1第一节根轨迹的基本概念
合集下载
自动控制第五章根轨迹法资料
8
绘制根轨迹的基本条件
根轨迹的幅值条件：
n
s pj
j 1
负反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为00根轨迹；
9
绘制根轨迹的基本条件
n
s pi
i 1 m
K1
s zj
j 1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
➢ 根轨迹的幅值条件不仅取决于系统开环零极点的分 布，同时还取决于开环根轨迹的增益K1。
➢ 根轨迹的相角条件仅仅取决于系统开环零极点的分 布，与开环根轨迹的增益K1无关。
2
第一章根轨迹的基本概念
根轨迹的概念的提出 反馈控制系统的性质取决于闭环传函。只要求解
出闭环系统的根，系统的响应就迎刃而解。但是对于 3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可 变参数时，求根更困难了。
1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根 的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基 础上，当某些参数变化时确定闭环极点的一种简单的 图解方法。
12
第二节 绘制根轨迹的基本规则
当K1 时，① s z j ( j 1 ~ m) ，上式成立。 z j 是开环传递
函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在
利用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应 有的结构和参数。
3
第一节 根轨迹的基本概念
1第一节根轨迹的基本概念
将 Gk (s )写成以下标准型，得： k ( s ) = k * ⋅ G
∏ (s − z ) ∏ (s − p
j =1 i =1 n i j
m
)
式中：k g − 传递系数，或称为根轨迹增益； z i，p j 为开环零极点。
2011-5-25
7
根轨迹定义
1 闭环传递函数的极点就是闭环特征方程： + Gk ( s ))
i
m
∏ (s + p )
j j =1
i =1 n
= −1为根轨迹方程。
2011-5-25
8
根轨迹的幅值和相角条件
由于Gk ( s )是复数，上式可写成：Gk ( s ) | ∠G k ( s ) = −1 | 或k * ⋅
∏ | (s − z ) | ∏ | (s − p
j =1 i =1 n i j
换句话说，满足：Gk ( s ) = −1或：k ⋅
*
∏ (s − z )
i =1 n i j j =1
∏ (s − p
= −1的点就是闭环系统
)
的极点，闭环特征方程的根。
[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系 统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
称Gk ( s ) = −1或：k g ⋅
2011-5-25
3
第一节 根轨迹的基本概念
2011-5-25
4
根轨迹定义
[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系 统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。 例：如图所示二阶系统， K R (s ) C (s ) 系统开环传递函数为： s (0.5s + 1) K Gk ( s ) = s (0.5s + 1)
自动控制原理(胡寿松版)课件第四章
第一节 根轨迹的基本概念
二、根轨迹与系统性能
根轨迹图可以分析系统的各种性能： ω j ∞ ↑ 稳定性: 根轨迹均在s的左半平 Kr 面，则系统对所有k>0的值是稳定的。 s K =0 1 1 s1 2 r 0 σ -1 稳态性能：如图有一个开环极点 -2 -1 s=0，说明属于I型系统，阶跃作用 Kr ∞ 下的稳态误差为0。 动态性能：过阻尼 临界阻尼 欠阻 尼。 K越大，阻尼比 越小，超调量σ%越大。
第四章 根轨迹分析法
第一节 根轨迹的基本概念
当系统的某个参数变化时，特征方程的根随 之在S平面上移动，系统的性能也跟着变化。研究 S 平面上根的位置随参数变化的规律及其与系统 性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。
第一节 根轨迹的基本概念
一、根轨迹
设系统的结构如图 K r变化时,闭环特征 Kr 根在 s平面上的轨迹 : 极点；右半平面为 C(s) 2+2s+K s1 s2 Kr 不稳定极点；虚轴 R(s) =s∞ ω r j ↑ -2 0 0 上为临界极点。 闭环特征方程式 Kr 1 -1 -1 1 2 (2) 0<Kr<1时，系统 s 0 s2 +2s+K Kr=0 1r= s1 -1-j -1+j 2 0 σ -1 有呈过阻尼状态。 -2 特征方程的根 -1 -1+j∞ -1-j∞ Kr (3) 当 时，系统 ∞Kr=1 s1.2 =-1± 1-Kr ∞ 呈临界阻尼状态 。 得相应的闭环特征根值: (4) 1<Kr<∞时，系统呈欠阻尼状态。
↑
↑
第一节 根轨迹的基本概念
三、闭环零、极点与开环零、极点的关系
系统传递函数为
G( s) ( s) 1 G(s) H (s)
第四章 根轨迹法(1)
第四章 根轨迹法
（1）当 K * = 0时，s1 = 0、s2 = －2， 此时闭环极点就是开环极点。 （2）当0＜ K * ＜1时， s1 、 s2 均为负 实数，且位于负实轴的（－2，0） 一 段上。 （3）当K * = 1时，s1 = s2 = －1，两 个负实数闭环极点重合在一起。 （4）当1＜ K * ＜∞时， s1， 1 1 k * 2 两个闭环极点变为一对共轭复数极点。 s1 、 s2 的实部不随K * 变化，其位于过 （－1，0）点且平行于虚轴的直线上。 （5）当K * ＝∞时， s1 = －1+ j∞、 s2 = －1－j∞，此时s1、s2将趋于无限 远处。
第四章 根轨迹法
② 位于s1左边的实数零、极 点： (S1 – P4 ) 、(S1 – Z1 ) 、 向量引起的相角为0°
∴ 判断 s1是否落在根轨迹 上，位于s1左边的零、极点不 考虑。
③ 位于s1右边的实数零、极点： 每个零、极点提供180°相 角，其代数和为奇数，则满足相角条件。
第四章 根轨迹法
a
(0) (1 j1) (1 j1) (4) (1) 5 4 1 3
60 180 2k 1 180 2k 1 a 180 nm 3 300
k 0 k 1 k 2
第四章 根轨迹法
五、法则五 根轨迹分离点和分离角
K G( s) H ( S )
* i 1 n j 1
(s z )
i
m
S (s p j )
-1
m个开环零点 n个开环极点 K *根轨迹增益
∴在s平面上凡是满足上式的任意一个点s1、s2、…、 s∞，都 是闭环特征根，即闭环极点。
第四章 根轨迹法
自动控制原理根轨迹法
21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n
根轨迹法的基本概念
K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
根轨迹法的基本概念
渐近线与实轴交点为：
(2k 1)
3
,k 31
0,1 1
, 2
2
2
0231 2 31
4、求分离点：
1
1
d1 d
d
2.47
1 d2
1 d3
j
2.47 3 2 1 0
6、根轨迹的起始角和终止角：
根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处 切线与正实轴的夹角：
m
n
p1 (2k 1) ( p1 zi ) ( p1 p j )
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
j 1
i 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 (si )
i 1
i 1
i 1
an1s an
n
n
当n m 2 时， si p j
i 1
j 1
4-3 广义根轨迹法
一、参数根轨迹
以非开环增益K*为可变参数的根轨迹，称为参数根 轨迹。
引入等效开环传递函数的概念
G(s)H (s) K * (s z1 ) s(s 2 2s 2)
z1是附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择， 当 z1→∞时，表明不存在有限零点。
(2k 1)
3
,k 31
0,1 1
, 2
2
2
0231 2 31
4、求分离点：
1
1
d1 d
d
2.47
1 d2
1 d3
j
2.47 3 2 1 0
6、根轨迹的起始角和终止角：
根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处 切线与正实轴的夹角：
m
n
p1 (2k 1) ( p1 zi ) ( p1 p j )
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
j 1
i 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 (si )
i 1
i 1
i 1
an1s an
n
n
当n m 2 时， si p j
i 1
j 1
4-3 广义根轨迹法
一、参数根轨迹
以非开环增益K*为可变参数的根轨迹，称为参数根 轨迹。
引入等效开环传递函数的概念
G(s)H (s) K * (s z1 ) s(s 2 2s 2)
z1是附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择， 当 z1→∞时，表明不存在有限零点。
《根轨迹分析法》课件
《根轨迹分析法》课件1. 课件简介根轨迹分析法是一种用于分析和设计反馈控制系统的方法，通过绘制系统的根轨迹来了解系统在不同参数下的稳定性和动态性能。
本课件将介绍根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
2. 课件内容2.1 根轨迹分析法的基本概念2.1.1 根轨迹的定义根轨迹是指在系统参数变化范围内，使闭环系统稳定的闭环极点轨迹。
2.1.2 根轨迹的性质（1）根轨迹是闭环极点在复平面上的轨迹，反映了闭环系统的稳定性。
（2）根轨迹的形状由系统开环传递函数的极点和零点决定。
（3）根轨迹的分布与系统参数有关，通过改变参数可以改变系统的稳定性和动态性能。
2.2 根轨迹分析法的方法2.2.1 绘制根轨迹的基本步骤（1）确定系统开环传递函数。
（2）画出开环传递函数的极点和零点。
（3）根据系统参数的变化，绘制出根轨迹。
（4）分析根轨迹的形状，判断闭环系统的稳定性。
2.2.2 根轨迹的绘制技巧（1）利用软件工具，如MATLAB，自动绘制根轨迹。
（2）手动绘制根轨迹时，注意利用对称性和周期性简化绘制过程。
2.3 根轨迹分析法的应用2.3.1 设计控制器通过分析根轨迹，可以确定控制器参数，使闭环系统具有所需的稳定性和动态性能。
2.3.2 系统优化根轨迹分析法可以帮助我们找到系统参数的最佳组合，从而优化系统的性能。
2.3.3 故障诊断分析根轨迹可以帮助我们发现系统中的故障，为故障诊断提供依据。
3. 课件总结本课件介绍了根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
通过学习本课件，您可以了解根轨迹分析法在控制系统设计和分析中的重要性，并掌握绘制根轨迹的基本方法。
希望这有助于您在实际工作中更好地应用根轨迹分析法。
科学性：1. 内容准确：课件内容基于控制理论的基本原理，准确地介绍了根轨迹分析法的概念、方法和应用。
2. 逻辑清晰：课件从基本概念入手，逐步深入到方法介绍和应用实例，逻辑结构清晰，易于理解。
3. 实例典型：课件中提供了控制系统的实例，帮助学习者更好地理解根轨迹分析法的应用场景。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
稳定性：当K从0→∞时根轨迹不会越过虚轴进入右 K 5
3
半s平面，因此该系统当K>0都是稳定的。
稳态性能：开环系统在原点有一个极点，所以系统
2
属于Ⅰ型系统，根轨迹上的K 值就是以该点为闭
环极点时系统的速度误差系数。
K 1
1
K 0
K 0
动态性能：当0<K<0.5时闭环极点位于实轴上，系
统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程； 当K=0.5时闭环两个实极点重合，系统为临界阻
KG (s zi ) (s pi )
i1
l 1
n1
n2
m1
m2
(s p j ) (s pi ) Kg (s zi ) (s zk )
j1
l 1
i1
k 1
① 闭环系统的增益，等于开环系统前向通路传递函数的增益。
② 闭环零点由开环系统前向通路传递函数的零点和反馈通路的 极点所组成。对于单位反馈系统闭环零点就是开环零点。
其中相角条件是零点到根轨迹上的某点的向量的相角之和减
去极点到根轨迹上的某点的向量的相角之和等于180度的奇数倍，
因此也称满足上述条件的根轨迹为180度等相角根轨迹。 根据上述两个条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹
上对应的Kg值。应当指出，相角条件是确定s平面上的根轨迹的 充分必要条件。这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相角条
上的箭头表示随着K 值的增加，根轨迹
的变化趋势，而标注的数值则代表与闭
环极点位置相应的参数K 的数值。
2021/5/14
j
K 5
3
2
K 1
1
K 0
K 0
2 1
0
K 1 K 0.5 1
2
K 5
3
6
根轨迹定义
根轨迹图直观全面地描述了参数K 对闭环特征根
j
分布的影响。可据此分析系统性能。
2021/5/14
11
根轨迹的幅值和相角条件
由于Gk (s)是复数，上式可写成 ： | Gk (s) | Gk (s) 1 m
| (s zi ) |
或
K i1 gn
1
|(s pj) |
j1
m
n
(s zi ) (s p j ) (2k 1)，k 0,1,2...
i 1
j 1
上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。
2 1 K 0.5
K 1
0
1
尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；但响应速
度较过阻尼情况为快；
2
当K>0.5时闭环极点为共轭复极点，系统为欠阻 尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调
K 5
3
量将随K 值的增大而增大，但调节时间的变化不
会显著。
2021/5/14
7
根轨迹基本概念
⒉ 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
件；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。
2021/5/14
12
根轨迹的幅值和相角条件
例：如图所示二阶系统，
R(s) -
K
C(s)
s(0.5s 1)
2K 闭环传递函数： (s) s2 2s 2K 特征方程为： s2 2s 2K 0
特征根为： s1,2 1 1 2K
采用试探法可以确定根轨迹上的点。 在实际绘制根轨迹时不采用试探法。 而是应用以根轨迹方程为基础建立起 来的绘制根轨迹的基本法则。
利用根轨迹法，可以：
分析系统的性能
确定系统的结构和参数
校正装置的综合
2021/5/14
3
第一节 根轨迹的基本概念
2021/5/14
4
根轨迹定义
⒈ 根轨迹定义
开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方 程的根在复平面上变化的轨迹。
例：如图所示二阶系统， 系统开环传递函数为： K Gk (s) s(0.5s 1)
以绘制关于可变参数Kg的根轨迹，其中处于变动地位的实参数 Kg不限定是零极点形式开环传递函数的增益，也可以是系统的 其它变化参数。但用上式形式表达的开环零、极点在s平面上的 位置必须是确定的，否则无法绘制根轨迹。
此外，如果要绘制一个以上参数变化时的根轨迹，那么画 出的不再是简单的根轨迹，而是根轨迹簇。
⒊ 根轨迹方程
闭环传递函数为：
对如下结构图的系统：
R(s)
C(s)
G(s)
-
(s) G(s) G(s) 1 G(s)H (s) 1 Gk (s)
令闭环传递函数的分母为零，
得闭环系统的特征方程
H (s)
1 Gk (s) 0
若用开环传递函数来讨论，则满足 Gk (s) 1 的点就是闭环系 统特征方程的根。也就是说满足 Gk (s) 1的s值必定是根轨迹 上的点，故称 Gk (s) 1为根轨迹方程。若令
2021/5/14
j
3
2
1
2 1
0
1
2
3
13
m
(s zi )
Gk (s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
m
(s zi )
则
Kg
i1 n
1 为根轨迹方程。
(s pj)
j1
2021/5/14
10
根轨迹方程
m
(s zi )
Kg
i 1 n
1
(s pj)
j1
式中，－zi、－pj为已知的开环零极点；Kg从零变到无穷。
应当指出，只要闭环特征方程可以化成上式的形式，都可
③ 闭环极点与开环零点、开环极点及根轨迹增益Kg均有关。
根轨迹的基本任务就是如何由已知的开环零、极点及根轨迹增 益，通过图解的方法找出闭环极点。
一旦确定闭环极点后，闭环传递函数的形式就不难确定。 在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉 氏反变换的方法求出。
2021/5/14
9
根轨迹方程
Gk (s) G(s)H (s)
i 1
k 1
n1
n2
(s p j ) (s pi )
i 1 n
(s pj)
j 1
l 1
j 1
其中：m1+m2=m；n1+n2=n；Kg=KGKH称为零极点形式开环增
益或根轨迹增益。
2021/5/14
8
根轨迹基本概念
m1
n2
(s) G(s) 1 G(s)H (s)
R(s) -
闭环传递函数：
(s)
s2
2K 2s
2K
特征方程为： s2 2s 2K 0
K
C(s)
s(0.5s 1)
特征根为： s1,2 1 1 2K
2021/5/14
5
根轨迹定义
[讨论]：由 s1,2 1 1 2K
① 当K=0时，s1=0,s2=-2, 是开环传递函数的极点
② 当K=0.32时，s1=－0.4，s2=－1.6 ③ 当K=0.5时，s1=－1，s2=－1 ④ 当K=1时，s1=－1+j，s2=－1－j ⑤ 当K=5时，s1=－1+3j，s2=－1－3j ⑥ 当K=∞时，s1=－1+∞j，s2=－1－∞j 画出K从0→∞时所有的闭环极点连成的 光滑曲线就是该系统的根轨迹。根轨迹
m1
(s zi )
设系统的结构图如下：
令
G(s) KG
i 1 n1
R(s)
C(s)
G(s)
(s pj)
-
j 1
m2
H (s)
闭环传递函数为：(s) G(s)
(s zk )
H(s)
KH
k 1 n2
(s pl )
1 G(s)H (s)
l 1
m1
m2
m
KGKH (s zi ) (s zk ) Kg (s zi )
第四章 根轨迹法
2021/5/14
1
本章主要内容
根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制准则 特殊根轨迹 利用根轨迹分析闭环系统 用MATLAB绘制根轨迹
2021/5/14环系统的稳定性取决于闭环系统的极点 分布，其它性能取决于其零、极点分布。因此，可以用系统的 零极点分布来间接地研究控制系统的性能。W.R.伊文思提出了 一种在复平面上由开环零极点确定闭环极点的图解方法—根轨 迹法。将系统的某一个参数（例如开环放大系数）的全部值与 闭环特征根的关系表示在一张图上。