专题08 平面向量(押题专练)-2017年高考理数二轮复习精品资料(原卷版)
高中 数学 平面向量 复习试卷
高考数学 平面向量 复习试卷1.设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |2.设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则 AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．①④4．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．45.在△ABC 中， AB ＝c ， AC ＝b .若点D 满足 BD ＝2 DC ，则 AD ＝( )A.13b ＋23cB.53c －23bC.23b －13c D.23b ＋13c 6.在△ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN ＝12 NC ，P 是BN 上一点，若 AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值是________．7.已知a ，b 是不共线的向量， AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝18.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记 AB ，BC 分别为a ，b ，则AH ＝( )A.25a －45bB.25a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b9.(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点， BC ＝3CD ，则( )A ． AD ＝－13AB ＋43 AC B ． AD ＝13 AB －43 ACC ． AD ＝43 AB ＋13 AC D ． AD ＝43 AB －13AC10．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则 EB ＋FC ＝( )A ． AD B.12 AD C ． BC D.12BC11．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.12．(2017·杭州模拟)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设 CB ＝a ，CA ＝b ，则 AM ＝( )A.12a －bB.12a ＋b C ．a －12b D ．a ＋12b13．在四边形ABCD 中， AB ＝a ＋2b ， BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对14.如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 115. (2017·潍坊模拟)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若 AB ＝a ，AC ＝b ，则 PQ ＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13b C.13a －13b D ．－13a －13b16.(2016·泉州调研)若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是( ) A ．a －2b 与－a ＋2b B ．3a －5b 与6a －10b C ．a －2b 与5a ＋7bD ．2a －3b 与12a －34b17.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， OP ＝x OA ＋yOB ，且 BP＝2PA ，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝1418.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设 AB ＝a ， BC ＝b ， CA ＝c ，且 CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．19.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量 AC ＝(－4，－3)，则向量BC ＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)20．(2016·全国甲卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.21．若向量AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BC＝()A．(1,1) B．(－1，－1) C．(3,7) D．(－3，－7)22．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．23．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是()A．2 B．－2 C．±2 D．024.设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于()A．－72B．－12C.32 D.5225.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且BE＝23BC，DF＝16DC，则AE·AF的值为________．26.已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为()A．－322B．－35C.322D．3 527．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________.28.如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，AB＝4AC，则OC·(OB－OA)＝________.29.已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k=________.30.(2017·衡水模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为π3，那么|4a－b|＝()A．2 B．6 C．2 3 D．1231.已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°32. (2016·兰州一模)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A. 5B.10 C．2 5 D．1033.在△ABC中，“△ABC为直角三角形”是“AB·BC＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件34．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为()A．12 B．8 C．－8 D．235．已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，3)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为()A．－2 3 B．2 3 C．4 3 D．6 336．设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝3，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝()A．2 B．2 3 C．4 D．4 337．(2017·洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为()A.π2 B.π3 C.π4 D.π638.如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在AB边上，且AM＝13AB，则DM·DB等于________．39．(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为()A．－58 B.18 C.14 D.11840．(2016·全国甲卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A．－8 B．－6 C．6 D．841．(2016·全国丙卷)已知向量BA＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°42．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝()A．1 B．2 C．3 D．543．(2016·全国乙卷)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.44．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO―→＝12(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________．45．(2013·全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.46．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________.47．(2012·新课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.48.若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b的坐标为()A．(3，－6) B．(－3,6) C．(6，－3) D．(－6,3)49.已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．50.已知向量a＝⎝⎛⎭⎫sin x，32，b＝(cos x，－1)．(1)当a∥b时，求tan 2x的值；(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在⎣⎡⎦⎤－π2，0上的值域．。
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题二 三角函数、平面向量 第三讲 平面向量课时作业 理(202
三讲平面向量课时作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第三讲平面向量课时作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第三讲平面向量课时作业理的全部内容。
第三讲平面向量课时作业理1．(2016·唐山模拟）在等腰梯形ABCD中，错误!＝－2错误!，M为BC的中点，则错误!＝( ) A。
错误!错误!＋错误!错误! B.错误!错误!＋错误!错误!C。
错误!错误!＋错误!错误! D.错误!错误!＋错误!错误!解析：因为错误!＝－2错误!，所以错误!＝2错误!。
又M是BC的中点,所以错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!＋错误!错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!，故选B.答案:B2．(2016·高考全国Ⅱ卷）已知向量a＝（1，m）,b＝（3，－2）,且(a＋b）⊥b，则m＝( ) A．－8 B．－6C．6 D．8解析：解法一因为a＝(1，m),b＝(3，－2),所以a＋b＝（4,m－2）．因为（a＋b)⊥b，所以（a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0,解得m＝8.解法二因为(a＋b）⊥b，所以(a＋b）·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2）2＝16－2m＝0，解得m＝8.答案:D3．(2016·河北三市联考）已知e1,e2是不共线向量，a＝me1＋2e2,b＝ne1－e2，且mn≠0，若a ∥b,则错误!等于（）A．－错误!B。
专题08 平面向量教学案-2018年高考理数二轮复习资料
C．60° D．120°
解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．
∵ ＝ ， ＝ ，∴| |＝1，| |＝1， · ＝ × ＋ × ＝ ，
∴cos∠ABC＝cos〈 ， 〉＝ ＝ .
∵0°≤〈 ， 〉≤180°，∴∠ABC＝〈 ， 〉＝30°.
速解法：如图，B为原点，则A
∴∠ABx＝60°，C ∠CBx＝30°，∴∠ABC＝30°.
答案：A
【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．
(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则 ＋ ＝()
A. B.
C. D.
解析：基本法一：设 ＝a， ＝b，则 ＝－ b＋a， ＝－ a＋b，从而 ＋ ＝ ＋ ＝ (a＋b)＝ ，故选A.
(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；
(4)cosθ＝ .
【误区警示】
1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．
2．的投影为 ，而不是 .
4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0⇔a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 · ＝________.
解析：基本法：以 、 为基底表示 和 后直接计算数量积．
＝ ＋ ， ＝ － ，
∴ · ＝ ·( － )
＝| |2－ | |2＝22－ ×22＝2.
速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解．
如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，
高考数学复习知识点专题讲解25---平面向量高考选择填空压轴题专练(培优版)
，∴
t
=
1 4
(1−
m)
，
解
得
m
=
3 7
，∴
4
1 2
(1
−
t
)
=
m
t
=
1 7
OM
=
1 7
OA +
3 OB 7
，设 OM
=
xOE
+
yOF
=
xλOA +
yµOB
，则
xλ
yµ
= =
1 7 3 7
7x ，即 7 y
= =
1 λ 3 µ
，
即
1 λ
+
3 µ
=
7
，故
λ
+
µ
=
1 7
(λ
+
µ )
1 λ
=
2 λ
,
PF PD
=
λ
λ +
2
,故选
A.
uuur uuur 7．由点 P 向圆 O ：x2 + y2 = 2 引两条切线，切点为 A ，B ，则 PA⋅ PB 的最小值是（ ）
A． 4 2-6
B． 2 2 − 3
C． 3 − 2 2
D． 6 − 4 2
【答案】A
【解析】
设
OP = x
，
则
PA2 = x 2 − 2
P(x , y) ,
uuur 由已知 AP
=
1 ，得 ( x
−
2)2
+
y2
=
1 ，又
uuuur PM
=
uuuur MC
高考数学二轮热点专题突破讲练 第八讲 平面向量 理(含解析)
第八讲 平面向量1．(向量平行的坐标表示)(2013·陕西高考)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0【解析】 由a ∥b ⇒m 2＝1×2⇒m ＝2或m ＝－ 2. 【答案】 C2．(向量的线性运算)(2013·四川高考)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.【解析】 由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →. 又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →， ∴AB →＋AD →＝2AO →.又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2. 【答案】 23．(向量的数量积)(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．【解析】 ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )， ∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0.∴t ＝5. 【答案】 54．(平面向量的基本定理)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2－3－1所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图2－3－1【解析】 以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋ μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.【答案】 45．(向量数量积的性质)(2013·安徽高考)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．【解析】 由|a |＝|a ＋2b |，两边平方，得|a |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以a ·b ＝－|b |2.又|a |＝3|b |，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－|b |23|b |2＝－13.【答案】 －13平面向量的概念与运算(1)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c共线，则k ＝________.(2)(2013·山东高考)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【思路点拨】 (1)求向量a －2b 的坐标，再依据向量共线的条件求k .(2)以AB →，AC →为基底，利用向量垂直的充要条件，表示出关于λ的方程，进而确定参数的值．【自主解答】 (1)a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)， ∴a －2b ＝(3，3)．又(a －2b )∥c ，且c ＝(k ，3)． 从而3×3－3k ＝0，∴k ＝1. (2)∵BC →＝AC →－AB →，AP →＝λAB →＋AC →， 又AP →⊥BC →， ∴AP →·BC →＝0.则(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－λ×9＋4＝0，∴λ＝712. 【答案】 (1)1 (2)7121．第(1)题主要利用向量共线的坐标表示．第(2)题运用平面向量垂直的条件是解题的关键，本题易出现“BC →＝OB →－OC →”这种错误，解题时要特别注意．2．运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平行四边形．使用三角形加法法则要特别注意“首尾相接”；使用减法法则时，向量一定“共起点”．变式训练1 (1)(2013·湖北高考改编)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．(2)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( ) A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b 【解析】 (1)AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →在CD →方向上的投影是AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝322. (2) 如图，∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ， ∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝ 5. 又CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB ，∴AD ＝455.∴AD →＝45AB →＝45(a －b )＝45a －45b .【答案】 (1)322(2)D平面向量的数量积(1)(2013·湖南高考)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c－a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2(2)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是________．【思路点拨】 (1)由a·b ＝0，求出|a ＋b |的值，利用向量模的性质求|c |的最大值．(2)依据向量的夹角与模的计算公式求解．【自主解答】 (1)∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2， ∴|a ＋b |＝2， 又|c －a －b |＝1，∴|c |－|a ＋b |≤|c －a －b |＝1. 从而|c |≤|a ＋b |＋1＝2＋1.(2)设点Q (x ，y )，由|OP →|＝|OQ →|，得 x 2＋y 2＝100.①∵向量OQ →与OP →的夹角为3π4，且点Q 在第三象限，∴cos 3π4＝OP →·OQ →|OP →|·|OQ →|＝x ，y ·6，810×10＝6x ＋8y 100＝－22.∴6x ＋8y ＝－50 2.②由①②得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－72或⎩⎨⎧x ＝－72，y ＝－ 2.又∵点Q 在第三象限，∴点Q 的坐标为(－72，－2)． 【答案】 (1)C (2)(－72，－2)1．第(1)题求解的关键是利用数量积的性质，求出|a ＋b |＝2，第(2)题主要利用向量模与夹角的性质，转化为代数运算，该题常见的错误是忽视隐含条件(点Q 在第三象限)导致增解．2．向量的坐标表示，可使向量运算代数化；从而用代数方法研究几何问题，有关向量的长度、夹角与垂直问题常运用平面向量的数量积的性质解决．变式训练2 (2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】 设AB 的长为a (a >0)，因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，于是AC →·BE→＝(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝－12a 2＋14a ＋1，由已知可得－12a 2＋14a ＋1＝1.又a >0，∴a ＝12，即AB 的长为12.【答案】 12平面向量与三角函数的交汇问题(2013·连云港质检)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[0，5π24]上的值域．【思路点拨】 (1)利用数量积的意义，求f (x )并化简，由f (x )的最大值求A .(2)依据图象变换求g (x )的解析式，进而确定函数g (x )的值域．【自主解答】 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A (32sin 2x ＋12cos 2x )＝A sin(2x ＋π6)． 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)得f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图象； 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图象．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．由x ∈[0，5π24]，知π3≤4x ＋π3≤76π，∴－12≤sin(4x ＋π3)≤1，故函数g (x )，x ∈[0，5π24]上的值域为[－3,6]．1．本题以向量的数量积为载体考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，常见的错误主要是第(2)问中混淆平移变换的意义，错求g (x )＝6sin(4x ＋π4)．2．平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用三角函数基本公式求解，常用到向量的数量积、向量的代数运算，以及数形结合思想．变式训练3 (2013·辽宁高考)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【解】 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题，重点考查运算能力与数形结合思想．数形结合求解向量数量积问题(2013·郑州模拟)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，<a－c ，b －c >＝60°，则|c |的最大值等于( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1【解析】 ∵a·b ＝－12，且|a |＝|b |＝1，∴cos<a ，b >＝a·b |a ||b |＝－12.∴<a ，b >＝120°.如图所示，将a ，b ，c 的起点平移至同一点O ，则a －c ＝CA →，b －c ＝CB →，∠ACB ＝60°，于是四点A ，O ，B ，C 共圆．即点C 在△AOB 的外接圆上，故当OC 为直径时，|c |取最大值． 由余弦定理，得AB ＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos<a ，b >＝3，由正弦定理，得2R ＝ABsin 120°＝2，即|c |的最大值为2.【答案】 A 【阅卷心语】易错提示 (1)数形结合意识不强，难以入手，不懂运用几何性质，盲目求解，无果而终．(2)在△AOB 的边角计算中，运算能力差，导致计算错误．防范措施 (1)树立数形结合意识，向量是数形结合的载体，解答本题的关键在于将向量a ，b ，c 的起点平移至同一点O ，根据题设条件，得到A ，O ，B ，C 四点共圆．(2)重视平面向量的工具性作用，加强向量与几何、三角交汇问题的训练．1．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10【解析】 ∵AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴AC →⊥BD →，∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD→|＝12×5×25＝5. 【答案】 C2．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－32，则λ＝________.【解析】 在等边△ABC 中，|AB →|＝|AC →|＝2， ∴AB →·AC →＝|AC →|·|AB →|cos 60°＝2. 又BQ →＝BA →＋AQ →＝(1－λ)AC →－AB →， CP →＝CA →＋AP →＝λAB →－AC →，∴BQ →·CP →＝[(1－λ)AC →－AB →]·(λAB →－AC →)＝－32，即λ(1－λ)AC →·AB →－λAB →2－(1－λ)AC →2＋AB →·AC →＝－32.化简得4λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝12.【答案】 12。
高考数学专题八平面向量精准培优专练理
培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C． D【答案】C【解析】考虑b 在a 上的投影为⋅a bb，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以9⋅=-a b．进而⋅==a b b ．故选C ．2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形，=．3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则A D B E ⋅=u u u v u u u v__________．【答案】14AD BE ⋅=-uuu v uu u v【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，下面求E 坐标：令(),E x y ，∴1,2CE x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v，12CA ⎛=- ⎝⎭uu v ， 由3CA CE =uu v uu u v可得：11132233x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩13E ⎛ ⎝⎭，∴0,AD ⎛= ⎝⎭uuu v，56BE ⎛= ⎝⎭uu u v ，∴14AD BE ⋅=-uuu v uu u v ．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ）A ．12-B ．12C． D【答案】D【解析】因为12cos4π⨯⨯=⋅=a b ()40λλλ-⋅=⋅=⇒=a b b ，故选D ． 2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+=a b ⋅=a b （ ） A ．1 BCD ．2【答案】A对点增分集训【解析】由题意可得：22221427+=++⋅=++⋅=a b a b a b a b ，则1⋅=a b ．故选A ． 3．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =， 则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1-B ．1C ．D 【答案】B【解析】因为13AM AB =，所以DB AB AD =-uu u v uu u v uuu v ，13DM AM AD AB AD =-=-uuuu v uuu v uuu v uu u v uuu v ，则()22114333DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v uuu v14142111332=⨯-⨯⨯⨯+=．故选B ． 4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u vb ，则AO =u u u v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b【答案】B【解析】由题意，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，所以12AE AC =uu u v uuu v，又因为O 是BE 边的中点，所以()12AO AB AE =+uuu v uu u v uu u v，所以()1111122224AO AB AE AB AE =+=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v a b ，故选B ．5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ）A ．2-B ．32-C ．34 D ．98【答案】D【解析】因为AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，所以ABCD 是直角梯形，且CM =30BCM ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，则(]01λ∈，，()20B ，，()2P λ-，18Q λ⎛ ⎝，所以()111254848AP BQ λλλλ⎛⋅=-⋅-=+-- ⎝uu u v uu u v ， 令()115448f λλλ=+--且(]01λ∈，， 由基本不等式可知，当1λ=时可取得最大值， 则()()max 119154488f f λ==+--=．故选D ． 6．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC⋅uu v uu u v的范围是（ ） A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，【答案】C【解析】根据题意，ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，则根据余弦定理可得2416224cos6012BC =+-⨯⨯⨯︒=，即BC =ABC △为直角三角形以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，则()02A ，，()C ，则线段AC 12y=，(0x ≤≤．设(),P x y ，则()()222443PB PC x y x y x y x x ⋅=---=+-=+uu v uu u v ，，．∵0x ≤≤944PB PC -≤⋅≤uu v uu uv ．故选C ．7．已知非零向量a ，b ，满足=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A【解析】非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=ab a b ，则()()320+⋅-=a b a b ，∴22320+⋅-=a a b b ，∴223cos 20θ+⨯⨯-=a a b b ， ∴2213cos 202θ⨯+⨯⨯-=b b b b ，∴cos θ，4θπ=，∴a 与b 的夹角为4π，故选A ．8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则B P CQ ⋅u u v u u uv 的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．【答案】B【解析】∵在Rt ABC △中斜边BC a =，∴BA CA ⊥， ∵A 为线段PQ 中点，且2PQ a =，∴原式()22222cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a θ=-+⋅-⋅=-+-=-+⋅=-+u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u v ， 当cos 1θ=时，有最大值，0BP CQ ⋅=uu v uu u v．故选B ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ）A ．1B C D ．2【答案】D【解析】设OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu v c ，因为12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，所以120AOB ∠=︒，60ACB ∠=︒，所以O ，A ，B ，C 四点共圆，因为AB =-uu u v b a ，()222223AB =-=+-⋅=uu u v b a b a a b ，所以AB =由正弦定理知22sin120ABR ==︒，即过O ，A ，B ，C 四点的圆的直径为2，所以c 的最大值等于直径2，故选D ．10．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣【答案】B【解析】由a ，b 是单位向量，0⋅=a b ，可设()1,0=a ，()0,1=b ，(),x y =c ， 由向量c 满足2--=c a b ，∴()1,12x y --=，2=，即()()22141x y +-=-，其圆心()1,1C ，半径2r =，∴OC =22=c B ．11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,3【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设(),0B a ，则()3,C b ，()1,D a b -，则()31a a --=，解得2a =．所以()1,D b ，()3,C b ．BD uu u v 在BC uu uv 上的摄影cos BM BD θθ==uu u v ， 当0b →时，cos 1→-，得到：1BM →-，当b →+∞时，0θ→，BM →+∞，故选A ．12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC ==，D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅uuu v uu u v的取值范围是（ ）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,1A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),0D x ，则2,03E x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，113x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭．据此有(),1AD x =-uuu v ，2,13AE x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uu u v ，则222181339AD AE x x x ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭uuu v uu u v ．据此可知，当13x =-时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最小值89；当1x =-或13x =时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最大值43； AD AE ⋅uuu v uu u v 的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选A ．二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________．【答案】12． 【解析】因为()1,2=a ，()2,2=-b ，所以()24,2+=a b ， 又()1,λ=c ，且()2+∥c a b ，则42λ=，即12λ=．14．若向量a ，b 满足1=a ，=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________． 【答案】34π【解析】由()⊥+a a b 得，()0⋅+=a a b ，即20+⋅=a a b ，据此可得2cos ,⋅=⋅⋅=-a b a b a b a ，∴cos ,==a b 又a 与b 的夹角的取值范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________． 【答案】4【解析】设DE DC AB λλ==uu u v uuu v uu u v ，则AE AD DE AD AB λ=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又BD AD AB =-uu u v uuu v uu u v ，∴()()()22144AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD λλλλ⋅=+⋅-=-+-⋅=-uu u v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v，∵01λ≤<，∴当0λ=时，AE BD ⋅uu u v uu u v取得最大值4，故答案为4．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．【答案】【解析】以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，可得()0,0C ，()0,2A ，()B ，则直线AB 12y=，设(),P x y ，则2y =，0x ≤≤(),PB x y =-uu v ，(),PC x y =--uu u v ，则|()()22222PB PC x y +=+uu v uu u v2222441244212x y x ⎛=+-+=+--+ ⎝22161628333x x x ⎛=-+=+ ⎝⎭，由x ⎡⎣，可得PB PC +uu v uu u v 的最小值为 ，时，则PB PC +uu v uu u v的最大值为即PB PC +uu v uu u v的取值范围为．故答案为．。
高考数学二轮复习第二部分专题一常考小题点1.4平面向量题专项练课件理
又向量a=(1,2),b=(m,-4),
∴b=-2a,∴m=-2.
-7-
一、选择题 二、填空题
4.(2017辽宁鞍山一模,理5)已知向量a,b满足
|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则向量a,b的夹角为( D )
A.1 B.2 C.3 D.5
解析: ∵|a+b|= 10,∴(a+b)2=10. ∴|a|2+|b|2+2a·b=10.① ∵|a-b|= 6,∴(a-b)2=6. ∴|a|2+|b|2-2a·b=6.② 由①-②得a·b=1,故选A.
2.已知向量a=(1,m),b=(3,-2)且(a+b)⊥b,则m= ( D ) A.-8 B.-6 C.6 D.8
+
1 3
������������
=
2,
3 2
, ������������ =
1 2
,
3 2
,
∴������������ =
-1,
3 2
, ������������ =
1 2
,-
3 ,则������������ ·������������=-12 − 32=-2.
-10-
一、选择题 二、填空题
7.在矩形 ABCD 中,AB=3,BC= 3, ������������=2������������,点 F 在边 CD 上,若������������ ·
-3-
2.平面向量的数量积 (1)若a,b为非零向量,夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ. (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. 3.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. 4.利用数量积求长度 (1)若 a=(x,y),则|a|= ������·������ = ������2 + ������2.
高考数学专题：平面向量练习试题、答案
高考数学专题：平面向量练习试题 1．已知(3,4)a =，(8,6)b =-，则向量a 与b （ ）A ．互相平行B ．互相垂直C ．夹角为30°D ．夹角为60° 2．已知向量(5,3)a =-，(2,)b x =，且//a b ，则x 的值是（ ） A ．65 B ．103 C ．-65 D ．-103 3．已知向量(2,3)a =，(1,2)b =，且()()a b a b λ+⊥-，则λ等于（ ） A ．35 B ．35- C ．3- D ．3 4．如果a 、b 都是单位向量，则a b -的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(0,2)C ．[1,2]D ．[0,2] 5．已知在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，则O 为ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 6．已知(7,1)A ，(1,4)B ，直线ax y 21=与线段AB 交于点C ，且2AC CB =，则a 等于（ ） A ．2 B ．35 C ．1 D ．54 7．已知直线2y x =上一点P 的横坐标为a ，有两个点(1,1)A -，(3,3)B ，那么使向量PA 与PB 夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是（ ）A ．12a -<<B ．01a <<C ．22a -<< D ．02a <<8．已知向量(4,2)a =，(1,1)b =-，则b 在a 方向上的射影长为_________． 9．已知点(2,3)A ，(0,1)C ，且2AB BC =-，则点B 的坐标为_____________．10．已知||2a =，||2b =，a 与b 的夹角为45︒，则()b a a -⋅=________． 11．已知向量(3,1)OA =--，(2,3)OB =，OC OA OB =+，则向量OC 的坐标为____________，将向量OC 按逆时针方向旋转90︒得到向量OD ，则向量OD 的坐标为______________12．已知向量a 、b 的夹角为45︒，且满足||4a =，1()(23)122a b a b +⋅-=，则||b =_________；b 在a 方向上的投影等于_____________． 13．平面上有三个点(2,)A y -，(0,)2y B ，(,,)C x y ，若AB BC ⊥，则动点的轨迹方程为______________．14．将函数2y x =的图象F 按向量(3,2)a =-平移到'F ，则'F 对应的函数解析式为_________________．15．把点(2,2)A 按向量(2,2)a =-平移到点B ，此时点B 分OC （O 为坐标原点）的比为2-，则点C 的坐标为____________．16．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，||1AC =，||4AB =，则ABC ∆的面积为____，||BC =_____________．答案1．B2．C3．B4．D5．B6．A7．B8．59．(2,1)-- 10．2- 11．(1,2)-，(2,1)--12 1 13．28y x =14．2(3)2y x =-- 15．(0,2)16。
高考数学平面向量专题练习、参考答案
高考数学平面向量专题练习考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。
1、已知向量b a 与不共线，且0||||≠=b a ，则下列结论中正确的是 A ．向量b a b a -+与垂直 B ．向量b a -与a 垂直C ．向量b a +与a 垂直D ．向量b a b a -+与共线2．已知在△ABC 中，OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 为△ABC 的A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．在△ABC 中设a AB =，b AC =，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，则AD 用b a ,表示为 。
4、已知21,e e 是两个不共线的向量，而→→→→→→+=-+=2121232)251(e e b e k e k a 与是两个共线向量，则实数k = .5、设→i 、→j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且→→+=j i OA 24，→→+=j i OB 43，则△OAB 的面积等于 ：A ．15B ．10C ．7.5D ．56、已知向量OB OA OC OB OA +==--=),3,2(),1,3(，则向量OC 的坐标是 ，将向量OC 按逆时针方向旋转90°得到向量OD ，则向量OD 的坐标是 . 7、已知)3,2(),1,(==AC k AB ，则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的值是A ．23B ．21-C ．－5D ．31-8、在锐角三角形ABC 中，已知ABC AC AB ∆==,1||,4||的面积为3，则=∠BAC ，AC AB ⋅的值为 .9、已知四点A ( – 2，1)、B (1，2)、C ( – 1，0)、D (2，1)，则向量AB 与CD 的位置关系是 A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 无法判断10、已知向量OB OA CA OC OB 与则),sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===夹角的范围是：A ．]4,0[π B ．]125,4[ππ C ．]125,12[ππ D ．]2,125[ππ 11、若,4,,2||,3||π夹角为且b a b a ==则||b a +等于：A ．5B ．52C ．21D ．1712、已知→a =（6，2），→b =)21,4(-，直线l 过点A )1,3(-，且与向量→→+b a 2垂直，则直线l 的一般方程是 . 13、设]2,[,),()()(ππ--∈-+=R x x f x f x F 是函数)(x F 的单调递增区间，将)(x F 的图象按)0,(π=a 平移得到一个新的函数)(x G 的图象，则)(x G 的单调递减区间必是：A ．]0,2[π-B ．],2[ππC ．]23,[ππ D ．]2,23[ππ14、把函数3)2(log 2+-=x y 的图象按向量a 平移，得到函数1)1(log 2-+=x y 的图象，则a 为（ ）A ．（3，－4）B ．（3，4）C ．（－3，4）D ．（－3，－4）15、如果把圆)1,(02:22-==-+m a y y x C 沿向量平移后得到圆C ′，且C ′与直线043=-y x 相切，则m 的值为 .16、已知P 是抛物线122-=x y 上的动点，定点A （0，-1），若点M 分PA 所成的比为2，则点M 的轨迹方程是_____，它的焦点坐标是_________．17、若D 点在三角形的BC 边上，且4CD DB r AB sAC ==+，则3r s +的值为:A. 165B. 125C. 85D. 4518、若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββb a ==αα则b a与一定满足:A.b a 与的夹角等于βα-B.)()(b a b a -⊥+C. b a //D.b a ⊥19、已知A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α）.（1）若BC AC ⋅=－1，求sin2α的值； （2）若13||=+OC OA ，且α∈（0，π），求OB 与OC 的夹角.20、已知O 为坐标原点，a R a R x a x OB x OA ,,)(2sin 3,1(),1,cos 2(2∈∈+==是常数），若.OB OA y ⋅=（Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式);(x f （Ⅱ）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为2，求a 的值并指出)(x f 的单调区间.21、已知A （－2，0）、B （2，0），点C 、点D 满足).(21,2||AC AB AD AC +== （1）求点D 的轨迹方程；（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为54，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程. 22、如图，已知△OFQ 的面积为S ，且 1=⋅FQ OF . （1）若21＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围； （2）设|OF | = c （c ≥2），S =c 43，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取得最小值时，求此椭圆的方程.参考答案1、A ；2、D ；3、→→+b a 4341；4、231或；5、D ；6、)2,1(-，)1,2(--；7、D ；8、3π, 2；9、A ；10、C ；11、D ；12、0932=--y x ；13、D ；14、D ；15、35±；16、)0(162≠-=x x y ,)21,0(；17、C ；18、B19（1）解：(cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BC αα=-∴BC AC ⋅=－1⇒cos (cos 3)sin (sin 3)1αααα-+-=- ∴2cos sin 3αα+=，∴224cos sin 2sin cos 9αααα++= ∴5sin 29α=- （2）∵(3cos ,sin )OA OC αα+=+=化简得1cos 2α=， ∵(0,)απ∈，∴sin 2α=∴3sin cos ,sin 3||||OB OC OB OC OB OC αα⋅<>====2 ∴OB 与OC 的夹角为6π20．（1）,2sin 3cos 22a x x OB OA y ++=⋅=).](32,6[:).](6,3[:)(.1,23,3)(,]6,0[6,262.1)62sin(2)()2(.12sin 32cos )(Z k k kx Z k k kx x f a a a x f x x a x x f a x x x f ∈+-∈+--==++∈==+∴+++=+++=∴πππππππππππ单调减区间是的单调增区间是可解得函数解得由取最大值时解得 21．解：（I ）设C 、D 点的坐标分别为C （),00y x ，D ),(y x ，则00,2(y x AC +=），)0,4(=AB则),6(00y x AC AB +=+，故)2,32()(2100y x AC AB AD +=+=又解得故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=.2,232),,2(00y y x x y x AD ⎩⎨⎧=-=.2,2200y y x x 代入2)2(||2020=++=y x AC 得122=+y x ，即为所求点D 的轨迹方程.（II ）易知直线l 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为)2(+=x k y ①.又设椭圆方程为)4(1422222>=-+a a y a x ②. 因为直线l 与圆122=+y x 相切.故11|2|2=+k k ，解得.312=k将①代入②整理得，0444)4(2422222222=+-++-+a a k a x k a x a k a ， 而313=k ，即0443)3(24222=+-+-a a x a x a ，设M （),11y x ，N （),22y x ，则32221--=+a a x x ，由题意有)3(5423222>⨯=-a a a ，求得82=a .经检验，此时.0>∆ 故所求的椭圆方程为.14822=+y x 22．解：（1）由已知，得.2tan 1cos ||||)sin(||||21S FQ OF SFQ OF =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-⋅θθθπ ∵21＜S ＜2，∴2＜tan θ＜4，则4π＜θ＜arctan4. （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞0，b ＞0），Q 的坐标为（x 1，y 1），则FQ =（x 1－c ，y 1）,∵△OFQ 的面积为,43||211c y OF =⋅∴y 1 =23又由OF ·FQ =（c ，0）·⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,1c x =（x 1－c ）c = 1，得x 1 =491|| ,122121+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+c c y x OQ c c （c ≥2）.当且仅当c = 2时|OQ |最小，此时Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛23 ,25，由此可得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+6104149425222222b a b a b a ， 故椭圆方程为161022=+y x .。
2020年高考数学(理科)二轮复习押题特训专题08 平面向量
2020年高考数学（理科）二轮复习押题特训专题08 平面向量1．在△ABC中，“△ABC为直角三角形”是的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B若△ABC为直角三角形，角B不一定为直角，即不一定等于0；若，则AB⊥BC，故角B为直角，即△ABC为直角三角形，故“△ABC为直角三角形”是的必要不充分条件．2．已知点M(－3,0)，N(3,0)．动点P(x，y)满足则点P的轨迹的曲线类型为()A．双曲线B．抛物线C．圆D．椭圆答案：B3．已知非零向量a，b，满足a⊥b，则函数f(x)＝(a x＋b)2(x∈R)是()A．既是奇函数又是偶函数B．非奇非偶函数C．偶函数D．奇函数解析：选C因为a⊥b，所以a·b＝0，所以f(x)＝(a x＋b)2＝|a|2x2＋2a·b x＋|b|2＝|a|2x2＋|b|2，所以函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数．4．若非零向量且则△ABC为()A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形解析：选C 知，角A 的平分线与BC 垂直，∴||＝||；由知，cos A ＝12，∴A ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．5．在△ABC 中，满足||＝||，(－3)⊥，则角C 的大小为( )A.π3B.π6C.2π3D.5π6 答案：C6．设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若＝13＋13，则∠BAC 的度数等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C 取BC 的中点D ，连接AD ，则＋＝2.由题意得3＝2，∴AD 为BC 的中线且O 为重心．又O 为外心，∴△ABC 为正三角形，∴∠BAC ＝60°.7．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(＋)·＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32解析：选D 函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象如图所示．由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，根据对称性可知，A 是B ，C 的中点，所以＋＝2，所以(＋)·＝2·＝2||2＝2×42＝32.8．已知A 、B 、C 是圆x 2＋y 2＝1上的三点，且＋＝，其中O 为坐标原点，则的面积等于________．答案：329．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2，n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3. (1)求角C ；(2)已知c ＝72，S △ABC ＝332，求a ＋b 的值．解：(1)因为向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2，n ＝cos C 2，－sin C 2，所以m ·n ＝cos 2 C 2－sin 2 C 2，|m |＝cos 2C 2＋sin 2C 2＝1，|n |＝cos 2 C 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－ sin C 22＝1，又m 与n 的夹角为π3，所以cos π3＝m ·n |m ||n |＝cos 2C 2－sin 2 C 2＝cos C ＝12，因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ，所以34ab ＝332，所以ab ＝6，由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即12＝a ＋b 2－2ab －c 22ab ＝a ＋b 2－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫72212，解得a ＋b ＝112.10．在△ABC 中，若·＝·＝2，则边AB 的长等于________．解析：由题意知·＋·＝4，即·(＋)＝4，即·＝4，∴||＝2.答案：211．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是________．解析：由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.答案：2π312．设向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若以向量a ＋b 与a －2b 为邻边所作的平行四边形是菱形，则cos(β－α)＝________.答案：1413．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2S △ABC ＝3·.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求a ＋c 的取值范围．解：(1)由已知得ac sin B ＝3ac cos B ，∴tan B ＝3， ∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)法一：由余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即4＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22(当且仅当a ＝c 时取等号)，解得0<a ＋c ≤4.又a ＋c >b ，∴2<a ＋c ≤4，∴a ＋c 的取值范围是(2,4]．法二：由正弦定理得a ＝43sin A ，c ＝43sin C ， 又A ＋C ＝2π3，∴a ＋c ＝43(sin A ＋sin C )＝43[sin A ＋sin(A ＋B )]＝43⎝⎛⎭⎪⎫sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin A ＋12cos A ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6.∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1，∴a ＋c 的取值范围是(2,4]．14．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求tan 2x 的值；(2)求函数f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的值域．答案：(1)125；(2) 122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(m ，cos x )，b ＝(1＋sin x ，1)，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2.(1)求实数m 的值； (2)求函数f (x )的最小值．解：(1)f (x )＝a·b ＝m (1＋sin x )＋cos x ， 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin π2＋cos π2＝2，得m ＝1.(2)由(1)，得f (x )＝sin x ＋cos x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－1时，f (x )取得最小值1－ 2.16．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(sin α，1)，OB →＝(cos α，0)，OC →＝(－sin α，2)，点P满足AB→＝BP →. (1)记函数f (α)＝PB →·CA→，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π2，讨论函数f (α)的单调性，并求其值域； (2)若O ，P ，C 三点共线，求|OA→＋OB →|的值．解析：(1)()24f x πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π2，所以2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π4，所以函数f (α)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，π2，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π8.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1，所以函数f (α)的值域为[－2，1)．(2)由O ，P ，C 三点共线，可得(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)， 解得tan α＝43.所以sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2425，于是|OA→＋OB →|＝（sin α＋cos α）2＋1＝2＋sin 2α＝745.17．如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ →＝OA→＋OP →，四边形OAQP 的面积为S . (1)求OA →·OQ →＋S 的最大值及此时θ的值θ0； (2)设点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，∠AOB ＝α，在(1)的条件下求cos(α＋θ0)．解析：(1) 依题意知：()sin cos 12104OA OS S πθθθθπ⎛⎫⋅+=++=++<< ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，则OA OS S ⋅+u u u r u u u r 的最大值为21+，此时04πθ=(2)∵B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，∠AOB ＝α，∴cos α＝－35，sin α＝45.∴cos(α＋θ0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－35×22－45×22＝－721018．在△ABC 中，若|AC →|＝23，且AB →·cos C ＋BC →·cos A ＝AC →·sin B . (1)求角B 的大小； (2)求△ABC 的面积S .解：(1)因为AC →＝AB →＋BC →，所以AB →·cos C ＋BC →·cos A ＝AC →·sin B ＝(AB →＋BC →)·sin B ， 即(cos C －sin B )AB →＋(cos A －sin B )·BC →＝0. 而向量AB→，BC →是两个不共线向量， 所以cos sin cos cos cos sin C BC A A B =⎧⇒=⎨=⎩，又(),0,A C π∈，所以A C = 在等腰△ABC 中，,2,22B A BC A B A πππ++=+==-, 所以cos cos sin sin 2sin cos 22222B B B B A B π⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭ 所以1cos,0,222B B π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以236B B ππ=⇒= (2)由(1)知，则A ＝C ＝π6，由正弦定理得，|AC →|sin 2π3＝|BC →|sin π6，所以|BC →|＝2，S△ABC＝12|AC →||BC →|sin π6＝12×23×2×12＝ 3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．在△ABC中，“△ABC为直角三角形”是的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．已知点M(－3,0)，N(3,0)．动点P(x，y)满足则点P的轨迹的曲线
类型为( )
A．双曲线 B．抛物线
C．圆 D．椭圆
3．已知非零向量a，b，满足a⊥b，则函数f(x)＝(ax＋b)2(x∈R)是( )
A．既是奇函数又是偶函数
B．非奇非偶函数
C．偶函数
D．奇函数
4．若非零向量且则
△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰非等边三角形
5．在△ABC中，满足||＝||，(－3)⊥，则角C的大小为( )
A.π3 B.π6 C.2π3 D.5π6
6．设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若＝13＋13，则∠BAC的度数等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．若函数f(x)＝2sinπ6x＋π3(－2
A．－32 B．－16 C．16 D．32
8．已知A、B、C是圆x2＋y2＝1上的三点，且＋＝，其中O为坐标原点，则的面
积等于________．
9．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝cos C2，sin C2，n＝cos C2，－sin C2，
且m与n的夹角为π3.
(1)求角C；
(2)已知c＝72，S△ABC＝332，求a＋b的值．
10．在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长等于________．
11．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．
12．设向量a＝(2cos α，2sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若以向量a＋b与a－2b为邻边所
作的平行四边形是菱形，则cos(β－α)＝________.
13．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2S△ABC＝3·.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求a＋c的取值范围．
14．已知向量a＝sin x，32，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求tan 2x的值；
(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在－π2，0上的值域．