正定矩阵的推广及其在线性互补问题中的应用
合集下载
求解线性互补约束问题的一个SQP方法
xT 和 AT
分别表示向量x和矩阵A的转置。
( ) diag a j , j = 1, 2, ~, m 表示以 a j 为对角元素的 m 阶对角矩阵。
2. 问题光滑化
记F是问题(1.1)的可行域，定义在向量 z ∈ F 处F的切锥如下：
L(z, F )
= d = kli→m∞ zkτ− z
: zk
H 2.4 函数 f ( x, y) 为二阶连续可微的。
( ) 定义 2.1 如果对于可行点 z∗ = x∗, y∗, w∗ 满足下面的条件，那么称 z∗ 是问题(1.1)的稳定点：
( ) ( ) = dz
(dx, dy, dw) ∈ Γ
X ; z∗
⇒ ∇f
x∗, y∗
T
ds ≥ 0,
( ) 其中 Γ X ; z∗ 为X在 z∗ 处的切锥。
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2019, 8(8), 1398-1409 Published Online August 2019 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2019.88164
对线性互补均衡约束问题，先介绍一些常见的光滑函数： 广义 Fischer-Burmeister 互补函数：
φ1 (a,b) = a + b − a2 + b2 + µ ,
Zang 在文献[3]提出一个如下形式的光滑函数：
0,
φ2 (a= , µ )
1 2µ
a
+
µ 2
2
A SQP Method for Linear Complementary Constraints Problem
稀疏优化与低秩矩阵优化
【2】S.L. Zhou, L.C. Kong, Z.Y. Luo, N.H. Xiu, New RIC Bounds via Lq-minimization with 0 < q<= 1 in Compressed Sensing, 2013.
【3】Z.Y. Luo, L.Y. Qin, L.C. Kong, N.H. Xiu, The Nonnegative Zero Norm Minimization under Generalized Z-matrix Measurement, JOTA, 2013.
问题： min rank(Y )
(7)
s.t. (Y ) D2 ,Ye 0,Y 0.
这里，是一个特定的线性算子.
三、应用实例
例6、Sparse-Viso CT CT是医学诊断的主要工具之一，其成像的数学原理是
Ax=b,其中x是一个未知向量，表示人体待检查部位的图像， 维数512*512代表像素个数，b是一个测量值，其维数为 1160*672代表射线的条数（1160代表圆周划分的角度），A是 （1160*672，512*512）阶矩阵，由物理规律得到.由于其行 数大于列数，一般情况下该方程无解.更为可怕的是行数多意 味着“吃线”多，对人的身体危害极大.期望：“吃线少、时 间短、图像清晰”.现在，假设人体待检查部位的图像稀疏， 那么应用稀疏优化理论和算法，可以进行研究。
这是一个矩阵秩极小问题.
三、应用实例
例4(上)、Netflix Prize 2006年10月Netflix电影公司为了有效发展自己的推荐系
统而发起的长达5年的竞赛，要求参赛者根据48万余用户对1 万7千部电影的不完全评分记录推测出另外近300万条电影评 分记录的数值.任何组织或个人只要能提交比Netflix现有电 影推荐系统Cinematch效果好10%的新方法，就可以获得诱人 的7位数奖金.不仅如此，每年它还会为此提供5万美元的年度 进步奖.
【3】Z.Y. Luo, L.Y. Qin, L.C. Kong, N.H. Xiu, The Nonnegative Zero Norm Minimization under Generalized Z-matrix Measurement, JOTA, 2013.
问题： min rank(Y )
(7)
s.t. (Y ) D2 ,Ye 0,Y 0.
这里，是一个特定的线性算子.
三、应用实例
例6、Sparse-Viso CT CT是医学诊断的主要工具之一，其成像的数学原理是
Ax=b,其中x是一个未知向量，表示人体待检查部位的图像， 维数512*512代表像素个数，b是一个测量值，其维数为 1160*672代表射线的条数（1160代表圆周划分的角度），A是 （1160*672，512*512）阶矩阵，由物理规律得到.由于其行 数大于列数，一般情况下该方程无解.更为可怕的是行数多意 味着“吃线”多，对人的身体危害极大.期望：“吃线少、时 间短、图像清晰”.现在，假设人体待检查部位的图像稀疏， 那么应用稀疏优化理论和算法，可以进行研究。
这是一个矩阵秩极小问题.
三、应用实例
例4(上)、Netflix Prize 2006年10月Netflix电影公司为了有效发展自己的推荐系
统而发起的长达5年的竞赛，要求参赛者根据48万余用户对1 万7千部电影的不完全评分记录推测出另外近300万条电影评 分记录的数值.任何组织或个人只要能提交比Netflix现有电 影推荐系统Cinematch效果好10%的新方法，就可以获得诱人 的7位数奖金.不仅如此，每年它还会为此提供5万美元的年度 进步奖.
一个求解对称仿射二次锥互补问题的矩阵分解方法
Ｍ２ ２
：
— — — —
收稿 日期 ：０ ８ ３ ３ ２ｏ —ｏ —２ 作者简介 ： 张利霞 （９ ｌ ） 女 ， １７ ～ ， 山东济宁人 ， 济宁学院数学系教师 ， 研究方 向： 运筹学。
维普资讯
易知 Ｂ 得正则性 等价 于 （ 日 ） ２的正则性 ［ 献 日 ／ Ｔ 文 ４． ］ 而
的 解． 证 明略 ：
求 ∈Ｒ ， 使得 ∈，， ｃＭｚ＋ ｑ∈， （ ＋ ） ， （ ） ｃ Ｍｚ ｑ Ｏ １ ， 其 中 Ｍ ∈Ｒ ， ｑ∈Ｒ 分别是对称矩 阵和向量 ， ， ｃ∈Ｒ ， 且
可 以分解成笛卡儿积 的形 式 ， 即：
， ｃ＝， ×， ×… ｍ 而 ｎ ＝ｎ ｃ ｃ ， ｌ＋ｎ ２＋… ＋ｎ ． ｍ
１ 矩 阵分解 方法及基本算法
若 对称矩 阵Ｍ ；Ｂ＋ｃ 则 （ ｃ 称为 的一个分解 ， ， Ｂ， ）
２ 逐次超松驰 迭代 方法
文献 ［ ］给 出了求解 Ｓ Ｃ Ｐ的矩阵分解基本算法 为 ： ２ ＯＣ
算法 １ ． 步 １选择 的一个分解 （ ｃ ： Ｂ， ）初始 点 ∈ 令 ｋ ：
有 ＿一 ＞ ， Ｂ，Ｔ２ 对∞ Ⅱ的ｓ ｕ补 写 － ｌ ０而（ Ｂ） 的 ～ ｃ ｒ 可 ／ ｈ
求 ｚ 使得ｚ ∈，ｂ ＋ （ （ ｒ）＝ ∈Ｒ ， ｆ （ ｒ ∈， Ｔ日 十 ： ， ， Ｅ
为
ｒｋ ｇｌ
ｉ ＝ １，
其中ｒ＝｛ ｋ Ｈ ｌ 【
￣３百４ａ ｛ ＿” （ －一２ａ ＝ 寿 １ Ｉ （ ）； 叶（ ） Ａ ＇Ⅱ ｙｌ ／ ２
一
个求 解对称 仿射二 次锥互补 问题的矩阵分解方法
张 利 霞
（ 济宁学院数学系， 山东 曲阜 ２３ ５ ） ７ １５
：
— — — —
收稿 日期 ：０ ８ ３ ３ ２ｏ —ｏ —２ 作者简介 ： 张利霞 （９ ｌ ） 女 ， １７ ～ ， 山东济宁人 ， 济宁学院数学系教师 ， 研究方 向： 运筹学。
维普资讯
易知 Ｂ 得正则性 等价 于 （ 日 ） ２的正则性 ［ 献 日 ／ Ｔ 文 ４． ］ 而
的 解． 证 明略 ：
求 ∈Ｒ ， 使得 ∈，， ｃＭｚ＋ ｑ∈， （ ＋ ） ， （ ） ｃ Ｍｚ ｑ Ｏ １ ， 其 中 Ｍ ∈Ｒ ， ｑ∈Ｒ 分别是对称矩 阵和向量 ， ， ｃ∈Ｒ ， 且
可 以分解成笛卡儿积 的形 式 ， 即：
， ｃ＝， ×， ×… ｍ 而 ｎ ＝ｎ ｃ ｃ ， ｌ＋ｎ ２＋… ＋ｎ ． ｍ
１ 矩 阵分解 方法及基本算法
若 对称矩 阵Ｍ ；Ｂ＋ｃ 则 （ ｃ 称为 的一个分解 ， ， Ｂ， ）
２ 逐次超松驰 迭代 方法
文献 ［ ］给 出了求解 Ｓ Ｃ Ｐ的矩阵分解基本算法 为 ： ２ ＯＣ
算法 １ ． 步 １选择 的一个分解 （ ｃ ： Ｂ， ）初始 点 ∈ 令 ｋ ：
有 ＿一 ＞ ， Ｂ，Ｔ２ 对∞ Ⅱ的ｓ ｕ补 写 － ｌ ０而（ Ｂ） 的 ～ ｃ ｒ 可 ／ ｈ
求 ｚ 使得ｚ ∈，ｂ ＋ （ （ ｒ）＝ ∈Ｒ ， ｆ （ ｒ ∈， Ｔ日 十 ： ， ， Ｅ
为
ｒｋ ｇｌ
ｉ ＝ １，
其中ｒ＝｛ ｋ Ｈ ｌ 【
￣３百４ａ ｛ ＿” （ －一２ａ ＝ 寿 １ Ｉ （ ）； 叶（ ） Ａ ＇Ⅱ ｙｌ ／ ２
一
个求 解对称 仿射二 次锥互补 问题的矩阵分解方法
张 利 霞
（ 济宁学院数学系， 山东 曲阜 ２３ ５ ） ７ １５
解一类广义线性互补问题的神经网络模型
（） ５
注 ：） Ｒ＝Ｓ＝ １当 ０且 约束 ＹＩ０不存 在 时 ， ＞ 网络
（） ５ 变为
单 的神 经 网络模 型 ， 运 用 Ｌａｕｏ 并 ｙｐｎｖ稳定 性 理 论 和
ＬＳｌ 不变集原理严格证 明了， ａａｅ ｌ 当矩阵 为半正定
时 ， 提 出 的模 型 渐 近稳 定 地 收 剑 于原 问题 的 一个 所
网络 模 型．
全文用 ｌ ｌ ｌ 表示欧 氏范数 ， 示列 向量． ・ｌ 表 记
Ｒ ＝｛ Ｒ｝ Ｉ ≥ ，＝ ，， ｎ ， ＝ ， ， ∈ ０ ｉ １２ …， ｝ （
警＝ ） ＋ ＋ 一 一（Ｉ （ Ｍ ） ｑ
ＭＴ ｎ ｘ一（ ｐＩ Ｍｘ＋ｑ ］ ， ）｝ （） ７
（） １ 变为如 下形 式
『ｘ ＋ Ｒ ＋Ｐ ≥ ０， ≥ ０， Ｙ ，
记 Ｚ＝（ ， ∈Ｒ” 由引 理 １求 解 问题 （ ） Ｙ） ， ， ２ 的神 经 网络模 型 可定义 为
面 卜 ） ｄ ｚ ＝ ＝
一
ｔ ｘ≥ ０ Ｍｘ＋ｑ≥ ０ ‘Ｍｘ＋ｑ ， ， （ ）＝０ ．
（） １
其 中 Ｍ ∈Ｒ ， ∈Ｒ ， ∈Ｒ ， Ｎ Ｒ Ｓ∈Ｒ 是 给定 的矩 阵 ， Ｐ∈Ｒ ｑ∈Ｒ 是 给定 的 向量． ， ，
２ 神 经 网 络模 型
首先给出问题解 的一个等价条 件． 由问题 （ ） ２
和式（）， ３ 易得如 下 结果 ：
由于该问题包括线性互补问题和混合线性互补 问题 ， 并且 它在 双线 性规划 、 两层 规划 和全 局优 化 问
题 中有重 要应用 ， 此对 它 的研 究 具有 一 定 的 理论 因
引理 １ （ ，） ＸＹ 为问题 （ ） ２ 的解当且仅 当 ＝ （
注 ：） Ｒ＝Ｓ＝ １当 ０且 约束 ＹＩ０不存 在 时 ， ＞ 网络
（） ５ 变为
单 的神 经 网络模 型 ， 运 用 Ｌａｕｏ 并 ｙｐｎｖ稳定 性 理 论 和
ＬＳｌ 不变集原理严格证 明了， ａａｅ ｌ 当矩阵 为半正定
时 ， 提 出 的模 型 渐 近稳 定 地 收 剑 于原 问题 的 一个 所
网络 模 型．
全文用 ｌ ｌ ｌ 表示欧 氏范数 ， 示列 向量． ・ｌ 表 记
Ｒ ＝｛ Ｒ｝ Ｉ ≥ ，＝ ，， ｎ ， ＝ ， ， ∈ ０ ｉ １２ …， ｝ （
警＝ ） ＋ ＋ 一 一（Ｉ （ Ｍ ） ｑ
ＭＴ ｎ ｘ一（ ｐＩ Ｍｘ＋ｑ ］ ， ）｝ （） ７
（） １ 变为如 下形 式
『ｘ ＋ Ｒ ＋Ｐ ≥ ０， ≥ ０， Ｙ ，
记 Ｚ＝（ ， ∈Ｒ” 由引 理 １求 解 问题 （ ） Ｙ） ， ， ２ 的神 经 网络模 型 可定义 为
面 卜 ） ｄ ｚ ＝ ＝
一
ｔ ｘ≥ ０ Ｍｘ＋ｑ≥ ０ ‘Ｍｘ＋ｑ ， ， （ ）＝０ ．
（） １
其 中 Ｍ ∈Ｒ ， ∈Ｒ ， ∈Ｒ ， Ｎ Ｒ Ｓ∈Ｒ 是 给定 的矩 阵 ， Ｐ∈Ｒ ｑ∈Ｒ 是 给定 的 向量． ， ，
２ 神 经 网 络模 型
首先给出问题解 的一个等价条 件． 由问题 （ ） ２
和式（）， ３ 易得如 下 结果 ：
由于该问题包括线性互补问题和混合线性互补 问题 ， 并且 它在 双线 性规划 、 两层 规划 和全 局优 化 问
题 中有重 要应用 ， 此对 它 的研 究 具有 一 定 的 理论 因
引理 １ （ ，） ＸＹ 为问题 （ ） ２ 的解当且仅 当 ＝ （
高斯牛顿算法在求解广义互补问题中的应用
步 ( & 令 ( 8 $ " % ( 8 ) #8 6 8 以下定理给出了在一定的条件下， 算法产生的序列收敛到 , （ (） 的稳定点 & 定理 $ & "
!
设 ｛ 是 由 * ) !#+ 算 法 产 生 的 序 列 ， 假设 ! ’ （ (） 在一包含无限子列 (8 ｝
｛ 则 ｛ 的每一聚点 （若 存 在） 必为 , （ (） 的一个稳定点 & (8 ｝ (8 ｝ 8% + 的 闭 凸 集 ! 上 连 续 ， 证 明： 设 (" 是 ｛ 的任一聚点， 则 有 )*+ ( 8 % ( " ， 其 中 + ! (｛ …｝ 从而子序列 (8 ｝ !， "， #， 8 ,， 8 +
" " （#） （ （ 对任意 . # ｛ ； ’ #， !， * * *， &｝ 2 ! . $ ） . $ ）3 $，
若 (! （ $ " ）非 奇 异 （( ! （ $ " ）表 示 向 量 价 值 函 数 ! 在 点 $ " 的 雅 可 比 矩 阵） ， （!）
1# （ $ "（ ）( ! （ $"） ） 有非奇异的主子式； (’
2 （ (） 的 稳 定 点 得 到 & 记 3( % ! ’ （ (） （ (） ， 则 3( 函数值为零的全局最小点可通过求 , !’
为对称半正定矩阵 & 引理 $ & "
2 对 任 意 ( % 41 ， 令 3( % ! ’ （ (） （ (） ， 假设 ! , （ (） 给 定 ! 5 !， !’ $ !， 2 方向 6 由 （ 3( $ ! （ (） 给定 & 则 6 是 , （ (） 在点 ( 的上升方向， （ (） 7） 6 % !, 6 5 !& !,
拟补问题模系矩阵分裂迭代方法的收敛性分析
拟补问题模系矩阵分裂迭代方法的收敛性分析曹阳; 王安【期刊名称】《《南通大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(018)002【总页数】7页(P75-81)【关键词】拟补问题; 矩阵分裂; 模系迭代方法; 收敛性【作者】曹阳; 王安【作者单位】南通大学交通与土木工程学院江苏南通 226019; 南通大学理学院江苏南通 226019【正文语种】中文【中图分类】O241.6考虑如下拟补问题（quasi-complementarity problem，QCP）[1]，即求一对非负向量u，满足其中：分别是给定的实矩阵和实向量；是从到它自身的一一映射且是可逆的；是非线性变换。
在式（1）中，记号“≥”表示两个向量对应的各个分量的大于关系；表示向量或者矩阵的转置。
特别地，如果是一个零变换，则式（1）退化为隐补问题（implicit complementarity problem,ICP）[2]。
如果是一个零映射，则式（1）退化为非线性互补问题（nonlinear complementarity problem,NCP）[3]。
如果是一个零映射并且是一个零变换，则式（1）退化为标准的线性互补问题（linear complementarity problem,LCP）[4]。
隐补问题、拟补问题、非线性互补问题和经典的线性互补问题来源于许多科学计算、工程应用和经济应用中的许多实际问题，如交通网络均衡问题、双矩阵策略问题、二次优化等[5-6]。
近些年，国内外许多著名学者针对互补问题提出了很多有效的迭代方法，如不动点迭代方法[7]、Schwarz 方法[8]和模系矩阵分裂迭代方法[9-10]等，其中模系矩阵分裂迭代方法具有迭代格式简单、收敛速度快等优点，吸引了众多学者的关注。
事实上，模方法首次被提出是用于求解线性互补问题[11]。
该方法的主要思想是将线性互补问题等价地转化为隐不动点方程。
为了加速模方法的收敛速度，Dong 和Jiang[12]引入了一个松弛因子并提出了改进的模方法。
稀疏优化与低秩矩阵优化演示文稿
条件
.从而得到稀疏优化模型： x k
0பைடு நூலகம்
min xTVx
s.t. Ax b,
x 0,
(3)
|| x ||0 k.
第10页，共23页。
三、应用实例
例2、互补问题的稀疏解
众说周知，二人矩阵博弈模型、具有生产和投资的经济均衡模型、交
通流均衡模型等，都可以转化为互补问题.如果这个互补问题有多个解 ，则在这个解集中寻找一个最为稀疏的解：
第16页，共23页。
三、应用实例
例6、Sparse-Viso CT CT是医学诊断的主要工具之一，其成像的数学原理是Ax=b,其中
x是一个未知向量，表示人体待检查部位的图像，维数512*512代表像素个
数，b是一个测量值，其维数为1160*672代表射线的条数（1160代表 圆周划分的角度），A是（1160*672，512*512）阶矩阵，由物理规律 得到.由于其行数大于列数，一般情况下该方程无解.更为可怕的是行 数多意味着“吃线”多，对人的身体危害极大.期望：“吃线少、时 间短、图像清晰”.现在，假设人体待检查部位的图像稀疏，那么应用稀
矩阵秩极小（或低秩矩阵恢复）问题是指在某种线性约束条件下，求一个
决策矩阵使其秩达到极小.它的基本数学模型是：
min rank( X ) s.t. A( X ) b, (2) 其中 A是从 Rm到n 的Rd线性变换，b 是一个 d 维向量.
第3页，共23页。
一、模型与基本概念
【注】
1、模型（2）是模型（1）的一个推广； 2、可以把零范数和秩函数放在约束中，变成 非凸 约束
疏优化理论和算法，可以进行研究。
第17页，共23页。
四、理论与算法
凸松弛理论和算法
互补判断矩阵的两种排序方法--权的最小平方法及特征向量法
法 .最 后 进 行 了 算 例 分 析 .
关键词$ 互补判断矩阵2转换矩阵2排序
中图分类号$ /345
文献标识码$ 6
7
89:1;<=:>?@:ABAC:AC<C;?:@/:DEF;D;G<HAIJK>L;D;G<1H<ACM;? ,, N;CL=<;>O;H?<&?PKHA;1;<=:>HG>0CL;GQ;M<:A1;<=:>
!& #期
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
文 章 编 号 $%"""&’#(()!""!*"#&""#%&"+
互补判断矩阵的两种排序方法 ,, 权的最小平方法及特征向量法
o 预备知识
在多属性决策中-设 pqrs%-s!-t-suv为方案集-且记 wqr%-!-t-uv.考虑专家对决策方案进
7 收稿日期$!"""&%!&!5
资 助 项 目万$方解 数放 军据理 工 大 学 理 学 院 青 年 科 研 基 金 )y"!z"%*
作 者 简 介 $徐 泽 水 )%3’(m *-男 -安 徽 南 陵 人 -副 教 授 -博 士 生 -从 事 决 策 分 析 及 运 筹 学 等 研 究
易证下列定理成立"
定理 >"? 设 ()*+,-$./.是互反判断矩阵!则通过转换公式
:,-) #3*#; +-,$! ,!-4 5