山东省烟台市2021届高三上学期期末学业水平诊断数学试题
山东省菏泽市(一中系列校)2021届高三上学期期末考试数学试题(A)答案
所以最小正整数 n 为 1011． . ………………………10 分
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）若选①：因为 (a2 + c2 − b2 )sin B = 3 ac ，且 a2 + c2 − b2 = 2ac cos B ， 2
所以 2ac cos B sin B = 3 ac ，所以 sin 2B = 3 . ………………………3 分
设 AB=a，则 C(0,0,0) , A( 2,0, a) , E( 2, 2,0) , F (0,3,0) .
AE = (0,2, −a) ， EF = (− 2,1,0) ， CE = ( 2,2,0) ， …………………7 分
设平面 AEF 的法向量 n = (x, y, z) .
则
n
⋅
AE
（2）设 X 为需要维修的系统的个数，则 X～B (3, 7 ) ，且ξ =900X，
27
所以 E(ξ ) = 900E(X ) = 900 × 3× 7 = 700 . 27
.………………5 分
（3）当系统 G 有 5 个电子元件时，原来 3 个电子元件中至少有一个元件正常工作，系统
G 才正常工作. ………………6 分
①若前 3 个电子元件中有 1 个正常工作，则同时新增的两个必须都正常工作，则概率
为
C31
⋅
2 3
⋅
(1)2 3
⋅
p2
=
2 9
p2 ；
………………7 分
②若前 3 个电子元件中有 2 个正常工作，则同时新增的两个至少有 1 个正常工作，则
高三数学试题（A）参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
2021届山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷题号一二三四总分得分一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若（a-bi）i=1+i（a，b∈R），则=（）A. B. C. D.2.命题“∀a＞0，”的否定是（）A. ∃a≤0，B. ∃a＞0，C. ∀a≤0，D. ∀a＞0，3.函数f（x）=e x在点（0，f（0））处的切线方程是（）A. y=xB. y=x-1C. y=x+1D. y=2x4.音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如y=A sinωx的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由图1，2，3三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（）A. f（t）=0.06sin1000πt+0.02sin1500πt+0.01sin3000πtB. f（t）=0.06sin500πt+0.02sin2000πt+0.01sin3000πtC. f（t）=0.06sin1000πt+0.02sin2000πt+0.01sin3000πtD. f（t）=0.06sin1000πt+0.02sin2500πt+0.01sin3000πt5.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆.嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系表达式为.如果火箭的最大速度达到12km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是（）A. M=e6mB. Mm=e6-1C. ln M+ln m=6D.6.已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.7.已知抛物线C1：y2=12x，圆C2：（x-3）2+y2=1，若点A，B分别在上C1，C2上运动，点M（1，1），则|AM|+|AB|的最小值为（）A. 2B.C.D. 38.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=3x，若函数g（x）=f（x）-k（x-2）的所有零点为x i（i=1，2，3，…，n），当时，=（）A. 6B. 8C. 10D. 12二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.设全集为U，如图所示的阴影部分用集合可表示为（）A. A∩BB. ∁U A∩BC. ∁U（A∩B）∩BD. ∁U A∪B10.某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布N （200，224），则（）（附：≈14.97，若Z～N（μ，σ2），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544）A. P（185.03＜Z＜200）=0.6826B. P（200≤Z＜229.94）=0.4772C. P（185.03＜Z＜229.94）=0.9544D. 任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间（185.03，229.94）内的件数约为8185件11.将函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则以下说法正确的是（）A. 函数g（x）在（0，）上单调递增B. 函数y=g（x）的图象关于点（，0）对称C.D.12.已知数列{a n}满足：a n+1a n=1+a n，a1=1，设b n=ln a n（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，则下列选项正确的是（）（ln2≈0.693，ln3≈1.099）A. 数列{a2n-1}单调递增，数列{a2n}单调递减B. b n+b n+1≤ln3C. S2020＞693D. b2n-1＞b2n三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知=（1，1），=2，且（+）•=4，则向量与的夹角为______ .14.已知双曲线（a＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，△OPF的面积为，则该双曲线的离心率为______ .15.通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示.其中序号的编码规则为：①由10个阿拉伯数字和除I，O之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个英文字母.则采用5位序号编码的鲁V牌照最多能发放的汽车号牌数为______ 万张.（用数字作答）16.如图，在底面边长为2，高为3的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为______ .四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①点（a n，S n）在直线2x-y-1=0上，②a1=2，S n+1=2S n+2，③a n＞0，a1=1，2a n+12+3a n a n+1-2a n2=0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知数列{a n}的前n项和为S n，____.（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断-S1，S n，S n+1是否成等差数列，并说明理由.18.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos C-c sin A=b.（1）求A；（2）若c=2，且BC边上的中线长为，求b.19.已知正方形ABCD的边长为2，沿AC将△ACD折起到PAC位置（如图），G为△PAC的重心，点E在边BC上，GE∥平面PAB.（1）若CE=λEB，求λ的值；（2）若GE⊥PA，求平面GEC与平面PAC所成锐二面角的余弦值.20.在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为r（0＜r ＜1），它们之间相互不影响.（1）要使系统的可靠度不低于0.992，求r的最小值；（2）当r=0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列；（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？21.已知点B是圆C：（x-1）2+y2=16上的任意一点，点F（-1，0），线段BF的垂直平分线交BC于点P.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）设曲线E与x轴的两个交点分别为A1，A2，Q为直线x=4上的动点，且Q不在x轴上，QA1与E的另一个交点为M，QA2与E的另一个交点为N，证明：△FMN 的周长为定值.22.已知函数f（x）=e x-1-ax（a∈R）在区间（0，2）上有两个不同的零点x1，x2.（1）求实数a的取值范围；（2）求证：.答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵（a-bi）i=1+i=b+ai，∴a=b=1，∴===，故选：B．先利用复数的运算及复数相等求得a与b的值，再计算出即可．本题主要考查复数的运算及复数相等，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：命题“∀a＞0，”为全称命题，则其的否定为∃a＞0，a+＜2，故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由f（x）=e x，得f′（x）=e x，则f′（0）=e0=1，又f（0）=1，∴函数f（x）=e x在点（0，f（0））处的切线方程是y=x+1．故选：C．求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，再求出f（0）的值，利用直线方程的斜截式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由图1知，A=0.06，T=-=，所以ω==1000π，所以y=0.06sin1000πt；结合题意知，函数f（t）=0.06sin1000πt+0.02sin2000πt+0.01sin3000πt．故选：C．由图1求出A、T、ω的值，写出对应函数的解析式，再结合选项得出函数f（t）的解析式．本题考查了利用图象求三角函数解析式的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意可得：v=2000ln（1+）=12000，得1+=e6，解得：，∴如果火箭的最大速度达到12km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是，故选：D．由题意可得2000ln（1+）=12000，化对数式为指数式，求得即可．本题考查函数模型的选择及应用，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图以及圆锥的体积，属基础题.通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，进而求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2π，底面半径为：1，圆锥的高为：,圆锥的体积为：=π.故选C．7.【答案】D【解析】解：过点A作AP垂直于抛物线的准线，垂足为点P，过点M作MD垂直于抛物线的准线，垂足为点D，y2=12x焦点F（3，0）与圆C2圆心重合，若要使得|AM|+|AB|的最小，|AB|必须最小，|AB|最小=|AF|-r=|AF|-1=|AP|-1，所以（|AM|+|AB|）最小=|AM|+|AP|-1，而（|AM|+|AP|）最小=|MD|=1+3=4，所以（|AM|+|AB|）最小=3．故选：D．解：过点A作AP垂直于抛物线的准线，垂足为点P，过点M作MD垂直于抛物线的准线，垂足为点D，y2=12x焦点F（3，0）与圆C2圆心重合，若要使得|AM|+|AB|的最小，|AB|必须最小|AP|-1，进而推出（|AM|+|AP|）最小=|MD|-1．本题考查抛物线的定义，最值，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2-x），故图象关于x=1对称，∴-f（-x）=f（2-x），故f（2+x）=-f（x），∴f（4+x）=-f（2+x）=f（x），即周期为4，又因为当x∈[-1，1]时，f（x）=3x，函数g（x）=f（x）-k（x-2）的所有零点即为f（x）=k（x-2）的交点，因为时，对应图象如图，故共有5个零点，一个为2，另两对都关于（2，0）对称，∴=2+2×2+2×2=10，故选：C．根据函数的性质得到其大致图象，把零点转化为图象的交点，即可求得结论．本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：设全集为U，如图所示的阴影部分用集合可表示为：∁U A∩B或∁U（A∩B）∩B，故A，D均错误，B，C均正确．故选：BC．利用韦恩图及集合运算直接判断．本题考查阴影部分集合的判断，考查韦恩图及集合运算等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：因为N（200，224），所以μ=200，σ=≈14.97，故μ+σ=214.97，μ+2σ=229.94，μ-σ=185.03，μ-2σ=170.06，故P（170.06＜Z＜229.94）=0.9544，P（185.03＜Z＜214.97）=0.6826，由正态分布函数的对称性可知A选项应为P（185.03＜Z＜200）=0.3413，故A错；P（200≤Z＜229.94）=0.4772，故B正确；P（185.03＜Z＜229.94）=P（185.03＜Z＜200）+P（200＜Z＜229.94）=0.3413+0.4772=0.8185，故C错；由C可知任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间（185.03，229.94）内的件数约为10000×0.8185=8185件，故D正确．故选：BD．根据该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布N（200，224），可得μ=200，σ=，结合由正态分布函数的对称性即可求出所求．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．11.【答案】BC【解析】解：函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=sin（2x+）的图象，对于A：由于，所以，故函数在该区间上，先增后减，故A错误；对于B：当x=-时，g（-）=0，故B正确；对于C：由于函数g（x）的最小正周期，所以g（x-）=-g（x）成立，故C 正确；低于D：当x=时，g（）=sin=≠1，即，不成立，故D错误．故选：BC．首先利用三角函数的关系式的平移变换的应用求出g（x）=sin（2x+），进一步利用函数的图象和性质判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：因为a1=1，a n+1a n=1+a n，所以即，令，则，所以g（x）单调递增，所以，所以{a2n}，{a2n-1}都单调，又因为a1＜a3，a2＞a4所以{a2n-1}单调递增，{a2n}单调递减，故A正确；欲证b n+b n+1=ln a n+ln a n+1=ln（a n a n+1）≤ln3，即a n•a n+1≤3，即a n+1≤3，即a n≤2，由，上式可化为，即a n-1≥1，显然n=2时，a1=1，当n≥3时，，故a n-1≥1成立，所以原不等式成立，故B正确，因为a n∈[1，2]，所以，所以b n+b n+1∈[ln2，ln3]，S2020≥1010ln2＞693，故C正确；因为a1=1＜，若a2n-1＜，则a2n+1=2-，因为a2=2＞，若a2n＞，则a2n+2=2-，由数学归纳法，a2n-1＜＜a2n，则a2n-1＜a2n，b2n-1＜b2n，故D不正确．故选：ABC．根据a n+1a n=1+a n，可得，从而可得，构造函数，利用导数研究其单调性从而可判定选项A，利用分析法欲证b n+b n+1≤ln3，即证a n≤2，从而可判定B，根据a n的范围可求出b n+b n+1的范围，从而可判定选项C，由数学归纳法可判定选项D．本题主要考查了数列的递推关系，以及数学归纳的应用，解题的关键是构造函数，利用导数研究其单调性，同时考查了学生的运算求解的能力．13.【答案】【解析】解：∵=（1，1），=2，且（+）•=4，∴=4，所以=4-2=2．∴cos＜＞===．由0≤＜＞≤π，∴＜＞=．故答案为：．求出•，代入夹角公式计算．本题考查了平面向量的数量积运算，夹角公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：双曲线（a＞0）的b=1，设双曲线的半焦距为c，且c=，设过F（c，0）与一条渐近线x-ay=0垂直的直线为l，则l的方程为：y=-a（x-c），由解得x=，y=，即P（，），∵△OPF的面积为，∴|OF|×y P=c•=，∴a=2，∴c==3，∴e===，故答案为：．依题意，可求得过F（c，0）与一条渐近线x-ay=0垂直的直线与x-ay=0的交点P的坐标，利用△OPF的面积为，即可求得此双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，考查转化思想与方程思想，求得P的坐标是关键，属于中档题．15.【答案】706【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①，汽车号牌中没有字母，有105种组合，②，汽车号牌中有1个字母，有××104=12×105种组合，③，汽车号牌中有2个字母，若两个字母不同，有××103=552×104种组合，若两个字母相同，有××103=24×104种组合，则汽车号牌中有2个字母的组合有552×104+24×104=576×104种，共有105+12×105+576×104=706×104种情况，故最多能发放的汽车号牌数为706万张，故答案为：706根据题意，按号牌中字母的数目分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：大球的半径为R=1，设小球的半径为r，如图，由题意可知，OD=-，CD=2-r，CO=1+r，所以（1+r）2=（2-r）2+（-）2，2r2-10r+5=0，r∈（0，1），解得r==，故答案为：．结合图形，设出小球的半径，利用已知条件，结合勾股定理，推出结果即可．本题考查几何体的外接球的关系，空间距离的求法，球与求的位置关系的应用，是中档题．17.【答案】解：选条件①：（1）由题设可得：2a n-S n-1=0，即S n=2a n-1，当n≥2时，有S n-1=2a n-1-1，两式相减得：a n=2a n-2a n-1，即a n=2a n-1，n≥2，又当n=1时，S1=2a1-1，即a1=1，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n-1；（2）由（1）可得：S n==2n-1，∴S n+1-S1=2n+1-1-1=2（2n-1）=2S n，∴-S1，S n，S n+1成等差数列．选条件②：（1）∵a1=2，S n+1=2S n+2，∴S n=2S n-1+2，n≥2，两式相减得：a n+1=2a n，n≥2，又当n=1时，有S2=2S1+2=a1+a2，可解得：a2=4，∴a2=2a1，∴数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n=2n；（2）由（1）可得：S n==2n+1-2，∴S n+1-S1=2n+2-2-2=2（2n+1-2）=2S n，∴-S1，S n，S n+1成等差数列．选条件③：（1）∵2a n+12+3a n a n+1-2a n2=0，∴（2a n+1-a n）（a n+1+2a n）=0，∵a n＞0，∴2a n+1-a n=0，即a n+1=a n，又a1=1，∴数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，∴a n=；（2）由（1）可得：S n==2-，∵S n+1-S1=2--1=1-≠2S n，∴-S1，S n，S n+1不成等差数列．【解析】（1）先由所选条件推导出数列{a n}的相邻项之间的关系式，再结合首项a1求出其通项公式；（2）先由（1）求得S n，再验证-S1，S n，S n+1是否成等差数列即可．本题主要考查等比数列的定义及基本量的计算、等差数列的判断，属于中档题．18.【答案】解：（1）因为a cos C-c sin A=b，由正弦定理可得sin A cos C-sin C sin A=sin B，因为B=π-A-C，所以sin A cos C-sin C sin A=sin A cos C+cos A sin C，可得-sin C sin A=cos A sin C，因为sin C≠0，所以sin A=-cos A，可得tan A=-，又因为A∈（0，π），可得A=．（2）由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+4+2b，①又在△ABC中，cos B==，设BC的中点为D，在△ABD中，cos B==，可得=，可得a2+4-2b2=0，②由①②可得b2-2b-8=0，解得b=4．【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A=-，又A∈（0，π），可得A的值．（2）由余弦定理可得a2=b2+4+2b，又在△ABC中，可求cos B=，设BC的中点为D，在△ABD中，可求cos B=，由=，可得a2+4-2b2=0，联立方程即可求解b的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了方程思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：（1）连接CG，并延长交PA于点F，连接BF，∵GE∥平面PAB，GE⊂平面BCF，平面BCF∩平面PAB=BF，∴GE∥BF，∵G为△PAC的重心，∴CG=2GF，∴CE=2EB，即λ=2．（2）由（1）知，GE∥BF，∵GE⊥PA，∴BF⊥PA，∵F为PA的中点，∴PB=AB=2，取AC的中点O，连接PO，则PO=BO=，在△POB中，PO2+BO2=PB2，即PO⊥BO，∵PO⊥AO，AO∩BO=O，AO、BO⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，以O为原点，OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，），F（0，，），∴=（0，，），=（，，0），设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1，则x=1，z=3，∴=（1，1，3），∵OB⊥平面PAC，∴平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），∴cos＜，＞===，故平面GEC与平面PAC所成锐二面角的余弦值为．【解析】（1）连接CG，并延长交PA于点F，连接BF，由线面平行的性质定理可推出GE∥BF，从而可得CG=2GF，进而得解；（2）由（1）知，GE∥BF，结合GE⊥PA，可推出PB=AB=2，取AC的中点O，连接PO，由勾股定理可证得PO⊥BO，而PO⊥AO，于是有PO⊥平面ABC，故以O为原点建立空间直角坐标系，求得平面BCF的法向量，由OB⊥平面PAC，可知平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），再由cos＜，＞=，得解．本题考查空间中线与面的位置关系、二面角的求法，熟练掌握线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）要使系统的可靠度不低于0.992，则P（X≥1）=1-P（X＜1）=1-P（X=0）=1-（1-r）3≥0.992，解得r≥0.8，故r的最小值为0.8．（2）X正常工作的设备数，由题意可知，X～B（3，r），P（X=0）=×0.90×（1-0.9）3=0.001，P（X=1）=×0.91×（1-0.9）2=0.027，P（X=2）=×0.92×（1-0.9）1=0.243，P（X=3）=×0.93×（1-0.9）0=0.729，从而X的分布列为X0123P0.0010.0270.2430.729（3）设方案1、方案2的总损失分别为X1，X2，采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到0.9，由（2）可知计算机网络断掉的概率为0.001，不断掉的概率为0.999，因为E（X1）=80000+0.001×500000=80500元．采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，由（1）可知计算机网络断掉的概率为0.008，E（X2）=50000+0.008×500000=54000元，因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2．【解析】（1）由对立事件概率公式及相互独立事件同时发生的概率公式可得关于r的不等式，解之即可求解；（2）由题意可知，X～B（3，r），从而可求得X的分布列；（3）方案1、方案2的总损失分别为X1，X2，根据题意结合（1）（2）分别计算E（X1），E（X2），从而可得结论．本题主要考查离散型随机变量及其分布列、数学期望，考查对立事件的概率公式，相互独立事件同时发生的概率公式，属于中档题．21.【答案】（1）解：由题意可知，PF+PC=PB+PC=4＞2=FC，所以动点的轨迹是以F，C为焦点且长轴长为4的椭圆，所以a=2，c=1，故b2=a2-c2=3，所以动点P的轨迹E的方程为；（2）证明：题意可知，A1（-2，0），A2（2，0），Q（4，t）（t≠0）为直线x=4上一点，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线A1Q的方程为，直线A2Q的方程为，联立方程组，可得（27+t2）x2+4t2x+4t2-108=0，可得，所以，故M（，），同理可得，故直线MN的方程为，即，故直线MN过定点（1，0），所以△FMN的周长为定值8．【解析】（1）利用圆的几何性质以及线段BF的垂直平分线交BC于点P，得到PF+PC=PB+PC=4＞2=FC，再结合椭圆的定义和椭圆的标准方程求解即可；（2）设Q是直线x=4上的一点，写出直线A1Q和A2Q的方程，联立方程组，求出点M 和N的坐标，写出直线MN的方程，分析即可得到的答案．本题考查了动点轨迹方程的求解，涉及了椭圆定义的应用，直线与椭圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹方程的方法：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点法；（4）待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法．22.【答案】解：（1）由f（x）=0，得：a=，设h（x）=，x∈（0，2），即直线y=a与曲线y=h（x）在（0，2）上有2个交点，又h′（x）=，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，2）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，故h（x）min=h（1）=1，而h（2）=，当x∈（0，1）时，h（x）∈（1，+∞），故a∈（1，）；（2）证明：f′（x）=e x-1-a，由f′（x）=0，得x=1+ln a，当x∈（0，1+ln a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1+ln a）单调递减，当x∈（1+ln a，2）时，f′（x）＞0，f（x）在（1+ln a，2）单调递增，∵x1，x2为f（x）的两个零点，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1+ln a＜x2＜2，且，取对数，原不等式等价于ln x1+ln x2＞-ln a，等价于x1+x2-2-2ln a＞-ln a，等价于x1+x2＞2+ln a，即证x1＞1+1+ln a-x2=1-ln x2，∵1+ln a＜x2＜2，故ln（1+ln a）＜ln x2＜ln2，故1-ln2＜1-ln x2＜1-ln（1+ln a）＜1，即证0=f（x1）＜f（1-ln x2），即-（1-ln x2）＞0，即1-（1-ln x2）＞0，+ln x2＞1，x2∈（1+ln a，2），设m（x）=e1-x+ln x，m′（x）=，易知e x-1＞x（x＞1），故m′（x）＞0，m（x）在（0，+∞）单调递增，故m（x）＞m（1+ln a）＞m（1）=1，故ln x1+ln x2+ln a＞0，故．【解析】（1）求出a=，设h（x）=，x∈（0，2），求出h（x）的最小值，从而求出a的范围；（2）求出函数f（x）的导数，问题转化为ln（1+ln a）＜ln x2＜ln2，即证0=f（x1）＜f （1-ln x2），设m（x）=e1-x+ln x，根据函数的单调性证明结论成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2020-2021学年山东省烟台市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.数列2，，6，，…的通项公式可能是( )A. B. C. D.2.若抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为( )A. B. C. D.3.与双曲线有公共焦点且离心率为的椭圆的标准方程为( )A. B. C. D.4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数.他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1，3，6，10，…；正方形数1，4，9，16，…等等.如图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第7项为( )A. 35B. 51C. 70D. 925.设，是椭圆的焦点，若椭圆C上存在一点P满足，则m的取值范围是( )A. B. C. D.6.已知数列满足，，则( )A. B. C. D. 27.如图是一水平放置的青花瓷.它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称.若该花瓶的最小直径为12cm，瓶口直径为20cm，瓶高为30cm，则该双曲线的虚轴长为( )A. B. C. D. 458.已知数列的通项公式为，将数列中的整数从小到大排列得到新数列，则的前100项和为( )A. 9900B. 10200C. 10000D. 11000二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.下列命题中正确的是( )A.双曲线与直线有且只有一个公共点B. 平面内满足的动点P的轨迹为双曲线C. 若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则D. 过给定圆上一定点A作圆的动弦AB，则弦AB的中点P的轨迹为椭圆10.若数列满足，，，则称为斐波那契数列.记数列的前n项和为，则( )A. B.C. …D. …11.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A，，为椭圆的顶点，F为右焦点，延长与交于点P，若为钝角，则该椭圆的离心率可能为( )A. B. C. D.12.已知数列，…，则( )A. 数列的第项均为1B. 是数列的第90项C. 数列前50项和为28D. 数列前50项和为三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知等差数列的前n项和为，，，则的最大值为__________.14.已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆C于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的方程为__________15.已知为等比数列的前n项和，，，则的值为__________.16.汽车前照灯的反射镜为一个抛物面.它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成.通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上.由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过透镜的折射等作用达到照亮路面的效果.如图，从灯泡发出的光线FP经抛物线反射后，沿PN平行射出，的角平分线PM所在的直线方程为，则抛物线方程为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
山东省济南市2020-2021学年高三上学期期末考试数学试题(含解析)
山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3C ．D ．46．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2C D8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点 11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是 A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32π D ．直线PB 1与平面BCC 1B 112．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白 第11题球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ． 15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，设直线l 为平面AC 1D 与平面A 1B 1C 1的交线．（1）证明：l ⊥平面BB 1C 1C ；（2）已知四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，求二面角D—AC 1—C 的余弦值．某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 答案：D解析：{}2A |60x x x =−−≤＝[﹣2，3]，{}B |10x x =−<＝(−∞，1)，故AB =[﹣2，1)．选D ．2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−答案：D解析：i i(1i)1i1i (1i)(1i)22z −===+++−，则1i 22z =−．选D ． 3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线l 的方程为y ＝2”⇒“直线l 与圆224x y +=相切”, “直线l 与圆224x y += 相切”“直线l 的方程为y ＝2”，故选A ．4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种答案：B解析：甲若选牛，则有1124C C 种；甲若选马，则有1124C C 种．故共有16种，选B ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3 C．D ．4答案：B解析：由题意知△AEF 的等边三角形，故AE AF +=3，选B ．6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒ 答案：C解析：221321240e e 2k k −−=+⇒=，6311240e 1240()172k θ−=+=+⨯=，故选C ． 7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2CD 答案：B解析：将直线AP 与斜率为正数的渐近线方程联立：()a y x a bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得P(322a b a −，222a b b a −)，因为OP ＝a ，则322222222()()a a b a b a b a+=−−，化简得2222222334a b a c a c a =⇒=−⇒=2e ⇒=，选B ．8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 答案：C解析：0()0f x <，参变分离得：000(1)e x x a x <+，令000()(1)(1)e x x g x x x =≥+，2000201()0(1)e x x x g x x +−'=−<+，所以0()g x 在[1，+∞)且0x Z ∈单调递增， 求得1(1)2e g =，22(2)3eg =，故要使存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <， 则223e ≤a ＜12e，选C ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 答案：AC解析：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B 错误；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D 错误．综上选AC ．10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是 A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点答案：BD解析：()12f x π−为偶函数，故A 错误；()f x 在区间[12π−，125π]上单调，但不一定是单调递增，故C 错误．综上选BD ．11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32πD ．直线PB 1与平面BCC 1B 1答案：ABD解析：因为平面AB 1D 1∥平面BC 1D ，PB 1⊂平面AB 1D 1，所以直线PB 1∥平面BC 1D ，A 正确；V P—BC1D ＝V A—BC1D ＝V C1—ABD ＝111112=323⨯⨯⨯⨯，故B 正确；三棱锥D 1—BC 1D=S 球＝246ππ=，故C 错误；PB 1min 点P 到平面BCC 1B 1的距离为1，所以直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最，故D 正确．综上选ABD ．12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 答案：ACD解析：第n 此取出球是红球的概率为n P ，则白球概率为(1)n P −，对于第1n +次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出1(1)58n n P P +=⋅（条件概率）， ②从白箱取出2(1)3(1)8n nP P +=−⋅， 对应121(1)(1)3184n n n n P P P P +++=+=+（转化为数列问题）， 所以1111()242n n P P +−=−， 令12n n a P =−，则数列{n a 为等比数列，公比为14，因为158P =，所以118a =， 故2(21)2n n a −+=即对应(21)122n n P −+=+， 所以21732P =，故选项A 正确； [2(1)1](21)231111112[2]222224n n n n n P P −++−+−−+−=+−⨯+=−，故117232n n P P +=+不成立，故选项B 错误； 经验证可得，211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+，故选项C 正确；1(21)(21)11111()()2222n ni j i j i j n i j i P P −−+−+<==+−−=⋅∑∑∑ 1(21)(23)(23)142[22]3n i i n i −−+−+−+==⋅−∑11(44)(23)(21)114[222]3n n i n i i i −−−+−+−+===−∑∑ 844(23)3214164[(22)2(22)]3153n n n −−−−+−−−=−−⋅− 424141122218045369n n n −−−=−⋅−⋅+⋅ 421(14252)180n n −−=+⋅−⋅ 221(142)(12)180n n −−=−⋅−11(14)(14)180n n −−=−−，故D 正确． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 答案：13解析：51sin()sin[()]sin()6663ππαπααπ−=−+=+=． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ．答案：4解析：11lg lg lg()1x y x y xy x y x y+=+⇒=+⇒+=， 11()()24y xxy x y x y x y x y=+=++=++≥，当且仅当x ＝y ＝2时取“＝”．15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．答案：(0，3)(﹣5，﹣1)解析：0(1)0(1)0x xf x f x >⎧+>⇒⎨+>⎩或003(1)0x x f x <⎧⇒<<⎨+<⎩或51x −<<−，故原不等式的解集为(0，3)(﹣5，﹣1)．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）答案：16，252解析：当PQ 为抛物线通径时△PTQ 的面积最小，为16；当TF ＝5时，可得线段PQ 中点的纵坐标为3或﹣3，故PQ 的斜率为43或43−，故PQ ＝2228254sin 2()5p α==． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理可得：所以在△ACD 中，由正弦定理可得：，即所以所以 因为，所以所以所以18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）因为所以所以当时，适合上式，所以（2）若选①： 因为所以若选②：因为所以则两式相减可得：所以若选③：当n为偶数时，当n为奇数时，综上：19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC，设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线．（1）证明：l⊥平面BB1C1C；（2）已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，求二面角D—AC1—C的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C平面ABC＝BC，AD 平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C，而AD∥平面A1B1C1，且AD⊂平面AC1D，平面AC1D平面A1B1C1＝l，所以AD∥l，所以l⊥平面BB1C1C；（2）因为AD⊥平面BB1C1C，AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内，过C作CH⊥DC1于点H，则CH⊥平面AC1D，过C作CG⊥AC1于点G，则G为线段AC1的中点，连接HG，则∠CGH就是二面角D—AC1—C的平面角，在直角中，在中，，在中，，在直角中，，所以所以二面角D—AC1—C的余弦值为20．（本小题满分12分）某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由． 解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A 类”为事件A ，则（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B 类”为事件B ，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C 类”为事件C ，则所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A 类的概率为，被定为C 类的概率也为，所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 元；所以该农户采用方案二装箱更合适．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．解：（1）由题可知22c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为，所以所以椭圆C 的标准方程为（2）因为折线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为B′， 则直线与椭圆C 相交于A ，B′两点，设则由得所以所以整理得解得22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）若，，此时在上单调递减；若，由得，此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述，，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增；（2）因为记所以在上单调递增，所以，所以恒成立；若不合题意；若，由（1）知，在上单调递减，所以不合题意；若，记记所以在上单调递增，所以所以符合题意；综上实数a的取值范围是．。
山东省烟台莱州市2021届高三上学期第一次月考数学试题 含答案
分别求甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式；
已知该公司已筹集到 40 万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资金额均
不少于 10 万元．问怎样分配这 40 万元，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
（结果保留 3 位小数，参考数据：
，
，
，
，
22. 设函数
，
Ⅰ当
为自然对数的底数 时，求 的极小值；
10.若函数 同时满足： 对于定义域上的任意 x，恒有
对于定义域上的任
意 ，当
时，恒有
，则称函数 为“理想函数” 下列四个函数中，能
被称为“理想函数”的有
Earlybird
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A.
B.
C.
D.
11.设 m，n 为实数，且
A.
B.
，则下列不等关系成立的是
C.
D.
12.已知函数 f ( x )
A. 函数 在
为 M 函数．若函数
为 M 函数，则实数 a 的取值范围是
四、解答题 17.已知函数
，在区间 上有最大值 16，最小值 设
．
求
的解析式；
g( l og x ) k
若不等式
2
0
在
上恒成立，求实数 k 的取值范围；
18.已知函数． f ( x) 1 3 cos 2x 2sin2(
x)
4
求 的单调减区间；
若
在区间[ , ] 有两个不同的实数解，求实数 a 的取值范围．
4
19.已知
的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，________，且 ，
现从：( 1)A
( 2)B
2021届山东省烟台市高三3月诊断性测试(一模)数学(理)试题
16．已知 ，若方程 有2个不同的实根，则实数 的取值范围是_____（结果用区间表示）．
三、解答题
17．已知数列 中， ， ．
（1）记 ，判断 是否为等差数列，并说明理பைடு நூலகம்；
（2）在（1）的条件下，设 ，求数列 的前 项和 ．
（2）设点 ，直线 与曲线 相交于两点 ， ，求 的值．
23．
已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若实数 使得不等式 在 恒成立，求 的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】
【详解】
由 得 = ，故选A.
【考点定位】
本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.
20．2021年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间 (单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数 和样本方差 (同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；
2．B
【分析】
先求出集合N，然后进行补集、交集的运算即可．
【详解】
N＝{0，1，2，3，4}，∁RM＝{x|x≤1}；
∴（∁RM）∩N＝{0，1}．
故选B．
【点睛】
本题考查补集、交集的运算，描述法、列举法的定义，熟记交集，补集的定义是关键，是基础题．
3．D
【解析】
山东省烟台市2020届高三上学期期末考试数学试题
烟台2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学注意事项：1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。
2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹淸晰。
超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本题共8小題，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合題目要求的。
1.己知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=,则A∪B=A.{x|-l≤x≤2}B. {x|0≤x≤2}C. {x|x≥-l}D. {x|x≥0}2.“x∈R,x2-x+l>0”的否定是A.x∈R, X2-X+1≤0B. x∈R, x2-x+1<0C. x∈R, x2-x+l<0D. x∈R, x2-x+l≤03.若双曲线(a>0,b>0)的离心率为，则其渐近线方程为A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.设a=log0.53,b=0.53,c=,则a,b,c的大小关系为A.a<b<cB. a<c<bC. b<a<cD. b<c<a5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为A. 216B. 480C. 504D. 6246.函数y=|x|+sinx的部分图象可能是7.若x=α时，函数f(x)=3sinx+4cosx取得最小值，则sinα=A. B. C. D.8.函数,若方程f(x)=-2x+m 有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A. (-∞,4)B. (-∞,4]C. (-2,4)D. (-2,4]二、多项选择题：本題共4小题，每小题5分，共20分。
2021届山东省青岛市高三上学期期末数学试题(解析版)
高三教学质量检测数学试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一､选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,1),(0,1)，则12z z =（ ） A. 1i + B. 1i -+C. 1i --D. 1i -【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得12,z z ，然后代入12z z ，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】∵复数12,z z 在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1）， ∴1z ＝1+i ，2z ＝i ． ∴12z z ()2111i i i i i i-++===--． 故选D ．【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 2.设R α∈，则“sin cos αα=”是“sin21α=”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】sin cos αα=，得4k παπ=+ ，得sin2α=1 成立；若sin21α=，得4k παπ=+，得sin cos .αα=，即可判断【详解】若sin cos αα=，则tan 1,4k πααπ==+ ，得sin2α=sin 2sin 142k πππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭ 成立；反之，若sin21，则α=2224k k ππαπαπ=+∴=+，得sin cos ?sin cos ?“sin21?.ααααα===，故是的充分必要条件故选C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“sin cos αα=”推出“sin21α=”. 3.向量,a b 满足1a =，2b =，()(2)a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°【答案】 C 【解析】试题分析：设向量a 与b 的夹角为θ．∵()(2)a b a b +⊥-，∴2222()(2)221(2)1cos 0a b a b a b a b θ+⋅-=-+⋅=⨯-+=，化为cos 0θ=， ∵[0,]θπ∈，∴090θ=．故选C ． 考点：平面向量数量积的运算． 4.已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A.23B.32 C.43D.34【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质先求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差，即可求出5a ．【详解】设等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ， 则73114d a a =+，即1142d =+，解得18d =． 则53111132244d a a =+=+=，解得343a =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．5.已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】将点()2,4M 的坐标代入抛物线方程，求出4p =，即得焦点(2,0)F ，利用抛物线的定义，即可求出．【详解】由点()2,4M 在抛物线22y px =上，可得164p =，解得4p =，即抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-． 所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=． 故选：A ．【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题．6.在ABC ∆中,2AB AC AD +=,20AE DE +=,若EB xAB y AC =+,则( ) A. 2y x = B. 2y x =-C. 2x y =D. 2x y =-【答案】D 【解析】 【分析】依题可得，点D 为边BC 的中点，2AE DE =-，从而可得出1()6DE AB AC =-+，1()2DB AB AC =-， 2133EB AB AC =-，从而可得出21,33x y ==-，即可得到2x y =-． 【详解】如图所示：∵2AB AC AD +=， ∴点D 为边BC 的中点，∵20AE DE +=，∴2AE DE =-，∴11()36DE AD AB AC =-=-+， 又11()22DB CB AB AC ==-， ∴1121()()2633EB DB DE AB AC AB AC AB AC =-=-++=-．又EB xAB y AC =+， ∴21,33x y ==-，即2x y =-． 故选：D ．【点睛】本题主要考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则，向量的线性运算，平面向量基本定理等知识的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7.已知双曲线C :22221x y a b-=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F , O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==,(0m >),212PF PF m ⋅=,则双曲线C 的渐近线方程为( ) A. 12y x =±B. y =C. y x =±D. y =【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求出2m a =，由向量的数量积，可求出12F PF ∠，利用余弦定理可得,a c 的关系式，结合222c a b =+，即可求出．【详解】因为122PF PF a -=，1222PF PF m ==可得2m a =，由212PF PF m ⋅=可得21242cos 4a a F PF a ⋅∠=，所以1260F PF ︒∠=，即有222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即22223c a b a =+=， 所以ba= 所以双曲线的渐近线方程为：y =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．8.已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则( )A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据定义，可判断出()g x 为偶函数，根据其导数可得出，0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减，再利用奇偶性将三个函数值转化到同一个单调区间上的函数值，即可比较出大小． 【详解】由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及 当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，由()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数． 因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<． 故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．因为()331log log 44g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2303232221log 4--<<=< 所以233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B ．【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性，比较大小，涉及指数函数，对数函数的性质以及利用导数研究函数单调性，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力，属于中档题．二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的0分.9.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A. 直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B. 点C 到面11ABC D 的距离为22C. 两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D. 三棱柱1111AA D BB C -3【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假．【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， 对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即22h =，故选项B 正确； 对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故222111322r ++==，故选项D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题． 10.要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A. 将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位B. 将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位 C. 先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D. 先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位【答案】ABC 【解析】 【分析】根据三角函数的变换法则，即可判断各选项是否可以变换得到．【详解】对于A ，将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，可得sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项A 正确；对于B ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位也可得到， 113sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项B 正确； 对于C ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位，得到5sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项C 正确； 对于D ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，得到的sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故选项D 不正确． 故选：ABC ．【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换和伸缩变换法则的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，以及逻辑推理能力，属于基础题． 11.已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x xy y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A. 1MB. 2MC. 3MD. 4M【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y =所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ．【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．12.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A. 函数()f x 是偶函数B. 1x ∀,2R x C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立C. 任取一个不为零的有理数T ,f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立D. 不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．【答案】【解析】 【分析】根据等腰直角三角形边长可求得弦长2AB =，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离d ，根据垂径定理构造方程可求得结果. 【详解】AOB ∆为等腰直角三角形 OA OB ∴⊥，又OA OB r === 2AB ∴=又圆O的圆心到直线距离d ==2AB ∴===，解得：a =故答案为【点睛】本题考查根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，涉及到点到直线距离公式、垂径定理的应用；关键是能够明确直线被圆截得的弦长为. 14.已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a = 【答案】3 【解析】 【分析】设切点为（x 0，y 0），求出函数y ＝ln （x+a ）的导数为y '＝1x a +，得k 切＝01x a +＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），进而求出a ．【详解】设切点为（x 0，y 0），由题意可得：曲线的方程为y ＝ln （x+a ），所以y '＝1x a+． 所以k 切＝01x a+＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），解得：y 0＝0，x 0＝﹣2，a ＝3． 故答案为3．【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题.15.2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N 随时间Ｔ(单位:年)的衰变规律满足573002T N N -=⋅(0N 表示碳14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的______;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到______年之间.(参考数据:lg 20.3≈,lg 70.84≈,lg30.48≈) 【答案】 (1). 12(2). 6876 【解析】 【分析】把5730T =代入573002TN N -=⋅，即可求出；再令3573072T ->，两边同时取以2为底的对数，即可求出T 的范围．【详解】∵573002TN N -=⋅，∴当5730T =时，100122N N N -=⋅=， ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12， 由题意可知：3573072T ->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7T ->， ∴3lglg 3lg 77 1.25730lg 2lg 2T -->=≈-，6876T ∴<，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间． 故答案为：12；6876． 【点睛】本题主要考查了对数的运算， 以及利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题．16.已知ABC ∆的顶点A ∈平面α,点B ,C 在平面α异侧,且2AB =,AC =若AB ,AC 与α所成的角分别为3π,6π,则线段BC 长度的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ， 根据()222111111274BC BB B C C CB C =++=+可知，线段BC 长度的最大值或最小值取决于11B C 的长度，而111111AB AC B C AB AC -≤≤+，即可分别求出BC 的最小值与最大值．【详解】如图所示：分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ． 由已知可得，13BB =13CC =11AB =，132AC =． ∵1111BC BB BC C C=++， ()22222221111111111111132723344BC BB B C C CBB B C C C BB C C B C B C =++=+++⋅=+++=+而111111AB AC B C AB AC -≤≤+，∴当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点同侧时，BC 长度最小，此时111131122B C AB AC =-=-=，BC 2127724⎛⎫+= ⎪⎝⎭当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点异侧时，BC 长度最大，此时111135122B C AB AC =+=+=，BC 25271324⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ∴线段BC 长度的取值范围为7,13⎡⎣． 故答案为：7,13．【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．四､解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()()2cos sin f x x x x =-+. (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围.【答案】(1)π,32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈;(2)⎡-⎣. 【解析】 【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 的解析式进行三角恒等变换，得到()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据周期公式和整体代换法即可求出周期和单调递减区间；(2)令42,333πππt x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，由sin y t =在4,33ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可求出22sin t -≤≤，从而求出()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围．【详解】(1)由题意，化简得())22cos sin 2cos 1f x x x x =-sin 22x x =2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期π ∵sin y x =的减区间为32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 由3222232k x k πππππ+≤-≤+，得5111212k x k ππππ+≤≤+．所以函数()f x 的单调递减区间为511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．(2)因为∵,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，所以42,333πππt x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，即有22sin t -≤≤．所以，函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围是⎡-⎣．【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换，周期公式的应用，整体代换法求正弦型函数的单调区间，以及换元法求三角函数在闭区间上的值域，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．18.在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a =+-,若a =,5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S . 【答案】(1)45;(2)152或92. 【解析】 【分析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ； (2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出． 【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc+-=由余弦定理得:4sin 3cos a CA c= 由正弦定理得4sin 3cos A A = 所以3tan 4A =， ∴ABC ∆中，4cos 5A =． (2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+= 解得3b =或5b = ∵3tan 4A =，∴3sin 5A =由1sin 2S bc A =⋅得152S =或92S =．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析,12n n a ;(2)不存在,理由见解析.【解析】 【分析】(1)根据等比数列的定义即可证明{}1n S +为等比数列，再根据n S 和n a 的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，即可求出{}n a 的通项公式； (2)根据12n n n n nb a -==，可采取错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T ，然后代入1250n n T n -⋅=+得，2260n n --=，构造函数()226xf x x =--(1x ≥)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在． 【详解】(1)∵121n n S S +-= ∴()1121n n S S ++=+，*n N ∈ 因为111a S ==，所以可推出10n S +>． 故1121n n S S ++=+，即{}1n S +为等比数列．∵112S +=，公比2∴12nn S +=，即21nn S =-，∵1121n n S --=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n na ；(2) 因为12n n n n n b a -==，01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+ ∴121122222n n n T =++⋅⋅⋅+，两式相减得:011111122222222nn n n n n T -+=++⋅⋅⋅+-=- 即1242n n n T -+=-，代入1250n n T n -⋅=+，得2260n n --=．令()226xf x x =--(1x ≥)，()2ln 210x f x '=->在[)1,x ∈+∞成立，∴()226xf x x =--，()1,x ∈+∞为增函数，而()()540f f ⋅<，所以不存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立．【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用以及其通项公式的求法，错位相减法，构造函数法，零点存在性定理等的应用，意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．20.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2)15【解析】 【分析】(1)按照题目定义，只要证明AB ⊥面11ACC A 即可，而由1A A AB ⊥，AB AC ⊥即可证出AB ⊥面11ACC A ；(2)先根据基本不等式求出当2AB AC ==1C ABC -体积最大，然后建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求出锐二面角11C A B C --的余弦值． 【详解】(1)∵1A A ⊥底面ABC ，AB 面ABC∴1A A AB ⊥ 又AB AC ⊥，1A AAC A =∴AB ⊥面11ACC A ， 又四边形11ACC A 为矩形 ∴四棱锥11B A ACC -为阳马．(2)∵AB AC ⊥，2BC =，∴224AB AC += 又∵1A A ⊥底面ABC ， ∴111132C ABC V C C AB AC -=⋅⋅⋅ 221123323AB AC AB AC +=⋅⋅≤⋅=当且仅当AB AC ==113C ABC V AB AC -=⋅⋅取最大值∵AB AC ⊥，1A A ⊥底面ABC∴以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系)B，()C ，()10,0,2A()12,0,2A B =-，()BC =-，()11AC =设面1A BC 的一个法向量()1111,,n x y z =由1110n A B n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得()12n =同理得()22,0,1n =∴12121215cos ,5||||n n n nn n ⋅==⋅ 二面角11C A B C --的余弦值为5．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，基本不等式的应用，以及向量法求二面角的余弦值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．21.给定椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>),称圆心在原点O ,22a b +C 的“卫星圆”.若椭圆C 2,点(2在C 上. (1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点,过点P 作直线1l ,2l 使得1l ⊥2l ,与椭圆C 都只有一个交点,且1l ,2l 分别交其“卫星圆”于点M ,N ,证明:弦长MN 为定值.【答案】(1)22184x y +=,2212x y +=;(2)证明见解析.【解析】 【分析】(1)根据题意列出2222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩再结合222a b c =+即可解出22a =2b =，从而得到椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；(2) 根据1l ⊥2l 分类讨论，当有一条直线斜率不存在时(不妨假设1l 无斜率)，可知其方程为2x =22x =-43MN =()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，与椭圆方程联立，由0∆=可得()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===---，所以线段MN应为“卫星圆”的直径，即MN =证．【详解】(1)由条件可得:22421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a =2b =所以椭圆的方程为22184x y +=，卫星圆的方程为2212x y +=(2)①当1l ，2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-， 当1l方程为x =1l 与“卫星圆”交于点()和()2-，此时经过点()()2-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-，即2l 为2y =或2y =-，∴12l l ⊥∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =②当1l ，2l 都有斜率时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则，()0022184y tx y tx x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得到()()()2220000124280txt y tx x y tx ++-+--=，∴()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=∴()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===--- 所以121t t ⋅=-，满足条件的两直线1l ，2l 垂直．∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =综合①②知：因为1l ，2l 经过点()00,P x y ，又分别交“卫星圆”于点MN ，且1l ，2l 垂直，所以线段MN 是“卫星圆”220012x y +=的直径，∴MN 为定值．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，两直线垂直的斜率关系的应用，韦达定理的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的意识以及数学运算能力，属于中档题． 22.已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.(1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点;(2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1) 设()()112cos g x f x x x'==-+，然后判断函数()g x '在(0,)π上的符号，得出()g x 的单调性，再利用零点存在定理判断()g x 在(0,)π上是否存在唯一零点即可；(2) 分(0,)x π∈，[),2x ππ∈，和[)2,x π∈+∞三种情况分别考虑()f x 的零点存在情况，从而得证．【详解】(1)设()()112cos g x f x x x'==-+， 当()0,x π∈时，()212sin 0g x x x '=--<，所以()g x 在()0,π上单调递减， 又因为31103g ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，2102g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ 所以()g x 在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点α，所以命题得证． (2) ①由(1)知：当()0,x α∈时，()0f x '>，()f x 在()0,α上单调递增; 当(),x απ∈时，()0f x '<，()f x 在(),απ上单调递减; 所以()f x 在()0,π上存在唯一的极大值点32ππαα⎛⎫<<⎪⎝⎭所以()ln 2202222f f ππππα⎛⎫>=-+>-> ⎪⎝⎭又因为2222111122sin 220f e e e e ⎛⎫=--+<--+< ⎪⎝⎭所以()f x 在()0,α上恰有一个零点．又因为()ln 20f ππππ=-<-<所以()f x 在(),απ上也恰有一个零点．②当[),2x ππ∈时，sin 0x ≤，()ln f x x x ≤-设()ln h x x x =-，()110h x x '=-< 所以()h x 在[),2ππ上单调递减，所以()()0h x h π≤< 所以当[),2x ππ∈时，()()()0f x h x h π≤≤<恒成立所以()f x 在[),2ππ上没有零点．③当[)2,x π∈+∞时，()ln 2f x x x ≤-+ 设()ln 2x x x ϕ=-+，()110x x ϕ'=-< 所以()x ϕ[)2,π+∞上单调递减，所以()()20x ϕϕπ≤<所以当[)2,x π∈+∞时，()()()20f x x ϕϕπ≤≤<恒成立所以()f x 在[)2,π+∞上没有零点．综上，()f x 有且仅有两个零点．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，零点存在性定理的应用，以及放缩法的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的能力，转化能力，数学运算能力，逻辑推理能力，属于较难题．。