第62讲几何体外接球的半径的求法 高中数学常见题型解法归纳反馈训练(含答案)
几何体外接球或内切球问题的类型与解法
几何体外接球或内切球问题的类型与解法 几何体外接球和内切球问题是近几年的高考热点内容之一，尤其是几何体外接球问题，基本上近几年的高考试题中都有出现。
从题型上看是5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从难易程度上看，属于中、低档难度的问题。
纵观近几年高考，归结起来几何体外接球或内切球问题主要包括：①已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积（或几何体的体积）；②已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积（或几何体的表面积）；③已知球内切于几何体，求内切球的体积（或表面积）等几种类型。
解答这类问题的基本思路是根据问题给出的条件，求出球的半径，然后运用球的体积（或表面积）公式通过运算就可得出结果。
各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在实际解答几何体外接球或内切球问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、（理）如图，在边长为2的正方形A 1P 2P 3P 中，线段BC 的端点B ，C 分别在边1P 2P ，2P 3P 上滑动，且1P B=2P C=x ，现将∆ A 1P B ， ∆ C 3P A 分别沿AB ，CA 折起使点1P ， 3P 重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P —ABC ，现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为1P 2P ，2P 3P 的中点时，三棱锥P —ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为（0，4-22）；④三棱锥P —ABC 体积的最大值为13。
则正确结论的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4（文）如图，在边长为2的正方形A 1P 2P 3P 中，边1P 2P ，2P 3P 的中点分别为B ，C ，现将∆ A 1P B ，∆ B 2P C ，∆ C 3P A 分别沿AB ，BC ，CA 折起使点1P ，2P ，3P 重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P —ABC ，则三棱锥P —ABC 的外接球体积为 （2020成都市高三一诊）（理科图） （文科图） 【解析】【考点】①正方形定义与性质；②三棱锥定义与性质；③判断直线垂直平面的基本方法；④求三棱锥外接球表面积的基本方法；⑤求三棱锥体积的基本方法；⑥求函数最值的基本方法。
高中数学外接球解题技巧
高中数学外接球解题技巧高中数学外接球解题技巧在高中数学中，外接球是一道常见的几何题，其目的是求出几何体 (如正方体、长方体等) 的外接球半径或直径，进而求解几何体的体积或表面积。
下面将介绍一些外接球解题技巧。
1. 熟悉常见几何体的外接球公式对于正方体、长方体等常见几何体的外接球，可以使用以下公式计算其半径或直径:正方体外接球半径 = √3/3 ×正方体边长长方体外接球半径 = √3/3 ×长方体边长×√2球体外接球半径 = 圆周率×球体直径其中，√表示开根号运算，√2 表示圆周率乘以 2。
2. 利用对称性求解外接球半径在某些情况下，几何体的外接球半径可以通过对称性得到求解。
例如，对于正方体，可以利用其对称性求解外接球半径。
正方体有六个等效面，每个面都是一个等边三角形，这些等效面都是正方体的外接球球面的一部分。
因此，可以利用对称性计算出正方体的外接球半径，进而求解其他几何体外接球半径。
3. 利用三角函数求解外接球半径对于一些较为复杂的几何体，可以利用三角函数求解外接球半径。
例如，对于正八面体，其外接球是一个正十二面体，可以利用正弦定理求解外接球半径。
具体而言，正八面体的每个面都是一个等腰三角形，相邻面的夹角为 30 度，正十二面体的每个面都是一个等边三角形，相邻面的夹角为 60 度。
因此，可以利用正弦定理计算正十二面体的外接球半径。
拓展:除了上述技巧外，还有一些其他的技巧可以用来求解外接球半径，例如用极坐标方程求解、用向量法求解等。
此外，外接球问题也与物理学中的牛顿第二定律、圆周运动等问题密切相关。
因此，对于外接球问题，需要从不同角度进行思考，灵活运用各种技巧和方法，以达到求解的目的。
三棱锥外接球的半径常见解法-锥形外接圆半径
C
y
x2
y
（0,1,0）解得：
2 z2 x1
x2 ,y
1
( ,
y z
1)2 1
z
2
22
所以 R=|OP|= 6 2
方法介绍
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
练习巩固
练习1（陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC
中，PA 平面ABC,CB PB,CB AB,且PA 2AB 2BC 2 ，
y
R 5
（B 2,0,0） x
轴截面法 活学活用，开阔思维
学习小结
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
练习1
PP2AA NhomakorabeaC
B
1
C
1
B
R= 6 , V 4 R3 6
2
3
练习1
P
O
D
A
C
B
OA=OB=OC=OP
R= 1 CP 6 , V 4 R3 6
22
（A 0,0,0）
C（-1，3,0）
y
R 5
（B 2,0,0） x
轴截面法 活学活用，开阔思维
练习巩固
练习4 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底
面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外
接球的半径。
z P（0,0,2）
球心坐标（1, 3,1）
（A 0,0,0）
C（-1，3,0）
3
练习2
D
A
D
A
C
C
B
R= 6 , 4
B
S 4 R2 3
高考数学专题突破：外接球题型总结
高考数学专题突破：外接球模型模板一：即一、题型描述几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说成球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。
二、模法讲解以下这幅图，大家应该都能看明白吧！一个底面半径为，高为的圆柱，求它的外接球半径。
那么问题来了？这个式子怎么来的。
那么这个式子有何妙用？1、如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图所示：我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型。
在这里棱柱的高就是公式中h的，而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r（至于怎么求外接圆半径可以用正弦定理。
2、我们再继续进行，如果我把刚刚那个三棱柱上面的两点去掉，我将得到三棱锥，如图：这个三棱锥的特点是AA1⊥底面ABC，即有一根侧棱⊥底面的锥体，依然符合这个模型。
那条竖直棱AA1就是公式中的h，而底面ABC的外接圆半径是公式中的r。
3、题目还喜欢这么干：面PAD垂直面ABCD。
它非常符合圆柱外接球模型！我们知道，这里的r为PAD的外接圆半径，h为AB或者CD为的长。
接着看，当我对第二幅图中的三棱柱 ABC-A1B1C1只去掉C1这个点，会得到什么呢？没错！这就是刚刚那个四棱锥放倒了！它的特点是：底面A1B1AB⊥CAB侧面，出题的时候则不会这么仁慈，就会像上一幅图那样，有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥！圆柱外接球模型——适用于：①圆柱-------r,h自带②直棱柱-------r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高③一根侧棱⊥底面的锥体-------r:底面外接圆半径；h:垂直于底面的那条侧棱④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥-------r:垂直底面的侧面的外接圆半径；h:垂直于那个侧面的底边长那么接下来第二步就是找到，求出，而又怎么求呢？用正弦定理。
可以说正弦定理求外接圆半径这种方法咱们基本上就在高一学的时候提及过，根本就没用过它！告诉你，几乎整个高考也就此处求外接球题型可以用它来求求那个了。
多面体外接球半径常见的5种求法(柯建华)
多面体外接球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用知识回顾：1、球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r有以下关系__________________2、球面被经过球心的平面截得的圆叫 ____________ .被不经过球心的平面截得的圆叫___________3、球的表面积表面积S= _____________ ;球的体积V= ______________4、球心一定在过多边形（顶点均在球面上）外接圆圆心且垂直此多边形所在平面的垂线上方法一：公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3,则这个球的体积8为.式.（R-球的半径；d-球心到球截面圆的距离，注意球截面圆通常是顶点在球上多边形的外接圆；r-顶点在球上多边形的外接圆的半径）方法二：多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是（）A. 16B. 20C. 24D. 32解：设正四棱柱的底面边长为X，外接球的半径为R，则有4x216，解得x 2. 二2R V22 22 42 2屈，R胚.二这个球的表面积是4 R224 .选C.小结：本题是运用“正四棱柱体（包括正方体、长方体）对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.方法三：补形法例3：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.解：据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，二把这个三棱锥可以补成一个棱长为.3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.2 2 2 C 设其外接球的半径为R，则有2R 2-.3 .3 -.3 9.二R2 -.4故其外接球的表面积S 4 R29 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a b、c , 则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径•设其外接球的半径为R，则有2R . a2 b2 c2.A APA PB PC两两垂直采用补形法方法四：寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为.2，点s、A、B、C、D 都在同一球面上，则此球的体积为.C解设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为0,如图3所示.二由球的截面的性质，可得001平面ABCD .又SO i平面ABCD，二球心0必在SO所在的直线上.二ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径在ASC 中，由SA SC .2, AC 2，得SA2SC2AC2.ASC是以AC为斜边的RtAC1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球2 3小结：根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究•这种等价转化的数学思想方法值得我们学习•方法五：确定球心位置法例5 在矩形ABCD中，AB 4,BC 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为125 B 125 C 125 ■ 12 . 9 . 6A解：设矩形对角线的交点为0,则由矩形对角线互相平分，可知0A OB OC OD .•••点0到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等，即点0为四面体的外接球的球心，如图2所示.•外接球的半径R 0A 5.故V球4 R3 125.选C.2 3 6小结：若四面体或三棱锥的一条棱所对的两个顶角都是直角，则利用直角三角形知识可知：四面体外接球的球心就是这条棱的中心，球的半径等于此棱长度的一半。
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法若是一个多面体的各个极点都在同一个球面上，那么称那个多面体是球的内接多面体，那个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，而且还要专门注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到相当重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的极点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，那么那个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，那么有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 此题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的经常使用公式.多面体几何性质法例2 已知各极点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，那么那个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，那么有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴那个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结 此题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3面积是 .解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把那个三棱锥能够补成一.设其外接球的半径为R ，那么有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一样地，假设一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度别离为a b c 、、，那么就能够够将那个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长确实是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，那么有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，那么此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆确实是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径确实是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 CD A B S O 1图3依照题意，咱们能够选择最正确角度找出含有正棱锥特点元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径确实是所求的外接球的半径.此题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方式的实质确实是通过寻觅外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方式值得咱们学习.确信球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，那么四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，那么由矩形对角线相互平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个极点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. A O D图4。
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何中的外接球和内切球是常见的题型，下面我将列举十个常见的题型并进行解答。
1. 求立方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于立方体的对角线的一半，内切球的半径等于立方体的边长的一半。
2. 求正方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正方体的对角线的一半，内切球的半径等于正方体的边长的一半。
3. 求圆柱体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆柱体的底面半径，内切球的半径等于圆柱体的高的一半。
4. 求圆锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆锥的底面半径，内切球的半径等于圆锥的高的一半。
5. 求球的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于球的半径的根号3倍，内切球的半径等于球的半径的一半。
6. 求棱锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱锥的底面边长的一半，内切球的半径等于棱锥的高的一半。
7. 求棱柱的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱柱的底面边长的一半，内切球的半径等于棱柱的高的一半。
8. 求四面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于四面体的外接圆的半径，内切球的半径等
于四面体的内切圆的半径。
9. 求正六面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正六面体的对角线的一半，内切球的半径等于正六面体的边长的一半。
10. 求正八面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正八面体的对角线的一半，内切球的半径等于正八面体的边长的一半。
以上是关于立体几何中外接球和内切球的十个常见题型及其解答。
希望能对你有所帮助。
简单几何体的外接球半径求解技巧
简单几何体的外接球半径求解技巧外接球是指能够完全包围一个几何体的球，它的半径对于很多几何题目的求解都是十分重要的。
在解决几何问题时，如果涉及到外接球的半径，我们可以通过几何关系和一些数学工具来求解。
下面，我将介绍一些简单几何体的外接球半径求解技巧。
1.球的外接圆半径：对于平面上的一个圆，它的外接圆半径等于原圆半径的根号2倍。
这是由勾股定理和三角形内接圆半径的关系推导而来的。
当给定一个平面上的圆时，可以通过这个公式求解它的外接圆半径。
2.三角形的外接圆半径：对于一个三角形，它的外接圆半径可以通过三角形的边长来求解。
三角形的外接圆半径等于三角形的任意一条边的一半除以三角形的外接圆周角的正弦值。
这个公式可以通过三角形的面积公式、三角形的边长和正弦定理推导而来。
当给定一个三角形时，可以通过这个公式求解它的外接圆半径。
3.四边形的外接圆半径：对于一个四边形，它的外接圆半径可以通过四边形的对角线和角度来求解。
四边形的外接圆半径等于四边形两对对角线的交点之间的距离的一半除以四边形内角的正弦值。
这个公式可以通过四边形的面积公式、四边形的对角线、四边形两对对角线的交点之间的距离和正弦定理推导而来。
当给定一个四边形时，可以通过这个公式求解它的外接圆半径。
4.正多边形的外接圆半径：对于一个正n边形，它的外接圆半径可以通过边长来求解。
正n边形的外接圆半径等于边长的一半乘以正n边形的中心角的余弦值的倒数。
这个公式可以通过正多边形的面积公式、正多边形的边长、正n边形的外接圆的半径和正n边形的中心角的三角函数关系推导而来。
当给定一个正n边形时，可以通过这个公式求解它的外接圆半径。
需要注意的是，这些公式都是在已知几何体的一些参数的前提下求解外接球半径的。
因此，在实际解题时，首先需要明确已知条件，并应用相关的几何定理和公式来求解。
此外，还可以通过数学软件、计算机模拟等工具来求解几何体的外接球半径。
这些工具一般会通过几何关系和数值计算的方法来求解。
高三数学专题复习 多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 .解：设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径R= .4π3V ∴=球. 小结：本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A.16πB.20πC.24πD.32π 解：设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R =∴= ∴这个球的表面积是24π24πR =.选C .小结： 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.三、补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，，则其外接球的表面积是 . 解：据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =.故其外接球的表面积24π9πS R ==. 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R .四、寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -的底面边长和S ,A ,B ,C ,D 都在同一球面上，则此球的体积为 . 解：设正四棱锥的底面中心为O 1，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得OO 1⊥平面ABCD .又SO 1⊥平面ABCD ，∴球心O 必在SO 1所在的直线上.∴△ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴△ASC 是以AC 为斜边的Rt △.∴12AC=是外接圆的半径，也是外接球的半径.故4π3V =球. 小结：根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.C D A B S O 1图3五、确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，AB =4,BC =3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B - AC -D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）CA.12512πB.1259π C.125π6 D.125π3解：设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA =OB =OC =OD .∴点O 到四面体的四个顶点A 、B 、C 、D 的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图4所示.∴外接球的半径52R OA ==.故34125ππ36V R ==球.选C . 练习：1.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是( )C A.33 B.3C.3D.3 2. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A A. 3π B.4π C. 33π D. 6π 3. 在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2， ∠DAB =60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与 △BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为（ ） C A.43π B.6π2 C. 6π D. 6π244.已知三棱锥A -BCD 内接于球O ，AB =AD =AC =BD =3,BCD ∠=60°，则球O 的表面积为( )DA.3π2B.2πC.3πD.9π25.已知正三棱锥P -ABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）DA.4πB.12πC.16π3 D.64π36.已知三棱柱ABC -A B C ''',侧棱AA '⊥底面ABC ，AA '=4，BC 360A ∠=o ,则该三棱柱外接球的表面积为（ ）CA.18πB.19πC.20πD.21π 7.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，AA 1=12，则球O 的半径为( )317B.210C.132D.310【答案】C【解析】由球心作面ABC 的垂线，则垂足为BC 中点M .计算AM =52，由垂径定理，OM =6，所以半径R 22513()622+=.8.(2014·全国大纲)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 ( )A.814π B.16π C.9π D.274π【答案】A9.若三棱锥P -ABC 的最长的棱PA =2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 .4π310.在正三棱锥S -ABC 中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA =23，则正三棱锥S -ABC 外接球的表C AO D B图4面积是.【答案】36π【解析】一定要用上隐含条件正三棱锥对棱垂直，又MN∥BS，可得BS⊥SA,BS⊥SC.又AS⊥BC,AS⊥SB得AS⊥SC即SA,SB,SC两两垂直.又因正棱锥SA=SB=SC,所以此三棱锥外接球与补成正方体的外接球相同.所以2R=323g=6，所以R=3.所以正三棱锥S-ABC外接球的表面积是24πR=36π.11. (2015·唐山二模)在三棱锥P-ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=23，则该三棱锥的外接球的表面积为.【答案】20π12.在菱形ABCD中，A=60°，AB=3,将△ABD沿BD折起到△PBD的位置.若平面PBD⊥平面CBD，则三棱锥P-BCD的外接球体积为.【答案】13.已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥外接球的半径为( )A.3B.5C.2D.2【答案】B14. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形,侧面PAD⊥平面ABCD，∠APD=120°，AB=PA=PD=2，则该四棱锥P-ABCD外接球的体积为( )A.32π3B.205π3C.86πD.36【答案】B15. 已知AB是球O的直径，C,D为球面上的两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为.【答案】36π16. 三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径．【思路分析】法一：内切球球心O到各面的距离相等，如图，可以推断出球心在AB和CD的中点的连线的中点，求出OH即可．法二：先求四面体的体积，再求表面积，利用体积等于表面积和高乘积的13，求出内切球半径．【解析】法一：易知内切球球心O到各面的距离相等．设E、F为CD、AB的中点，则O在EF上且O为EF的中点．在△ABE中，AB=6，AE=BE=4，OH=378．法二：设球心O到各面的距离为R．4×13S△BCD×R=V A-BCD，∵S△BCD=12×6×4=12，V A-BCD=2V C-ABE=67．∴4×13×12R=67.∴R=378．【点评】正多面体与球的切接问题常借助体积求解；也可以由几何图形特征分析出球心的位置，然后解答，考查形式空间想PB CADEF O象能力，逻辑思维能力，是中档题． 【拓展提升】三棱锥A -BCD 的两条棱AB =CD =6，其余各棱长均为5，求三棱锥的外接球的表面积． 17π【解析】补成长方体，如下图，AC D A 1 D 1C 1B 16 5 6 5。
几何体外接球和内接球半径几种求法演示教学
几何体外接球和内接球半径几种求法演示教学
外接球和内接球半径是多边形、流形几何体等几何图形中比较重要的概念，求外接球和内接球半径是在后期分析、研究几何图形数学特性时非常重要的技能和知识，学好它能够为研究者提供很多的要素。
那么有哪几种求外接球和内接球半径的方法呢?
一、外接球和内接球半径的极大值等值求法
此方法是根据几何体外接球和内接球半径之间满足极大值等值这一特性求解。
比如用极大值函数来求外接球半径R，把外接球两个平面拉伸到形成平面ABを凸包，平面ABê里外接球与存在凹点E，则ABr 与点E相距取最小值时即为外接球半径。
基于几何体的特殊性，可以利用明确的几何知识推断出外接球和内接球半径。
比如正六面体的外接球半径，其推断可以利用条件，六面体的六个顶点的距离相等，以及每个面的夹角是60°，然后用到距离－角等数学知识推断得出。
此方法比较有讲究，是基于比例关系归纳整理外接球和内接球半径的求解方法，步骤如下：通过绘图类型，可用条件来归纳外接球和内接球半径，并确定其特定比例；此时利用条件及比例关系，可以给出该图形的外接球和内接球半径之间的相关比值；最终解出几何图形的外接球和内接球半径。
总之，求外接球和内接球半径有极大值等值求法、推断法和归纳法三种方法。
值得注意的是，不同的几何图形会有不同的外接球和内接球半径求解方法，在实际求解时应根据图形形式，采取最适合的求解方法，这样才能真正的解决图形的外接球和内接球半径的求解问题。
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【知识要点】
求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.
模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球
和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径22212rabc就是几何体的外接球半径.如果
已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.
解三角形法就是找到球心O和截面圆的圆心O，找到OO、球的半径OA、截面圆的半径OA确定
的RtOOA,再解RtOOA求出球的半径OA.
【方法讲评】
方法一 模型法
解题情景 已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.
解题步骤
把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接
球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径22212rabc就是几何体
的外接球半径.
【例1】已知四面体中，，，，平面，则四面体外
接球的表面积为__．
【点评】(1)本题看起来没有三条直线相交于一点且两两垂直的模型,但是通过推理分析得到了
PAPBPC、、
两两垂直,所以可以采用模型法来求几何体外接球的半径. （2）利用模型法解答时，一定
要保证几何体的所有顶点都和长方体的顶点重合，这才能保证几何体的外接球和长方体的外接球是同一个
外接球，才能用长方体的外接球半径公式22212rabc，有一个点不是长方体的顶点都不行.
【反馈检测1】已知棱长为6的正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的四个顶点都在同一球面
上，则球的体积为___________.
方法二 解三角形法
解题情景 几何体不能放到长方体模型中.
解题步骤
找到球心O和截面圆的圆心O，找到OO、球的半径OA、截面圆的半径OA确定的
RtOOA,再解RtOOA求出球的半径OA
.
【例2】在直三棱柱111CBAABC中，4AB，6AC，3A，14AA，则直三棱柱
111
CBAABC
的外接球的表面积.
【点评】(1)由于本题的几何体不宜放在长方体模型中,所以用解三角形法解答. （2）利用解三角形法
求几何体外接球的半径，先要找到球心O的位置，要找球心O的位置，没有固定的规律，要结合几何体的
特征，发挥自己的空间想象力分析，本题由于是直三棱柱，所以球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，
如果是其它的几何体就不是这个位置了. 找到球心O的位置后，再确定截面圆的圆心1O位置，再表示出球
心O到截面圆圆心1O的距离1OO，这个是难点，要结合几何图形分析.最后是解1RtOOA，求出球的半
径R. （2）如果几何体底面是三角形，求截面圆的半径r，一般利用正弦定理2sinarA求截面圆的半径
r
.
【反馈检测2】已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，
底面满足，若该三棱锥体积最大值为3，则
其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【反馈检测3】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，
，，则球的表面积为（）
A. B. C. D.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第62讲：
几何体外接球的半径的求法参考答案
【反馈检测1答案】92
【反馈检测1详细解析】
【反馈检测2答案】D
【反馈检测2详细解析】因为为等腰直角三角形，所以AC为截面圆的直径，故该三棱锥的外接球的球
心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，当P,O,D三点共线且P,O位于截面同一侧的棱锥的体积最大，棱
锥的最大高度为，所以，求出，设外接球的半径为则
,在中，,由勾股定理得，解得,所以外接球的表
面积为，选D.
【反馈检测3答案】A