. (−2,0)∪(0,1)C. (0,1)D. (−∞,0)∪(0,1)3. 在人类中，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制，当一个人的基因型为AA 或Aa时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为aa时，这个人就是单眼皮．随机从父母的基因中各选出一个A或者a基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 当x<0时，函数y=x+( )A. 有最大值−4B. 有最小值−4C. 有最大值4D. 有最小值45. 设a=log32，b=log64，c=log3e(2e)，则( )A. c<b<aB. a<b<cC. b<a<cD. a<c<b6. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票．六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票．每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件．下列结论中正确的是( )A. B. 事件A与事件B相互独立C. P(AB)与P(C)和为54%D. 事件A与事件B互斥7. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵副弦图”中，已知AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗=( ) A. B. C. D.8. 已知函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0，若f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)(x 1,x 2,x 3,x 4互不相等)，则x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是(注：函数ℎ(x)=x +1x在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增)( )A. (−12,0) B. [−12,0] C. [0,12) D. (0,12]9. 若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数据，可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是( )A. 平均数为2，中位数为3B. 平均数为1，方差大于0.5C. 平均数为2，众数为2D. 平均数为2，方差为310. 如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为元件1，元件2，元件3，元件4，电流能通过元件1，元件2的概率都是p ，电流能通过元件3，元件4的概率都是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知元件1，元件2中至少有一个能通过电流的概率为0.96，则( )A.B. 元件1和元件2恰有一个能通的概率为C. 元件3和元件4都通的概率是0.81D. 电流能在M 与N 之间通过的概率为0.950411. 在△ABC 中，AD 是中线，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列等式中一定成立的是( ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. S △ABC =3S △GBCD. AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗12. 氡(Radon)又名氭，是一种化学元素，符号是Rn.氡元素对应的单质是氡气，为无色、无臭、无味的惰性气体，具有放射性．已知放射性元素氡的半衰期是3.82天，经x 天衰变后变为原来的a′(a >0且a ≠1)，取0.8347.64=，则( )A. 经过7.64天以后，空元素会全部消失B. 经过15.28天以后，氡元素变为原来的C. a =0.834D. 经过3.82天以后剩下的氡元素是经过7.64天以后剩下的氡元素的13. 袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、华，民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下18组机数：232ㅤ321ㅤ230ㅤ023ㅤ123ㅤ021ㅤ132ㅤ220ㅤ001 231ㅤ130ㅤ133ㅤ231ㅤ031ㅤ320ㅤ122ㅤ103ㅤ233由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为______．14. 设2a =5b =m ，且2a +1b =1，则m =______．15. 2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求．甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，丙购买到冰墩墩的概率为13，则甲、乙、丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为______．16. 在△ABC 中，点F 为线段BC 上任一点(不含端点)，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x >0,y >0)，则的最小值为______．17. 已知a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,1)． (1)当k 为何值时，k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 共线；(2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −m b ⃗ 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．18. 2018年4月4日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降30%以上，为响应国家政策，某通讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 30 3000 B506000这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值2000M 流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统再次自动帮用户充值2000M 流量，资费20元，以此类推．此外，若当月流量有剩余，系统将自动清零，不可次月使用．小张过去50个月的手机月使用流量(单位：M)的频数分布表如下： 月使用流量分组 [2000,3000] (3000,4000] (4000,5000] (5000,6000] (6000,7000](7000,8000]频数451116122根据小张过去50个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：(1)若小张选择A 套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过50元的概率． (2)小张拟从A 或B 套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？说明理由．19. 已知函数f(x)=log a x ，g(x)=log a (2x +m −2)，其中x ∈[1,3]，a >0且a ≠1，m ∈R ． (1)若m =5且函数F(x)=f(x)+g(x)的最大值为2，求实数a 的值．(2)当0<a <1时，不等式f(x)<2g(x)在x ∈[1,3]有解，求实数m 的取值范围．20. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为.已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢． (1)求第四盘棋甲赢的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．21. 已知定义域为R 的函数f(x)=n−3x 3+3x+1是奇函数．(1)求y =f(x)的解析式；(2)若f (log 4x ⋅log 28x)+f(4−2a)>0恒成立，求实数a 的取值范围．22. 定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b)，满足；，则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”，x0是它的平均值点．(1)函数y=2x2是否是[−1,1]上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点，如果不是，请说明理由；(2)现有函数y=−22x+1+m⋅2x+1+1是[−1,1]上的平均值函数，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|log2x<1}={x|0<x<2}，集合B={y|y=√2−x}={y|y≥0}，∴A∪B=[0,+∞)故选：D．求出集合A，集合B，再根据并集的定义，求出A∪B．本题考查对数不等式的解法，并集及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)的定义域为(−1,3)，则对于函数g(x)=f(1+x)ln(1−x)，应有{−1<1+x<31−x>01−x≠1，求得−2<x<0或0<x<1，故函数g(x)的定义域为(−2,0)∪(0,1)，故选：B．由题意，利用函数的定义域的定义和求法，得出结论．本题主要考查函数的定义域的定义和求法，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：若“父母均为单眼皮”，即父母的基因型都是aa，所以孩子的基因型也一定为aa，所以一定有“孩子为单眼皮”，若“孩子为单眼皮”，则孩子的基因型aa，但是父母的基因型可能都是Aa或一个是Aa，一个是aa，所以父母中有可能有双眼皮，所以“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件．故选：A．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵x<0，∴−x>0，∴，当且仅当x=−2时等号成立，故选：A．利用基本不等式可直接得到函数的最值．本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由已知得，a−b==，显然ln6−ln9<0，故a−b<0，a<b，排除A，C；b−c===，显然1−ln2>0，ln2−ln3<0，故b−c<0，得b<c，故a<b<c．故选：B．因为a，b，c都大于零，可先换底，然后利用作差或作商法比较大小．本题考查对数运算性质和换底公式，以及对数的大小比较问题，属于中档题．6.【答案】ABC【解析】解：由题意可知，，，对于A，，故A正确；对于B，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确；对于C，由B可知，所以P(AB)，故C正确；对于D，事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误．故选：ABC．分别求出P(A)，P(B)，进一步求出P(C)与P(AB)，判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项．本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件和对立事件的定义，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：因为AE⃗⃗⃗⃗⃗ =3EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(−AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，整理得，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=a ⃗ +b ⃗ ． 故选：A ．根据平面向量的线性运算法则，即可得解．本题考查平面向量的线性运算，熟练掌握平面向量的加法和数乘的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．画出函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0的图象，利用f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，转化求解x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围． 【解答】解：作出函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0的图象，如下图，x =12或2时，f(x)=1，令t =f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，设x 1<x 2<x 3<x 4，则有x 1+x 2=−2，x 3⋅x 4=1，且12≤x 3<1，故x 1+x 2+x 3+x 4=−2+x 3+x 4=−2+x 3+1x 3，因为函数ℎ(x)=x +1x在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，故x3+1x3∈(2,52]．x1+x2+x3+x4的取值范围是(0,12]，故选：D．9.【答案】AD【解析】解：对于A，因10个数的平均数为2，中位数为3，将10个数从小到大排列，设后面4个数从小到大依次为a，b，c，d，显然有d≥c≥b≥a≥3，而a+b+c+d≤14，则d的最大值为5，A符合条件；对于B，平均数为1，方差大于0.5，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，其平均数为1，方差大于0.5，B不符合；对于C，平均数为2，众数为2，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，其平均数为2，众数为2，C不符合；对于D，设连续10天的数据为x i，i∈N∗，i≤10，因平均数为2，方差为3，则有11010i=1(x i−2)2=3，于是得(x i−2)2≤30，而x i∈N，i∈N∗，i≤10，因此x i≤7，i∈N∗，i≤10，D符合条件．故选：AD．根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断A，D；举例说明判断B，C作答．本题考查了求平均数、众数、中位数与方差的问题，是中档题．10.【答案】ACD【解析】解：对于A，由题意，可得C21p(1−p)+p2=0.96，整理可得p2−2p+0.96=0，则(p−1.2)(p−0.8)=0，则，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，0.9×0.9=0.81，故C正确；对于D，元件3，元件4中至少有一个能通过电流的概率为C21×0.9×(1−0.9)+C22×0.92=0.99，则电流能在M与N之间通过的概率为0.96×0.99=0.9504，故D正确．故选：ACD．根据独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，可得答案．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：A ，∵在△ABC 中，AD 是中线，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A 正确， B ，∵在△ABC 中，AD 是中线，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴B 正确，D 错误，C ，设△GBC 的高为ℎ，∵AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 的高为3ℎ， ∴S △ABC =12BC ⋅3ℎ=3⋅12BC ⋅ℎ=3S △GBC ，∴C 正确， 故选：ABC ．利用平面向量的线性运算，中线的性质判断ABD ，利用三角形的面积公式判断D ． 本题考查平面向量的线性运算，中线的性质，三角形的面积公式，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：因为7.64=2×3.82天后，氡元素变为原来的，A 错误；经过3.82天以后剩下的氡元素是原来的，经过7.64天以后剩下的氡元素是原来的，D 错误； 要使得氡元素变为原来的=()4，需要经过4×3.82=15.28天，B 正确； 因为放射性元素氡的半衰期是3.82天，则f(3.82)=m ， 所以a 3.82=，因为0.8347.64=(0.8343.82)2=， 所以0.8343.82=， 所以a =0.834，C 正确． 故选：BC ．由已知结合指数的运算性质，结合指数函数的性质可求． 本题主要考查了指数运算性质在实际问题中的应用，属于基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，随机数中只有021，001，130，031，103共5种情况， 则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为， 故答案为：，根据题意可得出满足题意的随机数，利用古典概型定义可解．本题考查古典概型定义，属于基础题．14.【答案】20【解析】解：∵2a=5b=m>0，∴a=lgmlg2，b=lgmlg5，∵2 a +1b=1，∴2lg2 lgm +lg5lgm=1，∴lgm=lg20，则m=20．故答案为：20．把指数式化为对数式，再利用对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】23【解析】解：因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12．所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率P1=1−12=12．同理，丙购买不到冰墩墩的概率P2=1−13=23．所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率P3=P1⋅P2=12×23=13．于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率P=1−P3=23．故答案为：23．先算出甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案．本题主要考查相互独立事件的概率，属于基础题．16.【答案】9【解析】解：因为点F 为线段BC 上任一点(不含端点)， 若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x >0,y >0)，则x +2y =1， =()(x +2y)=5+=9，当且仅当x =y 且x +2y =1，即x =y =时取等号． 故答案为：9．由已知结合向量共线定理可得x +2y =1，然后结合乘1法及基本不等式即可求解． 本题主要考查了向量共线定理，基本不等式求解最值，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,1)， ∴k a ⃗ +b ⃗ =(k +2,1)，a ⃗ −2b ⃗ =(−3,−2)， 又k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 共线， ∴−2(k +2)−1×(−3)=0， 解得；(2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ =(7,3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −m ⋅b ⃗ =(1−2m,−m)， ∵A 、B 、C 三点共线，∴−7m −3(1−2m)=0， 解得m =−3．【解析】(1)由已知求得k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解； (2)由已知求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解． 本题主要考查了向量共线的性质，考查了方程思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)设使用流量xM ，流量费用为y ，依题意，当2000≤x ≤3000时，y =30； 当3000<x ≤5000时，y =50； 所以流量费用超过50元概率：P(y >50)=16+12+250=35；(2)设y A 表示A 套餐的月平均消费，设y B 表示B 套餐的月平均消费， ∴y A =150(30×4+50×16+70×28+90×2)=61.2， y B =150(50×36+70×14)=55.6， ∴y A >y B ， 故选套餐B ．【解析】(1)设使用流量xM ，流量费用为y ，所以流量费用超过50元概率：P(y >50)=16+12+250=35；(2)分别求出订购A 套餐和订购B 套餐的月平均费用，比较大小后得答案． 本题考查函数在实际问题中的应用，考查概率统计问题，是中档题．19.【答案】解：(1)当m =5时，g(x)=log a (2x +3)，所以F(x)=f(x)+g(x)=log a x +log a (2x +3)=1og a (2x 2+3x)，x ∈[1,3]，当a >1时，F(x)在定义城内单调递增，F(x)max =F(3)=1og a 27=2，解得a =3√3， 当0<a <1时，F(x)在定义域内单调递减，F(x)max =F(1)=1og a 5=2，解得a =√5，不符合题意，舍去，综上，实数a 的值为3√3；(2)要使g(x)在x ∈[1,3]上有意义，则2x +m −2>0，解得m >0，由f(x)<2g(x)，即1og a x <log a (2x +m −2)2，因为0<a <1，所以x >(2x +m −2)2， 即√x >2x +m −2，得m <−2x +√x +2，令t =√x ，t ∈[1,√3]，记ℎ(t)=−2t 2+t +2， 对称轴为t =14，ℎ(t)max =ℎ(14)=−2×(14)2+14+2=178， 若不等式f(x)<2g(x)在x ∈[1,3]有解，则m <−2x +√x +2在x ∈[1,3]有解 即m <ℎ(t)max 在x ∈[1,3]有解，即m <178． 综上所述，实数m 的取值薇围为(0,178). 【解析】(1)将m =5代入函数得出F(x)解析式，根据复合函数同增异减的性质，分类时论a >1和0<a <1即可；(2)由对数函数性质可得m >0，再由对数单调性可符m <−2x +√x +2，利用换元法结合二次函数的性质求出不等式右边的最大值，即可得到m 的取值范围． 本题考查函数性质，属于中档题．20.【答案】解：(1)设第四盘棋甲赢为事件A ，第四盘棋甲赢分两种情况：①第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，则P =×=， ②第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，则P =×=， 则P(A)=+=．(2)设比赛结束时，甲恰好赢三盘棋为事件B ，分三种情况： ①若甲赢第三盘，则概率为××(1−)=，②若甲赢第四盘，则概率为××(1−)=， ③若甲赢第五盘，则概率为(1−)×=， 则P(B)=++=．【解析】(1)第四盘棋甲赢分两种情况，再分别求出概率即可． (2)若甲恰好赢三盘棋分三种情况，再分别求出概率即可．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为函数f(x)=n−3x 3+3x+1是奇函数， 所以f(−x)=−f(x)，即n−3−x 3+3−x+1=−n−3x 3+3x+1，所以n⋅3x −13x+1+3=−n−3x 3+3x+1，所以n ⋅3x −1=−n +3x ， 可得n =1， 所以函数f(x)=1−3x 3+3x+1． (2)由(1)知f(x)=1−3x 3+3x+1=−13⋅3x −13x+1=−13+23(3x+1)， 易得f(x)在R 上单调递减，由f(log 4x ⋅log 28x )+f(4−2a)>0，得f(log 4x ⋅log 28x )>−f(4−2a)，因为函数f(x)是奇函数，所以f(log 4x ⋅log 28x )>f(2a −4)， 所以log 4x ⋅log 28x<2a −4，整理得12log 2x ⋅(3−log 2x)<2a −4，设t =log 2x ，t ∈R ， 则12(3t −t 2)<2a −4， 当t =32时，y =12(3t −t 2)有最大值，最大值为98，所以2a −4>98，解得a>4116，即实数a的取值范围是(4116,+∞)．【解析】(1)由f(x)是奇函数可得f(−x)=−f(x)，从而可求得n值，即可求得f(x)的解析式；(2)由复合函数的单调性判断f(x)在R上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为1 2log2x⋅(3−log2x)<2a−4，令t=log2x，利用二次函数的性质求得12(3t−t2)的最大值，即可求得a的取值范围．本题主要考查函数的奇偶性，函数单调性的判断，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)若f(x)=2x2，x∈[−1,1]，因为=0，令2x2=0，解得x=0∈(−1,1)，故y=2x2是[−1,1]上的“平均值函数”，且平均值点为0；(2)由题意知=，假设x0是平均值点，则f(x0)=，整理得2⋅22x0+2−4m⋅2x0+1+6m−19=0，令t=2x0+1∈(1,4)，显然该函数是增函数，则要使结论成立，只需g(t)=2t2−4mt+6m−19=0在(1,4)上有解即可，即g(t)在(1,4)上有零点即可，g(t)=2t2−4mt+6m−19，Δ=(−4m)2−8×(6m−19)=16(m−)2+116>0，①若g(t)在(1,4)上只有一个零点时，只需g(1)g(4)<0，解得或m<；②若g(t)在(1,4)上有两个不同零点时，只需⇒，解集为⌀；综上可知或，故m的取值范围是()∪(，+∞)．【解析】(1)直接求出，令k=f(x)，判断该方程在(−1,1)上是否有解即可；(2)由题设，设x0是平均值点，则2⋅22x0+2−4m⋅2x0+1+6m−19=0，令t=2x0+1∈(1,4)，则只需让2t2−4mt+6m−19=0在(1,4)上有解即可，结合二次函数的性质，容易求得结论．本题是一个新定义问题，侧重于考查利用函数的单调性、最值等研究函数零点的存在性问题，属于较难的题目．。
重庆市某中学2024-2025学年高一(上)期末数学模拟试卷(含答案)
第1页，共6页 重庆市某中学2024-2025学年高一（上）期末数学模拟试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合𝐴={𝑥|1≤𝑥<4}，𝐵={3,4,5,6}，则𝐴∩𝐵=( ) A. {1,3} B. {3} C. {3,4} D. {3,5} 2.将函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛2𝑥的图象向左平移𝜋3个单位后与𝑦=𝑔(𝑥)的图象重合，则( ) A. 𝑔(𝑥)=sin(2𝑥+𝜋3) B. 𝑔(𝑥)=sin(2𝑥−𝜋3) C. 𝑔(𝑥)=sin(2𝑥+2𝜋3) D. 𝑔(𝑥)=sin(2𝑥+𝜋6) 3.已知半径为5的圆上有一段弧的长为12，则该弧所对的圆心角的弧度数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2.4 4.已知函数𝑓(𝑥−1)=𝑥2−3，则𝑓(2)的值为( ) A. −2 B. 0 C. 1 D. 6 5.在下列区间中，函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+4𝑥−3的零点所在的区间为( ) A. (−2,−1) B. (−1,0) C. (0,12) D. (12,1) 6.若𝑎=𝑙𝑛2，𝑏=30.2，𝑐=log0.32，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为( ) A. 𝑎<𝑏<𝑐 B. 𝑏<𝑎<𝑐 C. 𝑐<𝑎<𝑏 D. 𝑐<𝑏<𝑎 7.若2𝑎=5𝑏=10，则1𝑎+1𝑏=( ) A. −1 B. 𝑙𝑔7 C. 1 D. log710 8.已知𝑓(𝑥)={(3−𝑎)𝑥−4𝑎(𝑥<1)𝑥2(𝑥≥1)是𝑅上的增函数，那么𝑎的取值范围是( ) A. (−∞,3) B. (25,3) C. [25,3) D. (52,3) 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列四个三角关系式中正确的是( ) A. cos(𝜋−1)=𝑐𝑜𝑠1 B. sin(2+𝜋2)=𝑐𝑜𝑠2
2023-2024学年山东省临沂市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项1．设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{x∈R|1﹣x≥0}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{x|﹣2≤x≤1}C．{1，2}D．{x|0≤x≤1}2．命题“∀x∈R，3x﹣x≥0”的否定是（）A．“∀x∈R，3x﹣x≤0”B．“∀x∈R，3x﹣x＜0”C．“∃x∈R，3x﹣x≤0”D．“∃x∈R，3x﹣x＜0”3．函数D(x)={1，x∈Q0，x∈∁R Q被称为狄利克雷函数，则D(D(√2))=（）A．2B．√2C．1D．04．已知函数f（x）＝（m﹣2）x m为幂函数，若函数g（x）＝lgx+x﹣m，则g（x）的零点所在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数y=6xx2+1的图象大致为（）A．B．C．D．6．“a≥2”是“函数f（x）＝ln（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为135°，则该扇面画的面积约为（）（π≈3）A．960B．480C．320D．2408．已知89＜710，设a ＝log 87，b ＝log 98，c ＝0.9，则（ ） A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目 9．已知函数f(x)=tan(x +π3)，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f （x ）的定义域为{x|x ≠π6+kπ，k ∈Z}C ．f （x ）是增函数D ．f(π4)＜f(π3)10．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |x ≤﹣2或x ≥1}，则（ ） A ．b ＞0且c ＜0B ．4a +2b +c ＝0C ．不等式bx +c ＞0的解集为{x |x ＞2}D ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为{x|−1＜x ＜12}11．若正实数a ，b 满足a +2b ＝2，则（ ） A ．1a +2b有最小值9B ．ab 有最大值12C ．2a +4b 的最小值是4D ．a 2+b 2的最小值是2512．已知函数f （x ），假如存在实数λ，使得f （x +λ）+λf （x ）＝0对任意的实数x 恒成立，称f （x ）满足性质R （λ），则下列说法正确的是（ ）A ．若f （x ）满足性质R （2），且f （0）＝2，则f （2）＝﹣4B ．若f （x ）＝sin πx ，则f （x ）不满足性质R （λ）C ．若f （x ）＝a x （a ＞1）满足性质R （λ），则λ＜0D ．若f （x ）满足性质R(−12)，且x ∈[0，12)时，f(x)=11−2x ，则当x ∈[32，2)时，f(x)=42−x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年河南省郑州第四高级中学高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年河南省郑州第四高级中学高一（上）期末数学试卷1. 命题“∀x∈R，x2>1−2x”的否定是( )A. ∀x∈R，x2<1−2xB. ∀x∈R，x2≤1−2xC. ∃x∈R，x2≤1−2xD. ∃x∈R，x2<1−2x2. 函数f(x)=√x(2−x)+(x−1)0的定义域为( )A. [0,2]B. [1,2]C. [0,1)∪(1,2]D. (0,1)∪(1,2)3. 下列命题为假命题的是( )A. 若a>b，则a−c>b−cB. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd>0C. 若a>b>0，则a2>abD. 若a>b，c>d，则a−c>b−d4. 已知角α终边上一点P(−1,2)，则cos(π−α)=( )A. −√55B. −2√55C. √55D. 2√555. 已知a=2log32√2，b=0.30.01，c=log√22，则a，b，c的大小关系为( )A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. a<c<b6. 函数f(x)=e xe2x−1的大致图象为( )A. B.C. D.7. 已知α∈(0,π)，β∈(0,π)，sin(α−β)=34，tanαtanβ=−5，则α+β=( )A. 16π B. 116π C. 76π D. 56π8. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足T−T a=(12)tℎ(T0−T a)，h称为半衰期，其中T a是环境温度．若T a=25℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃大约还需要(参考数据：lg2≈0.30，lg11≈1.04)( )A. 9分钟B. 10分钟C. 11分钟D. 12分钟9. 当x ∈(0,1)时，幂函数y =x a 的图像在直线y =x 的上方，则a 的值可能为( ) A. 13B. −2C. √2D. 310. 已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=15，则下列结论正确的是( ) A. sinθcosθ=−1225 B. θ∈(π2,π) C. sinθ−cosθ=−75D. tanθ=−4311. 已知y =f(x)是定义域为R 的奇函数，且y =f(x +1)为偶函数．当x ∈[0,1]时，f(x)=2x −alog 2(2x +2)，下列结论正确的是( )A. a =−1B. f(12)=f(32) C. f(3)=0D. f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)=112. 已知函数f(x)=ln(√x 2+1+x)+x +1.则下列说法正确的是( ) A. f(lg3)+f(lg 13)=2B. 函数f(x)的图象关于点(0,1)对称C. 函数f(x)在定义域上单调递减D. 若实数a ，b 满足f(a)+f(b)>2，则a +b >013. 若扇形的圆心角为150∘，半径为3，则该扇形的面积为______. 14. 已知f(e x )=xlg5，则f(1)+f(e)=______.15. 已知p ：x 2−8x +15<0，q ：(x −2m)(x −5m)<0，其中m >0.若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是______.16. 设函数f(x)=sin(ωx +φ)，其中ω>0.f(0)=√32，且f(−π6)+f(2π3)=0，则ω的最小值为______.17. 已知全集U =R ，集合A ={x ∈R|−5≤3x −2≤1}，集合B ={x ∈R|log 2(2−x)≤1}.(1)求A ∩B ，A ∪B ； (2)求(∁R B)∪A.18. 已知m +2n =2.(1)当m >0，n >0时，求1m +2n 的最小值； (2)当m >−1，n >0时，求1m+1+2n 的最小值．19. 设f(x)=log a(2+x)+log a(4−x)(a>0,且a≠1).(1)若f(2)=3，求实数a的值及函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的值域．20. 已知12sinα=cos2α2−sin2α2.(1)求2sin2α+cos2α的值；(2)已知α∈(0,π)，β∈(π2,π)，6tan2β−tanβ−1=0，求α+β的值．21. 函数f(x)=√2sin(2x−π4)+2sinxcosx+2sin2x−1，x∈R.(1)把f(x)的解析式改写为f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式；(2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在区间[0,11π24]上的最大值和最小值；(3)把y=f(x)图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数y=g(x)的图象，再把函数y=g(x)图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到函数y=ℎ(x)的图象，若函数y=ℎ(x)+√2在区间[0,m]上至少有30个零点，求m的最小值．22. 设a∈R，已知函数f(x)=2x+a2x−a为奇函数．(1)求实数a的值；(2)若a<0，判断并证明函数f(x)的单调性；(3)在(2)的条件下，函数f(x)在区间[m,n](m<n)上的值域是[k⋅2m,k⋅2n](k∈R)，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：原命题的否定为∃x∈R，x2≤1−2x.故选：C.对原命题“改量词，否结论”即可求得结果．本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：若函数f(x)有意义，需满足x(2−x)≥0，且x≠1，即0≤x≤2，且x≠1，即[0,1)∪(1,2].故选：C.若函数f(x)有意义，需满足根号下非负，0次幂，底数不能为0.本题考查函数的定义域，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：对于A，若a>b，−c=−c，则a−c>b−c，故A为真命题，对于B，若a>b>0，c>d>0，则ac>bd>0，故B为真命题，对于C，a>b>0，则a2−ab=a(a−b)>0，即a2>ab，故C为真命题，对于D，令a=1，b=−1，c=1，d=−1，满足a>b，c>d，则a−c=b−d，故D为假命题．故选：D.对于A，结合不等式的可加性，即可求解；对于B，结合不等式的性质，即可求解；对于C，结合作差法，即可求解；对于D，结合特殊值法，即可求解．本题主要考查不等式的性质，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由题意，点(−1,2)到原点的距离r =√(−1)2+22=√5， 可得cosα=√5=−√55，故cos(π−α)=−cosα=√55。
2023-2024学年江苏省淮安市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∪B＝（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1，2，3}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}2．函数f(x)=ln(x−1)+1x−2的定义域为（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）3．若角α的终边经过点P（m，2）（m≠0），则（）A．sinα＞0B．sinα＜0C．cosα＞0D．cosα＜04．关于x的不等式x2﹣ax﹣b≤0的解集是[﹣2，4]，那么log a b＝（）A．1B．3C．2D．1 35．设a＞0且a≠1，“函数f（x）＝（3﹣a）x+1在R上是减函数”是“函数g（x）＝a x在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数y=e2−x2的图象大致为（）A．B．C．D．7．为了得到函数y=3sin(2x+2π3)的图象，只要把函数y=3sin(2x+π6)图象上所有的点（）A．向左平移π2个单位长度B．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度8．已知函数f(x)={−x 2+ax +1，x ＜0sin(ax +π3)，0≤x ≤π有且仅有3个零点，则正数a 的取值范围是（ ） A ．[23，53)B ．[53，83)C ．[83，113)D ．[83，113]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列化简或者运算正确的是（ ） A ．lg 5+lg 2＝1B ．a 23⋅a 12=a 76（a ＞0）C ．x −13=−√x 3（x ＞0）D ．2log 23=310．用“五点法”作函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数y ＝f （x ）描述正确的是（ ）A ．函数f （x ）的最小正周期是πB ．函数f （x ）的图象关于点(5π6，0)对称 C ．函数f （x ）的图象关于直线x =π3对称D ．函数f （x ）与g(x)=−2cos(2x +π3)+1表示同一函数11．定义在D 上的函数f （x ），如果满足：存在常数M ＞0，对任意x ∈D ，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（ ） A ．y =2sin(2x +π3)B ．y ＝2xC ．y =x 2+1xD ．y ＝x ﹣[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）12．已知函数f （x ）满足：∀x 1，x 2∈R ，都有|f （x 1）+f （x 2）|≤|sin x 1+sin x 2|成立，则下列结论正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．函数y ＝f （x ）是偶函数C ．函数y ＝f （x ）是周期函数D ．g （x ）＝f （x ）﹣sin x ，x ∈（﹣1，1），若﹣1＜x 1＜x 2＜1，则g （x 1）≥g （x 2） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年浙江省杭州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．1146．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tan θ+2sin θcos θ的值为（ ） A ．−3310B ．−185C ．−95D ．1257．已知a ＞1，b ＞0，且a +1b =2，则4a−1+b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．98．已知函数f(x)=√x +2+1ax+1(a ∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x 都有f （x ）＞0，则a 的最大值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =011．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 ．（写出一个即可）15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 ．16．已知下列五个函数：y ＝x ，y =1x，y ＝x 2，y ＝lnx ，y ＝e x ，从中选出两个函数分别记为f （x ）和g （x ），若F （x ）＝f （x ）+g （x ）的图象如图所示，则F （x ）＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A ={x|y =√−2x 2+x +1}，集合B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． （1）当a ＝1时，求∁R （A ∪B ）； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的值．18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值；（2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)．（Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x −5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式． （2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ．（1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2mb]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅解：集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}＝{x ∈Z |0＜x ＜3}＝{1，2}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝{2}． 故选：A ．2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当ab ＞2时，可能a 、b 都小于−√2，不能推出“a ＞√2且b ＞√2”，充分性不成立； 当a ＞√2且b ＞√2时，必定可以得到ab ＞2，充要性成立． 故选：B ． 3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）解：由函数f(x)=lnx +1x−1，可得x ＞0，且x ≠1， 故函数的定义域为{x |x ＞0，且x ≠1}，即（0，1）∪（1，+∞）． 故选：C ．4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解：将函数y ＝2sin （2x +1）的图象向右平移12个单位，可得y ＝2sin2x 的图象，故选：D ．5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．114解：当x ＜0时，f （﹣x ）＞0，则f（﹣x）＝2﹣x﹣3，则﹣f（x）＝2﹣x﹣3，故f（x）＝3﹣2﹣x，所以g（x）＝f（x）＝3﹣2﹣x，故g（﹣2）＝3﹣22＝﹣1．故选：B．6．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tanθ+2sinθcosθ的值为（）A．−3310B．−185C．−95D．125解：由sinθ+cosθ=√105（0＜θ＜π），可得θ为钝角，且|sinθ|＞cosθ，故tanθ＜﹣1，把条件平方可得sinθcosθ=−3 10，∴sinθcosθsin2θ+cos2θ=−310，tanθtan2θ+1=−310，即得tanθ＝﹣3，所有tanθ+2sinθcosθ＝﹣3−35=−185．故选：B．7．已知a＞1，b＞0，且a+1b =2，则4a−1+b的最小值为（）A．4B．6C．8D．9解：由a+1b=2，得(a−1)+1b=1，其中a﹣1＞0，b＞0．所以4a−1+b=[(a−1)+1b](4a−1+b)=5+4b(a−1)+b(a−1)≥5+2√4=9，当且仅当b（a﹣1）＝2，即a=53，b=3时，等号成立．综上所述，4a−1+b的最小值为9．故选：D．8．已知函数f(x)=√x+2+1ax+1(a∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x都有f（x）＞0，则a的最大值为（）A．0B．12C．1D．2解：若a＝0，则f（x）=√x+2+1＞0恒成立，符合题意；若a＞0，①当1a=−2，即a=12时，f（x）=√2+x+2x+2，定义域为{x|x＞﹣2}，此时f（x）＞0显然成立，符合题意；②当−1a ＜−2，即0＜a ＜12时，定义域为[﹣2，+∞），则ax +1≥﹣2a +1＞0，此时f （x ）＞0恒成立，符合题意； ③当−1a ＞−2，即a ＞12时，定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，则取x ＝﹣t −1a ，则f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at，令0＜t ≤2−1a ，当t →0时，−1at →﹣∞，f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at 可以取得负值，不符合题意；若a ＜0，则函数定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，令x =−1a +t ，则f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at，当t ＞0且t →0时，1at→﹣∞，f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at 可以取得负值，不符合题意，综上，0＜a ≤12，即a 的最大值为12．故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°解：对于A ：sin(−930°)=−sin(720°+210°)=sin30°=12，故A 正确；对于B ：2sinπ12sin 5π12=2sin π12sin(π2−π12)=2sin π12cos π12=sin π6=12，故B 正确； 对于C ：cos33°cos27°+sin33°sin27°＝cos （33°﹣27°）＝cos6°，故C 错误； 对于D ：tan22.5°1−tan 222.5°=12×2tan22.5°1−tan 222.5°=12tan45°=12，故D 正确． 故选：ABD ．10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =0解：根据幂函数的性质及函数图象的平移可知，f （x ）＝（x ﹣1）3在R 上单调递增且f （x ）的值域为R ，A 符合题意；根据指数函数的性质可知，f （x ）＝2023x 的值域为（0，+∞），不符合题意；根据对数函数的性质可知，f （x ）＝log 2023x 在（0，+∞）上单调递增且值域为R ，符合题意； f （x ）={−1x ，x ≠00，x =0在R 上不单调，不符合题意．故选：AC ．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}解：根据题意，依次分析选项：对于A ，[cos π4]＝[√22]＝0，A 正确；对于B ，当x ＝k π+π2，k ∈Z 时，cos x ＝0时，有cos x ﹣[cos x ]＝0，即x ＝k π+π2，k ∈Z 是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点，同理：x ＝k π，k ∈Z 也是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点， 故函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点有无数个，B 错误；对于C ，在区间[0，2π）上，y ＝[cos x ]={ 1，x =00，0＜x ≤π2−1，π2＜x ＜3π20，32≤x ＜2π，易得y ＝[cos x ]的最小正周期为2π，C 正确； 对于D ，由C 的结论，y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}，D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 解：由于函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，故有T 2=πω≥2π3−π6=π2，求得ω≤2，可得ω的最大值为2，故A 正确；若φ=−π6，由于ωx +φ∈（ωπ6−π6，2ωπ3−π6），则2ωπ3+φ=2ωπ3−π6≤π2，求得ω≤1，故ω∈（0，1]，故B 正确； 由于π6+2π32=5π12∈(π6，2π3)，故当f(5π12)＞0时，f(π6)+f(2π3)＞0，C 错误；令y =f(x)−√32=0，得f （x ）=√32，设y ＝f （x ）与y =√32距离最近的两交点的横坐标分别为x 1，x 2，依题意，得[|ωx 1+φ﹣（ωx 2+φ）|]min =2π3−π3=π3，即ω|x 1﹣x 2|min =π3， 因为函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，即|x 1﹣x 2|min =π6， 所以ω＝2，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为10 ．解：原式＝lo g 1319+23＝2+8＝10．故答案为：10．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一） ．（写出一个即可） 解：因为函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）是R 上的奇函数， 又因为f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0， 所以f （x +1）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 所以f （x ）的周期为2，所以f （x ）的解析式可以是f （x ）＝sin （πx ）． 故答案为：f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一）．15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 −17√250．解：由于0＜α＜π，故α+π4∈(π4，5π4)，由于sin π4=√22＞sin(α+π4)=35，故α+π4∈(3π4，π)，所以α的终边不可能在第一象限内，只能在第二象限内，故cos(α+π4)=−45，所以sinα＝sin[（α+π4）−π4]=sin(α+π4)cosπ4−cos(α+π4)sinπ4=35×√22+45×√22=7√210，由于α的终边在第二象限内，故cosα=−√1−sin2α=−√210，所以cos(2α+π4)=cos[α+(α+π4)]=cosαcos(α+π4)−sinαsin(α+π4)=√210×45−35×7√210=−17√250．故答案为：−17√2 50．16．已知下列五个函数：y＝x，y=1x，y＝x2，y＝lnx，y＝e x，从中选出两个函数分别记为f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）＝x2+1x．解：根据题意，由函数F（x）的定义域为{x|x≠0}，则f（x）、g（x）中一定没有y＝lnx，一定有函数y=1 x ，设f（x）=1 x ，当g（x）＝x时，F（x）＝x+1x，F（x）为奇函数，不符合题意，当g（x）＝e x时，F（x）＝e x+1x，当x→﹣∞时，F（x）＜0，不符合题意；当g（x）＝x2时，F（x）＝x2+1x，当x＜﹣1时，F（x）=x3+1x＜0，当x＜﹣1时，F（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，F（x）＜0，当x＞0时，F（x）＞0，符合题意；故F（x）＝x2+1 x ．故答案为：x2+1 x ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A={x|y=√−2x2+x+1}，集合B＝{x|（x+a﹣1）（x﹣2a）≥0，a∈R}．（1）当a＝1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝A，求实数a的值．解：（1）由﹣2x2+x+1≥0，可得−12≤x≤1，故A＝{x|−12≤x≤1}，当a＝1时，B＝{x|x≥2或x≤0}，故A ∪B ＝{x |x ≥2或x ≤1}，所以∁R （A ∪B ）＝{x |1＜x ＜2}；（2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为A ＝{x |−12≤x ≤1}，B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． 当2a ＝1﹣a ，即a =13时，B ＝R ，符合题意， 当2a ＞1﹣a ，即a ＞13时，B ＝{x |x ≥2a 或x ≤1﹣a }， 则{a ＞132a ≤−12或{a ＞131−a ≥1，此时a 不存在； 当2a ＜1﹣a ，即a ＜13时，B ＝{x |x ≥1﹣a 或x ≤2a }， 则{a ＜131−a ≤−12或2a ≥1，此时a 不存在，所以a =13． 18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值； （2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．解：（1）∵A 的横坐标为35，又|OA |＝1，且A 在第一象限， ∴A 的纵坐标为45， ∴cos α=35，sin α=45，∴tan α=sinαcosα=43， ∴cos(2α−π2)sin 2α+cos2α=sin2αsin 2α+cos 2α−sin 2α =2sinαcosαcos 2α=2tan α=83；（2）∵cos ∠AOC =−6365， ∴由图可知sin ∠AOC =√1−cos 2∠AOC =√1−(6365)2=1665， 根据题意可得OC 为α﹣∠AOC 的终边，又点C 与点B 关于x 轴对称，OB 为β的终边，∴cos β＝cos （α﹣∠AOC ）＝cos αcos ∠AOC +sin αsin ∠AOC =35×(−6365)+45×1665=−513． 19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣1）＝﹣f （1），即a −1−1a −1+a−1=−a−12a−1， 即1a −11a +a−1=−a−12a−1，1−a a 2−a+1=−a−12a−1， 所以a 2﹣a +1＝2a ﹣1，解得a ＝1（舍）或a ＝2，所以a ＝2．当a ＝2时，f （x ）=2x−12x +1，定义域为R ， f （﹣x ）=2−x −12−x +1=12x −112x +1=1−2x 1+2x =−2x −12x +1=−f （x ）， 所以函数y ＝f （x ）是R 上的奇函数，故a ＝2；（Ⅱ）因为f （x ）=2x−12x +1=1−22x +1， 设x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=22x 2+1−22x 1+1=2(2x 1−2x2)(2x 1+1)(2x 2+1)＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），所以y ＝f （x ）在R 上单调递增，又因为关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，即关于t 方程f （t 2﹣2t ）＝﹣f （4﹣kt ）＝f （kt ﹣4）在[1，3]有且仅有一个根，t 2﹣2t ＝kt ﹣4在[1，3]有且仅有一个根，易得t ＝0不满足；当t ≠0时，k ＝t +4t−2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 令h （t ）＝t +4t−2，t ∈[1，3]， 由对勾函数的性质可知y ＝h （t ）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，所以h （t ）min ＝h （2）＝2，又h （1）＝3，h （3）=73， 如图所示：由此可得当k ＝2或73＜k ≤3时，满足k ＝t +4t −2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 所以实数k 的取值范围为（73，3]∪{2}． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)． （Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．解：（Ⅰ）令x −π3=k π，k ∈Z ，则x =π3+kπ，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（k π+π3，0），k ∈Z ； （Ⅱ）g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)=4sin （x −π2）sin （x −π6）＝﹣4cos x （√32sin x −12cos x ） ＝﹣2√3sin x cos x +2cos 2x=−√3sin2x +cos2x +1＝2cos （2x +π3）+1， 若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，即cos （2x +π3）在[0，m ]上取得最小值﹣1，令2x +π3=π，可得x =π3， 故m 的最小值为π3． 21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x−5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式．（2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）W （x ）＝0.2×1000×x ﹣R （x ）﹣100＝200x ﹣R （x ）﹣100，当0＜x ＜50时，W （x ）＝200x ﹣（2x 2+80x +200）﹣100＝﹣2x 2+120x ﹣300，当x ≥50时，W(x)=200x −(201x +6400x −5200)−100=−(x +6400x)+5100， 故W （x ）={−2x 2+120x −300(0＜x ＜50)−(x +6400x)+5100(x ≥50)； （2）若0＜x ＜50，W （x ）＝﹣2x 2+120x ﹣300＝﹣2（x ﹣30）2+1500，当x ＝30时，W （x ）max ＝1500，若x ≥50，W(x)=−(x +6400x)+5100≤−2√6400+5100=4940，当且仅当x ＝80时，等号成立， 所以当x ＝80时，W （x ）max ＝4940，故2024年的年产量为80千部时，企业所获利润最大，最大利润是4940万元．22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ． （1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2m b]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．证明：（1）因为函数f(x)=|x −3x+2|+m 有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 所以方程f(x)=|x −3x+2|+m =0有4个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 于是方程x −3x +2+m =0，−(x −3x+2)+m =0都各有两个不同的解， 即方程x 2+（2+m ）x ﹣3＝0，x 2+（2﹣m ）x ﹣3＝0各有两个实数根，于是x 1x 2x 3x 4＝9；解：（2）f(x)=|x −3x +2|+m ={x −3x +2+m ，x ≥1−x +3x−2+m ，0＜x ＜1， 所以y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ①若函数f （x ）在[a ，b ]上不单调，则有0＜a ≤1＜b ，且f(1)=m =2m a ， 由于m ≠0，所以a ＝2，与假设矛盾；②当1≤a ＜b 时，有{f(a)=2m a f(b)=2m b ，即{a −3a +2+m =2m a b −3b +2+m =2m b ， 所以{a 2+(m +2)a −3−2m =0b 2+(m +2)b −3−2m =0， 所以a ，b 是一元二次方程x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ＝0的两个不相等的实数根， 记g （x ）＝x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ，有{Δ=(m +2)2+4(2m +3)＞0−m+22≥11+(m +2)−3−2m ＞0，所以m ＜−6−2√5， ③当0＜a ＜b ≤1时，应有{f(a)=2m b f(b)=2m a ，即{−a +3a −2+m =2m b −b +3b −2+m =2m a， 两式相减得到ab +3＝﹣2m ∈（3，4），所以m ∈(−2，−32)， 两式相加得：a +b =(2m+3)(m−2)3， 又ab ＝﹣（2m +3），∴1a +1b =a+b ab =2−m 3∈(2，+∞)， ∴m ＜﹣4，与m ∈(−2，−32)矛盾， 此时满足条件的实数m 不存在，综合以上讨论，满足条件的实数m 的取值范围是(−∞，−6−2√5)．。
贵州省贵阳市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 含答案
贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U ={0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N = {3,4,5},U,M, N，找合＇ 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）u`C.{3}A.{l,2,3,4,5}B.{4,5}D.02命题“3xE R, x2 + x+1 � 0”的否定是（）2A.3x e R, x2 + x +l之0B.3x E R, x2 + x+l< 0D.Vx茫R,x·+x+l< 0C.VxER,x2 +x+ l < 0 23对任意角a和fJ."sina = sin/J“是“a=fJ”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件24已知函数f(x)= �+log。
,(2-x)，则f(x)的定义域为（）4x-3A （扣） B.（扣］C.(-oo,2) D （三）u(扣）5设函数f(x)=2·'+x的零点为X o'则X o所在的区间是（）A.(-1,0) C.(1,2)B.(-2,-1) D.(0,1)6设a=(½/,b= 2(c = log2¾，则a,b,c的大小关系为（A. c<a<bB. c < b < aC. a<b<cD.a<c<bII冗7下列选项中，与sin(－飞－）的值不相等的是（）A.2sin l5°sin 75°B.cosl8° cos42° -sinl8° sin42°C.2cos2l5°-lD.tan22.5° l-tan2 22.5°8.某池塘野生水葫芦的援盖面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，其中说法错误的是（y/m2l 6t--－-－-－－－－－－-－-－ ,,，81--－－－－－-－－t'一气， ，， ，， ，A此指数函数的底数为2B在第5个月时，野生水葫芦的稷盖面积会超过30m2C野生水葫芦从4m2荽延到12m2只需1.5个月D设野生水葫芦蔓延至2m2,3m2,6m2所需的时间分别为x1,x2,x3,则有X1+x2 = X3二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．）9已知a,b,c eR,则下列命题正确的是（）I IA若－＞一，则a<ba bB若ac2> bc2,则（1>bC.若a<b,c <d,则a-c<b-dD若a>b > O,c > 0,则a a+c一＞b b+cIO下列说法中，正确的是()IA函数y=－在定义域上是减函数e x -1B.函数y=——一是奇函数e x +lC函数y= f(x+a)-b为奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形D函数f(x)为定义在(-x,,O)U(O冲心）上的奇函数，且f(3) = I.对千任意x,,x2E (0，长't:)),x1:;cx2,汀(x,)－x2f(x2) 3都有1>0成立，则.f(x)三一的解集为（－OCJ,-3] u(0,3]X1 -x2''X三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上．）11若幕函数f(x)＝(11i2-2m-2)义”在(0,+～)上单调递增，则实数m=12函数y= sinx+ cosx的最大值是s13 已知圆和四边形（四个角均为直角）的周长相等，而积分别为S I'鸟，则_]_的最小值为s214已知函数f(x) = 2sin(cv x+(p)(co> O,I例<:)的部分图像如图所示，则f行）＝X-2.一一一一-壹15已知函数f(X) = 2kx2 -kx -i (0 ::; X ::;; 2, k E R)，若k=I，则该函数的零占为若对沁XE[0,2],不等式f(x) < -2k恒成立，则实数K的取值范围为四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16已知角0的终边过点(-3,4)，求角0的三个三角函数值．17.(I)已知芦＋a令＝3,求a＋矿的值：(2)已知log2[ l og3 (log4X)] =0'求X的值18 已知函数f(x)=x-�IX(I)判断函数f(x)的奇偶性：1(2)根据定义证明函数f(x)=x-－在区间(0,＋幻）上单调递增X冗19将函数f(x) =c o s(x+ �)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的上，纵坐标不变，得到函数g(x的（） 图象(I)求函数g(x)的单调递增区间和对称中心：(2)若关于X的方程2sin2x-m c o s x-4= 0在XE（吟）上有实数解，求实数m的取值范围五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分解答应写出文字说明，条理清晰．）20. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的瓜要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的篮要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（I)整体观察：（2)整体设元；（3)整体代入：（4)整体求和等l l例如，ab=I,求证：一＋－＝l.I+a I+b证明：原式ab I b I+—=—+—=I. ab+a I+b b+I l+b阅读材料二：解决多元变掀问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究a+b例如，正实数a,b满足ab=L求(l+a)b解：由ab=I,得b＝一，的最小值1 a+b a+--;; _ a 2+1_ (a+l }2-2(a+l)+2＝ ＝ ＝ ..(I+a)b I a+la+I (l+a )� a 2 2 =(a+l)＋二－2�2✓(a+l)二－2=2✓2-2,当且仅当a+I =✓2，即a=✓2-1,b = ✓2 +1时，等号成立a+b.. (l+a)b的最小值为2J5-2波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个腮菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征结合阅读材料解答下列问题：(I)已知ab=I,求＋——了的值；l+a 2. l +bI I(2)若正实数a,b 满足ab=I,求M =--=--+ 的最小值I+a I+3b贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U = {0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N={3,4,5},U,M, N，找合＇ 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（u`A.{l,2,3,4,5}【答案】B【解析】B.{4,5}【分析】求出M n N,得到阴影部分表示的渠合C.{3}［详解】图中阴影部分表示的渠合为N中元素去掉M n N的元素后的梊合，MnN = {0,1,2,3们{3,4,5}=｛习，故图中阴影部分表示的集合为{4,5}故选：B2.命题“3xER,x2+x+l2:0”的否定是（）A.3x ie R, x2 + x+l ;;:: 0B.3x E R, x2 + x+I <0C.VxER,x2+x+l<0 2D.Vx茫R,X4+x+l< 0【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定即可求解D.0【详解】命题“:3x E R, x 2+ x + 1 2:: 0”的否定是“"ix E R,x 2+x+ 1< 0",故选：C3对任意角a 和/3,"sin a = s in/3“是“a=/3”的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D 既不充分也不必要条件【答案）B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，结合必要不充分的定义即可求解【详解】由sina=s in/3可得a=/J+2朊或者a+/3＝冗＋2幻，kEZ,故sina=s in/3不能得到a=/3，但a=/3，则sina= s in/3，故“sina=sin/3“是“a=/3”的必要不充分条件，故选：B2 4已知函数f(x) =�+log 。
人教版高一数学上册期末考试试卷及答案
人教版高一数学上册期末考试试卷及答案（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第1页 共16页 高一（上）期末数学试卷 一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．为了了解1200名学生对学校某项教改实习的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，
考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（ ） A．12 B．20 C．30 D．40 2．集合M={x|0＜x＜3，且x∈N}的子集个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 3．用简单随机抽样法从某班56人中随机抽取1人，则学生甲不被抽到的概率为（ ）
A． B． C．1 D．0 4．函数y=ax（a＞0，且a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a=（ ） A．2 B．4 C．6 D．8
5．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则log28⊗（）﹣2=（ ）
A． B．1 C． D．2 6．篮球运动员乙在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则他在这几场比赛中得分的中位
数为（ ） A．26 B．27 C．26.5 D．27.5 7．下面程序执行后输出的结果为（ ） 第2页 共16页
A．0 B．1 C．2 D．﹣1 8．如图，四边形ABCD为正方形，E为AB的中点，F为AD上靠近D的三等分点，若向
正方形内随机投掷一个点，则该点落在△CEF内的概率为（ ）
A． B． C． D． 9．函数y=|log2x|﹣2﹣x的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
10．若loga＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围为（ ）
A．（，1） B．（，+∞） C．（0，）∪（1，+∞） D．（0，）∪（，+∞） 11．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6 12．一个样本由a，3，5，b构成，且a，b是方程x2﹣8x+5=0的两根，则这个样本的方差
为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 第3页 共16页
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上） 13．执行如图的程序语句后输出的j=______．
14．已知b1是[0，1]上的均匀随机数，b=（b1﹣0.5）*6，则b是区间______上的均匀随机
数． 15．98和63的最大公约数为______． 16．某次考试后，抽取了40位学生的成绩，并根据抽样数据制作的频率分布直方图如图所
示，从成绩为[80，100]的学生中随机抽取了2人进行某项调查，则这两人分别来自两个不同分数段内的频率为______．
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上） 17．执行如图所示的程序框图，当输入n=100时，试写出其输出S的数学式子（不要求写
出运算结果）． 18．同时掷两个质地均匀且完全相同的骰子． （Ⅰ）求向上点数之和是5的概率； （Ⅱ）求向上点数之和是3的倍数的概率． 第4页 共16页
19．如果在一次实习中，测得数对（x，y）的四组数值分别是A（1，2），B（2，3），C（3，
5），D（4，6）．
（Ⅰ）试求y与x之间的回归直线方程； （Ⅱ）用回归直线方程预测x=5时的y值．
（，） 20．如图，△OAB是边长为2的正三角形，当一条垂直于底边OA（垂足不与O，A重合）
的直线x=t从左至右移动时，直线l把三角形分成两部分，记直线l左边部分的面积y． （Ⅰ）写出函数y=f（t）的解析式； （Ⅱ）写出函数y=f（t）的定义域和值域．
21．设0≤x≤2，求函数y=9x﹣2×3x+3的最大值，并求取得最大值时x的值． 22．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题： （Ⅰ）补全频率分布直方图； 分组 频数 频率 [50，60） 4 0.08 [60，70） 8 0.16 [70，80） 10 0.20 [80，90） 16 0.32 [90，100] ______ ______ 合计 ______ ______ （Ⅱ）根据频率分布直方图计算学生成绩的平均值． 第5页 共16页
2015-2016学年山西省孝义市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析 一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．为了了解1200名学生对学校某项教改实习的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，
考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（ ） A．12 B．20 C．30 D．40 【考点】系统抽样方法． 【分析】根据系统抽样的定义和方法，结合题意可得分段的间隔k等于个体总数除以样本容量，运算求得结果．
【解答】解：根据系统抽样的定义和方法，结合题意可得分段的间隔k==30， 故选C．
2．集合M={x|0＜x＜3，且x∈N}的子集个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 【考点】子集与真子集． 【分析】根据题意，易得集合M中有2个元素，由集合的元素数目与其子集数目的关系，可得答案． 【解答】解：集合A={x∈N|0＜x＜3}={1，2}，则其子集有22=4个， 故选：C．
3．用简单随机抽样法从某班56人中随机抽取1人，则学生甲不被抽到的概率为（ ） A． B． C．1 D．0 【考点】简单随机抽样． 【分析】用简单随机抽样法从某班56人中随机抽取1人，学生甲被抽到的概率为，即可求出学生甲不被抽到的概率． 【解答】解：用简单随机抽样法从某班56人中随机抽取1人，学生甲被抽到的概率为，
∴学生甲不被抽到的概率为1﹣=， 故选：B．
4．函数y=ax（a＞0，且a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a=（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【考点】指数函数的图象与性质． 【分析】讨论0＜a＜1与a＞1时，函数y=ax在[0，1]上的单调性，求出函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值，由此求出a的值． 【解答】解：①当0＜a＜1时， 第6页 共16页
函数y=ax在[0，1]上为单调减函数， ∴函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值分别为1，a； 又函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3， ∴1+a=3，解得a=2（舍去）； ②当a＞1时，
函数y=ax在[0，1]上为单调增函数， ∴函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值分别为a，1； 又函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3， ∴1+a=3，解得a=2； 综上，a=2． 故选：A．
5．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则log28⊗（）﹣2=（ ）
A． B．1 C． D．2 【考点】程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作
用是计算分段函数y=的函数值，并输出． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算分段函数y=的函数值， ∵（log28）⊗（）﹣2=3⊗4， 此时a=3＜b=4 第7页 共16页
∴y==1 故选：B．
6．篮球运动员乙在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则他在这几场比赛中得分的中位
数为（ ） A．26 B．27 C．26.5 D．27.5 【考点】众数、中位数、平均数． 【分析】根据中位数的定义判断即可． 【解答】解：由茎叶图得，这组数据为： 13，14，16，23，26，27，28，33，38，39，
故中位数是： =26.5， 故选：C．
7．下面程序执行后输出的结果为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【考点】伪代码；程序框图． 【分析】根据程序框图，分析并按照顺序进行执行，当执行结束，输出n的值． 【解答】解：程序执行如下： s=5 n=4 s=9 n=3 s=12 n=2 s=14 n=1 s=15 n=0 此时跳出循环并输出n=0． 故选：A．
8．如图，四边形ABCD为正方形，E为AB的中点，F为AD上靠近D的三等分点，若向
正方形内随机投掷一个点，则该点落在△CEF内的概率为（ ） 第8页 共16页
A． B． C． D． 【考点】几何概型． 【分析】设正方形ABCD的边长为a，求出正方形ABCD的面积与△AEF、△BEC和△CDF的面积，即可得出△CEF的面积，从而求出对应的概率． 【解答】解：设正方形ABCD的边长为a， 则正方形ABCD的面积为a2，
又△AEF的面积为S△AEF=×a•a=a2，
△BEC的面积为S△BEC=×a•a=a2， △CDF的面积为S△CDF=×a•a=a2， ∴△CEF的面积为S△CEF=a2﹣a2﹣a2﹣a2=a2； ∴向正方形ABCD内随机投掷一个质点，它落在△CEF内的概率为P=． 故选：D．
9．函数y=|log2x|﹣2﹣x的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】将方程的解的个数转化为两个函数的交点问题，通过图象即可解答． 【解答】解：函数y=|log2x|﹣2﹣x的零点个数，是方程|log2x|﹣2﹣x=0的实数根的个数， 即|log2x|=2﹣x，
令f（x）=|log2x|，g（x）=2﹣x=， 画出函数的图象，如图所示： 由图象得：f（x）与g（x）有2个交点， ∴方程|log2x|﹣2x=0解的个数为2个， 故选：C．