2015-2016学年 1.4.1《正弦函数、余弦函数的性质》(第1课时)课件
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最新1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)教学讲义PPT课件
f(x ) s in x ,x R 为奇函数
( 2 )f(x ) c o s x ,x R 任意xR f( x )co s( x )co sx f (x)
f(x ) c o sx ,x R 为偶函数
正弦函数的图象 y
1
P
3 5 2
2 3
2
O 3 2 5 3 x
P ' 2 1 2
xk,k Z
对称中心： ( ,0 ),(,0 ),(3 ,0 ),(5 ,0 )
22 2 2
(k,0) kZ
2
练习
▪ 为函数 ysin(2x) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x 2
C .x 12
y
D.x0
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
解：经验证，当
y
2sin(1
x
)
的值才能重复出现.
26
所以,函数 y2sin(1x),xR的周期是π
26
思考(4)
yA si n x ( )x , R .A (0, 0) T 2
yA co x s( )x , R .A (0, 0)
| |
练习
▪ 已知函数 y f(x)的周期是3，且当 x[0,3] 时， f(x)x21 ，求 f(1),f(5),f(16). 思考： f(5)52126吗？
2 6
( 4 ) y A sx i n ) x , R ( .A ( 0 , 0 )
解：（1）∵ 3 c o s(x 2 ) 3 c o sx
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2π ，函数
( 2 )f(x ) c o s x ,x R 任意xR f( x )co s( x )co sx f (x)
f(x ) c o sx ,x R 为偶函数
正弦函数的图象 y
1
P
3 5 2
2 3
2
O 3 2 5 3 x
P ' 2 1 2
xk,k Z
对称中心： ( ,0 ),(,0 ),(3 ,0 ),(5 ,0 )
22 2 2
(k,0) kZ
2
练习
▪ 为函数 ysin(2x) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x 2
C .x 12
y
D.x0
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
解：经验证，当
y
2sin(1
x
)
的值才能重复出现.
26
所以,函数 y2sin(1x),xR的周期是π
26
思考(4)
yA si n x ( )x , R .A (0, 0) T 2
yA co x s( )x , R .A (0, 0)
| |
练习
▪ 已知函数 y f(x)的周期是3，且当 x[0,3] 时， f(x)x21 ，求 f(1),f(5),f(16). 思考： f(5)52126吗？
2 6
( 4 ) y A sx i n ) x , R ( .A ( 0 , 0 )
解：（1）∵ 3 c o s(x 2 ) 3 c o sx
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2π ，函数
正弦函数、余弦函数的性质-PPT课件
最小值：当 x 2 k 时，有最小值y 1
例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最
小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值.
（1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的x的集合，就是 使函数y cos x, x R 取得最大值的x的集合：
k
8 ，0)，k Z
4
.
28
(2)求
y
cos(
1 2
x
4
)
函数的对称轴和对称中心:
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3 2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
x[2
2k ,
3
2
2k
∴函数 y＝－2sinx－4π的单调增、单调减区间分别由下 面的不等式确定
2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)① 2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋2π(k∈Z)② 解①得，2kπ＋34π≤x≤2kπ＋74π(k∈Z)， 解②得，2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π(k∈Z)．
故函数 y＝2sin4π－x的单调增区间、单调减区间分别为 2kπ＋34π，2kπ＋74π(k∈Z)、2kπ－π4，2kπ＋34π(k∈Z)．
(1)y cos x 1, x R;
(2)y 3sin 2x, x R.
《正弦函数、余弦函数的图象》第一课时
角
一 对 多
正 弦 值
任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx (cosx)与之对应。由这个法则所确定的函数 y=sinx (y=cosx)叫做正弦函数(余弦函数)，其定义域为R。 它们的图象是怎样的，又有什么特点呢？
“简谐运动”实验：单摆 弹簧振子
物理中把简谐运动的图像叫做“正弦曲线”或“余弦曲 线” 沙漏单摆实 验
y
五点画图法
思考：
你能用余弦线作出余弦曲线吗？
y
1P 1
/ p1
o1
y
(1) 等分 作法： (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线
3
-
Q1
M1
-1A
Q2
o
-1 -
6
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
y
y
1-
o1
M 2 M 1-1
o
-1 -
-
-
1 -4 -3 -2 -
正弦曲线
o
-1
2
3
4
5
6
x
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
( ,1) 2 1 ( ,1) 2 ( ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,1) ( 2 ,0) (0,0) ( ,0) o x 3 2 (0,0) ( ,0) 2 ( 2 ,1) 2 2 ( 2 ,0) (0,0) -1 ( ,0) (3 ,-1) ( 2 ,1) ( 2 ,0) 3 (0,0) 3 ( ,0)2 ( 2 ,1) 3,1) ( 2 ,0) ( 2 ,1) ( ( ,0) ( ,1) ( 2 ,0) 3 2 (0,0) 2( 3,1) (0,0) ( 2 ,1) ( ,0) ( 2 ,0) 2 3 ,-1) ( (0,0) 3 2 ( ,1) ( 2 ,0) ( ,0) 3 ( 2,-1) ,-1) (0,0) 2 ( ( 2 ,0) ( ,0) ( 22,-1) ( 2 ,1) 五点法—— (0,0)
正弦函数、余弦函数的性质(一) 课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
(1)y=sin
-
1 2
x+ 3
,x∈R;
T= 2π =4π 1 2
(2)y=|cos 2x|,x∈R.
y
T=
π 2o2来自x22．已知 f(x)＝2cosπx，则 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝________. 3
解析：易知f(x)的最小正周期T＝6，则有 f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
+
π 18
(k∈Z )时，ymax=2
x= kπ-
π 12
(k∈Z )时，ymin=-2
令3x+
π 3
=
2kπ
-
π 2
5π x=kπ + 12
(k∈Z )时，ymax=4
x=
2kπ 3
-
5π 18
(k∈Z )时，ymin=-2
二.周期函数的概念
由正、余弦函数的图象可知, 正、余弦曲线每相隔2π个单位重复出 现， 这一规律的理论依据是什么？
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
【答案】A
【解析】因为 f x x cos x sin x ，则 f x x cos x sin x f x ，即题中
所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项 CD 错误；且x 时，
y cos sin 0 ，据此可知选项 B 错误，故选 A。
于是
2sin
1 2
x
π 6
2π
2
sin
1 2
x
π 6
，
原函数的周期为4π
所以
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
当x取何值时，余弦函数有最值吗?
1
三、例题分析
例1、下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取
最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小
值分别是什么。
性质3：周期性
最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小
的正数，那么这个最小的正数就叫做最小正周期。
判断1.
判断2.
例3、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小
总结：
四、针对性练习
C
C C
小结
谢谢
2020/11/24
第一课时
雷锋学校高一年级数学备课组
学习目标 掌握正弦函数与余弦函数的性质：
1.定义域、值域 2.最值 3.周期性
2020/11/24
一、复习回顾
二、基础知识讲解
性质1：定义域，值域
性质2:正弦函数最大值与最小值
思考：请观察正弦函数的图象，说出当x取何值时，
正弦函数有最值?
性质2:余弦函数最大值与最小值 思考：你能通过正弦函数与余弦函数的关系，猜想出
2020/11/24
判断3. 判断4.
解答：f(3)=f(1)=0; f(7/2)=f(3/2)=1/4
练习
3 B
C
五、课时小结
第二课时
雷锋学校高一年级数学备课组
1.列表
2.描点,连线
2020/11/24
一、复习回顾
一、复习回顾 解析
3பைடு நூலகம்
B
二、基础知识讲解
性质4：奇偶性
因为sin(-x)=sinx,所以y=sinx为奇函数 cos(-x)=cosx,所以y=cosx为偶函数
正弦函数图象关于原点对称 余弦函数图象关于y轴对称
1
三、例题分析
例1、下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取
最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小
值分别是什么。
性质3：周期性
最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小
的正数，那么这个最小的正数就叫做最小正周期。
判断1.
判断2.
例3、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小
总结：
四、针对性练习
C
C C
小结
谢谢
2020/11/24
第一课时
雷锋学校高一年级数学备课组
学习目标 掌握正弦函数与余弦函数的性质：
1.定义域、值域 2.最值 3.周期性
2020/11/24
一、复习回顾
二、基础知识讲解
性质1：定义域，值域
性质2:正弦函数最大值与最小值
思考：请观察正弦函数的图象，说出当x取何值时，
正弦函数有最值?
性质2:余弦函数最大值与最小值 思考：你能通过正弦函数与余弦函数的关系，猜想出
2020/11/24
判断3. 判断4.
解答：f(3)=f(1)=0; f(7/2)=f(3/2)=1/4
练习
3 B
C
五、课时小结
第二课时
雷锋学校高一年级数学备课组
1.列表
2.描点,连线
2020/11/24
一、复习回顾
一、复习回顾 解析
3பைடு நூலகம்
B
二、基础知识讲解
性质4：奇偶性
因为sin(-x)=sinx,所以y=sinx为奇函数 cos(-x)=cosx,所以y=cosx为偶函数
正弦函数图象关于原点对称 余弦函数图象关于y轴对称
正弦函数、余弦函数的性质 课件
类型二 三角函数奇偶性的判断
【典例】1.(沧州高一检测)函数f(x)= 的奇偶性为 ( )
sin2x2
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2.判断函数f(x)=sin (3 x 3) 的奇偶性.
42
【审题路线图】1.奇偶性⇒定义域⇒是否关于原点对称 ⇒f(-x)与f(x)的关系. 2.奇偶性⇒定义域⇒是否关于原点对称⇒f(-x)与f(x)的 关系.
2
是偶函数,故选C.
2.选D.因为f(x)的最小正周期为T=π,
所以 f( 5 π)＝f( 5 π－2π)＝f(－π )，
3
3
3
又y=f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x).
所以 f( 5 π)＝f(－π )＝f( π )＝sin π＝ 3 .
3
33
32
【延伸探究】若本例2中的“偶函数”改为“奇函数”, 其他条件不变,结果如何?
类型三 三角函数周期性与奇偶性的综合应用
【典例】1.下列函数中周期为 ,且为偶函数的
2
是( )
A.y=sin4x
C.y＝sin(4x＋π ) 2
B.y=cos 1 x
4
D.y＝cos( 1 x－π ) 42
2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若
f(x)的最小正周期为π,且当x∈ [0，] 时,f(x)=sinx,
4.若函数是以2为周期的函数,且f(3)=6,则f(5)= ________. 【解析】因为函数是以2为周期的函数,且f(3)=6,则 f(5)=f(3+2)=f(3)=6. 答案:6
5.根据函数奇偶性的定义判断函数y=lgcosx是 ________函数.(填写奇或偶)
正弦函数余弦函数的性质赛课获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
2
1
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数的图象
问题：它们的图象有何对称性？
3.奇偶性
(1) f ( x) sin x, x R 任意x R f ( x) sin( x) sin x f ( x)
f ( x) sin x, x R 为奇函数
(2) f ( x) cos x, x R 任意x R f ( x) cos( x) cos x f ( x)
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为
(
k
,0)
,k Z
62
练习
▪ 求 y cos( 1 x ) 函数的对称轴和对称中心
正周期是 2
举例
例1、求下列函数的周 期:
(1) y 3cos x, x R; 若不加特别说明, (2) y sin 2x, x R; 都指最小正周期.
(3) y 2sin( 1 x ), x R;
26
(4) y Asin(x ), x R.( A 0, 0)
解：（1）∵ 3cos( x 2 ) 3cos x ∴自变量x只要并且最少要增加到x+2π ，函数
练习
▪ P 46 练习2
(1)2cos x 3 (2)sin2 x 0.5
× cos x 3 1 2
√ sin x 0.5 [1,1]
1
3 5
2
2 3
2
O
2
2
1
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数的图象
问题：它们的图象有何对称性？
3.奇偶性
(1) f ( x) sin x, x R 任意x R f ( x) sin( x) sin x f ( x)
f ( x) sin x, x R 为奇函数
(2) f ( x) cos x, x R 任意x R f ( x) cos( x) cos x f ( x)
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为
(
k
,0)
,k Z
62
练习
▪ 求 y cos( 1 x ) 函数的对称轴和对称中心
正周期是 2
举例
例1、求下列函数的周 期:
(1) y 3cos x, x R; 若不加特别说明, (2) y sin 2x, x R; 都指最小正周期.
(3) y 2sin( 1 x ), x R;
26
(4) y Asin(x ), x R.( A 0, 0)
解：（1）∵ 3cos( x 2 ) 3cos x ∴自变量x只要并且最少要增加到x+2π ，函数
练习
▪ P 46 练习2
(1)2cos x 3 (2)sin2 x 0.5
× cos x 3 1 2
√ sin x 0.5 [1,1]
正弦、余弦函数的性质PPT课件
求函数的对称轴和对称中心求函数的对称轴和对称中心定义域值域最值及相应的的集合周期性奇偶性单调性对称中心对称轴1111min1周期为t2周期为t2奇函数偶函数在x2k2k上都是增函数在x2kmin1上都是增函数在x2k2k
三角函数
1.4.2 正弦函数 余弦函数的性质 （三）
还有其他方法 来比较吗？
作单位圆用三角函数线
练习：P45：5，6
探究
正弦函数的图像
余弦函数的图像
问题：它们的图像有何对称性？
中心对称：将图像绕对称中心旋转180度后所得 的曲线能够和原来的曲线重合．
轴对称：将图像绕对称轴折叠180度后所得的曲 线能够和原来的曲线重合．
正弦函数的图像
对称轴：
对称中心：
余弦函数的图像
对称轴：
对称中心：
π
(kπ+ π 2 ,0) x = kπ
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] 上都是增函数 在x∈[2kπ- π 41页
π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π , 2kπ+ ] 2 2 上都是增函数 π π 在x∈[2kπ+ 2 ，2kπ+ 3] 2 上都是减函数 (kπ,0) x = kπ+
周期性 奇偶性
单调性
π
对称中心 对称轴
例题
• 求函数
解（1）令
则 的对称轴为
的对称轴和对称中心
解得：对称轴为 的对称中心为
对称中心为
练习
• 求函数 的对称轴和对称中心
函数 性质
y= sinx (k∈Z)
y= cosx (k∈Z)
三角函数
1.4.2 正弦函数 余弦函数的性质 （三）
还有其他方法 来比较吗？
作单位圆用三角函数线
练习：P45：5，6
探究
正弦函数的图像
余弦函数的图像
问题：它们的图像有何对称性？
中心对称：将图像绕对称中心旋转180度后所得 的曲线能够和原来的曲线重合．
轴对称：将图像绕对称轴折叠180度后所得的曲 线能够和原来的曲线重合．
正弦函数的图像
对称轴：
对称中心：
余弦函数的图像
对称轴：
对称中心：
π
(kπ+ π 2 ,0) x = kπ
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] 上都是增函数 在x∈[2kπ- π 41页
π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π , 2kπ+ ] 2 2 上都是增函数 π π 在x∈[2kπ+ 2 ，2kπ+ 3] 2 上都是减函数 (kπ,0) x = kπ+
周期性 奇偶性
单调性
π
对称中心 对称轴
例题
• 求函数
解（1）令
则 的对称轴为
的对称轴和对称中心
解得：对称轴为 的对称中心为
对称中心为
练习
• 求函数 的对称轴和对称中心
函数 性质
y= sinx (k∈Z)
y= cosx (k∈Z)
《余弦函数、正切函数的图像与性质》课件1
,0 2
正切函数y=tanx的主要性质： x | x , 1. 定义域： 2 2.值域：实数集R. 3.周期性：周期是π. 4.奇偶性：由tan(-x)=-tan(x),知正切函 数是奇函数，它的图象关于原点成中心 对称. 5.单调性：正切函数在每一个开区间 , 内都是增函数.
• 小结 1.通过本节学习，应掌握余弦函数 图象的画法.
2.会用“五点法”画出余弦曲线简图. 3.能结合余弦函数图象理解余弦函数的 性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性）
正切函数的图象与性质
• 学习目标 1.理解利用正切线画出正切函数图象 的方法 2.掌握正切函数的图象与性质 3.会画正切函数简图
• 课堂练习二 1.判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=|x|+cosx; (2)f(x)=sinx+cosx; (3)f(x)=cosx|sinx|+sinx|cosx|. 2.已知f(x)是定义在R上的奇函数, 且x>0时, f(x)=sinx+cosx,则在定义域R 上,f(x)=___________. 3.已知函数y=a-bcos3x的最大值为6,最小值为-2, 求a,b的值. 4.求y=cos2x的单调区间. 5．教材５６页－４，５．
• 学法指导： 1. 余弦曲线是中心对称图形，其所有的 ,0 对称中心坐标是_____________ ； 2 2.余弦曲线是轴对称图形，其所有的对 x , 称轴方程是_______________. 余弦曲线的对称轴一定是过余弦曲线的 最高点或最低点，此时余弦值为最大值 或最小值.
• 余弦型函数 y Acosx A0, 0的 2 定义域R；值域[-A,A]；周期 T . 当 时 y Acos(x ) 为偶函数, 当 2 时y Acos(x )为奇函数； 对称轴由x 求得 x 对称中心横坐标由 x 求得. 2 其单调区间求法与正弦型函数相同。
正切函数y=tanx的主要性质： x | x , 1. 定义域： 2 2.值域：实数集R. 3.周期性：周期是π. 4.奇偶性：由tan(-x)=-tan(x),知正切函 数是奇函数，它的图象关于原点成中心 对称. 5.单调性：正切函数在每一个开区间 , 内都是增函数.
• 小结 1.通过本节学习，应掌握余弦函数 图象的画法.
2.会用“五点法”画出余弦曲线简图. 3.能结合余弦函数图象理解余弦函数的 性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性）
正切函数的图象与性质
• 学习目标 1.理解利用正切线画出正切函数图象 的方法 2.掌握正切函数的图象与性质 3.会画正切函数简图
• 课堂练习二 1.判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=|x|+cosx; (2)f(x)=sinx+cosx; (3)f(x)=cosx|sinx|+sinx|cosx|. 2.已知f(x)是定义在R上的奇函数, 且x>0时, f(x)=sinx+cosx,则在定义域R 上,f(x)=___________. 3.已知函数y=a-bcos3x的最大值为6,最小值为-2, 求a,b的值. 4.求y=cos2x的单调区间. 5．教材５６页－４，５．
• 学法指导： 1. 余弦曲线是中心对称图形，其所有的 ,0 对称中心坐标是_____________ ； 2 2.余弦曲线是轴对称图形，其所有的对 x , 称轴方程是_______________. 余弦曲线的对称轴一定是过余弦曲线的 最高点或最低点，此时余弦值为最大值 或最小值.
• 余弦型函数 y Acosx A0, 0的 2 定义域R；值域[-A,A]；周期 T . 当 时 y Acos(x ) 为偶函数, 当 2 时y Acos(x )为奇函数； 对称轴由x 求得 x 对称中心横坐标由 x 求得. 2 其单调区间求法与正弦型函数相同。
高中数学 弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)课件 新人教A版必修第一册
[归纳提升] 求三角函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数 x 都 满足 f(x＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 是常数，且 A≠0，ω≠0)，可利用 T＝|2ωπ|来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别 是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为__3_的周期 函数．
知识点 2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 周期 最小正周期 奇偶性
y＝sin x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π 奇函数
y＝cos x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π 偶函数
想一想：(1)正弦曲线对称吗？ (2)余弦曲线对称吗？ 提示：(1)正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)余弦函数y＝cos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．
【对点练习】❶ 求下列函数的最小正周期： (1)y＝sin3x＋π3； (2)y＝|sin x|； (3)y＝sin2πx－π4.
[解析] (1)∵ω＝3，T＝23π. (2)作图如下：
观察图象可知最小正周期为 π. (3)∵ω＝2π，∴T＝22π＝π2.
π
题型二
三角函数奇偶性的判断
典例2 判断下列函数的奇偶性：
∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
3 2.
[归纳提升] 1．解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周 期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合 周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加 以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．