12.3 互逆命题(2)
数学(苏科版)七年级下册第12章 12.3互逆命题 同步练习H卷
数学（苏科版）七年级下册第12章 12.3互逆命题同步练习H卷一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分）下列命题中是假命题的是（）A . 同旁内角互补，两直线平行B . 直线a⊥b，则a与b的夹角为直角C . 如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角D . 在同一平面内，若a∥b，a⊥c，那么b⊥c2. （2分）下列命题中，假命题的是（）A . 经过两点有且只有一条直线B . 平行四边形的对角线相等C . 两腰相等的梯形叫做等腰梯形D . 圆的切线垂直于经过切点的半径3. （2分）给出下列命题：①三角形的一个外角一定大于它的一个内角②若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形③三角形的最小内角不能大于60°④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和其中真命题的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个4. （2分）下列命题是真命题的是（）A . 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B . 对角线互相垂直的平行四边形是矩形C . 四条边相等的四边形是菱形D . 对角线相等的矩形是正方形5. （2分）如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）A . 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B . 有一组对边平行的四边形是梯形C . 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D . 对角线相等的平行四边形是矩形6. （2分）如图，有下列命题：①若∠1=∠2，则∠D=∠3；②若∠C=∠D，则∠3=∠C；③若∠A=∠F，则∠1=∠2；④若∠1=∠2，∠C=∠D，则∠F=∠A，其中正确的个数为（）A . 1C . 3D . 47. （2分）下列命题中，假命题是（）A . 平行四边形的两组对边分别相等B . 矩形的对角线相等C . 两组对边分别相等四边形是平行四边形D . 对角线相等的四边形是矩形8. （2分）下列句子中不是命题的是（）A . 两直线平行，同位角相等B . 直线AB垂直于CD吗C . 若︱a︱=︱b︱，则D . 同角的补角相等9. （2分）给出下列命题：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形；③三角形的三边a、b、c满足a2+c2=b2 ，则△ABC是∠C为直角的直角三角形；④△AB C中，若 a：b：c=1：2：，则这个三角形是直角三角形．其中，正确命题的个数为（）A . 1个B . 2个D . 4个10. （2分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A . 直角都相等B . 钝角都小180°C . 如果x2+y2=0，那么x=y=0D . 对顶角相等11. （2分）下列命题中正确的是（）A . 对角线相等的四边形是矩形B . 对角线互相垂直的四边形是菱形C . 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D . 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形二、填空题 (共7题；共10分)12. （2分）“如果一个数是整数，那么它是有理数”这个命题的条件是________．13. （1分）命题“如果a=b，那么a2=b2”的逆命题是________．14. （1分）有下列命题：①等边三角形有一个角等于60°②角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线③如果那么a=b ④对顶角相等,这些命题是逆命题是真命题的有________ 。
逆命题与逆定理(基础)知识讲解
逆命题与逆定理（基础）责编：杜少波【学习目标】1．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，会区分命题的题设（条件）和结论，并能判断一个命题的真假；会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；2．理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题；3．理解并掌握线段垂直平分线性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题．【要点梳理】要点一、互逆命题与互逆定理1.互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.要点诠释：（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.要点二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.【典型例题】类型一、互逆命题与互逆定理1、“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是 .【答案】轴对称图形是等腰三角形【解析】根据轴对称图形的概念求解．逆命题是结果与条件互换一下的说法．【总结升华】掌握好逆命题，及轴对称的概念．举一反三：【变式】下列定理中，没有逆定理的是（）．A.全等三角形的对应角都相等B.全等三角形的对应边都相等C.等腰三角形的两底角相等D.等边三角形的三边都相等【答案】A类型二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理2、如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD=3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长．【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可．【答案与解析】解：∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，又∵BD=3cm，∴BC=6cm，又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm，∴2AC=14，AC=7cm．【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．举一反三【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）．A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°【答案】D3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【思路点拨】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．【答案与解析】证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．【总结升华】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．举一反三：【变式】数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）【答案】解：类型三、角平分线性质定理及其逆定理4、（2016•邯郸二模）如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE=OD=OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【答案与解析】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=20×3=30.【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．举一反三：【变式】如图：△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（）．①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等④BP平分∠APC．A．①②B．①④C．③②D．③④【答案】C5、如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF求证：AD平分∠BAC．【思路点拨】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE=DF，然后由角平分线性质的逆定理，即可证得AD平分∠BAC．【答案与解析】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，∴AD平分∠BAC．【总结升华】此题考察了角平分线性质的逆定理与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（）．A. BC的中线上B. BC边的垂直平分线上C.BC边的高线上D.∠A的平分线所在的直线上【答案】D。
逆命题
形式
四中命题具有形式：设p为原命题条件，q为原命题结论则： （1）原命题：若p则q ； （2）逆命题：若 q则p ； （3）否命题：若非p则非q； （4）逆否命题：若非q则非p。
的性质
逆命题具有性质：原命题为真，它的逆命题不一定为真。例如： 原命题：若a=0，则ab=0，这是一个真命题； 逆命题：若ab=0，则a=0，这是一个假命题。
逆命题
数学术语
01 定义
03 的性质
目录
02 形式 04 关系
一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。对于两个命题，如果一 个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命 题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。
定义
命题
互 逆否命题
命题的定义：可以判断正确或错误的句子叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做 假命题。
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题。但 是原命题正确，它的逆命题未必正确。例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就 是假命题。
关系
相互关系
真假关系
四种命题的相互关系如下： （1）原命题与逆命题互逆； （2）否命题与原命题互否； （3）原命题与逆否命题相互逆否； （4）逆命题与否命题相互逆否； （5）逆命题与逆否命题互否； （6）逆否命题与否命题互逆 。
四种命题的真假关系如下： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命 题同真同假） 。
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【最新苏科版精选】苏科初中数学七下《12.4互逆命题》word教案 (3).doc
12.3 互逆命题
一.目标设计
1. 回顾平行线的判定和性质，能主动地区别这些互逆命题；
2. 回顾平行线判定定理的证明，引导学生不断感受几何演绎体系的思维方法，并通过新的思考和讨论，以利于学生主动参与本节课的教学活动.
3. 能从“同位角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”这两个基本事实出发，证明平行线的判定定理、平行线的性质定理，并能简单应用这些结论.
二.活动设计
流：
(1)真，假；
说明：组织学
利于引导学生主动发现：一对互逆命题的真假性不一定相同
题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？
（不正确，如：当=2b
法，
以利于引导学生体验并理解：说
机会，也是对前面几何知识的回味，要让学生多思，
四.例题设计
；
逆命题，
a
假命题，如
出来的正确的结论，是无需证明大家一致公认的事实或一步一
思，多说才能有条理地表述
有思考的过程，要注意这里不仅仅是命题的教学，更是几何的列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真2)。
湘教版解读-123互逆命题
**互逆命题1 课程标准层次要求认识：①互逆命题例1理解：②举反例说明假命题的方法例2掌握：③判断两个命题是否是逆否命题和求一个命题的逆命题的方法（重点）例1 、例3、例62教材知识全面解读知识点1 互逆命题意义举例互逆命题在两个命题中，如果第一个的条件是第二个命题的结论，而第二个命题的条件又是第一个命题的结论，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫另一个命题的逆命题．“若a b=，则a b=”的逆命题是“a b=，则a b=”．牢记解读：（1）互逆命题不是指一个命题，而是指两个命题之间的一种关系，它和互为倒数，互为相反数，互为余角，互为补角这些的含义类似．（2）原命题与逆命题是相对的，互逆命题是指两个命题之间的某种关系，这种关系体现在题设与结论的相互交换上．（3）每个命题都可以将它的条件和结论互换得到它的逆命题，因而每个命题都有逆命题．（4）写出一个命题的逆命题的方法：首先找出原命题的条件和结论，然后把结论作为条件，把条件作为结论就可以了．如：“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．互换题设与结论后是：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，即“相等的角是对顶角”．拓展：每个命题都有逆命题，但原命题正确，它的逆命题却不一定正确，原命题错误，逆命题不一定错误．巧记乐背互逆命题是两个命题之间的一种特殊关系，它们的条件、结论是互换的关系．基础题型一互逆命题【例1】给出下列命题：（1）直角都相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）如果a+b>0，那么a>0，b>0；（4）两直线平行，同位角相等；（5）相等的角都是直角；（6）如果a>0，b>0，那么ab>0，其中，互为逆命题的是：____________. 分析：根据逆命题的定义，只要找到条件和结论互换的两个命题即可．答案：（1）与（5）、（2）与（4）、（3）与（6）．方法点拨：判断互逆命题关键看在条件与结论有没有相互交换．变式练习：1．写出下列命题的逆命题：（1）两直线平行，内错角相等；逆命题是：_________________________. （2）如果a2=b2，那么a=b；逆命题是：__________________________. （3）内错角相等逆命题是：__________________________. 答案：（1）内错角相等，两直线平行；（2）如果a=b，那么a2=b2；（3）相等的两角是内错角．知识点2 反例内容举例反例举出一个符合命题的条件但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题的例子称为反例．命题若xy=0,则x=0的反例是2x=，y=．牢记注意：数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例．巧记乐背反例，反例，反驳的例子，也就是条件成立结论不成立的例子．基础题型二用反例说明命题是假命题【例2】举反例说明下列命题是假命题：①如果a+b>0，那么a>0,b>0；②两个锐角的和大于90°分析：找出满足条件且结论不成立的例子解：①a=5，b=－2时，有a+b=5＋（－2）=3，但b=－2＜0；②30°的锐角与40°的锐角有30°＋40°=70°＜90°．方法点拨：注意满足条件的例子有多种可能，要在这几种可能中找出符合条件且结论不成立的例子．变式练习：2．举反例说明若a＞b则a2＞b2的逆命题为假命题．解：若a＞b，则a2＞b2的逆命题为：若a2＞b2，则a ＞b，反例：a=-2，b=-1，有a2＞b2，但a＜b．3 典型例题分类解读类型一逆命题的真假判断【例3】写出下列命题的逆命题，并指出其真假(1) 如果a2=b2，那么a=b；(2)对顶角相等．分析：先写出逆命题，再判断其真假．解：（1）如果a2=b2，那么a=b；的逆命题是：如果a=b，那么a2=b2．显然，其逆命题是真命题．(2) 对顶角相等的逆命题是相等的两角是对顶角，其逆命题是假命题，反例如下图的两个角∠AOB，∠BOC，尽管∠AOB=∠BOC，但∠AOB与∠BOC不是对顶角．图12-3-1方法点拨：解本题的前提是写对逆命题，再做出正确判断，注意运用恰当的反例来说明一个命题是假命题．要点总结：逆命题的真假情况与原命题的真假没有必然的联系，所以判断逆命题的真假步骤还是先写出逆命题，再判断其真假．变式练习3．下列定理中，逆命题不正确的是（）A．内错角相等，两直线平行；B．直角三角形中两锐角互余C．相反数的绝对值相等；D．同位角相等，两直线平行答案：C．类型二完成证明、寻找互逆命题【例4】已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．（1）求证：CD⊥AB；（2）在上面的证明过程中应用了哪个互逆的真命题？图12-3-2分析：由∠1=∠ACB，利用同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，根据平行线的性质和等量代换可得∠3=∠DCB，故推出CD∥FH，再结合已知FH⊥AB，易得CD⊥AB．⑴证明：∵∠1=∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∠2=∠DCB（两直线平行，内错角相等），又∵∠2=∠3（已知）∴∠3=∠DCB（等量代换），故CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠FHB=∠CDB（两直线平行，同位角相等），∵FH⊥AB（已知），∴∠FHB=90°（垂直的定义）∴∠CDB=90°，∴CD⊥AB（垂直的定义）．⑵应用了“同位角相等，两直线平行”与“两直线平行，同位角相等”这两个真命题．方法点拨：本题关键是由角的关系与直线的位置关系互相转化以及等量代换等变换．要点总结：先判定平行再用平行的性质，要判定平行先找角的特殊关系．变式练习4．如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED=∠BDE，求证：EF也是∠AED的平分线．图12-3-3证明：∵BD是∠ABC的平分线（已知），∴∠ABD=∠DBC（角平分线定义）；∵ED∥BC（已知），∴∠BDE=∠DBC（两直线平行，内错角相等），∴∠ABD=∠BDE（等量代换）；又∵∠FED=∠BDE（已知），∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行），∴∠AEF=∠ABD（两直线平行，同位角相等），∴∠AEF=∠DEF（等量代换），∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）．4 拓展创新能力提升类型三：平行线性质与判定的综合应用【例5】已知，如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试证明∠AED=∠C，分析：先利用补角性质证明∠2=∠4，于是EF∥AB，因而可得∠ADE=∠B，再由DE∥BC，证得∠AED=∠C．证明：∵∠1+∠2=180°（已知），又∠1+∠4=180°（补角的性质），∴∠2=∠4（同角的补角相等），∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行），∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等），又∵∠3=∠B（已知），∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．方法点拨：本题利用补角的性质证等角，从而证平行线，再利用平行线性质解决问题．易错点1 命题的真假性判断错误易错例1 下列说法中真命题的个数有（）（1）若a∥b，b∥c，则a∥c．（2）在同一平面内，不相交的两条线段必平行．（3）相等的角是对顶角．（4）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等．（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．（6）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个常见错解：C．【误区分析】产生错解的原因是误以为“两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等”是正确的，事实上，“两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等”是假命题，只有两条平行线被第三条直线所截取得的同位角才相等，（4）是假命题；而根据平行于同一直线的两条直线平行，（1）是真命题；∵如图：AB和CD不平行，∴（2）是假命题；∵在两条平行线被第三条直线所截的同位角相等，但不是对顶角，∴（3）错误；∵若在同一平面内，a⊥b，b⊥c，∴a∥c，∴（5）假命题；如图：∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CFE，∵EN平分∠BEF，FM平分∠CFE，∴∠NEF=12∠BEF，∠MFE=12∠CFE，∴∠MFE=∠NEF，∴EN∥FM，∴（6）是真命题．故选B．正解：B．易错点2 误以为原命题与逆命题的真假性是一致的易错例2 下列说法中，正确的是（）A．每个命题不一定都有逆命题；B．每个定理都有逆定理C．真命题的逆命题仍是真命题；D．假命题的逆命题未必是假命题常见错解：C．【误区分析】误以为一个真命题的逆命题一定是真命题，一个假命题的逆命题一定是假命题．事实上，一个命题的真假与它逆命题的真假并无相关性，如命题“同位角相等，两直线平行”原命题和逆命题都是真命题；命题“对顶角相等”，原命题是真命题，逆命题是假命题；命题“同位角相等”，原命题与逆命题都错误．另外，每个定理的都是真命题，它的逆命题也可能是真命题，也可能是假命题，既是逆命题是真命题，并不一定把逆命题作为定理，故选D．正解：D．6 3年中考3年模拟中考命题方向本节内容在中考中以考察逆命题知识的题目较少，常以填空题、选择题形式出现，在今后的中考中，这部分知识大约考0-3分． 中考典型习题考点一 命题与逆命题真假判断1．(2012•内蒙古包头)已知下列命题：①若a ≤0，则｜a ｜=-a ②若ma 2>na 2，则m >n ; ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④垂直于弦的直径平分弦．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 考点二 写出逆命题 2．（2011•凉山州）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：考点三 平行线性质与判定的综合应用 3．（2012•恩施州）如图，AB ∥CD ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，∠1=50°，则∠2等于（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．90°参考解答：1、B 分析：四个命题的原命题均为真命题，①的逆命题为：若｜a ｜=－a ，则a ≤0，也为真命题；②的逆命题为：若m >n ，则ma 2>na 2，是假命题，当a =0时，结论就不成立；③的逆命题是平行四边形的两组对角分别相等，是真命题；④的逆命题是：平分弦的直径垂直于弦，这是个假命题，当这条弦为直径时，结论不一定成立。
2020-2021学年七年级数学苏科版下册-12.3 互逆命题
【练思创学】
6. 如图，∠AED=600，∠1=∠2，∠3=300， （1）判定EF与BD有什么位置关系，并说明理由； （2）∠ABC等于多少度时，DE∥CB？
（）
（3）两直线平行，内错角相等。 逆命题：
（）
（4）如果a=0，b=0，那么ab=0。 逆命题：
（）
【建构慧学】
2．举反例说明下列命题是假命题： （1）如果ab＞0,那么a＞0,b＞0.
（2）同旁内角互补。
（3）一个角的余角一定小于这个角。
（4）三角形中最多有两个锐角。
【建构慧学】
3．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1+∠2=90°，那么，直线AB、
12.3互逆命题(1)
学习目标:
1．了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其 逆命题不一定成立; 2．通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命 题是假命题; 3．经历一些“探索－发现－猜想－证明”的过程，不断发展合乎逻辑 的思考、有条理的表达的能力。
重点、难点：会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一 定成立。
(3)两直线被第三条直线所截,同位角相等；
(4)如果一点到线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点。
【建构慧学】
1．分别写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假。（在括号内填“真”
或“假”）
（1）如果∠1、∠2互为邻补角，那么∠1+∠2=180°
逆命题：
（）
（2）直角三角形的两个锐角互余。 逆命题：
把一个命题的 和 互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有 。
12.3 互逆命题（1）
【试一试】
1．下列各组命题是否是互逆命题： （1）“正方形的四个角都是直角”与“四个 角都是直角的四边形是正方形”； （2）“等于同一个角的两个角相等”与“如 果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”； （3）“对顶角相等”与“如果两个角相等， 那么这两个角是对顶角”； （4）“同位角相等，两直线平行”与“同位 角不相等，两直线不平行” ．
七下12.3互逆命题课后巩固训练(有答案)
七下12.3互逆命题课后巩固训练班级：___________姓名：___________ 得分：___________一、选择题1.下列定理中，没有逆定理的是()①内错角相等，两直线平行②等腰三角形两底角相等③对顶角相等④直角三角形的两个锐角互余．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.对于命题“若a2>b2，则a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是()A. a=3，b=2B. a=−3，b=2C. a=3，b=−1D. a=−1，b=33.学校闲暇节，七(1)班决定卖小商品，进货时，以每件a元的价格购进了20件甲种小商品，每件b元的价格购进了30件乙种小商品；回来后，他们将这两种小商品都以每件a+b元的价格出售，结果赔钱了，原因是()2A. a<bB. a>bC. a≤bD. a≥b4.下列命题：①内错角相等；②同旁内角互补；③直角都相等；④若n<1，则n2−1<0.其中真命题的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.下列语句属于命题的个数是() ①宣城市奋飞学校是市文明单位 ②直角等于90° ③对顶角相等 ④奇数一定是质数吗？A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，从①∠1=∠2；②∠C=∠D；③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 37.定义：若两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则称这两个命题互为否命题．逆命题的否命题称为逆否命题．有下列四个命题：①“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则1−q有平方根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中是真命题的为()A. ①②③B. ③④C. ①③D. ①④二、填空题8.“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是________________________ ，它是一个______ 命题．9.如果一个角的两边与另一角的两边互相平行，那么这两个角的关系是________．10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE//BC，那么图中共有______ 个等腰三角形．11.在等腰三角形中，马彪同学做了如下探究：已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的(60°,60°)；已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的(45°,45°)；已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的(30°,30°).由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数是唯一确定的．马彪同学的结论是________的(填“正确”或“错误”)．12.以n=________为反例，可以证明命题“若n为自然数，则2n≥n2n”为假命题．13.“两直线平行，内错角相等。
12.3 互逆命题(1)
练一练
3.用反例说明下列命题是假命题：
(1) 任何数的平方大于0； (2) 两个锐角的和是钝角； (3)一个角的补角一定大于这个角；
小结
本节课你学到什么？
学前准备
某一件事情的句子 叫做命题， 判断______________________
结论 两部分组成. 条件 和_______ 每个命题都由_______
如果条件成立，那么_________ 结论成立 ，
这样的命题叫做真命题; 如果条件成立，______________ 结论不成立 ， 这样的命题叫做假命题
(1)两直线平行，内错角相等； 内错角相等，两直线平行. (2)如果a2=b2，那么a=b；
如果a=b，那么a2=b2. 相等的角是对顶角. 有两个角互余的三角形 是直角三角形. 等腰三角形是轴对称图形.
(3)对顶角相等；
(4)直角三角形的两个锐角互余； (5)轴对称图形是等腰三角形；
(6)正方形的4个角都是直角.
练一练
2.判断下列说法是否正确： （1）如果原命题是真命题，那么它的逆命题也 是真命题。 （× ） （2）如果原命题是假命题，那么它的逆命题也 是假命题。 （× ） （3）每个命题都有逆命题。 （ √） （4）“面积相等的两个三角形是全等三角形” 与“面积不相等的两个三角形不是全等三角形 ”是一对互逆命题 。 ×（ ）
情境创设
写出下列命题的条件和结论
命题1两直线平行，同位角相等 命题2同位角相等，两直线平行.
两直线平行 条件是___________________ ，
同位角相等 结论是___________________ ；
同位角相等 条件是___________________ ，
两直线平行 结论是___________________ ；
专题15-逆命题及逆定理(知识点串讲)(解析版)
专题15 逆命题及逆定理知识框架重难突破一、互逆命题与互逆定理1.互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.备注：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.备注：（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．备注：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.备注：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.例1．（2019·四川南充市·八年级期末）下列命题的逆命题成立的是（ ）A ．对顶角相等B ．等边三角形是锐角三角形C ．正方形的对角线互相垂直D ．平行四边形的对角线互相平分【答案】D【解析】解：A 、逆命题为相等的角是对顶角，不成立；B 、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立；C 、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是正方形，不成立；D 、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，故选：D ．练习1．（2019·山东德州市·）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．如果|a |＝1，那么a ＝1C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x ＞y ，那么mx ＞my 【答案】C解：A 、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．练习2．（2020·山西临汾市·八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若22a b >，则a b >B ．两个全等三角形的对应角相等C ．若0a =，0b =，则0ab =D ．全等三角形的对应边相等解:A ：逆命题：若a b >，则22a b >，当a=1，b=-2时，错误；B ：逆命题：对应角相等的两个三角形全等，错误；C ：逆命题：若0ab =，则0a =，0b =，也可能a=0，b≠0，错误；D ：逆命题：对应边相等的两个三角形全等，根据SSS 可以判定，正确，故选D.例2．（2020·四川巴中市·八年级期末）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.练习1．（2018·富顺县赵化中学校八年级期末）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 ___________________ .它是 ________ 命题（填“真”或“假”）.【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 真【解析】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．详解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．它是真命题.故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；真.例3．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A ．∠A 、∠B 两内角的平分线的交点处B ．AC 、AB 两边高线的交点处C ．AC 、AB 两边中线的交点处D ．AC 、AB 两边垂直平分线的交点处解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．练习1．（2019·四川成都市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．【答案】8 5【解析】分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；详解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5﹣x）2，解得x=175，∴CD=BC﹣DB=5﹣175=85，故答案为85． 例4．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，在ABC 中，已知AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交AC 于点M ，连接MB .（1）若70ABC ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）若8AB cm =，MBC △的周长是14cm .①求BC 的长度；②若点P 为直线MN 上一点，请你直接写出PBC 周长的最小值.【答案】（1）50︒；（2）①6；②14 cm ．解：解：（1）如图，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°，∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ，∴∠ANM=90°，∴∠NMA=50°，故答案为：50；（2）①∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AM=BM ，∴△MBC 的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC ，∵AB=8，∴AC=8，∵△MBC 的周长是14，∴BC=14-8=6；②∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴当点P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14．练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【答案】（1）100°；（2）20°，推导见解析；（3）20解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．练习2．（2020·四川成都市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、C分布对应A1、C1）；（2）请在y轴上找出一点P，满足线段AP+B1P的值最小．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．（1）如图所示：（2）如图所示：点P 即为所求．例5．（2020·四川泸州市·）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，若BC 10cm =，:3:2BD CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm【答案】C过点D 作DE ⊥AB ，∵90C ∠=︒，∴DC ⊥AC,∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DC,∵BC 10cm =，:3:2BD CD =，∴DE=DC=4cm ，故选：C.练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，在边AB 、AC 上分别截取AD ，AE ，使AD AE =，分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠内交于点M ，作射线AM 交BC 边于点F ．若2FB =，则点F 到AC 的距离为______．【答案】2根据作图过程可知：AF 平分∠BAC ，过点F 作FG ⊥AC ，∵∠B ＝90°，∴FB ⊥AB ，∴FG ＝FB ＝2．∴点F 到AC 的距离为2．故答案为：2．练习2．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，OC 平分∠MON ，P 为OC 上一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为A 、B ，连接AB ，得到以下结论：（1）PA =PB ；（2）OA =OB ；（3）OP 与AB 互相垂直平分；（4）OP 平分∠APB ，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∵OP 平分∠AOB ，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∴P A =PB ，故（1）正确；在Rt △APO 和Rt △BPO 中，OP OP PA PB =⎧⎨=⎩，∴Rt △APO ≌Rt △BPO （HL ），∴∠APO =∠BPO ，OA =OB ，故（2）正确，∴PO 平分∠APB ，故（4）正确，OP 垂直平分AB ，但AB 不一定垂直平分OP ，故（3）错误，故选：C ．例6．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若1BD =，3BC =，则AC 的长为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A解：延长BD,与AC 交于点F,∵BD CD ⊥∴∠BDC ＝∠FDC=90°∵CD 平分ACB ∠，∴∠BCD ＝∠FCD在△BDC 和△FDC 中90BDC FDC BCD FCDCD CD ∠∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝ ∴△BDC ≌△FDC∴BD=FD =1 BC=FC=3∵A ABD ∠=∠∴AF=BF∵1BD =，3BC =，∴AC=AF+FC=BF+BC=2BD+BC=2+3=5故选：A例7．（2020·四川巴中市·七年级期末）如图，DE 是ABC 中AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，AE 平分BAC ∠，若30B ∠=︒．求C ∠的度数．【答案】∠C 的度数为90°．∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∠B=30°，∴AE= BE ，∴∠BAE=∠B=30°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC=∠BAE=30°，即∠BAC=60°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-30°=90°．∴∠C 的度数为90°．练习1．（2018·四川南充市·）如图，已知：∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，AB ＝6，AC ＝3，则BE ＝_______．【答案】32解：如图所示，连接CD 、BD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，∴AE=AF ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中CD BDDF DE =⎧⎨=⎩∴Rt △CDF ≌Rt △BDE∴BE=CF ，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，∵AB=6，AC=3，∴BE=32．故答案为：32练习2．（2020·四川眉山市·八年级期末）已知120MAN ∠=︒，AC 平分MAN ∠，点,B D 分别在,AN AM 上．（1）如图1，若CD AM ⊥于点D ，CB AN ⊥于点B ．①利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可得,AC AD 的数量关系为________． ②请问：AC 是否等于AB AD +呢？如果是，请予以证明．（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）①12AD AC =（或2AC AD =），理由见解析；②AD AB AC +=，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析解：（1）①12AD AC =（或2AC AD =） AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAD ∴∠=︒，又90ADC ∠=︒，30ACD ∴∠=︒利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可知12AD AC = ②AD AB AC += 证明：由①知，12AD AC = 同理，AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAB ∴∠=︒，又90ABC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒,12AB AC = AD AB AC ∴+=（2）仍成立证明：过点C 分别作,AM AN 的垂线，垂足分别为,E FAC 平分,MAN ∠CE CF ∴=，180,180ABC ADC ADC CDE ∠+∠=︒∠+∠=︒ CDE ABC ∴∠=∠又90CED CFB ∠=∠=︒()CED CFB AAS ∴∆≅∆ED FB ∴=AD AB AE ED AF FB AE AF ∴+=-++=+ 由（1）中②知AE AF AC +=AD AB AC ∴+=．。
12.3互逆命题(1)导学案
12.3互逆命题（1）学习目标：1.了解原命题及逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立；2.通过具体例子理解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是假命题.学习过程【情境创设】阅读课本第157-158页的内容，思考下列问题：1.“议一议”中两个命题的条件和结论分别是什么？2.“议一议”中两个命题的条件和结论分别有怎样的关系？3.如何写一个命题的逆命题？4.原命题与逆命题是否具有相同的真假性？【问题研究】问题1.下列各组命题是否是互逆命题：（1）“正方形的四个角都是直角”与“四个角都是直角的四边形都是正方形”（）（2）“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角等于同一个角，那么这两个角相等”（）（3）“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”（）（4）“同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行”（）（5）“同旁内角互补”与“互补的两个角是同旁内角”（）问题2.写出下列命题的逆命题（1）如果a2=b2，那么a=b.（2）如果两个角是对顶角，那么它们的平分线组成一个平角.（3）末位数字是5的数能被5整除.（4）锐角与钝角互为补角.问题3.写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是真命题还是假命题.（1）直角三角形的两个锐角互余.（2）内错角相等.（3）如果a=b,那么|a|=|b|.（4）同角的余角相等.【拓展提升】试说明：命题“如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等”是假命题. 【课堂小结】【反馈练习】1.命题“若A成立，则B成立”的逆命题是（）A.如果A成立，那么B成立B. 若A不成立，则B不成立C.若B成立，则A成立 C. 若B不成立，则A不成立2.已知下列命题：①若|x|=3，则x=3；②对顶角相等；③两直线平行，同旁内角互补；④直角都相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.43.下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A.a=-2B.a=-1C.a=1D.a=24.写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假.（1）如果|a|=|b|，那么a3=b3；（2）如果a＞0，那么a2＞0；（3）等角的补角相等；（4）三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形；（5）无理数是无限小数；5．判断“若2x+y=0,则x=0,y=0”是真命题还是假命题，并给出证明.。