第3章圆 题型解读10 圆动点的运动路径问题-北师大版九年级数学下册
中考数学总复习 九年级下册 第三章 圆(知识归纳+考点攻略+方法技巧)课件 北师大版
最新北师大版初中数学精品
数学·新课标（BS）
下册第三章复习（二）┃ 知识归类
[注意] (1)两圆内含时，若 d 为 0，则两圆为同心圆． (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形，其对称轴是两圆的圆 心所在的直线． 12．弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式
nπR 半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l＝ 180 . (2)扇形的面积公式 半径为 R，圆心角是 n°的扇形面积是 S 扇形＝3n60πR2；
方法技巧 (1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是 证明线段相等、垂直关系、弧相等的重要依据．利用垂径定理常作 “垂直于弦的直径”辅助线(往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本 例)；(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径、圆 心到弦的距离、弦长等数量的计算．这些量之间的关系是 r2＝d2＋a2 2(其中 r 为圆半径，d 为圆心到弦的距离，a 为弦长)．
数学·新课标（BS）
下册第三章复习（二）┃ 考点攻略
图X3－7
[解析] D 连接AO，因为OC⊥AB，所以AD＝BD＝3 cm，因 为OD＝4 cm，在直角三角形ADO中，由勾股定理可以得到AO＝5 cm，所以OC＝5 cm，所以DC＝1 cm.
最新北师大版初中数学精品
数学·新课标（BS）
下册第三章复习（二）┃ 考点攻略
数学·新课标（BS）
下册第三章复习（二）┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．确定圆的要素
圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径， 虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没 有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确 定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
(完整版)北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 圆章节复习(解析版)
圆章节复习课前测试【题目】课前测试如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】；存在，DE=；y=（0＜x＜）．【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如图（2），存在，DE是不变的．连接AB，则AB==2，∵D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=；（3）如图（3），连接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF•OE=••=（0＜x＜）．总结：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．【难度】4【题目】课前测试如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．【答案】OD=3；AE是⊙O的切线；【解析】（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．总结：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆是九年级下册的内容，是初中几何三大模块（三角形、四边形、圆）之一，也是中考几何必考内容，包含与园有关的圆性质、与圆有关的位置关系及与圆有关的计算三部分，相比三角形与四边形，圆部分的知识点更多，需要记忆的概念和公式也就更多，另外它还要跟三角形和四边形结合，综合考查几何知识，难度骤然提升，解题思维更要灵活。
北师大版九年级数学下册3.1圆-(共32张)PPT课件
O
C
D
A
.
B
0
C
D
B
17
一张靶纸如图所示，靶纸上的1，3，5,7,9分别表 示投中该靶区的得分数，小明、小华、小红3人各 投了6次镖，每次镖都中了靶，最后他们是这样说 的—
小明说：“我只得了8分.” 小华说：“我共得了56分.” 小红说：“我共得了28分.” 他们可能得到这些分数 吗？如果可能，请把投 中的靶区在靶纸上表示 出来（用不同颜色的彩 笔画出来）；如果不可 能，请说明理由.
如直径CD.
我们知道，圆上任意
两点的部分叫做圆弧,
简称弧.
圆的任意一条直径的两个 端点分圆成两条弧,每一 弧都叫做半圆.
弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧叫做优弧,小于 半圆的弧叫做劣弧.
如图中，以A,D为端点的弧有两条：优弧ACD（记
作ACD），劣弧ABD（记作AD或ABD）.
.
5
能够重合的两个圆叫做等圆。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
.
53
18
小明可能，如1+1+1+1+1+3=8（分）； 小华不可能，因为最多只能得到9×6=54（分）； 小红可能，如5+5+5+5+7+1=28（分）.
.
19
已知Rt△ABC中，AB＜BC ∠B=90°，以点B为圆心， BA为半径画圆。Rt△ABC的各个顶点与⊙B在位置上 有什么关系？ 点A在圆上、点B在圆内、点C在圆外
羊平时拴在A处，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳子
可以选用（ ）
A.3m
B.5m
C.7m
D.9m
答案:A
.
26
2022年必考点解析北师大版九年级数学下册第三章 圆重点解析试题(含答案及详细解析)
北师大版九年级数学下册第三章圆重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）∠的度数为（）1、如图，四边形ABCD内接于O，若130C∠=︒，则BODA．50°B．100°C．130°D．150°2、如图，正ABC的边长为3cm，边长为1cm的正RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将RPQ沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P 运动路径的长为（）A ．cm πB ．2cm πC ．3cm πD ．6cm π3、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为点 E ，若 ⊙O 的半径为5，CD =8，则AE 的长为（ ）A ．3B ．2C ．1D 4、如图，正方形ABCD 的边长为8，若经过C ，D 两点的⊙O 与直线AB 相切，则⊙O 的半径为（ ）A ．4.8B ．5C ．D ．5、下列说法中，正确的是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．过任意三点可以画一个圆C ．周长相等的圆是等圆D ．平分弦的直径垂直于弦6、如图，O 中的半径为1，ABC 内接于O ．若50A ∠=︒，70B ∠=︒，则AB 的长是（ ）A ．32 B C D 7、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立是（ ）A ．弧AC ＝弧ADB ．弧BC ＝弧BD C ．CE ＝DE D ．OE ＝BE8、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，△ABC 绕AC 所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积等于（ ）A ．4πcm 2B ．8πcm 2C ．12πcm 2D ．15πcm 29、如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），点B （2，1），点C （2，－3）．则经画图操作可知：△ABC 的外接圆的圆心坐标是（ ）A ．（－2，－1）B ．（－1，0）C ．（－1，－1）D ．（0，－1）10、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）A 3πB 3π-C 23π-D ．23π 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，将Rt△ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与零刻度线的一端重合，∠ABC ＝38°，射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点D ，若射线CD 将△ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形，则点D 在量角器上对应的度数是 ___．2、如图，AB是⊙O的直径，∠BAD＝70°，则∠C＝___________．3、如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P= 50°，则∠ACB ＝_____________°4、如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上异于A，B的一点，连接AC，BC．若∠P＝58°，则∠ACB的大小是___________．5、在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′．则图中阴影部分的面积为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、阅读下列材料，完成相应任务：如图①，ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，AD 平分BAC ∠交⊙O 于点D ，连接BD ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点E ．则CAD BDE ∠=∠．下面是证明CAD BDE ∠=∠的部分过程：证明：如图②，连接DO ， AB 是⊙O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ODA ∴∠+①________90=︒．（1） DE 为⊙O 的切线，90ODE ∴∠=︒，90ODB BDE ∴∠+∠=︒，（2）由（1）（2）得，②________________． AD 平分,BAC CAD OAD ∠∴∠=∠．,OA OD OAD ODA =∴∠=∠，CAD ∴∠=③________，CAD BDE ∴∠=∠．任务：（1）请按照上面的证明思路，补全证明过程：①________，②________，③________；（2）若5,2OA BE ==，求DE 的长．2、如图1，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，OB ＝OC ＝3OA ．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点E 的坐标为（0，7），若过点E 作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H ，直线y ＝kx ﹣2k ﹣5（k ≠0）与抛物线交于F 、G 两点，求当k 为何值时，△FGH 面积最小，并求出面积的最小值；（3）如图3，已知直线l ：y ＝2x ﹣1，将抛物线沿直线l 方向平移，平移过程中抛物线与直线l 相交于E 、F 两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m ，在x 轴上存在唯一的一点P ，使∠EPF ＝90°，求m 的值．3、．如图，ABC 内接于O ，AD BC ⊥交O 于点D ，垂足为点H ，连接BD ，CD ，105AOC ∠=︒，7.5CAD ∠=︒（1）求BAC ∠的度数；（2）过点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F ，连接OA ，OC ，OB ，EH ，FH ，若O 的半径为1，求EH FH +的值．4、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，连接OE，过点D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF与⊙O相切；（2）填空：①若△CDF的面积为3，则△CDE的面积为．②当∠CDF的度数为时，OE∥BC，此时四边形ODCE的形状是：．5、如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB=180°，∵∠DCB=130°，∴∠A=50°，=2∠A=100°，由圆周角定理得，BOD故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．2、B【分析】从图中可以看出在AB 边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，第二次是以点P 为圆心，所以没有路程，同理在AC 和BC 上也是相同的情况，由此求解即可．【详解】解：从图中可以看出在AB 边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=1201180⨯π，第二次是以点P 为圆心，所以没有路程，在BC 边上，第一次1201180⨯π，第二次同样没有路程，AC 边上也是如此，点P 运动路径的长为1201180⨯π×3=2π． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，求弧长，解题的关键在于能够根据题意得到P 点的运动轨迹．3、B【分析】连接OC ，由垂径定理，得到CE =4，再由勾股定理求出OE 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：连接OC ，如图∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点 E ，CD =8， ∴118422CE CD ==⨯=，∵5AO CO ==，∴3OE，AE=-=；∴532故选：B．【点睛】OE=．本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出3 4、B【分析】连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，设半径为x．构建方程即可解决问题．【详解】解：设⊙O与AB相切于点E．连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，再设⊙O的半径为x．∵AB切⊙O于E，∴EF⊥AB，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∴∠OFD=90°，在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF2+DF2=OD2，∴（8-x）2+42= x2，∴x =5，∴⊙O 的半径为5．故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5、C【分析】根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可．【详解】A 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；B 、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；C 、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；D 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；故选：C ．【点睛】本题考查的是对圆的认识，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理，利用相关的知识逐项判断是基本的方法．6、B【分析】连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，由三角形内角和求出C ∠，由圆周角定理可得2AOB C ∠=∠，由OA OB =得AOB 是等腰三角形，即可知12AOD AOB ∠=∠，12AD BD AB ==，根据三角函数已可求出AD ，进而得出答案．【详解】如图，连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，∵50A ∠=︒，70B ∠=︒，∴180507060C ∠=︒-︒-︒=︒，∴2120AOB C ∠=∠=︒，∵OA OB =，∴AOB 是等腰三角形， ∴1602∠=∠=︒AOD AOB ，12AD BD AB ==， ∴30DAO ∠=︒，∴12OD =，AD ==∴2AB AD ==故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．7、D【分析】根据垂径定理解答．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，∴弧AC ＝弧AD ，弧BC ＝弧BD ，CE ＝DE ，故选：D ．【点睛】此题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，熟记定理是解题的关键．8、D【分析】圆锥的侧面积S rl π=侧，确定r l 、的值，进而求出圆锥侧面积．【详解】解：S rl π=侧，35r BC l AB ====、23515cm S rl πππ∴==⨯⨯=侧故选D ．【点睛】本题考察了圆锥侧面积．解题的关键与难点在于确定r l 、的值．9、A【分析】首先由△ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB 与BC 的垂线，两垂线的交点即为△ABC 的外心．【详解】解：∵△ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，如图所示：EF 与MN 的交点O ′即为所求的△ABC 的外心，∴△ABC 的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：A【点睛】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．10、A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可． 【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形． 故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．二、填空题1、76°或142°【分析】设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，根据圆周角定理得∠BOD=2∠BCD，根据等腰三角形的性质分BC为底边和BC为腰求∠BCD的度数即可．【详解】解：设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，∵Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴A、C、B、D四点共圆，圆心为点O，∴∠BOD=2∠BCD，①若BC为等腰三角形的底边时，如图射线CD1，则∠BCD1=∠ABC=38°，连接OD1，则∠BOD1=2∠BCD1=76°；②若BC为等腰三角形的腰时，当∠ABC为顶角时，如图射线CD2，则∠BCD2=（180°-∠ABC）÷2=71°，连接OD2，则∠BOD2=2∠BCD2=142°，当∠ABC为底角时，∠BCD=180°-2∠ABC=104°，不符合题意，舍去，综上，点D在量角器上对应的度数是76°或142°，故答案为：76°或142°．【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．2、20︒【分析】连接BC ，首先由直径所对的圆周角是直角得到90BCA ∠=︒，然后由同弧所对的圆周角相等得到70BCD BAD ∠=∠=︒，即可求出ACD ∠的度数．【详解】解：如图所示，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径∴90BCA ∠=︒∵BD BD =∴70BCD BAD ∠=∠=︒∴907020ACD BCA BCD ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：20︒．【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等．3、65【分析】连接,OA OB ，根据切线的性质以及四边形内角和定理求得130AOB ∠=︒，进而根据圆周角定理即可求得∠ACB【详解】解：连接,OA OB ，如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切90OAP OBP ∴∠=∠=︒360130AOB OAP OBP P ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒AB AB =1652ACB AOB ∴∠=∠=︒ 故答案为：65【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键． 4、61︒或119︒【分析】如图，连接,,OA OB 利用切线的性质结合四边形的内角和定理求解122,AOB 再分两种情况讨论，结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.【详解】解：如图，连接,,OA OB 12,C C （即C ）分别在优弧与劣弧上，PM ，PN 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，90,PAO PBO ∴∠=∠=︒58,P360909058122,AOB 12161,18061119.2AC B AOB AC B 故答案为：61︒或119︒本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，四边形的内角和定理的应用，求解122AOB ∠=︒是解本题的关键.5、2π【分析】利用勾股定理求出AC 及AB 的长，根据阴影面积等于AB C CAC DAB S S S''''--扇形扇形求出答案． 【详解】解：由旋转得,AB AB AC AC ''==，90CAC '∠=︒，B AC ''∠=∠BAC ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，∴AC =2BC =2，AB60CAB '∠=︒， ∴阴影部分的面积=AB C CAC DAB S S S ''''--扇形扇形2260902113603602ππ⨯⨯=--⨯=2π故答案为：2π．此题考查了求不规则图形的面积，正确掌握勾股定理、30度角直角三角形的性质、扇形面积计算公式及分析出阴影面积的构成特点是解题的关键．三、解答题1、（1）ODB ∠，ODA BDE ∠=∠，ODA ∠；（2）DE =【分析】（1）由AB 是⊙O 的直径，得到ODA ∠+∠ODB 90=︒．再由DE 为⊙O 的切线，得到90ODB BDE ∠+∠=︒，即可推出∠ODA =∠BDE ，由角平分线的定义可得CAD OAD ∠=∠，由OA OD =，得到OAD ODA ∠=∠，即可证明CAD BDE ∠=∠；（2）在直角△ODE 中利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图②，连接DO ， AB 是⊙O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ODA ∴∠+∠ODB 90=︒．（1） DE 为⊙O 的切线，90ODE ∴∠=︒，90ODB BDE ∴∠+∠=︒，（2）由（1）（2）得，∠ODA =∠BDE ． AD 平分BAC ∠，∴CAD OAD ∠=∠．OA OD =，OAD ODA ∠=∠∴CAD ∴∠=∠ODA ，CAD BDE ∴∠=∠．故答案为：① ODB ∠，② ODA BDE ∠=∠，③ ODA ∠；（2）DE 为O 的切线，90ODE ∴∠=︒．5OA =，5OD OB OA ∴===，2BE =，7OE OB BE ∴=+=．在Rt ODE △中，DE =【点睛】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握切线的性质．2、（1）y ＝-x 2+2x +3；（2）k =-2，面积最小为（3）m 【分析】（1）令x =0，解得y =b ，求出OB ＝OC ＝b ，OA =13b ，得到A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0），把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b 即可求解； （2）设直线EH 的解析式为y =nx +7，联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+=，根据直线EH 与函数只有一个交点，求出H （2，3），再得到直线GH 过定点M （2，-5），利用S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x -，求出()12x x -的最小值即可求解； （3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90°，设点E ，F 的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），求出平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+2m +2，联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=，求出x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --，y 1+y 2=4m -6，表示出点R （m -1，2m -3），求出()12x x -2，利用PR =12EF ，得到EF 2=4PR 2，列出关于m 的方程即可求解．【详解】（1）∵y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ，令x =0，解得y =b∴CO =b∴OB ＝OC ＝b ，OA =13b ∴A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0） 把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b 得22209302ab ab b ab ab b ⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为y ＝-x 2+2x +3；（2）∵点E 的坐标为（0，7），可设直线EH 的解析式为y =nx +7联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+= ∵直线EH 与函数只有一个交点，且在对称轴右侧∴△=()224140n --⨯⨯=解得n 1=-2，n 2=6（舍去）∴直线EH 的解析式为y =-2x +7解方程2440x x -+=得x 1=x 2=2∴H （2，3）∵直线GH 解析式y ＝kx ﹣2k ﹣5=k （x -2）-5∴直线GH 过定点M （2，-5）如图，连接HM∵H （2，3）∴HM ⊥x 轴，MH =8设F （x 2，y 2）、G （x 1，y 1）联立()22523y k x y x x ⎧=--⎨=-++⎩，得到()22280x k x k +---= ∴x 1+x 2=2-k ，x 1x 2=-2k -8∵S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x - 故当()12x x -最小时，S △FGH 最小∵()12x x -2=()()()()222121242428232x x x x k k k +-=----=++ 故当k =-2时，()12x x -2的最小值为32故()12x x -∴此时S △FGH 最小为4()12x x -=（3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90° 如图，R 与x 轴相切时，切点为点P ，∵y ＝-x 2+2x +3=-（x -1）2+4设点E ，F 的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），当平移后的抛物线的顶点的横坐标为m 时，则抛物线向右平移了m -1个单位，故相应地纵坐标向上平移了2（m -1）=个单位，则平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+4+2（m -1）=-（x -m ）2+2m +2联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=∴x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --∴y 1+y 2=2（x 1+x 2）-2=4m -6，则点R （m -1，2m -3），()12x x -2=()212124x x x x +-=（2m +2）2-4（223m m --）=16，PR =12EF 则EF 2=4PR 2∵EF 2=()12x x -2+()12y y -2=5()12x x -2=5×16=4PR 2∵PR =2m -3∴5×16=4×（2m -3）2解得m∴当m m【点睛】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知圆的切线的性质、勾股定理、二次函数的图像与性质、一元二次方程相关性质．3、（1）45︒；（2）EH FH +=【分析】（1）根据圆周角定理，计算∠ABC 的大小，利用互余原理计算∠BAD ，最后，利用两个角的和，计算∠BAC ；（2）证明CDB FDE ∽，再求EH FH +的值．【详解】（1）∵105AOC ∠=︒ ∴152.52ABC AOC ∠=∠=︒∵AH BC ⊥于点H∴90AHB ∠=︒∴18037.5BAH AHB ABC ∠=︒-∠-∠=︒∵7.5CAD ∠=︒∴45BAC CAD BAH ∠=∠+∠=︒（2）如图过点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F∵90DHB DEB ∠=∠=︒，∴D ､H ､E ､B 四点共圆，∴EHB EDB ∠=∠，同理可得，D ､H ､C ､F 四点共圆，CHF CDF ∠=∠，∵90CHF CDF DCF ∠=∠=︒-∠，180DCF ACD ABD ∠=︒-∠=∠，∴9090CHF CDF DCF ABD EDB EHB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠即CHF EHB ∠=∠，∴E ､H ､F 三点共线，∴EH FH EF +=，∵HED HBD ∠=∠，DCH DFH ∠=∠，∴在CDB △与FDE 中FED HED HBD CBD ∠=∠=∠=∠，EFD HFD HCD BCD ∠=∠=∠=∠，∴CDB FDE ∽△△， ∴EF DE BC DB=， ∵52.5ABC ∠=︒，7.5DBC ∠=︒，∴60ABD ABC DBC ∠=∠+∠=︒，∴sin DE ABD BD =∠=， ∵1OB OC ==，290BOC BAC ∠=∠=︒，∴BC ==∴EF BC ==，即EH FH +=【点睛】本题考查了圆周角定理，四点共圆，圆内接四边形的性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数值，是解题的关键．4、（1）见解析（2）①6②30；菱形【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠C，由OB＝OD，得∠ABC＝∠ODB，则∠ODB＝∠C，得出OD∥AC，再由DF⊥AC，得出OD⊥DF，即可得出结论；（2）①由圆周角定理和平角性质得∠ABC＋∠AED＝180°，∠DEC＋∠AED＝180°，推出∠ABC＝∠DEC，∠C＝∠DEC，得出DE＝DC，由等腰三角形的性质得CE＝2CF，则S△CDE＝2S△CDF，即可得出结果；②利用平行线的性质证明OE是△ABC的中位线，得出BC＝2OE＝AB＝AC，则△ABC为等边三角形，得∠C＝60°，证明△CDE为等边三角形，得出∠CDE＝60°，由等腰三角形的性质得∠CDF＝1∠CDE＝230°，由OE∥CD，OD∥CE，得四边形ODCE为平行四边形，再由OD＝OE，得出平行四边形ODCE为菱形．【详解】解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF与⊙O相切；（2）解：①∵∠ABC＋∠AED＝180°，∠DEC＋∠AED＝180°，∴∠ABC＝∠DEC，∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∵DF⊥AC，∴CE＝2CF，∴S△CDE＝2S△CDF＝2×3＝6，故答案为：6；②∵OE∥BC∴AO AE OB EC∵O点是AB中点∴E点是AC中点∴OE是△ABC的中位线，∴BC＝2OE＝AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，∵DE＝DC，∴△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°，∵DF⊥AC，∴∠CDF＝12∠CDE＝12×60°＝30°，∵OE∥CD，OD∥CE，∴四边形ODCE为平行四边形，∵OD＝OE，∴平行四边形ODCE为菱形，故答案为：30；菱形．【点睛】本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、切线的判定、平行线的性质与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、三角形面积计算等知识；熟练掌握切线的判定和等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．5、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OB ，证明△AOB ≌△AOC （SSS ），可得∠ACO ＝∠ABO ＝90°，即可证明AC 为⊙O 的切线；（2）在Rt△BOD 中，勾股定理求得BD ，根据sin D ＝OB OD ＝AC AD，代入数值即可求得答案 【详解】解：（1）连接OB ，∵AB 是⊙O 的切线，∴OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，∵BC 是弦，OA ⊥BC ，∴CE ＝BE ，∴AC ＝AB ，在△AOB 和△AOC 中，AB AC AO AO BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠ACO＝∠ABO＝90°，即AC⊥OC，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△BOD中，由勾股定理得，BD∵sin D＝OBOD＝ACAD，⊙O半径为2，OD＝4．∴24解得AC＝∴AD＝BD+AB＝【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册第三章 圆重点解析试题(含答案及详细解析)
北师大版九年级数学下册第三章 圆重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上两点，30CDB ∠=︒，3BC =，则AB 的长度为（ ）A ．6B ．3C ．9D ．122、如图，已知O 中，50AOB ∠=︒，则圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．50°B ．25°C ．100°D ．30°3、如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（ ）A．2πB．4πC．2π+12D．4π+124、如图，等边△ABC内接于⊙O，D是BC上任一点（不与B、C重合），连接BD、CD，AD交BC于E，CF切⊙O于点C，AF⊥CF交⊙O于点G．下列结论：①∠ADC＝60°；②DB2＝DE•DA；③若AD＝2，则四边形ABDC CF＝83．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、如图，FA、FB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上一点，过点C的切线分别交FA、FB 于D、E两点，若∠F＝60°，△FDE的周长为12，则⊙O的半径长为（）AB．2 C．D．3深度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm7、下列说法正确的是（）A．弧长相等的弧是等弧B．直径是最长的弦C．三点确定一个圆D．相等的圆心角所对的弦相等8、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）A．22.5°B．45°C．90°D．67.5°9、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（）A．54°B．56°C．64°D．66°10、已知⊙O的半径为5，若点P在⊙O内，则OP的长可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知⊙O的直径为6cm，且点P在⊙O上，则线段PO=_________ .2、已知圆锥的母线长为13cm，底面圆的半径为5cm，则圆锥的表面积为 _____．3、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．则∠APB=________度；4、Rt ABC 的两条直角边分别是一元二次方程27120x x -+=的两根，则ABC 的外接圆半径为_____．5、在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的圆O 交BC 边于点D ．要使得圆O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是 _________ ．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD > 12AB ；④12AB < DE ． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣3x ﹣3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线2y x bx c =++经过A ，C 两点，且与x 轴交于另一点B （点B 在点A 右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B 坐标；（2）试探究ABC ∆的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M 是线段BC 上一动点，过点M 的直线EF 平行y 轴交x 轴于点F ，交抛物线于点E ．求BCE ∆面积 的最大值，并求出此时M 点的坐标．2、尝试：如图①，ABC 中，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，直接写出图中的一对相似三角形_______；拓展：如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，若8BB '=，求CC '的长；应用：如图③，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AB =，30ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，当点B 的对应点B ′恰好落在Rt ABC △的边所在的直线上时，直接写出此时点C 的运动路径长．3、如图，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AD 为⊙O 的直径．连结BD ，若AC BD =． （1）求证：∠1＝∠2．（2）当AD ＝BC ＝4时，求ABD 的面积．4、已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC 求作：一点P ，使得∠APC ＝∠BAC作法：①以点A 为圆心， AB 长为半径画圆；②以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交⊙A 于点C ，D 两点； ③连接DA 并延长交⊙A 于点P 点P 即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（______________________）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC5、如图，已知P是⊙O上一点，用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：用直尺和圆规作图．-参考答案-一、单选题1、A【分析】连接AC，利用直角三角形30°的性质求解即可．【详解】解：如图，连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=30°，∴AB=2BC=6，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 2、B 【分析】根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵1,502ACB AOB AOB ∠=∠∠=︒ ，∴25ACB ∠=︒ ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键． 3、D 【分析】根据正多边形的外角求得内角FAB ∠的度数，进而根据弧长公式求得FB l ，即可求得阴影部分的周长． 【详解】解：正六边形ABCDEF 的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-⨯︒=︒==∴FB l 12064180ππ⨯== ∴阴影部分图形的周长为412FB AF AB l π++=+故选D【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键． 4、C 【分析】如图1，△ABC 是等边三角形，则∠ABC ＝60°，根据同弧所对的圆周角相等∠ADC ＝∠ABC ＝60°，所以判断①正确；如图1，可证明△DBE ∽△DAC ，则DB DEDA DC=，所以DB •DC ＝DE •DA ，而DB 与DC 不一定相等，所以判断②错误；如图2，作AH ⊥BD 于点H ，延长DB 到点K ，使BK ＝CD ，连接AK ，先证明△ABK ≌△ACD ，可证明S 四边形ABDC ＝S △ADK ，可以求得S △ADK 3，连接OA 、OG 、OC 、GC ，由CF 切⊙O 于点C 得CF ⊥OC ，而AF ⊥CF ，所以AF ∥OC ，由圆周角定理可得∠AOC ＝120°，则∠OAC ＝∠OCA ＝30°，于是∠CAG ＝∠OCA ＝30°，则∠COG ＝2∠CAG ＝60°，可证明△AOG 和△COG 都是等边三角形，则四边形OABC 是菱形，因此OA ∥CG ，推导出S 阴影＝S 扇形COG ，在Rt △CFG 中根据勾股定理求出CG 的长为4，则⊙O 的半径为4，可求得S 阴影＝S 扇形COG ＝2604360⨯π＝83π，所以判断④正确，所以①③④这3个结论正确． 【详解】解：如图1，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°， ∵等边△ABC 内接于⊙O ， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝60°， 故①正确；∵∠BDE ＝∠ACB ＝60°，∠ADC ＝∠ABC ＝60°， ∴∠BDE ＝∠ADC ， 又∠DBE ＝∠DAC ， ∴△DBE ∽△DAC ，∴DB DE DA DC,∴DB•DC＝DE•DA，∵D是BC上任一点，∴DB与DC不一定相等，∴DB•DC与DB2也不一定相等，∴DB2与DE•DA也不一定相等，故②错误；如图2，作AH⊥BD于点H，延长DB到点K，使BK＝CD，连接AK，∵∠ABK+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠ABK＝∠ACD，∴AB＝AC，∴△ABK≌△ACD（SAS），∴AK＝AD，S△ABK＝S△ACD，∴DH ＝KH ＝12DK ，∵∠AHD ＝90°，∠ADH ＝60°，∴∠DAH ＝30°，∵AD ＝2，∴DH ＝12AD ＝1，∴DK ＝2DH ＝2，AH =∴S △ADK ＝12AH DK ⋅=∴S 四边形ABDC ＝S △ABD +S △ACD ＝S △ABD +S △ABK ＝S △ADK故③正确；如图3，连接OA 、OG 、OC 、GC ，则OA ＝OG ＝OC ，∵CF 切⊙O 于点C ，∴CF ⊥OC ，∵AF ⊥CF ，∴AF ∥OC ，∵∠AOC ＝2∠ABC ＝120°，∴∠OAC ＝∠OCA ＝12×（180°﹣120°）＝30°，∴∠CAG ＝∠OCA ＝30°，∴∠COG ＝2∠CAG ＝60°，∴∠AOG ＝60°，∴△AOG 和△COG 都是等边三角形，∴OA ＝OC ＝AG ＝CG ＝OG ，∴四边形OABC 是菱形，∴OA ∥CG ，∴S △CAG ＝S △COG ，∴S 阴影＝S 扇形COG ，∵∠OCF ＝90°，∠OCG ＝60°，∴∠FCG ＝30°，∵∠F ＝90°，∴FG ＝12CG ，∵FG 2+CF 2＝CG 2，CF ＝∴（12CG ）2+（2＝CG 2，∴CG ＝4，∴OC ＝CG ＝4，∴S 阴影＝S 扇形COG ＝2604360⨯π＝83π， 故④正确，∴①③④这3个结论正确，故选C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，圆切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5、C【分析】根据切线长定理可得，BE EC =、CD AD =、AF BF =，再根据∠F ＝60°，可知ABF 为等边三角形，120AOB ∠=︒，再△FDE 的周长为12，可得12BF AF +=，求得6AB =，再作OH AB ⊥，即可求解．【详解】解：FA 、FB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，过点C 的切线分别交FA 、FB 于D 、E 两点，则：BE EC =、CD AD =、AF BF =，90OBF OAF ∠=∠=︒，∵∠F ＝60°，∴ABF 为等边三角形，360120AOB F OBF OAF ∠=︒-∠-∠-∠=︒，∵△FDE 的周长为12，即12CD EC EF DF +++=，∴12BF AF +=，即6AB AF ==，作OH AB ⊥，如下图：则1602BOH AOB ∠=∠=︒，132BH AB ==， ∴30OBH ∠=︒，设OH x =，则2OB x =，由勾股定理可得：2223(2)x x +=，解得x =OB =故选C【点睛】此题考查了圆的有关性质，切线的性质、切线长定理，垂径定理以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．6、B【分析】连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而得出CD 的长即可．【详解】解：连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，如图所示：∵AB=8cm，∴BD=12AB=4（cm），由题意得：OB=OC=1102⨯=5cm，在Rt△OBD中，OD=2222543OB BD-=-=（cm），∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），即水的最大深度为2cm，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7、B【分析】利用圆的有关性质、等弧的定义、确定圆的条件及圆心角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、能够完全重合的弧是等弧，故错误，是假命题，不符合题意；B、直径是圆中最长的弦，正确，是真命题，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，是假命题，不符合题意；D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；故选：B．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质、等弧的定义、确定圆的条件及圆心角定理，难度不大．8、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．9、A【分析】根据圆周角定理得到∠ADB ＝90°，∠A ＝∠BCD ＝36°，然后利用互余计算∠ABD 的度数．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠DAB ＝∠BCD ＝36°，∴∠ABD ＝∠ADB ﹣∠DAB ，即∠ABD ＝90°﹣∠DAB ＝90°﹣36°＝54°．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10、A【分析】根据点与圆的位置关系可得5OP <，由此即可得出答案．【详解】解：O 的半径为5，点P 在O 内，5OP ∴<，观察四个选项可知，只有选项A 符合，故选：A ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系（圆内、圆上、圆外）是解题关键．二、填空题1、3cm【分析】根据点与圆的位置关系得出：点P 在⊙O 上，则PO r =即可得出答案．【详解】∵⊙O 的直径为6cm ，∴⊙O 的半径为3cm ，∵点P 在⊙O 上，∴3cm =PO ．故答案为：3cm ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点P 在⊙O 外，则PO r >，点P 在⊙O 上，则PO r =，点P 在⊙O 内，则PO r <．2、90πcm 2【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算出圆锥的侧面积，然后加上底面积即可得到圆锥的表面积．【详解】 解：圆锥的侧面积＝12513652ππ＝cm 2， 圆锥的底面积＝π•52＝25πcm 2，所以圆锥的表面积＝65π+25π＝90πcm 2．故答案为：90πcm 2．【点睛】本题考查了圆锥的表面积，圆锥的有关概念，正确运用圆的面积公式，扇形的面积公式是解题的关键．3、60【分析】先根据圆的切线的性质可得90OAP ∠=︒，从而可得60PAB ∠=︒，再根据切线长定理可得PA PB =，然后根据等边三角形的判定与性质即可得．【详解】解：,PA PB 是O 的切线，,PA PB OA AP ∴=⊥，90OAP ∴∠=︒，30OAB ∠=︒，60PAB OAP OAB ∴∠∠=∠-=︒，PAB ∴是等边三角形，60APB ∴∠=︒，故答案为：60．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 4、2.552【分析】根据题意先解一元二次方程，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案．【详解】解：27120x x -+=， ()()340x x --=，解得123,4x x ==，∴Rt ABC 的两条直角边分别为3，4，∴，直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点，∴ABC 的外接圆半径为52． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直角三角形的外心是斜边的中点是解答此题的关键．5、②④【分析】将所给四个条件逐一判断即可得出结论．【详解】解：在ΔABC 中，AB AC =①当∠BAC > 60°时，若90BAC ∠=︒时，点E 与点A 重合，不符合题意，故①不满足；②当∠ABC 45≤︒时，点E 与点A 重合，不符合题意，当∠ABC 60>︒时，点E 与点O 不关于AD 对称，当4560ABC ︒<∠≤︒时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，所以，当45° < ∠ABC < 60°时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故②满足条件；③当12AB BD AB ≤<时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故③不满足条件；④当12AB < DE 时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故④满足条件； 所以，要使得O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是45° < ∠ABC < 60°或12AB < DE 故答案为②④【点睛】本题考查了圆周角定理，正确判断出每种情况是解答本题的关键．三、解答题1、（1）抛物线解析式为223y x x =--，B 点坐标为（3，0）；（2）△ABC 外接圆圆心在直线1x =上，其坐标为（1，14-）；（3）BCE S 的最大值为278，此时M 点的坐标为（32，32-）． 【分析】（1）先由一次函数解析式求出AC 的坐标，然后把AC 的坐标代入抛物线解析式中求解出抛物线解析式，然后求出B 点坐标即可；（2）设△ABC 外接圆圆心为P ，点P 的坐标为（m ，n ），又A 点坐标为（-1，0），B 点坐标为（3，0），得到抛物线的对称轴为直线1x =，根据外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，推出点P 在直线1x =上，即m =1，PB =PC ，再由PB =PC =224441n n n +=+++，由此求解即可； （3）先求出直线BC 的解析式为3y x =-，设M 的坐标为（t ，t -3），则E 点坐标为（t ，223t t --），则()22239323324ME t t t t t t ⎛⎫=----=-+=--+ ⎪⎝⎭，根据=BCE MCE MBE S S S +△△△32ME =23327228t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵直线33y x =--与x 轴交于点A 、与y 轴交于点C ，∴A 点坐标（-1，0），C 点坐标为（0，-3），∵抛物线2y x bx c =++经过A 、C 两点，∴103b c c -+=⎧⎨=-⎩， ∴23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为223y x x =--，当0y =时，2230x x --=，解得1x =-或3x =，∴B 点坐标为（3，0）；（2）设△ABC 外接圆圆心为P ，点P 的坐标为（m ，n ），∵A 点坐标为（-1，0），B 点坐标为（3，0），∴抛物线的对称轴为直线1x =，∵外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，∴点P 在直线1x =上，即m =1，PB =PC ，∵PB =PC =224441n n n +=+++， ∴14n =-， ∴点P 的坐标为（1，14-）； （3）设直线BC 的解析式为1y kx b =+，∴11303k b b +=⎧⎨=-⎩， 1313k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-，设M 的坐标为（t ，t -3），则E 点坐标为（t ，223t t --），∴()22239323324ME t t t t t t ⎛⎫=----=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∴=BCE MCE MBE S S S +△△△()()1122M C B M ME x x ME x x =⋅-+⋅-()12B C ME x x =⋅- 32ME =， 23327228t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， ∴当32t =时，BCE S 有最大值，最大值为278， ∴此时M 点的坐标为（32，32-）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，三角形外接圆圆心坐标，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．2、尝试：''ABB ACC △△；拓展：'CC =；应用：点C 的运动路径长为3π或43π或23π或π或2π． 【分析】尝试：根据AB C ''△是由△ABC 旋转得到的，可得到=BAC B AC ''∠∠，AB AB '=，AC AC '=，即可推出=BAB CAC ''∠∠，1AB AC AB AC ==''，则ABB ACC ''△∽△；拓展：由AC =BC ，∠ACB =90°，可得AB =，同（1）可证ABB ACC ''△∽△，得到AB BB AC CC =''，由此求解即可；应用：分点'B 在AC 延长线上时，点'B 在CA 的延长线上时，当点'B 落在边BC 所在直线上时，当点'B 落在边AB 所在直线上时，当点'B 与点B 重合时，点C 旋转一周时，五种情况讨论求解即可得到答案．【详解】解：尝试：ABB ACC ''△∽△，理由如下：∵AB C ''△是由△ABC 旋转得到的，∴=BAC B AC ''∠∠，AB AB '=，AC AC '=，∴=BAC CAB B AC CAB ''''++∠∠∠∠，即=BAB CAC ''∠∠，1AB AC AB AC ==''， ∴ABB ACC ''△∽△；故答案为：ABB ACC ''△∽△；拓展：∵AC =BC ，∠ACB =90°，∴AB ，同（1）原理可证ABB ACC ''△∽△， ∴AB BB AC CC =''，∴AC BB CC AB '⋅'== 应用：∵在Rt ABC 中，2AB =，30ABC ∠=︒， ∴112AC AB ==，60BAC ∠=︒， 当点'B 落在AC 所在直线上时，有两种情况：①若点'B 在AC 延长线上时，如图①所示： 由旋转的旋转可得：'60CAC BAC ∠=∠=︒，∴点C 运动的路径即为CC '，∴6011803CC ππ⨯'==；②若点'B 在CA 的延长线上时，如图②所示，此时点B ，'C ，'B 三点共线，∴点C 运动的路径即为CC '，由旋转的性质可得'60B AC BAC '∠=∠=︒，∴'180120CAC B AC ''∠=︒-=︒∠∴旋转角360240CAC '=︒-=︒∠， ∴弧240141803'CC ππ⨯==；当点'B 落在边BC 所在直线上时，如图③所示，∴点C 运动的路径即为CC '，由旋转的性质可得'60B AC BAC '∠=∠=︒，∴'18060CAB B AC BAC ''∠=︒--=︒∠∠，∴120CAC CAB B AC =''''∠=∠+∠︒ ∴弧120121803CC'ππ⨯==；当点'B 落在边AB 所在直线上时，如图④所示，此时点C ，A ，'C 三点共线，旋转角为180︒， ∴弧1801180CC'ππ⨯==． 当点'B 与点B 重合时，点C 旋转一周，∴弧'22CC AC ππ=⨯=．∴当点B 的对应点'B 恰好落在Rt ABC 的边所在直线上时，点C 的运动路径长为3π或43π或23π或π或2π． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，求弧长，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件，以及弧长公式．3、（1）见解析；（2）【分析】（1）先证明AB CD =，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等即可证明；（2）过O 点作OE ⊥BC 于点E ，连接OB ，由垂径定理可得BE =CE =122BC =，由勾股定理求出2OE ，即可得到11222ABD S AD OE ∆=•=⨯= 【详解】解：（1）∵AC BD =，∴AB BC CD BC +=+，∴AB CD =，∴∠1=∠2；（2）过O 点作OE ⊥BC 于点E ，连接OB ，∴BE =CE =122BC =， ∵AD 为⊙O 的直径，∴OB =12AD =∴2OE =，∴11222ABD S AD OE ∆=•=⨯=【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同圆中等弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．4、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∴∠BAC＝1∠CAD2∵点D，P在⊙A上，∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．5、见详解【分析】方法一：连接OP，并延长，以点P为圆心，OP长为半径画弧，交OP的延长线于点C，然后再以点O、C为圆心，大于OC长的一半为半径画弧，交于点M、N，则问题可求解；方法二：连接OP，以点P 为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于点D，连接OD并延长，然后以点D为圆心OD长为半径画弧，交OD的延长线于点E，连接PE，则问题可求解．【详解】解：方法一如图所示：直线MN即为⊙O的切线；方法二如图所示：则PE即为⊙O的切线．【点睛】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．。
北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳(20200814075904)
圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d r 无交点;1、 点在圆内 d r2、 点在圆上 d r 点C 在圆 点B 在圆 内; 上;3、点在圆外 d r 点A 在圆外;2、直线与圆相切d r 有一个交点; 3、直线与圆相交 d r 有两个交点;外离（图1）无交点 d R r ;d R r ;外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点R r d R r ；内切（图4）有一个交点 d R r ；内含（图5）无交点 d R r ；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1: （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中, 只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径② AB CD ③ CE DE ④弧BC弧BD ⑤弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在O O 中，T AB // CD• ••弧AC 弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
北师大版数学九年级下册第三章圆专题本章易错点例析课件
续表
圆周角概念：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，这样的角
圆周角和 圆心角的
关系
叫做圆周角 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
推论3：圆内接四边形的对角互补
条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆 确定圆的 三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形
直线与圆相交，即d<r 有两个交点
续表
与圆有 关的位 置关系
1.圆的切线垂直于过切点的半径；
2.过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
圆的 切线
3.三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆叫 做三角形的内切圆.其圆心是三角形三条角平分线的 交点，叫做三角形的内心；
4.切线长定理：过圆外一点所画圆的两条切线，它
过关训练
5.如图XD3-1-9，四边形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，AD+BC=CD ，以AB为直径作⊙O．求证：CD是⊙O的切线．
谢谢
过关训练
2.在⊙O中，弦AB=6，CD=8，且AB∥CD．若⊙O的半径为5，则AB 与CD之间的距离为____1_或__7_____．
易错典例
易错点3：混淆三角形的内心和外心
过关训练
3.如图XD3-1-3，点I和O分别是△ABC的内心和外心．若 ∠AIB=125°，则∠AOB的度数为___1_4_0_°______．
条件 的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角 形的外心
续表
设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
与圆有 关的位 置关系
点在圆外，即d>r； 点与圆
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题型全解10 圆动点的运动路径问题
【思路梳理】
1.两种运动情形：①运动轨迹是直线型；②运动轨迹是圆弧型
2.解析技巧：抓住动点运动过程中的三个特殊位置点（起始位置、中途任意位置、结束位置），并把这三点连线，确定运动路线，再求出它的长度；
【典型例题】
1.正方形ABCD的边长为4cm，点P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥AP，交CD于点Q，连接AQ，当点P从B点运动到C点时，线段AQ的中点所经过的路径长为_____
思路分析：
抓住点O运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。
①初始位置：点P的初始位置是点B，此时Q与C重合，AQ与对角线AC重合，AQ的中点O即为正方形对角线的中点O`；
②任意位置：题目给的图形即是点O运动的任意位置；
③结束位置：当P与C重合时，AP与AC重合，Q是PQ⊥AP的垂足，所以Q与C、P重合，AQ与AC重合，AQ的中点O仍是正方形对角线的中点O`，
把以上三个位置连线，可知线段AQ的中点O的运动轨迹是O`---O----0`这条线段上运动，而CQ的长度也是由小到大再到小的变化，则OO`是中位线，所以，当CQ有最大值时，OO`也有最大值.由于图中出现了“一线三直角”的典型模型，我们可以用代数办法来求CQ的最大值。
解题过程：
如图，连接AC，取AC的中点O`，取AQ的中点O，连接OO`，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm，∵△ABP∽△PCQ，∴AB:PC=BP:CQ,即4:(4-x)=x:y,∴y=-0.5x*2+x=-0.5+1(0<x<4)，∴当x=2时，y有最大值为1cm，∵OO`中△ACQ的中位线，CQ取最大时，∴点O的运动路径长为2OO`=2cm
2.如图，正方形ABCD中，P为AC上一动点，过点P作PQ⊥BP交CD边于Q.点P从点A出发，沿AC方向移动，若
移动的路径长为2，则BQ 的中点M 移动的路径长为_____ 思路分析：
抓住点M 运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。
①初始位置：当P 在点A 时，Q 与D 重合，这时BQ 的中点M 即为对角线的中点O ； ②任意位置：题目给的图形即是点M 运动的任意位置；
③结束位置：当P 运动到O 点时，Q 与C 重合，这时P 不能再移动了，此时M 移动到BC 的中点M`， 把以上三个位置连线，可知线段BQ 的中点M 的运动轨迹是为OM`. 解题过程：
由题可知，点P 的运动路径长是2，即OA=2，依正方形的性质可得AC=4，AB=2,由于OM`为△ABC 的中位线，∴OM`=√2,即BQ 的中点M 移动的路径长为.
3.如图，半径为2，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上有一动点P ，从点P 作PH ⊥OA 于点H ，设△OPH 的三个内角角平分线交于点M ，当点P 在弧AB 上从A 运动到点B 是地，点M 所经过的路径长为
思路分析：
抓住点M 运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。
①初始位置：当P 在点A 时，H 、M 均与A 重合；
②任意位置：题目给的图形即是点M 运动的任意位置；
③结束位置：当P 运动到B 点时，PH 与BO 重合，则M 与O 重合；
把以上三个位置连线，可知点M 的运动轨迹是为弧AMO.求弧长，必先找到圆心角和半径，利用垂径定理及相应角度，即可画出弧OMA 所在的圆，再依公式算出点M 的运动路径长。
解题过程：
过A 、M 、O 作⊙O`，依数学典型模型“两角平分线的平角问题”可得∠PMO=135°，易证△OPM ≌△OAM,∴∠PMO=∠
P
M
A
AMO=135°，由圆中四边形对角互补性质可得，所对的圆周角为45°，∴则∠AO`O=90°，∵AO=2，∴O`A=,∴的长度=，即点M 所经过的路径长为.
4.（1）如图.已知正三角形ABC 的中心O ，边长为2，将其沿直线向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O 经过的路径长是___________
（2）如图.已知正四边形ABCD 的中心O ，边长为2，将其沿直线向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O 经过的路径长是___________
解析：（1）如图2，O 点的运动轨迹是三个半径为，圆心角为120°的扇形，所以路径长= 4×90÷360×2Л×√2=2√2Л
（2）如图2，O 点的运动轨迹是四个半径为，圆心角为90°的扇形，所以路径长=
5. 如图，正方形ABCD 的边长为4，点E,F 分别从点A 、D 以相同的速度同时出发，点E 从点A 向点D 运动，点F 从D 向点C 运动，点E 运动到D 点时，E 、F 停止运动，连接BE 、AF 相交于点G ，连接CG ，有下列结论：①AF ⊥BE ；②点G 随着点E 、F 的运动而运动，且点G 的运动路径的长度为；③线段DG 的最小值为；④当线段DG 最小时，，其中正确的命题有__________①②③2√5-2 S △BCG=8+(8/5)√5 Л
解析：①先证△ABE ≌△DAF （AAS ），可得∠ABE=∠DAF,∵∠DAF+∠BAG=90°,∴∠ABE+∠BAG=90°,即AF ⊥BE ； ②∵∠AGB 保持90°不变，∴G 点在以AB 中点O 为圆心，AO 为半径的圆弧，由运动知，点E 运动到点D 时停止，
图2
图1
图2
图4
图3
F
G
E D C
B A
图1
同时点F运动到点C,∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为90°，∴长度为90Л×2÷180=Л
③∵OG=固定长，∴要求DG最短，即求OG+DG最短，当O、G、D在同一条直线上时，DG取最小值，，∴DG的最小值为OC﹣OG=﹣2，故③正确；
④过G作BC 垂线与AD相交相交于点M，与BC相交于点N，∴GM//OA,∴∴,∴, ∴GM:OA=DG:DO,∴GM=2-0.4√5,∴GN=2+0.4√5,∴S△BCG=4+0.4√5
∴故④错误；。