面面垂直的判定定理
证明面面垂直的判定定理
证明面面垂直的判定定理引言面面垂直是几何中经常遇到的一个概念。
在解决几何问题的过程中，判断两个平面是否垂直是非常重要的一步。
本文将介绍证明面面垂直的判定定理的方法和原理。
理论基础首先我们需要了解一些关于平面和向量的基本概念。
平面在三维空间中，平面可以由一个点和一个法向量来确定。
我们可以将平面上的所有点都表示为这个点加上法向量的线性组合。
如果一个平面上的向量与该平面的法向量垂直，那么这个向量被称为平面的法向量。
向量向量是几何中的一个基本概念，它可以用来表示空间中的方向和大小。
在三维空间中，一个向量可以由三个实数组成，分别表示在 x、y 和 z 方向上的分量。
面面垂直的判定定理理论述述面面垂直的判定定理是指：如果两个平面的法向量互相垂直，那么这两个平面是垂直的。
证明过程我们将通过以下步骤证明面面垂直的判定定理：1.假设有两个平面，分别为平面 P1 和平面 P2。
2.假设平面 P1 的法向量为 n1，平面 P2 的法向量为 n2。
3.要证明平面 P1 和平面 P2 是垂直的，我们需要证明 n1 和 n2 是垂直的。
4.假设 n1 和 n2 不垂直，即存在一个向量 v，使得 v 不同时与 n1 和 n2垂直。
5.根据向量的定义，如果一个向量与一个平面垂直，那么向量与平面的法向量的点积为零。
6.因此，如果 v 与平面 P1 和平面 P2 的法向量 n1、n2 分别的点积均不为零，那么 v 既不与 P1 垂直也不与 P2 垂直，与假设矛盾。
7.由此可得，如果两个平面的法向量互相垂直，那么这两个平面是垂直的。
总结面面垂直的判定定理是几何中常用的一个定理。
通过证明了两个平面的法向量互相垂直可以导出这两个平面是垂直的。
这个定理在解决几何问题的过程中经常会用到，因此掌握这个定理对于解题非常重要。
在证明过程中，我们运用了向量的基本定义和性质，并通过推理和逻辑来证明了定理的正确性。
这种证明方法可以应用于其他几何定理的证明中。
高中数学——面面垂直的性质
α， α，
A
α
B
D
面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面
α⊥β α I β = l ⇒ AB ⊥ β AB ⊂ α AB ⊥ l
面面垂直 线面垂直 线线垂直 α β A
B
l
面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直, 面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直, 求证: 如果两个平面互相垂直, 例1. 求证 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二 , 平面内的一点垂直于第二个平面的直线, 平面内的一点垂直于第二个平面的直线 个平面的直线, 在第一的平面内. 个平面的直线, 在第一的平面内. 在第一的平面内. 在第一的平面内. 已知： 已知：α⊥ β , P ∈α , P∈ a, a⊥ β. 求证： ⊂ 求证： a
A
P B Q C
D
练习 2：如图，将一副三角板拼成直二面角 A-BC-D，其 中∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠CBD=30°， A （1）求证：平面 BAD⊥平面 CAD； （2）若 CD=2，求 C 到平面 BAD 的距离。
证明：（ ） 平面ABC⊥平面 证明：（1）∵平面 ：（ ⊥平面DBC 又DC⊥BC ∴DC⊥平面 ⊥ ⊥平面ABC B 在面ABC内 ∴DC⊥AB ∵AB在面 在面 内 ⊥ AC∩CD=C， AC，AD在面 在面ACD内 D 又AB⊥AC， ⊥ ， ， ， 在面 内 在平面ABD， ∵AB⊥平面 ⊥平面ACD 而AB在平面 在平面 ， 平面ABD⊥平面 ∴平面 ⊥平面CAD 于点E 平面ABD⊥平面 （2）过C作CE⊥AD于点 ∵平面 ） 作 ⊥ 于点 ⊥平面CAD ∴CE⊥平面 ⊥平面CAD
2.3.2面面垂直判定定理(已修改)
1．线面垂直的定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都 垂直，则称直线 l 和平面 互相垂直． 记作：l⊥
2．线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂 直．
3 二面角:
(1) 二面角定义: 从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角。
[0 ,180 ]
A
。
。
B
O
两个平面互相垂直的定义
两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面 相互垂直.
记作:
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
Hale Waihona Puke 猜想：如果一个平面经过了另一 个平面的一条垂线，那么这两 个平面互相垂直.
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
(2) 二面角的平面角定义
过二面角棱上任一点在两个半平面内分别作 垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
（3）二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
(4)二面角的范围 (5)直二面角
平面角为直角的二面角 叫做直二面角
归纳小结：
(1)判定面面垂直的两种方法： ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理 (2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面
互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平
面的另一个平面的依据；
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面
面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来
解决.
O
A
B
另一个平面的一条垂线。
线面垂直、面面垂直
线面垂直、面面垂直及其证明一 线面垂直的判定定理（1）线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.（2（3）三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.②三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. （4）线面垂直的证明例1例2例3SDD 1ODBA C 1B 1A 1C例4在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD .练习1 在正方体1111ABCD A BC D -中. （1）求证：AC ⊥平面11B D BD .（2）求证：1BD ⊥平面1ACB .练习2在三棱锥A BCD -中，BC AC =，AD BD =，作BE CD ⊥，E 为垂足，作AH BE ⊥于H .求证：AH ⊥平面BCD .在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ︒∠=，PA AB BC ==，E 是PC 的中点.（1）求证：CD AE ⊥. （2）求证：PD ⊥面ABE .二 面面垂直（1条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为l ，两个面分别为，,αβ二面角记作为l αβ--.（2）二面角的平面角定义：在二面角l αβ--棱l 上取一点O ，在半平面α和β内，从点O 分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，射线组成AOB ∠.则AOB ∠叫做二面角的平面角.二面角的取值范围为[0,180]︒︒.（3）面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直.（4）面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直. （5）面面垂直的正面即：面面垂直→线面垂直→线线垂直. 例1如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . .例2如图，直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，90ACB ︒∠=121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，求证：平面1BDC 平面BDC ．AC B1B 1A D1C练习 如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段,,SA SB SC ，且60ASB ASC ︒∠=∠=，90BSC ︒∠=，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．三 立体几何高考证明例1（2013江苏）如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：（1）平面平面； （2）．例2（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F⊥，为11B C 的中点．求证：（1） 平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2） 直线1//A F 平面ADE ．ABC S -⊥SAB SBC BC AB ⊥AB AS =A SB AF ⊥F G E ，SC SA ，//EFG ABC SA BC ⊥ABCSGFE例3如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四四边形，60DAB ︒∠=，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：PA BD ⊥（2）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高.练习1如图，几何体E ABCD -是四棱锥，ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC .练习2（2011天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45ADC ∠=︒，1AD AC ==，O 为AC 的中点，PO ABCD ⊥平面，2PO =，M为PD 的中点．(Ⅰ) 证明：//PB ACM 平面；MP(Ⅱ)(Ⅲ)。
2.3.4面面垂直的性质定理课件
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
β a
符号语言：
l
α A
al 作用： 面面垂直线面垂直
l a a
何时用:已知面面垂直时，求线面垂直 关键:在一个平面内作(找)出垂直于交线的直线.
α l α l α l β β β
平行
相交
线在面β 内
【学习目标】 1．知识与技能：探究平面与平面垂直的性质 定理，进一步培养学生的空间想象能力。 2．过程与方法：面面垂直的性质定理得应用， 培养学生的推理能力。 3．情感与价值观：通过平面与平面垂直的性 质定理的学习，培养学生转化的能力。 教学重、难点 重点： 平面与平面垂直的性质定理 难点： 平面与平面垂直性质定理的应用。
S
A
C
B
课堂小结：
空间问题平面化 注意辅助线的作用
平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直。 从已知想性质，从求证想判定 1、证题原则： 2、会利用“转化思想”解决垂直问题 面面垂直 线面垂直 线线垂直
面面垂直的判定：
判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两 个平面垂直
（线面垂直面面垂直）
面垂 直，那么黑板所在的平面里的任意一条 直线是否就一定和地面垂直？
α
β
知识探究：
思考2:如果平面α 与平面β 互相垂直， 直线l在平面α 内，那么直线l与平面β 的位置关系有哪几种可能？
2.3.4平面与平面垂直的性质
温故知新
直线与平面垂直定义：直线与平面垂直判定定理： 如果直线 l 与平面 一条直线与一个平面内 内的任意一条直线都 的两条相交线都垂直， 垂直，我们说直线 l 则该直线与此平面垂 与平面 互相垂直。 直． 线面垂直 线线垂直. 线线垂直 线面垂直.
线面垂直、面面垂直的性质定理
何时用:已知面面垂直时. 关键:在一个平面内作(找)出垂直于交线的直线.
例4：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB B
C
推论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面，那么另一条也垂直于这个平面。
a
b，a 源自b 平面与平面垂直 (1)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角， 就说这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么 这两个平面相互垂直。
线面垂直则线线垂直.
线线垂直则线面垂直.
例1 已知M是菱形ABCD所在平面外一点，且 MA=MC， 求证：AC⊥平面BDM。
例2 已知AB、CD是两条不在同一个平面内 的线段，且AC=AD，BC=BD，
求证：AB⊥CD。
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言： a
, b a / /b
温故知新 直线与平面垂直定义： 如果直线 l 与平面 内 的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直。 直线与平面垂直判定定理： 一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直，则该 直线与此平面垂直．
由定义知: 若l , a 则l a
符号语言: 若l a, l b, a b O, a , b , 则l .
若a , a , 则
面面垂直的判定公开课课件
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两 条相交直线分别与另一个平面垂直， 从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直 线，直线c为平面β外的一条直线，我 们需要证明直线a、b与平面β垂直， 进而证明平面α与平面β垂直。根据三 垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂 足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与 平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直 线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互 相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平 面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直 线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上 的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直 。
【高中数学】高中数学知识点：平面与平面垂直的判定与性质
【高中数学】高中数学知识点：平面与平面垂直的判定与性质
平面和平面垂直的定义：
如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是
直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
如图，
面面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（线面垂直
面面垂直）
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
（面面垂直
线面垂直）
性质定理符号表示：
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
证明面面垂直的方法：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题
的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般
用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直
通常利用线面垂直或利用空间向量．
常用结论：
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直
线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，
（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
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面面垂直的判定定理
面面垂直性质定理
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点，向另一平面作这条垂线必在第一个平面内。
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直。
面面垂直定理证明
证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β
∵a⊂α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共点P，因此α与β相交。
设α∩β=b，∵P是α和β的公共点
∴P∈b
过P在β内作c⊥b
∵b⊂β，a⊥β
∴a⊥b，垂足为P
又c⊥b，垂足为P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵c⊂β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根据面面垂直的定义，α⊥β。